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高中数学必做100题


必修 1P(1)

1.试选择适当的方法表示下列集合: (1)函数 合. 的函数值的集合; (2) 与 的图象的交点集

参考答案:(1)

……(3 分)

,……(5 分)

故所求集合为

.……(6 分)

(2)联立

r />,……(8 分)

解得

,……(10 分) .……(12 分) , ,求 、 、 、

故所求集合为 2.已知集合 . 参考答案:

,……(3 分) ,……(6 分) ,……(9 分) .……(12 分)

3.设全集 (1)求 参考答案: , ,

, ,

, ;

.

,……(1 分)

,……(2 分)

,……(3 分) .……(4 分) (2)求 解: , , ,……(5 分) ,……(6 分) ,……(7 分) . ……(8 分) (3)由上面的练习,你能得出什么结论?请结合 Venn 图进行分析. 解: Venn 图略. ……(12 分) 4.设集合 (1)求 , ;(2)若 , . ,求实数 a 的值;(3)若 ,则 的 ,……(9 分) . ……(10 分) , ;

真子集共有_____个, 集合 P 满足条件 参考答案:(1))①当 (2 分) ②当 ③当 分) (2):由(1)知,若 (3)若 ,则 ,则 , 或 4. ……(8 分) ,故 时, 且 时, , , ,故 ,故 , 时, , ,故

, 写出所有可能的集合 P. , ;……

;……(4 分) , . ……(6

,此时

的真子集有

7 个. ……(10 分) 又 (12 分) , 满足条件 的所有集合 有 、 . ……

5.已知函数

.

(1)求

的定义域与值域(用区间表示) (2)求证



上递减.

参考答案:(1)要使函数有意义,则

,解得

. ……(2 分)

所以原函数的定义域是

.……(3 分)

,……(5 分)

所以值域为

.……(6 分)

(2)在区间

上任取

,且

,则

……(8 分) , ……(9 分)





,……(10 分)

,……(11 分) 函数



上递减. ……(12 分)

6.已知函数 详解: ,……(3 分)

,求





的值.

,……(6 分)

.……(12 分)

7.已知函数 (1)证明 值. 在

. 上是减函数;(2)当 时,求 的最大值和最小

参考答案:(1)证明:在区间

上任取

,且

,则有……(1 分) ,……(3 分)

∵ ∴ ∴



,……(4 分) 即 ……(5 分) 上是减函数.……(6 分) 上单调递减,所以 ……(12 分)

,所以



(2)由(1)知

在区间

8.已知函数 (1)求函数 (2)判断 (3)求使 参考答案:(1) 的定义域;

其中



的奇偶性,并说明理由; 成立的 的集合. .

若要上式有意义,则 所以所求定义域为 (2)设

,即

. ……(3 分)

……(4 分) ,则 .……(7 分)

所以 (3)

是偶函数. ……(8 分) ,即 , .



时,上述不等式等价于

,解得

.……(10 分)



时,原不等式等价于

,解得

.……(12 分) ;当 时,原不等式

综上所述, 当 的解集为

时,原不等式的解集为 .

9.已知函数

.

(1)判断

的奇偶性; (2)若

,求 a,b 的值.

参考答案: (1) (6 分)

定义域为 R,

,故

是奇函数. ……

(2)由

,则

.……(8 分)

又 log3 (4a-b)=1,即 4a-b=3. ……(10 分)



,解得 a=1,b=1. ……(12 分)

10.对于函数 在实数 a 使得 参考答案:(1) 为奇函数.

. (1)探索函数

的单调性;(2)是否存

的定义域为 R,



,

则 ,

=

,……(3 分) ,……(5 分)



,所以不论 为何实数 为奇函数,

总为增函数. ……(6 分) ……(7 分)

(2)假设存在实数 a 使

即 解得: 11.(1)已知函数 零点. x f (x) -2 - 3.51 -1.5 1.02

,……(9 分) ……(12 分) 图象是连续的,有如下表格,判断函数在哪几个区间上有

-1 2.37

-0.5 1.56

0 - 0.38

0.5 1.23

1 2.77

1.5 3.45

2 4.89

(2)已知二次方程 值范围. 参考答案:(1)由 分) ,

的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),求

的取



,……(3

得到函数在(-2,-1.5)、(-0.5,0)、(0,0.5)内有零点. ……(6 分) (2)设 = ,则 =0 的两个根分别属于(-1,0)和(1,2).

所以

,……(8 分)即



……(10 分)



.……(12 分)

12.某商场经销一批进货单价为 40 元的商品, 销售单价与日均销售量的关系如下 表: 销售单价/元 日均销售量/个 50 48 51 46 52 44 53 42 54 40 55 38 56 36

为了获取最大利润,售价定为多少时较为合理?

参考答案:由题可知,销售单价增加 1 元,日均销售量就减少 2 个. 设销售单价定为 x 元,则每个利润为(x-40)元,日均销量为 由于 ,且 ,得 .……(3 分) , .…… (8 个.

