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一轮复习第一章-3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词


第三节

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

对应学生用书P10 基础盘查一 简单的逻辑联结词 (一)循纲忆知 了解逻辑联结词“或” “且” “非”的含义. (二)小题查验 1.判断正误 (1)命题 p 和┐p 不可能都是真命题( (2)若 p∧q 为真,则 p 为真或 q 为真( ) ) )

(3)p∧q 为假的充要条件是 p,q 至少有一个为假( 2.(人教 A 版教材练习改编)判断下列命题的真假: (1)矩形的对角线互相垂直且平分. (2)等腰梯形的对角线互相平分或互相垂直. 基础盘查二 全称命题和特称命题 (一)循纲忆知 1.理解全称量词与存在量词的意义. 2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. (二)小题查验 1.判断正误 (1)“有些” “某个” “有的”等短语不是存在量词(

) )

(2)全称命题一定含有全称量词,特称命题一定含有存在量词( (3)写特称命题的否定时,存在量词变为全称量词( (4)? x0∈M,p(x0)与? x∈M,┐p(x)的真假性相反( ) )

2. (人教 A 版教材例题改编)命题 “任意两个等边三角形都相似” 的否定为________________________. 3 . (2015 ·淄博实验中学模拟 ) 设命题 p : ? a>0 , a ≠ 1 ,函数 f(x) = a - x - a 有零点,则┐ p : ______________________.
x

对应学生用书P10 考点一 全称命题与特称命题的真假判断(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] (1)全称命题:含有全称量词(所有、一切、任意、全部、每一个等)的命题,叫做全称命题; “对 M 中 任意一个 x,有 p(x)成立”可用符号简记为:? x∈M,p(x). (2)特称命题:含有存在量词(存在一个、至少一个、有些、某些等)的命题,叫做特称命题; “存在 M 中的元素 x0,使 p(x0)成立”可用符号简记为:? x0∈M,p(x0).

[题组练透] 1.(2015·皖南八校联考)下列命题中,真命题是( A.存在 x0∈R,sin
2 0

)

x

2

+cos

2 0

x

2



1 2

B.任意 x∈(0,π ),sin x>cos x C.任意 x∈(0,+∞),x +1>x D.存在 x0∈R,x0+x0=-1 2.设非空集合 A,B 满足 A? B,则以下表述正确的是( A.? x0∈A,x0∈B C.? x0∈B,x0?A B.? x∈A,x∈B D.? x∈B,x∈A [类题通法] 全称命题与特称命题真假的判断方法 命题名称 全称命题 真假 真 假 真 假 判断方法一 所有对象使命题真 存在一个对象使命题假 存在一个对象使命题真 所有对象使命题假 判断方法二 否定为假 否定为真 否定为假 否定为真 )
2 2

特称命题

[提醒] 不管是全称命题,还是特称命题,若其真假不容易正面判断时,可先判断其否定的真假. 考点二 含有一个量词的命题的否定(基础送分型考点——自主练透) [必备知识] 命题 ? x∈M,p(x) ? x0∈M,p(x0) 命题的否定 ? x0∈M,綈 p(x0) ? x∈M,綈 p(x) [题组练透] 1.(2014·天津高考)已知命题 p:? x>0,总有(x+1)e >1,则綈 p 为( A.? x0≤0,使得(x0+1)ex0≤1 B.? x0>0,使得(x0+1)ex0≤1 C.? x>0,总有(x+1)e ≤1 D.? x≤0,总有(x+1)e ≤1 2.写出下列命题的否定并判断其真假: (1)p:不论 m 取何实数值,方程 x +mx-1=0 必有实数根; (2)p:有的三角形的三条边相等; (3)p:菱形的对角线互相垂直; (4)p:? x0∈N,x0-2x0+1≤0. [类题通法] 全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别,否定全称命题和特称命题时,一是要改写量
2 2

x

)

x

x

词,全称量词改写为存在量词,存在量词改写为全称量词;二是要否定结论,而一般命题的否定只需直接 否定结论即可. [提醒] 对于省略量词的命题,应先挖掘命题中的隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再写出命 题的否定. 考点三 含有逻辑联结词的命题的真假判断(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 确定 p∧q,p∨q,┐p 真假的方法:

p∧q→见假即假,p∨q→见真即真,p 与┐p→真假相反.
[典题例析] (2014·湖南高考)已知命题 p:若 x>y,则-x<-y;命题 q:若 x>y,则 x >y .在命题①p∧q;②
2 2

p∨q;③p∧(┐q);④(┐p)∨q 中,真命题是(
A.①③ C.②③

)

B.①④ D.②④ [类题通法]

若要判断一个含有逻辑联结词的命题即复合命题的真假,其步骤如下: (1)判断复合命题的结构; (2)判断构成这个命题的每个简单命题的真假; (3)依据含有“或” 、 “且” 、 “非”的命题的真假判断方法,作出判断即可. [演练冲关] (2015·唐山统考)已知命题 p:? x∈R,x <x ;命题 q:? x0∈R,sin x0-cos x0=- 2.则下列命 题中为真命题的是( A.p∧q C.p∧┐q ) B.┐p∧q D.┐p∧┐q 考点四 利用复合命题的真假求参数范围(题点多变型考点——全面发掘) [一题多变] [典型母题]
3 4

