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2006-2007学年乐安中学高一数学必修二复习材料三


2006-2007 学年乐安中学高一数学必修二复习材料三
班级 一、选择题: 1.若直线过点(1,2),(4,2+ ),则此直线的倾斜角是( ) 座号 姓名

A 30° B 45° C 60° D 90° 2. 如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x-y-2=0 平行,则系数 a= A、 -3 B、-6 C、 D、 ) (D)

/>3.点 P(-1,2)到直线 8x-6y+15=0 的距离为( (A)2 (B) (C)1

4. 点M(4,m)关于点N(n, - 3)的对称点为P(6,-9),则( ) A m=-3,n=10 B m=3,n=10 C m=-3,n=5 D m=3,n=5 5.以A(1,3),B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( ) A 3x-y-8=0 B 3x+y+4=0 C 3x-y+6=0 D 3x+y+2=0 6.过点M(2,1)的直线与X轴,Y轴分别交于P,Q两点,且|MP|=|MQ|,则L 的方程是( ) A x-2y+3=0 B 2x-y-3=0 C 2x+y-5=0 D x+2y-4=0 7. 直线 mx-y+2m+1=0 经过一定点,则该点的坐标是 A(-2,1) B (2,1) C (1,-2) D (1,2) 8. 直线 的位置关系是

(A)平行 (B)垂直 (C)相交但不垂直 (D)不能确定 9. 如图 1,直线 l1、l2、l3 的斜率分别为 k1、k2、k3, 则必有 A. k1<k3<k2 B. k3<k1<k2 C. k1<k2<k3 D. k3<k2<k1 10.已知 A(1,2)、B(-1,4)、C(5,2),则 Δ ABC 的边 AB 上的中线所在的直线方程为( ) (A)x+5y-15=0 (B)x=3 (C) x-y+1=0 (D)y-3=0 【例 2】 求经过直线 3x-2y+1=0 和 x+3y+4=0 的交点,且垂直于直 线 x+3y+4=0 的直线 l 的方程. 分析:本题主要考查有关直线方程的知识及综合运用知识的能力.可应用直线的点斜式求 解;或应用与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线可设为 Bx-Ay+C′=0, 从而求解;也可应用过直线 A1x+B1y+C1=0 和直线 A2x+B2y+C2=0 的交点的直线可设为 (A1x+B1y+C1)+λ (A2x+B2y+C2)=0,从而求解.

?3x ? 2 y ? 1 ? 0, 解法一:解方程组 ? ? x ? 3 y ? 4 ? 0,

得交点坐标为(-1,-1). 又由题设知 k1=3, ∴直线 l 的方程为 y+1=3(x+1), 即 3x-y+2=0. 解法二:由题设知 k2=3,故可设直线 l 的方程为 3x-y+C=0. ∵l 过交点(-1,-1), ∴-3+1+C=0.∴C=2. 故直线 l 的方程为 3x-y+2=0. 解法三:设直线 l 的方程为 (3x-2y+1)+λ (x+3y+4)=0, 即(3+λ )x+(3λ -2)y+4λ +1=0. ∵l 与直线 x+3y+4=0 垂直, ∴-

3? ? 3 =3.∴λ = . 3? ? 2 10

于是直线 l 的方程为 3x-y+2=0. 2.已知点 A(1,2)、B(3,1),则线段 AB 的垂直平分线的方程是 A.4x+2y=5 B.4x-2y=5 C.x+2y=5 D.x-2y=5 分析:本题考查中点坐标公式、直线的方程.

