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河南省洛阳市第一中学2014届高三下学期2月月考数学(文)


河南省洛阳市第一中学 2014 届高三下学期 2 月月考 数学(文)试题 第Ⅰ卷(选择题)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.) 1、设复数 z 的共轭复数为 z ,若 (2 ? i) ? z ? 3 ? i, 则z ? z的值为 (
A. 1 B. 2 ) C. )

2

D. 4

2、下列说法不正确的是(

2 A.“ ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 ”

B.命题“若 x>0 且 y>0,则 x +y>0”的否命题是假命题 C . ?a ? R, 使方程2x2 ? x ? a ? 0的两根x1 , x2 满 足 x1<1<x2” 和 “ 函 数

f ( x? )

在 l g a x ( [1,2] 1上单调递增”同时为真 ) 2 o ?
2

D.△ABC 中,A 是最大角,则 sin 2 B ? sin 2 C <sin A 是△ABC 为钝角三角形的充要条件

3、将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为 m,第二次出现的点为
n,向量 p =(m,n), q =(3,6),则向量 p 与 q 共线的概率为( A. ) D.

1 3

B.

1 4

C.

1 6

1 12

4、已知 a ? ? cos x,sin x ? , b ? ? sin x,cos x ? , 记 f ? x ? ? a ? b ,要得到函数
4 y ?si n x?c o4 s x 的图象,只需将函数 y ? f ?x ?的图象(



? 个单位长度 2 ? C.向左平移 个单位长度 4
A.向左平移

? 个单位长度 2 ? D.向右平移 个单位长度 4
B.向右平移 )

5、 f ( x) ? ?

? x 2 ? 2, x ? 0 ?3x ? 2, x ? 0

,若 | f ( x) |? ax 在 x ? [?1,1] 上恒成立,实数 a 的取值范围是( B. [0,1] C. [ ?1,0] ) D. [ ?1,0)

A. (??,?1] ? [0,??)

6、某三棱锥的三视图如上右图所示,该三棱锥的体积是(
A.

8 3

B. 4 D.

C. 2

4 3
第 1 页 共 10 页

7、下面程序框图运行后,如果输出的函数值在区间[-2,2]内
则输入的实数 x 的取值范围是( A. ? ??, ?1? C. (??, 0) )

1

B. ? , 2 ? 4

?1 ?

? ? ?1 ? , 2? ? ?4 ?

?1 ? , 2? ? ?4 ?

D. (??, ?1]

9、已知函数 f ( x) ?

x3 mx 2 ? (m ? n) x ? 1 ? 的两个极值点分别为 x1 , x2 ,且 x1 ? (0,1) , 3 2

x2 ? (1, ??) ,点 P(m, n) 表示的平面区域为 D ,若函数 y ? loga ( x ? 4)(a ? 1) 的图像上存
在区域 D 内的点,则实数 a 的取值范围为( A. ?1,3? B. ?1,3? ) C. ? 3, ??? D. ?3, ?? ?

10、设定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) , f '( x) 是 f ( x) 的导函数,当

x ??0,1? 时, 0 ? f ( x) ? 1 ;当 x ? (0, 2) 且 x ? 1 时, x( x ? 1) f '( x) ? 0 .则方程 f ( x) ? lg x 根的个数为(
A.12 B.1 6 ) C.18 D.20

11、设 F1 , F2 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左右焦点,过 F1 引圆 x2 ? y 2 ? 9 的切线 F1 P 交 9 16

双 曲 线 的 右 支 于 点 P , T 为 切 点 , M 为 线 段 F1 P 的 中 点 , O 为 坐 标 原 点 , 则

| MO | ? | MT | 等于(


第 2 页 共 10 页

A.1

B.2

C.3

D.4

12、定义域为[a,b]的函数 y=f(x)图象的两个端点为 A、B,M(x,y)是 f(x)图象上任意
一点,其中 x=λa+(1-λ)b,λ∈[0,1].已知向量 | ,若不等式

恒成立,则称函数 f(x)在[a,b]上“k 阶线性近似”.若函数 y ? x ? )

1 在 x

[1,2]上“k 阶线性近似”,则实数 k 的取值范围为( A.[0,+∞) B.[

1 3 3 ? 2 ,+∞) ,+∞) C.[ ? 2 ,+∞) D.[ 12 2 2

第Ⅱ卷(非选择题)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) ?x ? y ? 2 ? 0 ?4 x ? y ? 4 ? 0 ? x , y 满足约束条件 ? ,若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 的最大值 13、设 ?x ? 0 ? ?y ? 0
为 6 ,则 log 3 ( ? ) 的最小值为________.