则日均销售利润为 分)

易知,当

,y 有最大值. ……(11 分)

所以,为了获取最大利润,售价定为 57 元时较为合理. ……(12 分) 13.家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层. 臭氧含量 Q 呈指数函 数型变化,满足关系式 ,其中 是臭氧的初始量. (1)随时间的增

加,臭氧的含量是增加还是减少? (2)多少年以后将会有一半的臭氧消失?

参考答案:(1)∵ 分)





, ∴

为减函数. ……(3

∴ 随时间的增加,臭氧的含量是减少. ……(6 分)

(2)设 x 年以后将会有一半的臭氧消失,则 分)

,即

,……(8

两边去自然对数, 解得

,……(10 分)

.……(11 分)

∴ 287 年以后将会有一半的臭氧消失. ……(12 分) 14.某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某种产品分别为 1 万件、1.2 万件、1.3 万件, 为了以后估计每个月的产量, 以这三个月的产品数据为依据. 用一个函数模拟产 品的月产量 与月份数 的关系, 模拟函数可选用二次函数 中 为常数,且 )或指数型函数 (其中 (其 为常数),已

知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件,请问用上述哪个函数作为模拟函数较好? 并说明理由. 参考答案:当选用二次函数 ∵ ,由 的模型时, ,有

, 解得 ∴ .……(5 分) 的模型时,

,……(4 分)

当选用指数型函数 ∵ 由



,解得 ∴ .……(10 分)

, ……(9 分)

根据 4 月份的实际产量可知,选用 分) 15.如图, 的面积为 是边长为 2 的正三角形,记 . 试求函数

作模拟函数较好. ……(12

位于直线 的图象.

左侧的图形

的解析式,并画出函数

参考答案:(1)当 如图,设直线 与

时, 分别交于 、 两点,则 ,

又 ……(4 分) (2)当 如图,设直线 时, 与





分别交于



两点,则







……(8 分) (3)当 时, . ……(10 分)

……(12 分) 16.某医药研究所开发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药 后每毫升血液中的含药量 y(微克)与时间 t(小时)之间近似满足如图所示的 曲线. (1)写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y=f(t); (2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于 0.25 微克时,治疗疾病有效. 求服药一次治疗疾病有效的时间?

参考答案:(1)当 0≤t≤1 时,y=4t;……(2 分)

当 t≥1 时,

,此时

在曲线上,



,这时

. ……(5 分)

所以

.……(6 分)

(2)∵

, ……(8 分)

解得

,……(10 分)∴

.……(11 分)

∴ 服药一次治疗疾病有效的时间为 必修 2P(1) 1.圆锥底面半径为 1 cm,高为 体的棱长.

个小时. ……(12 分)

cm,其中有一个内接正方体,求这个内接正方

参考答案:过圆锥的顶点 S 和正方体底面的一条对角线 CD 作圆锥的截面,得圆 锥的轴截面 SEF,正方体对角面 CDD1 C1 ,如图所示. …………………2 分

设正方体棱长为 x,则 CC1 =x,C1 D1 作 SO EF 于 O,则 SO



,OE=1,……………………………….5 分

, ∴

,即

………..10 分



, 即内接正方体棱长为

cm……………………….12 分

2.如图(单位:cm),求图中阴影部分绕 AB 旋转一周所形成的几何体的表面积

和体积. 参考答案:由题意知, 所求旋转体的表面积由三部分组成: 圆台下底面、侧面和一半球面. ……………………………………….3 分 S 半球 =8π , S 圆台侧 =35π ,S 圆台底 =25π. 故所求几何体的表面积为 68π ………………………………………..7 分



,………9 分

…………………………………………….11 分

所以,旋转体的体积为

……12 分

3.直角三角形三边长分别是





,绕三边旋转一周分别形成三个

几何体. 想象并说出三个几何体的结构,画出它们的三视图,求出它们的表面积 和体积. 参考答案:以绕 5cm 边旋转为例,其直观图、正视图与侧视图、俯视图依次分 别为:

其表面是两个扇形的表面,所以其表面积为 -----------------3 分



体积为 分

。 ………………………………………………….4

同理可求得当绕 3cm 边旋转时, 分 得当绕 4cm 边旋转时, 分

。…………………….8

。 ……………………………….12

4.已知空间四边形 ABCD 中,E、H 分别是 AB、AD 的中点,F、G 分别是 BC、

CD 上的点,且

.

求证:(1)E、F、G、H 四点共面;(2)三条直线 EF、GH、AC 交于一点. 参考答案:证明:(1) 在△ABD 和△CBD 中,

∵ E、H 分别是 AB 和 CD 的中点, ∴ EH

BD…………….3 分

又 ∵ ∴ EH∥FG. 分

, ∴ FG

BD.

所以,E、F、G、H 四点共面.--------------------------------------------7 分 (2)由(1)可知,EH∥FG ,且 EH FG,即直线 EF,GH 是梯形的两腰, 所以它们的延长线必相交于一点 P. ……………………………9 分 ∵ AC 是 EF 和 GH 分别所在平面 ABC 和平面 ADC 的交线, 而点 P 是上述两平 面的公共点, ∴ 由公理 3 知 P AC. ………………………11 分

所以,三条直线 EF、GH、AC 交于一点……..12 分 5.如图, ∥ ∥ ,直线 与 分别交 , , 于点 和点 ,求证:

.