1? 2 1 =- ,所以线段 AB 的垂直平分线的斜率是 2. 2 3 ?1 3 又线段 AB 的中点为(2, ), 2 3 所以所求直线方程为 y- =2(x-2), 2
解:因 kAB= 即 4x-2y-5=0. 答案:B 5.直线(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5m=0 的倾斜角是 A.2 C.-2 解析:原方程可化为 y=

?
4

,则 m 的值为

B.3 D.-3

2 m 2 ? 5m ? 2 5m x+ 2 . 2 m ?4 m ?4 2 m 2 ? 5m ? 2 ? 2 m 2 ? 5m ? 2 ∴k= .则有 tan = =1, m2 ? 4 m2 ? 4 4 即 m2-5m+6=0.解之得 m=3,m=2. m=2 时原方程不成立,应舍去,∴选 B. 答案:B
6.△ABC 三顶点坐标为 A(2,2)、B(-2,-2)、C(2 3 ,-2 3 ),则此三角形是 A.等边三角形 C.等腰三角形 分析:本题考查两直线的夹角公式 tanα =| B.直角三角形 D.钝角三角形

k1 ? k 2 |. 1 ? k1k 2

解:∵kAB=

?2 3?2 ?2?2 =1,kBC= = 3 -2, ?2?2 2 3?2

kAC=

?2 3?2 =-(2+ 3 ), 2 3?2
3 ?2?2? 3 |= 3 , 1?1

tanC=| ∴∠C= 答案:A

?
3

且|AC|=|BC|=4 2 .

7.直线 2x-y-4=0 绕着它与 x 轴的交点,按逆时针方向旋转

?
4

后,所得的直线方程是

A.x-3y-2=0 B.3x+y-6=0 C.3x-y+6=0 D.x-y-2=0 分析:本题主要考查直线方程的求法.最常用到的有点斜式和两点式. 解:直线 2x-y-4=0 与 x 轴的交点为(2,0). 设所求直线的斜率为 k, 由题设,得 tan

?
4

=

k ?2 =1. 1 ? 2k

解得 k=-3. 所以,所求直线的方程为 y-0=-3(x-2),即 3x+y-6=0. 答案:B 11.过点(-2,-1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是__________. 分析:本题考查直线的截距式方程.此题容易产生漏解现象. 解:(1)直线过坐标原点时,在两个轴上的截距都为 0, 方程为 x-2y=0. (2)直线不过坐标原点时,设方程为 ∵直线过(-2,-1),∴

x y + =1. a a

? 2 ?1 + =1,得 a=-3. a a

∴直线方程为 x+y+3=0. 答案:x-2y=0 或 x+y+3=0 16.(本小题满分 10 分)已知两直线 l1:ax-by+4=0 和 l2:(a-1)x+y+b=0.若 l1∥l2 且坐标原 点到两直线的距离相等,求 a、b 的值. 解法一:∵l1∥l2 且 l2 的斜率为 1-a, ∴l1 的斜率也存在,其值

a =1-a. b a . 1? a


∵1-a 与 a 不可能同时为 0,∴b= 由原点到 l1 和 l2 的距离相等得

4 a ?b
2 2

=

|b| (a ? 1) 2 ? 1

.



2 ? ?a ? 2, ?a ? , 由①和②得 ? 或? 3 ?b ? ?2 ?b ? 2. ?
对于这两种情形,经检验知 l1 与 l2 都不重合.

2 ? ?a ? 2, ?a ? , ∴? 或? 3 ?b ? ?2 ?b ? 2. ?

解法二:两直线斜率都存在,化为斜截式得 l1:y=

a 4 x+ , b b

l2:y=(1-a)x-b. 据题意作图,由直角三角形全等得两直线在 y 轴上的截距相反. y

O

x

?a ? ? 1 ? a, ?b ∴? ? 4 ? b. ?b ?
2 ? ?a ? 2, ?a ? , 解得 ? 或? 3 ?b ? ?2 ?b ? 2. ?
解法三:据题意知,l1 关于原点的中心对称图形是 l2. ∴对 l1:ax-by+4=0 以-x 代 x 且以-y 代 y 得 l2:-ax+by+4=0. 又知 l2:(a-1)x+y+b=0, 由两直线重合的条件得

?a b 4 = = . a ?1 1 b

2 ? ?a ? 2, ?a ? , 解得 ? 或? 3 ?b ? ?2 ?b ? 2. ?
19.(本小题满分 12 分)已知点 P(6,4)与定直线 l1:y=4x,直线 l2 过点 P 与直线 l1 相交于第 一象限内的点 Q,且与 x 轴的正半轴交于点 M,求使△OMQ 面积最小的直线 l2 的方程. 解:设 M(m,0),则直线 l2 的方程为 4x+(m-6)y-4m=0. (*)

与 y=4x 联立方程组,得 yQ= ∵yQ>0,且 m>0, ∴S△OMQ=

4m . m?5

2m 2 1 ·m·yQ= ,且 m-5>0. m?5 2

令 m-5=t,则 t>0, ∴S△OMQ=

2(t ? 5) 2 25 =2(10+t+ ) t t

≥2(10+2 t ?