1 a

2 b

14、在正三棱锥 S-ABC 中,侧面 SAB、侧面 SAC、侧面 SBC 两两垂直,且侧棱 SA ? 2 3 ,
则正三棱锥 S ? ABC 外接球的表面积为____ _.

15、如图,过抛物线 x 2 ? 4 y 焦点的直线依次交抛物线与圆 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1
于点 A、B、C、D,则 AB ? CD 的值是________.

1 m 16、 在等差数列 ?a n ?中,a1 ? 1 ,a6 ? 21, 记数列 { } 的前 n 项和为 Sn , 若 S 2 n ?1 ? S n ? an 15
对 n ? N ? 恒成立,则正整数 m 的最小值为 .

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分应写出必要的文字说明,证明过程或演 算步骤.) 1 n ?1 17、 (本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? ? an ? ( ) ? 2 (n 为正整数) 。 2
(1)令 bn ? 2n an ,求证数列 ?bn ? 是等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 cn ?

n ?1 an , Tn ? c1 ? c2 ? ........ ? cn 试求 Tn , 。 n

18、 (本小题满分 12 分).某种产品的广告费支出 x 与销售额 y(单位:万元)之间有如下对
第 3 页 共 10 页

应数据: x y 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70

(1)求回归直线方程;(2)试预测广告费支出为 10 万元时,销售额多大? (3)在已有的五组数据中任意抽取两组,求至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值

不超过 5 的概率.(参考数据: b ?

?

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

?

?

?x
i ?1

n

2

i

?nx

? 2

)

20、 (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(? 2,0) , B( 2,0) , E 为
动点,且直线 EA 与直线 EB 的斜率之积为 ? (1)求动点 E 的轨迹 C 的方程; (2)设过点 F (1, 0) 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 M , N .若点 P 在 y 轴上, 且 PM ? PN ,求点 P 的纵坐标的取值范围.

1 . 2

21、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? a ln x ?

2a 2 ? x(a ? 0) . x

(1)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 x ? 2 y ? 0 垂直,求实数 a 的值; (2)讨论函数 f ( x ) 的单调性;

第 4 页 共 10 页

(3)当 a ? (??,0) 时,记函数 f ( x ) 的最小值为 g (a ) ,求证: g (a) ?

1 2 e . 2

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答。 22、(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲
如图, D, E 分别为 ?ABC 边 AB , AC 的中点,直线 DE 交 ?ABC 的 外接圆于 F , G 两点。若 CF // AB ,证明: (1) CD ? BC ; (2) ?BCD
G D E F A

?GBD 。
B C

23.、 (本小题满分 10 分)在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建坐标系,
已 知 曲 线 C : ? sin2 ? ? 2a c o s ? (a ? 0) , 已 知 过 点 P(?2,?4) 的 直 线 l 的 参 数 方 程 为

? x ? ?2 ? ? ? ? ? y ? ?4 ? ? ?

2 t 2 ( t 为参数) ,直线 l 与曲线 C 分别交于 M , N 两点。 2 t 2

(1)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程; (2)若 | PM |, | MN |, | PN | 成等比数列,求 a 的值

24、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? m? | x ? 2 |, m ? R ,且 f ( x ? 2) ? 0 的解集为 [?1,1] 。 (1)求 m 的值; (2)解关于 x 的不等式 x ?1 ? x ? 2 ? 4m