参考答案:证明:连结

,交



,连

…………3 分

则由



……………………7 分





………………..10 分

所以

………………………..12 分 (◎P79 B2)

6.如图,在正方体 ABCD-A1 B1 C1 D1 中.

求证:(1)B1 D⊥平面 A1 C1 B; (2)B1 D 与平面 A1 C1 B 的交点设为 H,则

点 H 是△A1 C1 B 的垂心.

参考答案:(1)连 所以 同理可证 (2)连 ,

, 面

,又 ,因此

面 。



,所以 B1 D⊥平面 A1 C1 B。……6 分 ,由 ,因此点 为 是 ,得 的外心。 的中心,

又 也是

为正三角形,所以

的重心。………….…………………. 12 分 中, ,

7.(06 年北京卷)如图,在底面为平行四边形的四棱锥 平面 (1) 求证: 的大小. ,且 ,点 是 ; (2)求证: 的中点. 平面

;(3)求二面角

(2) 参考答案:(1)∵ PA⊥平面 ABCD, ∴AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影. 又∵AB⊥AC,AC 平面 ABCD, ∴AC⊥PB. ……4 分

(2)连接 BD,与 AC 相交于 O,连接 EO.

∵ABCD 是平行四边形, ∴O 是 BD 的中点 又 E 是 PD 的中点,∴EO∥PB. 又 PB 平面 AEC,EO 平面 AEC, ∴PB∥平面 AEC……………………………..8 分

(3)

取 AD 的中点 F, 所以 易知

的中点

,连

,则 与 对应相等。

是所求二面角的平面角,且 由图可知,

为所求。……………12 分

8.已知





,求点 D 的坐标,使直线 CD⊥AB,且 CB∥AD.

参考答案:设点 D 的坐标为(x,y),由已知得,直线 AB 的斜率 KAB = 3,……………2 分.

直线CD的斜率 KCD =

, 直线CB的斜率 KCB =-2, 直线AD的斜

率 KAD =



……………………………………………………………………………8 分

由 CD⊥AB,且 CB∥AD,得

,………11 分

所以点D的坐标是(0,1)……………………………………..12 分

9.求过点

,并且在两轴上的截距相等的直线方程.

参考答案:因为直线l经过点P(2,3),且在x轴,y轴上的截距相等,所 以 (1)当直线 过原点时,它的方程为 ;……………………………5 分

(2)当直线不过原点时,设它的方程为 所以,直线 的方程为 综上,直线 的方程为

由已知得



。……………………………………….11 分 ,或者 。……………..12 分

10.三角形的三个顶点是 A(4,0)、B(6,7)、C(0,3). (1)求 BC 边上的高所在直线的方程; 方程; (3)求 BC 边的垂直平分线的方程. (2)求 BC 边上的中线所在直线的

参考答案: (1)

所以BC边上的高所在直线 的斜率为

又 过点

,所以直线 的方程为



;……………………………..4 分

(2)BC 中点坐标为 。..8 分

,所以

所在直线的方程为



(3)易知



为所

求。…………………………………….12 分 11.在 x 轴上求一点 , 使以点 、 和点 P 为顶点的三角形的面积为 10.

参考答案: 依设, 分

, 直线 AB 的方程是

。 ……….3



中,设 AB 边上的高为 ,则

,…………..7 分

设 解得

,则 P 到 AB 的距离为 或

所以

,…………….10 分

。……………………………….11 分 ,或 。……. 12 分 与 之

所以,所求点的坐标是 12.过点

有一条直线 l,它夹在两条直线

间的线段恰被点 P 平分,求直线 l 的方程. 参考答案:如图,设直线 夹在直线 之间的部分是 AB,且AB被 平分。

设点A,B的坐标分别是

,则有

,………4 分

又A,B两点分别在直线

上,所以

。…………..8 分

由上述四个式子得

,即A点坐标是

,……….11 分

所以由两点式的AB即 的方程为

。………………….12 分

13. 的方程.

的三个顶点的坐标分别是



、;

,求它的外接圆

参考答案:设所求圆的方程为

,…………….2 分

则依设有 所以,

。……………11 分 为所求。……………………….12 分 上运动,求

14.已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3),端点 A 在圆 线段 AB 的中点轨迹方程. 参考答案:圆

的圆心为 P(-1,0),半径长为 2,………….4 分

线段 AB 中点为 M(x, y). ……………………………………5 分

取 PB 中点 N,其坐标为( ∵ M、N 为 AB、PB 的中点,

,

),即 N( , )……7 分

∴ MN∥PA 且 MN= PA=1. ……………………………….9 分 ∴ 动点 M 的轨迹为以 N 为圆心,半径长为 1 的圆.

