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山西省2013年高考考前适应性训练考试(理科数学)


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山西省 2013 年高考考前适应性训练考试

理科数学(试卷类型 A)
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.复数

2?i 的模是( 2

?i

) B. 2 C.2 ) D.1

A. 5

2.若平面向量 a , b 满足 | a ? b |? 1 ,且 a ? 2b ,则 | b |? ( A.

1 2 B. C.1 D.2 3 3 3.曲线 y ? sin x , x ? [0, 2? ] 与 x 轴围成的平面图形的面积是( ) A.0 B.2 C.4 D.8 4.若双曲线的焦点到其渐近线的距离等于双曲线的实半轴长,则该双曲线的离心率是(
A. 2 B.2 C. 3 D.3



5.一艘轮船从 O 点的正东方向 10km 处出发,沿直线向 O 点的正北方向 10km 处的港口航行,某台风中 心在点 O,距中心不超过 r km 的位置都会受其影响,且 r 是区间 [5, 10] 内的一个随机数,则轮船在航 行途中会遭受台风影响的概率是( A. )

2 ?1 2 B. 1 ? C. 2 ? 1 D. 2 ? 2 2 2 6.执行如图所示的程序框图,输入 m ? 1173 , n ? 828 ,则输出的实数 m 的值是( ) A.68 B.69 C.138 D.139
开始 输入 m,n 求 m 除以 n 的余数 r m=n n=r r = 0? 是 输出 m 结束
第 6 题图

2

2

正视图

侧视图


2

俯视图
第 7 题图

7.已知某几何体的三视图如图所示,正视图和侧视图中各边长均为 3 ,则该几何体的表面积是( A. 8 2
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B. 8 3

C.

8 2 3

D.

8 3 3

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8.过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点作倾斜角为 30? 的直线 l 与抛物线义于 P,Q 两点,分别过 P,Q 两点 作 PP1 , QQ1 垂直于抛物线的准线于 P1 , Q1 ,若 | PQ |? 2 ,则四边形 PP1Q1Q 的面积是( A.1 9.若 tan ? ? A. B.2 C.3 ) C. D. 3 )

3? 8

sin ? ? cos ? ,则 ? 的值可能是( sin ? ? cos ? 5? B. 8

3? 4

D.

5? 4


10.已知数列 {a n } 中, a1 ? 1 , A.7 或 8

an ? 2 n ?7 (n ? N*, n ? 1) ,则当 a n 取得最小值时 n 的值是( a n ?1
C.5 或 6
2 2

B.6 或 7

D.4 或 5 ,则有 H ? A?Q .据此推断

11 . 对 于 实 数 a , b , 若 H ?

a?b 1 a ?b , A? ,Q? 1 1 2 2 ? a b 2
? ? ? ?
? 1 2

?2 ? a? b? ? ?2 ? ,N ??a ?b M ?? ? ? ? 2 2 ? ? ? A. H ? N ? A ? Q ? M C. N ? H ? M ? A ? Q

2

与 H,A,Q 的大小关系是( B. H ? N ? M ? A ? Q D. N ? H ? A ? Q ? M



?1? | x ? 1 |, x ? [0, 2] ? 12.函数 f ( x) ? ? 1 ,则下列说法中正确的是( ? 2 f ( x ? 2), x ? [2, ? ?) ?
①函数 y ? f ( x) ? ln( x ? 1) 有 3 个零点;



k 3 恒成立,则实数 k 的取值范围是 [ , ? ?) ; x 2 ③函数 f (x) 的极大值中一定存在最小值;
②若 x ? 0 时,函数 f ( x) ? ④ f ( x) ? 2 k f ( x ? 2k ) , (k ? N) ,对于一切 x ? [0, ? ?) 恒成立. C.①④ D.②③ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分,第(13)~(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22) 题~(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.等差数列 {a n } 中, a 3 ? 8 , a 7 ? 12 ,则 a 5 ? 14.给出下面几个命题: ①“若 x ? 2 ,则 x ? 3 ”的否命题; ②“ ?a ? (0, ? ?) ,函数 y ? a x 在定义域内单调递增”的否定; ③“ ? 是函数 y ? sin x 的一个周期”或“ 2? 是函数 y ? sin 2 x 的一个周期” ;
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A.①③

B.②④



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④“ x 2 ? y 2 ? 0 ”是“ xy ? 0 ”的必要条件。 其中,真命题的序号是 .