25 )=40. t

当且仅当 t=

25 ,即 t=5 时,S△OMQ 取最小值 40. t

此时,m=10.把 m=10 代入(*)式,得 l2 的直线方程为 x+y-10=0. 【例 3】 设 AB 是圆 x2+y2=1 的一条直径,以 AB 为直角边、B 为直角顶点,逆时针方向 作等腰直角三角形 ABC.当 AB 变动时,求 C 点的轨迹.
y C B O A x

解法一:(参数法)取∠xOB=θ 为参数,则 B(cosθ ,sinθ ), 于是,(x-cosθ )2+(y-sinθ )2=4.

y ? sin? =-cotθ ,消去θ 得 x2+y2=5. x ? cos?
故所求轨迹是以原点为圆心, 5 为半径的圆. 解法二:(相关点法)设 C(x,y)、B(x0,y0), 当 x0、y0≠0 时, 则(x-x0)2+(y-y0)2=4.

y y ? y0 · 0 =-1.由 x02+y02=1 消去 x0、y0 得轨迹方程.显然当 x0=0 或 y0=0 时,方程也 x ? x0 x0
适合. 解法三:(几何法)连结 CO,因为|OC|2=|OB|2+|AB|2=5 为定值,故其轨迹为圆. 评析:求轨迹的方法很多,注意合理选取,参数法求轨迹方程是常用方法之一,常用到 的参数有斜率、点的坐标、长度、夹角等. 11.圆心在直线 2x-y-7=0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0,-4)、B(0,-2),则圆 C 的方 程为__________. 分析:本题考查圆的方程的求法,确定圆心和半径. 解:设圆 C 的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2.

∵圆心在直线 2x-y-7=0 上, ∴2x0-y0-7=0. 又∵圆过 A(0,-4)、B(0,-2), ∴x02+(4-y0)2=r2, x02+(-2-y0)2=r2.

① ② ③

? x 0 ? 2, ? 由①②③解得 ? y0 ? ?3, ? ?r ? 5 .
∴圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=5. 答案:(x-2)2+(y+3)2=5 15.(本小题满分 8 分)圆经过点 A(2,-3)和 B(-2,-5). (1)若圆的面积最小,求圆的方程; (2)若圆心在直线 x-2y-3=0 上,求圆的方程. (1) 解 : 要 使 圆 的 面 积 最 小 , 则 AB 为 圆 的 直 径 , 所 以 所 求 圆 的 方 程 为 (x-2)(x+2)+(y+3)(y+5)=0,即 x2+(y+4)2=5. (2)解法一: 因为 kAB=12,AB 中点为(0,-4),所以 AB 中垂线方程为 y+4=-2x,即

?2 x ? y ? 4 ? 0, ? x ? ?1, 2x+y+4=0,解方程组 ? 得? ? x ? 2 y ? 3 ? 0, ? y ? ?2.
所以圆心为(-1,-2).根据两点间的距离公式,得半径 r= 10 ,因此,所求的圆的方程 为(x+1)2+(y+2)2=10. 解法二:所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,根据已知条件得

?(2 ? a) 2 ? (?3 ? b) 2 ? r 2 ?a ? ?1, ? ? ? 2 2 2 ?(?2 ? a) ? (?5 ? b) ? r ? ?b ? ?2, ?a ? 2b ? 3 ? 0 ? 2 ? ?r ? 10. ?
所以所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10. 15.(本小题满分 8 分)圆经过点 A(2,-3)和 B(-2,-5). (1)若圆的面积最小,求圆的方程; (2)若圆心在直线 x-2y-3=0 上,求圆的方程. (1) 解 : 要 使 圆 的 面 积 最 小 , 则 AB 为 圆 的 直 径 , 所 以 所 求 圆 的 方 程 为 (x-2)(x+2)+(y+3)(y+5)=0,即 x2+(y+4)2=5. (2)解法一: 因为 kAB=12,AB 中点为(0,-4),所以 AB 中垂线方程为 y+4=-2x,即