所求轨迹方程为:

……………..12 分

15.过点 方程. 参考答案:由 径

的直线 l 被圆

所截得的弦长为

,求直线 l

,所以圆心坐标为

,半

。……..3 分 因为直线 被圆所截得的弦长是 ,所以弦心距为

,……………….5 分 因为直线 过点 ,所以可设所求直线 的方程为 。….7 分 依设得 ,即

。…………………………………………………… …..10 分 所以,所求直线有两条,它们分别为



。即



。………………………..12 分 16.求圆心在直线 上,并且经过圆 的交点的圆的方程. 参考答案:解法一:设两圆交点为A,B,由方程组 与圆

,所以

,…………5 分

因此AB的中垂线方程为

。由

,所求圆心C的

坐标是

。 …………9 分



……………………10 分

所以,所求圆的方程为



…………12…………5 分

解法二:设过圆

与圆

交点的圆的方程为

,……………………4 分 即 ……………………….6 分

其圆心坐标是

,………………….8 分

因为圆心在 分

上,所以

,解得

。………10

所以,所求的圆的方程为 ……….12 分 必修 3P(1) 1.设计一个算法求

,即

的值,并画出程序框图.

参考答案: 2.对某电子元件进行寿命追踪调查,情况如下.

(1)列出频率分布表;(2)画出频率分布直方图;(3)估计元件寿命在 100~ 400 h 以内的在总体中占的比例;(4)估计电子元件寿命在 400 h 以上的在总体 中占的比例.(12 分) 参考答案:(1)样本频率分布表如右.-------3 分

(2)频率分布直方图如下.

---------6 分 (3)元件寿命在 100 h~400 h 以内的在总体中占的比例为 0.65.-----------9 分 (4)估计电子元件寿命在 400 h 以上的在总体中占的比例为 0.35.---------------12 分 3.甲、乙两种玉米苗中各抽 10 株,分别测得它们的株高如下(单位:cm): 甲:25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙:27 16 44 27 44 16 40 40 16 40 问:(1)哪种玉米的苗长得高?(2)哪种玉米的苗长得齐?(12 分)

参考答案: (1)

,

. ,即乙种玉米的苗长得高. --------------6 分 (2) ,

. ,即乙种玉米的苗长得高,甲种玉米的苗长得整齐. --------12 分

4.假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y(万元),有如下的统计 资料:

(1)回归直线方程;(2)估计使用年限为 10 年时,维修费用约是多少?(参

考:

)(12 分)

参考答案:(1)

所以回归直线方程为 (2) 分

----------9 分 ,即估计用 10 年时维修费约为 12.38 万元.----12

5.在一次商贸交易会上,商家在柜台开展促销抽奖活动,甲、乙两人相约同一天 上午去该柜台参与抽奖. (1) 若抽奖规则是从一个装有 6 个红球和 4 个白球的袋中无放回地取出 2 个球, 当两个球同色时则中奖,求中奖概率; (2)若甲计划在 9:00~9:40 之间赶 到,乙计划在 9:20~10:00 之间赶到,求甲比乙提前到达的概率.(12 分)

参考答案:(1)从袋中 10 个球中摸出 2 个,试验的结果共有 中奖的情况分为两种:

(种).

(i)2 个球都是红色,包含的基本事件数为



(ii)2 个球都是白色,包含的基本事件数为

.

所以, 中奖这个事件包含的基本事件数为 15+6=21. 因此,中奖概率为 分 (2)设两人到达的时间分别为 9 点到 10 点之间的 x 分钟、y 分钟. 用 表示每次试验的结果,则所有可能结果为 ; 记甲比乙提前到达为事件 A,则事件 A 的可能结果为 .

.----5

如图所示, 试验全部结果构成区域 Ω 为正方形 ABCD. 而事件 A 所构成区域是正 方形内的阴影部分.

根据几何概型公式,得到

.

所以,甲比乙提前到达的概率为 .------12 分 6.(2008 年韶关模拟)某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生, 将其成绩(均为整数)分成六段 , … 后画出如下部分频率

分布直方图. 观察图形的信息,回答下列问题:

(1)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图; (3)估计这次考试的及格率(60 分及以上为及格)和平均分; (3)从成绩是 80 分以上(包括 80 分)的学生中选两人,求他们选在同一组的 概率.(12 分) 参考答案:(1)因为各组的频率和等于 1,故第四组的频率: . 直方图如右所示.--------4 分 (2)依题意,60 及以上的分数所在的第三、四、五、六组,频率和为 . 所以,抽样学生成绩的合格率是 利用组中值估算抽样学生的平均分 %.

= 估计这次考试的平均分是 71 分.---------8 分 (3) ,

=71.

的人数是 15,3. 所以从成绩是 80 分以上(包括 80 分)

的学生中选两人,他们选在同一组的概率为

.--------12 分

7.(08 年广东卷.文)某初级中学共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表:

已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到初二年级女生的概率是 0.19.