第 5 页 共 10 页

河南省洛阳市第一中学 2014 届高三下学期 2 月月考数学 (文)试题参考答案
一、选择题:BCDDC BDABC AC 二、填空题:13、1;14、36π ;15、1;16、5 三、解答题: 17、解: (1)n=1 时, S1 ? ?an ? 1 ? 2 ? a1 ,即 a1 ? 当 n ? 2 时, Sn ?1 ? ? an ?1 ? ( )

1 2

1 2

n?2

1 ? 2, ? an ? Sn ? Sn ?1 ? ? an ? an ?1 ? ( ) n ?1 , 2

1 ? 2a n ? an ?1 ? ( ) n ?1 , 即2n an ? 2n ?1 an ?1 ? 1 . 2

bn ? 2n an ,?bn ? bn?1 ?1,即当n ? 2时,bn ? bn?1 ? 1 .
又 b1 ? 2a1 ? 1,?数列 bn ? 是首项和公差均为 1 的等差数列.

?

[来源:.Com]

? bn ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 2n an ,? an ?

n . 2n

18、解: (1)



, ,

b ? 6.5

?

于是可得: ,

因此,所求回归直线方程为: (2)根据上面求得的回归直线方程,当广告费支出为 10 万元时, (万元),即这种产品的销售收入大约为 82.5 万元。
第 6 页 共 10 页

(3)

基本事件: (30,40) , (30,60) , (30,50) , (30,70) , (40,60) , (40,50) , (40,70) , (60,50) , (60,70) , (50,70)共 10 个, 两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过 5 的有(60,50) ,

所以至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过 5 的概率为 19、解: (1)在长方体 ABCD-A 1B 1C1D 1 中,因为 A 1D 1DA ,所以 A 1B 1 ?面 A 1B 1 ? AD 1. 在矩形 A 2 ,所以 AD1 ? A1D . 1D 1DA 中,因为 AA=AD= 1 所以 AD1 ? 面 A1B1D . (2) 当点 P 是棱 AA1 的中点时, 有 DP ∥平面 B1 AE . 理由如下:在 AB1 上取中点 M ,连接 PM,ME . A 因为 P 是棱 AA1 的中点, M 是 AB1 的中点, 所以 PM ∥ A1B1 ,且 PM ? D E C

B

1 A1B1 . 2

P

M D1 C1 B1

1 又 DE ∥ A1B1 ,且 DE ? A1 B1 .所以 2
PM ∥ DE ,且 PM ? DE ,
所以四边形 PMED 是平行四边形,

A1

所以 DP ∥ ME .

又 DP ? 面 B1 AE , ME ? 面 B1 AE ,所以 DP ∥平面 B1 AE . 20、 (1)设动点 E 的坐标为 ( x, y ) ,依题意可知

A P?

1 A ?1. 1 A 2

y y 1 ? ?? , 2 x? 2 x? 2

动点 E 的轨迹 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1( x ? ? 2) . 2

(2)当直线 l 的斜率不存在时,满足条件的点 P 的纵坐标为 0 . 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) . 由题意可知 k ? 0 ,

第 7 页 共 10 页

将 y ? k ( x ? 1) 代入

x2 ? y 2 ? 1并整理得, 2

(2 k 2 ? 1x )2 ? 4 k 2 x? 2 k2 ? 2 ?. 0 ? ? 8k 2 ? 8 ? 0 .
设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

4k 2 2k 2 ? 2 , . x x ? 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

k 2k 2 设 MN 的中点为 Q ,则 xQ ? , , yQ ? k ( xQ ? 1) ? ? 2 2 2k ? 1 2k ? 1
所以 Q(

2k 2 k ,? 2 ) . 2 2k ? 1 2k ? 1 1 2k 2 ? ? ( x ? ). 2k 2 ? 1 k 2k 2 ? 1 k

又直线 MN 的垂直平分线的方程为 y ? 令 x ? 0 解得 yP ?

k 2k ? 1
2

?

1 1 2k ? k

.

当 k ? 0 时,因为 2k ?

1 1 2 ? 2 2 ,所以 0 ? yP ? ; ? k 4 2 2 1 1 2 ? ?2 2 ,所以 0 ? yP ? ? . ?? k 4 2 2

当 k ? 0 时,因为 2k ?

综上所述,点 P 纵坐标的取值范围是 [?