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?x ? y ? 2 ? 0 ? 15.已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,若目标函数 z ? x ? ay (a ? 0) 恰好在点 (4, 6) 处取得最 ?3 x ? y ? 6 ? 0 ?
小值,则 a 的取值范围是 . 16.由 6 根长度均为 2 米的钢管(钢管的直径忽略不计)焊接成一个三棱锥钢架,并在钢架内嵌一个体积 最大的球体,则这个球的体积是 米 3. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)

?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a , b , c ,若 a ? 2 , b ? 3 ? 1 ,且 b 是 2c 与 cos A 的等
比中项. (1)求 A,B,C; (2)若函数 f ( x) ? sin( 2 x ? ? )(| ? |?

?
4

C c ) 满足 f ( ) ? ,求函数 f (x) 的解析式及单调递减区间. 2 2

18. (本小题满分 12 分) “幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度时,给出的区间 [0, 10] 内的 一个数,该数越接近 10 表示越满意.为了解某大城市市民的幸福感,随机对该城市的男、女各 500 人市 民进行了调查,调查数据如下表所示: [0, 2) [2, 4) [4, 6) [6, 8) [8, 10) 幸福感指数
男市民人数 女市民人数 10 10 20 10 220 180 125 175 125 125

根据表格,解答下面的问题: (1)完成频率分布直方图,并根据频率分布直方图估算该城市 市民幸福感指数的平均值; (参考数据: 2 ? 1 ? 3 ? 3 ? 40 ? 5 ? 30 ? 7 ? 25 ? 9 ? 646 ) (2)如果市民幸福感指数达到 6,则认为他幸福.据此,在该 市随机调查 5 对夫妇,求他们之中恰好有 3 对夫妇二人都幸福的概 率. (以样本的频率作为总体的概率)

频率 组距 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05
0.01 0.015 0.125

O

2

4
A

6

8
B

10 幸福感指数

19. (本小题满分 12 分) 在直角梯形 CDEF 中, DC ? CF , DC // EF , CD ? CF ? 2 EF ? 2 . 将它绕 CD 旋转得到 CDBA,使得面 CDBA ? 面 CDEF. (1)若点 M 是 ED 的中点,证明: BM // 平面 AEC; (2)求 AE 与面 BED 所成角的正弦值.

C M F E

D

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20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆

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x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , 其左、 右焦点分别为 F1 , 2 , F1 作直线交椭圆于 P, 两点, F2 PQ Q F 过 ? a2 b2

的周长为 4 3 . (1)若椭圆离心率 e ?

2 ,求椭圆的方程; 2

(2)若 M 为椭圆上一点, MF1 ? MF2 ? 1 ,求 ?MF1 F2 面积的最大值. 21. (本小题满分 12 分)

1 1 ? 2 , a?R . x 2x (1)讨论函数 f (x) 的单调性;
已知函数 f ( x) ? a ln x ?

2 . 3 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的 第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,半圆 O 的直径 AB 的长为 4,点 C 平分弧 AE,过 C 作 AB 的垂线交 AB 于 D, 交 AE 于 F.
(2)证明: ( x ? 1)(e ? x ? x) ? 2 ln x ?
E

(1)求证: CE 2 ? AE ? AF ; (2)若 AE 是 ?CAB 的角平分线,求 CD 的长.
A

C

F D O B

23. (本小题满分 10 分)选修 4——4:坐标系与参数方程

? x ? 2 ? 3 sin ? , 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? (其中 ? 为参数, ? ? R ) .在极坐 ? y ? 3 cos ? ? 2,
标系(以坐标原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴)中,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? cos(? ? (1)把曲线 C1 和 C 2 的方程化为直角坐标方程; (2)若曲线 C1 上恰有三个点到曲线 C 2 的距离为

?
4

)?a.

3 ,求曲线 C 2 的直角坐标方程. 2

24. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ?| x ? a | . (1)当 a ? ?1 时,求不等式 f ( x) ?| x ? 1 | ?1 的解集; (2)若不等式 f ( x) ? f (? x) ? 2 存在实数解,求实数 a 的取值范围.

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