(1)求 x 的值; (2) 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,问应在初三年级抽取多少名? (3)已知 y 245, z 245,求初三年级中女生比男生多的概率.(12 分)

参考答案:(1)



.-----4 分

(2)初三年级人数为 y+z=2000-(373+377+380+370)=500, 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,应在初三年级抽取的人数为:

(名).----------8 分 (3)设初三年级女生比男生多的事件为 A ,初三年级女生男生数记为(y,z); 由(2)知 ,且 ,基本事件空间包含的基本事件有:

(245,255)、(246,254)、(247,253)、……(255,245)共 11 个. 事件 A 包含的基本事件有: (251,249)、(252,248)、(253,247)、(254,246)、(255,245) 共 5 个.

---------12 分 8. (09 年广东卷.文) 随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学, 测量他们的身高 (单 位:cm),获得身高数据的茎叶图如图. (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差; (3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173 cm 的同学,求身高 为 176 cm 的同学被抽中的概率.(12 分)

参考答案:(1)由茎叶图可知:甲班身高集中于 中于 之间. 因此乙班平均身高高于甲班;-------4 分

之间,而乙班身高集

(2) 甲班的样本方差为



=57.---8 分 (3)设身高为 176cm 的同学被抽中的事件为 A; 从乙班 10 名同学中抽中两名身高不低于 173cm 的同学有: (181, 173) (181, 176) (181,178) (181,179) (179,173) (179,176) (179,178) (178, 173) (178, 176) (176,173)共 10 个基本事件,而事件 A 含有 4 个基本事件.

.--------12 分 必修 4P(1) 1.已知角 a 的终边经过 P(4,-3). (1)求 2sina-cosa 的值; 参考答案:(1)∵ ∴ , . (2)求角 a 的终边与单位圆的交点 P 的坐标. , 。。。。。。。2 分

。。。。。。6 分

∴ 2sina-cosa

.

。。。。。。。8 分

(2)角 a 的终边与单位圆的交点 P 的坐标为 分

,即

.。。。。12

2.已知

,计算:

(1)

; (2)

; (3)

; (4)

.

3.求函数

的定义域、周期和单调区间.

参考答案:(1)由

,解得

.

∴ 定义域

. 。。。。。3 分

(2)周期函数,周期 由

. 。。。。。。6 分 ,解得

∴ 函数的单调递增区间为

.。。。。。12 分

4.已知 tanα=

,计算:

(1)



(2)

.

参考答案:

5.画函数 y=3sin(2x+ 来.

),x∈R 简图,并说明此函数图象怎样由

变换而

参考答案:由五点法,列表:

描点画图,如下:。。。。。。。。。。6 分

这种曲线也可由图象变换得到,即:y=sinx

。。。。。。。。。12 分 6.某正弦交流电的电压 (单位 V)随时间 t(单位:s)变化的函数关系是 .

(1)求该正弦交流电电压 的周期、频率、振幅; (2)当 瞬时电压 ;



时,求

(3)将此电压 加在激发电压、熄灭电压均为 84V 的霓虹灯的两端,求在半个 周期内霓虹灯管点亮的时间?(说明:加在霓虹灯管两端电压大于 84V 时灯管 才发光. 取 )

参考答案:(1)周期 分

, 频率

,振幅

. 。。。。3

(2)

时,

(V);

时,

(V). 。。。。6 分

(3)由



,得

. 。。。。。9 分

结合正弦图象,取半个周期,有

,解得

.

所以,半个周期内霓虹灯管点亮的时间为 7.平面上三个力 、 、

(s).。。。。。12 分 ,

作用于一点且处于平衡状态,

, 角的大小.



的夹角为

,求:(1)

的大小; (2)





参考答案:∵三个力平衡,∴F1 +F2 +F3 =0,。。。。。。2 分

∴|F3 |=|F1 +F2 |= =





+1,。。。。。。。。。。。。。。6 分

而-F3 与 F1 的夹角可由余弦定理求得,

cos<-F3 ,F1 >= 30° . 。。10 分



,∴-F3 与 F1 的夹角为

则 F3 与 F1 的夹角为 180° -30° =150° . 。。。。。。12 分 8.已知 , ,

(1)求 与 的夹角 ; (2)若 ,且 ,试求 . =

参考答案:(1)∵ 61,

∴ ∴ (2)设



,。。。。。。4 分 .。。。。。。。。。。6 分 ,则

,解得



.。。。。。10 分

所以,



.。。。。。。。12 分

9.已知



,求

的值.

参考答案:

10.已知 值.







,求



已知

, 0<β<

, cos(

-α)=

, sin(

+β)=

, 求 sin(α+β)的值.

参考答案:∵

+β-(

-α)=

+(α+β),。。。。。。。2 分

∴ sin(α+β)=-cos[

+(α+β)]=-cos[(

+β)-(

-α)]=-[cos(

+β)cos(

-α)+sin(

+β)sin(

-α)] 。。。。。4 分



<α<

<-α<



-α<0,

0<β<



+β<π.。。。。。。6 分

∴ sin(

-α)=

=

=

,。。。。8 分

cos(

+β)=

=

=

.。。。。。10 分

由(1)得: sin(α+β)=-[

× +

× (

)]=

.。。。。。12 分

11.(1)(07 年江苏卷.11)已知 值;



,求



(2)已知



,求

的值.