已知命题 p:关于 x 的不等式 a >1(a>0,a≠1)的解集是{x|x<0},命题 q:函数 y= lg(ax -x+a)的定义域为 R,如果 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,求实数 a 的取值范围. [解] 由关于 x 的不等式 a >1(a>0,a≠1)的解集是{x|x<0},知 0<a<1; 由函数 y=lg(ax -x+a)的定义域为 R, 知不等式 ax -x+a>0 的解集为 R, 则?
?a>0, ? ? ?Δ =1-4a <0,
2 2 2 2

x

x

1 解得 a> . 2

因为 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题, 所以 p 和 q 一真一假,即“p 假 q 真”或“p 真 q 假” ,

a≤0或a≥1, ? ? 故? 1 a> ? ? 2
1 解得 a≥1 或 0<a≤ , 2

0<a<1, ? ? 或? 1 a≤ , ? ? 2

? 1? 故实数 a 的取值范围是?0, ?∪[1,+∞). ? 2?
[题点发散 1] 本例条件不变,若 p∧q 为真,则 a 的取值范围为________.

[题点发散 2]

在本例条件下,若命题 q∨(p∧q)真、┐p 真,求实数 a 的取值范围.

[题点发散 3]

若本例条件变为:已知命题 p: “? x∈[0,1],a≥e ” ;命题 q: “? x0∈R,使得 x0+4x0

x

2

+a=0” .若命题“p∧q”是真命题,求实数 a 的取值范围.

[类题通法] 根据命题真假求参数的方法步骤 (1)先根据题目条件,推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况); (2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围;

(3)最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.

对应A本课时跟踪检测?三?

一、选择题 1 1.已知命题 p:? x0∈R,sin x0< x0,则┐p 为( 2 1 A.? x0∈R,sin x0= x0 2 1 C.? x0∈R,sin x0≥ x0 2 )

1 B.? x∈R,sin x< x 2 1 D.? x∈R,sin x≥ x 2

2.(2014·重庆高考)已知命题 p:对任意 x∈R,总有|x|≥0;

q:x=1 是方程 x+2=0 的根.
则下列命题为真命题的是( A.p∧┐q C.┐p∧┐q
2 0

) B.┐p∧q D.p∧q )

3.若命题“? x0∈R,x +(a-1)x0+1<0”是真命题,则实数 a 的取值范围是( A.[-1,3] C.(-∞,-1]∪[3,+∞) B.(-1,3) D.(-∞,-1)∪(3,+∞)
2

4.已知命题 p:? x0∈R,x0-2>lg x0;命题 q:? x∈R,x +x+1>0.给出下列结论: ①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧┐q”是假命题; ③命题“┐p∨q”是真命题;④命题“p∨┐q”是假命题. 其中所有正确结论的序号为( A.②③ C.①③④ 5.下列命题中错误的个数为( ) ) B.①④ D.①②③

①若 p∨q 为真命题,则 p∧q 为真命题; ②“x>5”是“x -4x-5>0”的充分不必要条件; ③命题 p:? x0∈R,x0+x0-1<0,则┐p:? x∈R,x +x-1≥0; ④命题“若 x -3x+2=0,则 x=1 或 x=2”的逆否命题为“若 x≠1 或 x≠2,则 x -3x+2≠0” . A.1 C.3 B.2 D.4
2 2 2 2 2 2

6.(2015·太原模拟)已知命题 p:? x0∈R,ex0-mx0=0,q:? x∈R,x +mx+1≥0,若 p∨(┐q)为 假命题,则实数 m 的取值范围是( A.(-∞,0)∪(2,+∞) C.R 二、填空题 7.命题 p 的否定是“对所有正数 x, x>x+1” ,则命题 p 可写为________________________. ) B.[0,2] D.?

8.若“x∈[2,5]或 x∈(-∞,1)∪(4,+∞)”是假命题,则 x 的取值范围是________. 9.若命题“? x∈R,ax -ax-2≤0”是真命题,则实数 a 的取值范围是________. 10.下列结论: 1 2 ①若命题 p:? x0∈R,tan x0=2;命题 q:? x∈R,x -x+ >0.则命题“p∧(┐q)”是假命题; 2 ②已知直线 l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则 l1⊥l2 的充要条件是 =-3; ③“设 a,b∈R,若 ab≥2,则 a +b >4”的否命题为: “设 a,b∈R,若 ab<2,则 a +b ≤4” . 其中正确结论的序号为________.(把你认为正确结论的序号都填上) 三、解答题 11.已知命题 p:关于 x 的方程 x -ax+4=0 有实根;命题 q:关于 x 的函数 y=2x +ax+4 在[3, +∞)上是增函数.若 p 或 q 是真命题,p 且 q 是假命题,求实数 a 的取值范围.
2 2 2 2 2 2 2

a b

(1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围. (2)┐p 是┐q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.


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