?2 x ? y ? 4 ? 0, ? x ? ?1, 2x+y+4=0,解方程组 ? 得? ? x ? 2 y ? 3 ? 0, ? y ? ?2.
所以圆心为(-1,-2).根据两点间的距离公式,得半径 r= 10 ,因此,所求的圆的方程 为(x+1)2+(y+2)2=10. 解法二:所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,根据已知条件得

?(2 ? a) 2 ? (?3 ? b) 2 ? r 2 ?a ? ?1, ? ? ? 2 2 2 ?(?2 ? a) ? (?5 ? b) ? r ? ?b ? ?2, ?a ? 2b ? 3 ? 0 ? 2 ? ?r ? 10. ?
所以所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10. 5.直线 ax+by-1=0 在 y 轴上的截距为 1,且它的倾斜角是直线 3 x-y-3 3 =0 的倾斜 角的 2 倍,则 A.a= 3 ,b=1 C.a=- 3 ,b=1 分析:本题主要考查直线的有关概念. 解:∵直线 ax+by-1=0 在 y 轴上的截距为 1, ∴ B.a=- 3 ,b=-1 D.a= 3 ,b=-1

1 =1,即 b=1. b

又直线 3 x-y-3 3 =0 的倾斜角为 ∴ax+by-1=0 的倾斜角为 ∴-

?
3

,

2? . 3

a 2? =tan .∴a= 3 . 3 b

答案:A 4.直线 ax+3y+1=0 与直线 2x+(a+1)y+1=0 平行,则 a 的值是 A.-3 B.2 C.-3 或 2 D.3 或-2 分析:本题主要考查两条直线的位置关系. 解:当 a=0 或-1 时,不合题意, 所以两直线平行,有

a 3 1 = ≠ , 2 a ?1 1

即 a2+a-6=0. 解得 a=-3 或 a=2(舍). 答案:A 1.已知直线 l1:x+ay+1=0 与直线 l2:x-2y+2=0 垂直,则 a 的值为 A.2 B.-2 C.-

1 2

D.

1 2

1 1 ,k2= ,k1·k2=-1, 2 a 1 1 1 ∴- · =-1,a= . 2 2 a
解析:∵k1=- 答案:D 16.(本小题满分 10 分)已知直线 l 与点 A(2,3)和点 B(5,2)的距离相等,且过直线 l1: 3x-y-1=0 和 l2:x+y-3=0 的交点,求直线 l 的方程.

解法一:设 l1 与 l2 的交点为 P(x,y),l 的斜率为 k,

?3x ? y ? 1 ? 0, ? x ? 1, 由? 解得 ? ∴P(1,2). ? x ? y ? 3 ? 0. ? y ? 2.
(1)当 l∥AB 时,有 k=kAB=- y-2=-

1 ,则 l 的方程为 2

1 (x-1),即 x+2y-5=0. 2 5 ). 2

(2)当 l 过 AB 的中点 M 时,易得 M(4, ∴l 的方程为

y ? 2 x ?1 = , 5 4 ?1 ?2 2 即 x-6y+11=0. ∴直线 l 的方程为 x+2y-5=0 或 x-6y+11=0. 解法二:设 l 的方程为(3x-y-1)+λ (x+y-3)=0, 即(3+λ )x+(λ -1)y-1-3λ =0. ∵dA=dB,


| 3(? ? 3) ? 3(? ? 1) ? 1 ? 3? | (3 ? ? ) 2 ? (? ? 1) 2
.

=

| 5(? ? 3) ? 2(? ? 2) ? 1 ? 3? | (3 ? ? ) 2 ? (? ? 1) 2

解得λ =-7 或λ =-

17 . 7

代入 l 方程,得 x+2y-5=0 或 x-6y+11=0.


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