参考答案:(1)∵ cos (α+β)=cosα cosβ-sinα sinβ=

①;

cos (α-β)= cosα cosβ+sinα sinβ=

②.。。。。。。。2 分

①+②得 cosα cosβ= , ②-①得 sinα sinβ= , 。。。。。14 分

∴ tanα·tanβ=

= .。。。。。。。6 分

12.已知函数

.

(1) 求它的递减区间; (2)求它的最大值和最小值.

参考答案: 13.已知函数 .

(1)求

的最小正周期; (2)当

时,求

的最小值以及取得最

小值时 x 的集合.

参考答案:

14.已知函数 (1)求常数 a 的值; (2)求使

的最大值为 1. 成立的 x 的取值集合.

参考答案:

15.(2009 年广东卷.理 16)已知向量



互相垂直,其中

. (1)求 和 的值;

(2)若

,求

的值.

参考答案:(1)∵ 与 互相垂直,则

,。。。2 分

即 分

,代入

,解得

.。。。。6



,∴

.。。。8 分

(2)∵



,∴





.。。。。。。10 分



.。。。。。12 分

16.已知 (1)求 及 ; (2)求函数

,且

. 的最小值. , 。。。。2 分

参考答案:(1)

.。。。。。4 分







.



. 。。。。6 分

(2)

. 必修 5P(1) 1.在△ABC 中,已知 , ,B=45° ,求 A、C 及 c.

参考答案:解一:根据正弦定理, ∵B=45° <90° ,且 b<a,∴A=60° 或 120° . ……(6 分)

.

……(3 分)

当 A=60° 时,C=75° ,

;……(9 分)

当 A=120° 时,C=15° , 解二:根据余弦定理, .

. ……(12 分)

将已知条件代入,整理得

,解得

. ……(6 分)



时,



从而 A=60° ,C=75° ; ……(10 分)



时,同理可求得:A=120° ,C=15°.

……(12 分)

2.在△ABC 中,若

,判断△ABC 的形状.

参考答案:





……(4 分)

化简得: ①若 ②若 所以 时, ,

,即 ,此时 ,此时 是等腰三角形; 是直角三角形, ……(12 分)

.

……(9 分)

是等腰三角形或直角三角形.

3.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A、B、C 的对边,且 a2 +b2 =c2 +

ab.

(1)求 C; (2)若

,求 A.

参考答案:(1)∵

a2 +b2 =c2 +

ab,





∴ cosC=





C=45° . ……(6 分)

(2)由正弦定理可得 ∴ sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB, ∴ ∴

, ∴ sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB, ……(9 分)

∴ sin(B+C)=2sinAcosB,

sinA=2sinAcosB.

∵ sinA≠0, ∴ (12 分)

cosB= , ∴

B=60° , A=180° -45° -60° =75°. ……

4.如图,我炮兵阵地位于 A 处,两观察所分别设于 C,D,已知△ACD 为边长等 于 a 的正三角形.当目标出现于 B 时,测得∠CDB=45° ,∠BCD=75° ,试求

炮击目标的距离 AB.(结果保留根式形式)

参考答案:在

中,



.

∴ 在 中,

. ……(5 分) ,

.



.

……(12 分)

5.如图,一架直升飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内,已知飞机的高度为海 拔 10 千米,速度为 180 千米/小时,飞行员先看到山顶的俯角为 钟后又看到山顶的俯角为 ,求山顶的海拔高度. ,经过 2 分

参考答案: 在 (3 分)

中,





. ……

根据正弦定理,





. ……(6 分)

. ……(10 分)

所以,山顶 P 的海拔高度为 6.已知数列

(千米). ……(12 分) 给出.

的第 1 项是 1,第 2 项是 2,以后各项由

(1)写出这个数列的前 5 项;

(2)利用上面的数列 列 的前 5 项.

,通过公式

构造一个新的数列

,试写出数

参考答案:⑴由

,得





……(5 分)

⑵依题意有:









.

……(12 分)

7.已知数列

的前 项和为

,求这个数列的通项公式. 这个数列是

等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?

参考答案:⑴①当

时,



……(2 分)

②当 分)

时,由



……(7



满足

,所以此数列的通项公式为

. ……(9 分)

⑵因为



所以此数列是首项为 ,公差为 2 的等差数列. ……(12 分) 8.(09 年福建卷.文 17)等比数列 (1)求数列 (2)若 及前 项和 的通项公式; 分别为等差数列 . 的公比为 , 由已知得 ……(4 分) , ,则 , . ……(6 分) ,解得 . ……(3 分) 的第 3 项和第 5 项,试求数列 的通项公式 中,已知 .

参考答案:(1)设 所以 (2)由(1)得 .

设 从而

的公差为 ,则有 .

解得 ……(10 分)

.

……(9 分)

所以数列

的前 项和

. ……(12 分)

9. 如果一个等比数列前 5 项的和等于 10,前 10 项的和等于 50,那么它的前 15 项的和等于多少? 解法一: 又 所以 . , 成等比数列,所以 ……(12 分) , ……(3 分) , ……(8 分)

解法二:设等比数列的首项为 ,公比为 ,则: = = ①,

同理 入②,得

②,因为

,所以由①得 .