2 2 , ]. 4 4

(2) f ? ? x ? ?

a 2a 2 x 2 ? ax ? 2a 2 ( x ? a)( x ? 2a) ? 2 ?1 ? ? ? x ? 0? . x x x2 x2

(1)当 a ? 0 时, 由 f ?( x) ? 0 得 ( x ? a)( x ? 2a) ? 0 ,解得 x ? a ; 由 f ?( x) ? 0 得 ( x ? a)( x ? 2a) ? 0 ,解得 0 ? x ? a .

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所以函数 f ( x ) 在 ? a, ??? 上单调递增,在 ? 0, a ? 上单调递减. (2)当 a ? 0 时, 由 f ?( x) ? 0 得 ( x ? a)( x ? 2a) ? 0 ,解得 x ? ?2a ; 由 f ?( x) ? 0 得 ( x ? a)( x ? 2a) ? 0 ,解得 0 ? x ? ?2a . 所以函数 f ( x ) 在 ? 0, ?2a ? 上单调递减,在 ? ?2a, ??? 上单调递增. (3)由(Ⅱ)知,当 a ? (??,0) 时,函数 f ( x ) 的最小值为 g (a ) , 且 g (a) ? f (?2a) ? a ln(?2a) ?

2a 2 ? 2a ? a ln(?2a) ? 3a . ?2a

g ?(a) ? ln(?2a) ? a

?2 1 ? 3 ? ln(?2a) ? 2 , 令 g ?(a) ? 0 ,得 a ? ? e 2 . ?2a 2

当 a 变化时, g? ? a ? , g ? a ? 的变化情况如下表:

a

1 ( ??, ? e 2 ) 2


1 ? e2 2
0 极大值

1 (? e 2 , 0) 2


g? ? a ?

g ?a?

所以 g ? a ?最大值 ? g (?

1 2 1 1 1 e ) ? ? e 2 ln[?2 ? (? e 2 )] ? 3(? e 2 ) 2 2 2 2 1 2 3 1 ? ? e ln e 2 ? e 2 ? e 2 . 2 2 2 1 2 所以,当 a ? (??,0) 时, g (a) ? e 成立. 2

22、证明: ( 1) 、因为 D, E 分别为 AB, AC 的中点,所以 DE // BC ,又已知 CF // AB ,
故四边形 BCFD 是平行四边形,所以 CF ? BD ? AD , 而 CF // AD ,连结 AF ,所以 ADCF 是平行四边形,故 AF ? CD ,因为 CF // AD ,所 以 AF ? BC ,故 CD ? BC (2) 、因为 FG // BC ,故 GB ? CF ,由(Ⅰ)可知 CF ? BD ,所以 GB ? BD ,而

?DGB ? ?EFC ? ?DBC ,故 ?DGB
2

?DBC

23、解: (1)C: y ? 2ax, l : x ? y ? 2 ? 0 (2)将直线的参数表达式代入抛物线得

第 9 页 共 10 页

1 2 t ? (4 2 ? 2a)t ? 16 ? 4a ? 0 2 ? t1 ? t 2 ? 8 2 ? 2 2a, t1t 2 ? 32 ? 8a

| PM |?| t1 |, | PN |?| t 2 |, | MN |?| t1 ? t 2 |
| t1 ? t 2 |2 ?| t1t 2 |? (t1 ? t 2 ) 2 ? 5t1t 2
代入得 a ? 1

24、解: (1)∵ f ( x ? 2) ? m ? x ? ??∴ x ? m , ∴ m ? 0 ? ?m ? x ? m

f ( x? 2 )? 0? ? 1 ? x ?1 ? m
3 2

?1

(2)当 x ? ?1 时,原不等式可化为: 1 ? 2 x ? 4 ,解之得: x ? ? 当 ?1 ? x ? 2 时,原不等式可化为: 3 ? 4 ,此时不等式无解 当 x ? 2 时,原不等式可化为: 2 x ? 1 ? 4 ,解之得: x ? 综上:此不等式的解集为 ? x x ? ? 或x ?

5 2

? ?

3 2

5? ? 2?

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