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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版)选修1-1练习:1.1 第2课时 量词]


第一章

1.1

第 2 课时

一、选择题 1.下列语句不是全称命题的是( A.任何一个实数乘以零都等于零 B.自然数都是正整数 C.高二· 一班绝大多数同学是团员 D.每一个向量都有大小 [答案] C [解析] “高二· 一班绝大多数同学是团员”是存在性命题. 2.下列命题为存在性命题的是( A.偶函数的图象关于 y 轴对称 B.正四棱柱都是平行六面体 C.不相交的两条直线是平行直线 D.存在实数大于等于 3 [答案] D [解析] A、B、C 为全称命题. 3.(2013~2014 学年度安阳高二检测)下列命题中是全称命题并且是真命题的是( A.每一个二次函数的图象都是开口向上 B.存在一条直线与两个相交平面都垂直 C.存在一个实数 x,使 x2-3x+6<0 D.对任意 c≤0,若 a≤b+c,则 a≤b [答案] D [解析] 选项 A 中的命题是全称命题, 且为假命题; 选项 B、 C 中的命题是存在性命题; 选项 D 中的命题是全称命题,且为真命题. 4.若 a、b∈R,且 a2+b2≠0,则①a、b 全为 0;②a、b 不全为 0;③a、b 全不为 0; ④a、b 至少有一个不为 0.其中真命题的个数为( A.0 C.2 [答案] C [解析] a、b 全为零时,a2+b2=0,故①不正确;当 a=0,b≠0 或 a≠0,b=0 时, a2+b2≠0,故③不正确;②④正确,故选 C. 5.既是存在性命题,又是真命题的是( ) B.1 D.3 ) ) ) )

A.斜三角形的内角是锐角或钝角 B.至少有一个 x∈R,使 x2≤0 C.两个无理数的和是无理数 1 D.存在一个负数 x,使 >2 x [答案] B [解析] x=0 时,满足 x2≤0. 6.下列命题: ①至少有一个 x 使 x2+2x+1=0 成立; ②对任意的 x 都有 x2+2x+1=0 成立; ③对任意的 x 都有 x2+2x+1=0 不成立; ④存在 x 使 x2+2x+1=0 成立. 其中是全称命题的有( A.1 个 C.3 个 [答案] B [解析] ②③含有全称量词“任意”. 二、填空题 7.(2013~2014 学年度聊城高二检测)给出下列 4 个命题: ①a⊥b?a· b=0; ②矩形都不是梯形; ③?x,y∈R,x2+y2≤1; ④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于-1.其中全称命题是____________. [答案] ①②④ [解析] 根据全称命题的表示形式可知,①②④是全称命题. 8.下列语句: ①|x-1|<2; ②存在实数 a 使方程 x2-ax+1=0 成立; ③等腰梯形的对角线相等. 其中是全称命题且为真命题的是________. [答案] ③ [解析] 命题“等腰梯形的对角线相等”是全称命题且为真命题. 三、解答题 9.判断下列命题是不是全称命题或存在性命题,并判断真假. ) B.2 个 D.0 个

(1)?x∈R,x-2≤0; (2)矩形的对角线垂直平分; (3)凡三角形两边之和大于第三边; (4)有些质数是奇数. [解析] (1)存在性命题. x=2 时, x-2=0 成立. 所以, 存在性命题“?x∈R, x-2≤0” 是真命题; (2)全称命题.邻边不相等的矩形的对角线不垂直.所以,全称命题“矩形的对角线垂 直平分”是假命题; (3)全称命题.三角形中,两边之和大于第三边.所以,全称命题“凡三角形两边之和 大于第三边”是真命题. (4)存在性命题.3 是质数, 3 也是奇数. 所以, 存在性命题“有些质数是奇数”是真命题.

一、选择题 1.在下列存在性命题中假命题的个数是( ①有的实数是无限不循环小数; ②有些三角形不是等腰三角形; ③有的菱形是正方形. A.0 C.2 [答案] A [解析] 因为三个命题都是真命题,所以假命题的个数为 0. 2.下列命题为假命题的是( A.有理数是实数 B.偶数都能被 2 整除
2 C.?x0∈R,x0 -3=0

)

B.1 D.3

)

D.?x∈R,x2+2x>0 [答案] D [解析] x=-1 时,x2+2x=1-2=-1<0,所以为假命题. 3.下列命题是假命题的是( A.?x∈R,3x>0 C.?x∈Z,x<1 [答案] B [解析] 当 x=0 时,0∈N,但 0<1,故“?x∈N,x≥1”为假命题. ) B.?x∈N,x≥1 D.?x∈Q, x?Q

4.对命题“一次函数 f(x)=ax+b 是单调函数”改写错误的是( A.所有的一次函数 f(x)=ax+b 都是单调函数 B.任意一个一次函数 f(x)=ax+b 都是单调函数 C.任意一次函数 f(x)=ax+b,f(x)是单调函数 D.有的一次函数 f(x)不是单调函数 [答案] D [解析] 由全称命题的表示形式知,选项 D 错误. 二、填空题 5.给定下列命题: ①若 k>0,则方程 x2+2x-k=0 有实数根; ②若 a>b,则 a-c>b-c; ③对角线相等的四边形是矩形. 其中真命题的序号是________. [答案] ①②

)

[解析] 当 k>0 时,方程 x2+2x-k=0 中,Δ=4+4k>0,故方程有实根; 由不等式的性质得,若 a>b,则 a-c>b-c 成立; 对角线相等的平行四边形是矩形. 6.若“?x∈R,2x=m”是真命题,则实数 m 的取值范围是______________. [答案] (0,+∞) [解析] ∵2x∈(0,+∞),∴m∈(0,+∞), 故实数 m 的取值范围是(0,+∞). 三、解答题 7.用量词符号“?”、“?”表达下列命题: 1 1 (1)所有的有理数 x 都使得 x2+ x+1 是有理数; 3 2 (2)一定有实数 α、β,使得 sin(α+β)=sinα+sinβ; (3)一定有整数 x、y,使得 3x-2y=10; (4)所有的实数 a、b,方程 ax+b=0 恰有一个解. 1 1 [解析] (1)?x∈Q,都能使得 x2+ x+1 是有理数; 3 2 (2)?α、β∈R,使得 sin(α+β)=sinα+sinβ; (3)?x、y∈Z,使得 3x-2y=10; (4)?a∈R,?b∈R,方程 ax+b=0 恰有一个解. 8.设集合 S={三角形},p(x):“内角和为 180° ”.试用不同的表述写出全称命题“? x∈S,p(x)”.

[解析] 对所有的三角形 x,x 的内角和为 180° ; 对一切三角形 x,x 的内角和为 180° ; 每一个三角形 x 的内角和为 180° ; 任一个三角形 x 的内角和为 180° ; 凡是三角形,它的内角和为 180° . 9.设 q(x) x2=x,试用不同的表述方式写出存在性命题“?x∈R,q(x)”. [解析] 存在实数 x,使 x2=x 成立;至少有一个 x∈R,使 x2=x 成立;对有些实数 x, 使 x2=x 成立;有一个 x∈R,使 x2=x 成立;对某一个 x∈R,使 x2=x 成立.


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