,所以

,代

10.已知数列 (1)求

的前 项和为

, 是等比数列.

.

(2)求证:数列

参考答案:(1)

,解得

. ……(2 分)



,解得

.

……(5 分)

(2)

,则

, ……(8 分)

整理为 11.已知不等式 (1)求 集.

,即

,所以

是等比数列. ……(12 分) 的解集是 B. 求 的解

的解集为 A,不等式 的解集是

;(2)若不等式

参考答案:(1)解 解 得 ,所以



,所以 . ∴

. .

……(3 分) ……(6 分)

(2)由 分) ∴

的解集是

,所以

,解得

……(9

,解得解集为 R.

……(12 分)

12.某文具店购进一批新型台灯,若按每盏台灯 15 元的价格销售,每天能卖出 30 盏;若售价每提高 1 元,日销售量将减少 2 盏. 为了使这批台灯每天获得 400 元以上的销售收入,应怎样制定这批台灯的销售价格(不能低于 15 元)?

参考答案:设每盏台灯售价 元,则 即 ,所以售价在 . ……(12 分)

……(6 分)

13.电视台应某企业之约播放两套连续剧. 其中,连续剧甲每次播放时间为 80 min,广告时间为 1 min,收视观众为 60 万;连续剧乙每次播放时间为 40 min, 广告时间为 1 min, 收视观众为 20 万. 已知此企业与电视台达成协议, 要求电视 台每周至少播放 6 min 广告, 而电视台每周播放连续剧的时间不能超过 320 分钟. 问两套连续剧各播多少次,才能获得最高的收视率? 参考答案:将所给信息用下表表示.

设每周播放连续剧甲 x 次,播放连续剧乙 y 次,收视率为 z. 则目标函数为 z=60x+20y,

约束条件为

,作出可行域如右图. ……(5 分)

作平行直线系 分)

,由图可知,当直线过点 A 时纵截距

最大. ……(6

解方程组 分)

, 得点 A 的坐标为(2, 4), zmax =60x+20y=200 (万). … (11

所以,电视台每周应播放连续剧甲 2 次,播放连续剧乙 4 次,才能获得最高的收 视率. 14. 已知 为正数.

(1)若

,求

的最小值;(2)若

,求

的最大值.

参考答案:(1)∵







. ……(4 分)

当且仅当

时,上式取等号. 所以

的最小值为

. ……(6 分)

(2)

. ……(10 分)

当且仅当



时等号成立.

……(12 分)

15.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800 m3 ,深为 3 m,如果 池底每平方米的造价为 150 元,池壁每平方米的造价为 120 元,怎样设计水池 能使总造价最低?最低总造价是多少元?

参考答案:设水池底面一边的长度为 x m,则另一边的长度为 池总造价为 y 元. 根据题意,得

m,又设水

y=150×

+120(2× 3x+2× 3×



……(4 分)

=240000+720(x+



……(6 分)

≥240000+720× 2

=240000+720× 2× 40=297600. ……(9 分)

当 x=

,即 x=40 时,y 有最小值 297600.

……(11 分)

因此,当水池的底面是边长为 40 m 的正方形时,水池的总造价最低,最低总造 价是 297600 元. 16.(2005 年北京春招)经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽 车的车流量 (千辆/小时)与汽车的平均速度 (千米/小时)之间的函数关系

为:



(1)在该时段内,当汽车的平均速度 为多少时,车流量最大?最大车流量为 多少? (2)若要求在该时段内车流量超过 10 千辆/小时,则汽车的平均速度应在什么范围 内?

参考答案:(1)依题意得 当且仅当 即 时取等号.故



……(4 分)

千辆 / 小时. ……(6 分)

(2)由条件得 整理得 解得 选修 1-1P(1) 1. 已知 件,求实数 , 的取值范围.

.……(8 分) . ……(10 分)

. ……(12 分)

, 若

的必要不充分条

参考答案:∵﹁p 是﹁q 必要不充分条件, ∴

,即

.……(3 分)

解 解 即

得 变形为 .

,即:

.

……(6 分) ,解得 ,

……(9 分)



,则 的取值范围

,解得 。

. ……(12 分)

所以实数

选修 1-1P(1) 1. 设函数 (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)求函数 f(x)的极大值和极小值. 参考答案:∵ f′(x)=-x2 +4x-3=-(x-3)(x-1), ……(2 分) (1)由 f′(x)>0,解得:1<x<3;由 f′(x)<0,解得:x<1 或 x>3, 则函数 f(x)的单调递增区间为 (1, 3) , 单调递减区间为 (-∞, 1) 和 ( 3, +∞) . …… (6 分) (2)由 f′(x)=0,解得:x=1 或 x=3. 列表如下:……(9 分) x f′(x) f(x) (-∞,1) — 单调递减 ↘ 1 0 (1, 3) + 单调递增 ↗ 3 0 0 (3,+ ∞) — 单调递减 ↘ .



∴函数 f(x)的极大值为 0,极小值为- .……(12 分)

2.点 的轨迹.

与定点

的距离和它到直线

的距离的比是常数 , 求M

参考答案:设 是点

到直线

的距离,根据题意得,点

的轨迹就是

集合

,……(4 分)

由此得

。将上式两边平方,并化简,得

。即

。……(9 分) 所以,点 M 的轨迹是长轴、短轴长分别为 10、6 的椭圆。. ……(12 分)

3. 双曲线的离心率等于 程.

,且与椭圆

有公共焦点,求此双曲线的方

参考答案:椭圆 ,……(3 分)

焦点为

,根据题意得双曲线的焦点为

设双曲线的标准方程为

,且有

。……(6 分)

又由

,得

,得

,……(10 分)

所求双曲线的方程为

。……(2 分)

4. 倾斜角为

的直线 l 经过抛物线

的焦点, 且与抛物线相交于 A、 B 两点,

求线段 AB 的长. 参考答案:设 由抛物线的定义可知 。……(3 分) , 到准线的距离分别为 ,于是 ,

由已知得抛物线的焦点为 。……(6 分) 将 代入方程 ,得

,斜率

,所以直线

方程为

,化简得

。由求根公式得

,……(9 分) 于是 。所以,线段 AB 的长是 8。……(12 分)

5.当 从



变化时,方程 时, ,方程

表示的曲线的形状怎样变换? 表示圆心在原点的单位圆。……

参考答案:当 (3 分) 当 (5 分) 当 (7 分) 当 (9 分) 当 (12 分) 时, 时, 时,

, 方程

表示圆心在原点的单位圆。 ……

,方程

,得

表示与 轴平行的两条直线。……

时,

, 方程

表示焦点在 轴上的双曲线。 ……

, 方程

表示焦点在 轴上的等轴双曲线。 ……

6.一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为 52 米,拱顶距离水面 6.5 米. (1)建立如图所示的平面直角坐标系 xoy,试求拱桥所在抛物线的方程; (2)若一竹排上有一 4 米宽 6 米高的大木箱,问此木排能否安全通过此桥?

参考答案:(1)设抛物线方程 由题意可知,抛物线过点 , 解得 所以抛物线方程为 ,

.……(2 分) ,代入抛物线方程,得

. ……(6 分)

(2)把

代入,求得

. ……(9 分)



,所以木排能安全通过此桥. ……(12 分)

7.已知椭圆 C 的焦点分别为 F1 (

,0)和 F2 (2

,0),长轴长为 6,

设直线 y=x+2 交椭圆 C 于 A、B 两点. 求:(1)线段 AB 的中点坐标; (2) 弦 AB 的长.

参考答案:设椭圆 C 的方程为 =1. ……(3 分)

,由题意 a=3,c=2

,于是 b=

∴ 椭圆 C 的方程为

+y2 =1.……(5 分)

联立方程组

,消 y 得 10x2 +36x+27=0,

因为该二次方程的判别式 Δ>0,所以直线与椭圆有两个不同的交点,……(9 分)

设 A(x1 ,y1 ),B(x2 ,y2 ),则 x1 +x2 =

,故线段 AB 的中点坐标为



).……(12 分) 上求一点 P,使得点 P 到直线 的距离最短, 并求

8.在抛物线 最短距离.

参考答案:设与直线 .……(3 分)

平行,且与抛物线

相切的直线为

由 ∴

, 消x得 ,解得

.……(5 分) ,即切线为 .……(7 分)



,解得点

. ……(9 分)

∴ 最短距离

.……(12 分)

9.点 M 是椭圆 F1 MF2 的面积.

上的一点,F1 、F2 是左右焦点,∠F1 MF2 =60? ,求△

参考答案:由 根据椭圆定义,有

,得 a=8,b=6, .……(5 分)

.……(3 分)

在△F1 MF2 中,由余弦定理,得到 . 即 ,……(7 分)

, 解得 .……(10 分)

△F1 MF2 的面积为: 分) 10.(06 年江苏卷)已知三点 P(5,2)、 (1)求以 、 (-6,0)、

.……(12

(6,0). 关于

为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程;(2)设点 P、 、 、 、 ,求以 、 为焦点且过点

直线 y=x 的对称点分别为 标准方程。

的双曲线的

参考答案:(1)设所求椭圆方程为 分)

(a>b>0),其半焦距 c=6,……(2 ……(4 分)



,b2 =a2 -c2 =9. 所以所求椭圆的标准方程为



……(6 分)

(2)点 P(5,2)、F1 (-6,0)、F2 (6,0)关于直线 y=x 的对称点分别为点 P, (2,5)、 F1


(0,-6)、F2



(0,6).

……(8 分)

设所求双曲线的标准方程为

,由题意知,半焦距 c1 =6, ,b1 2 =c1 2 -a1 2 =36-20=16.



所以,所求双曲线的标准方程为 11.已知函数 (1)求函数 (2)求曲线 参考答案: (1)令 (6 分) (2)因为 所以曲线 , 在点 ,即

.……(12 分)

( 为自然对数的底). 的单调递增区间; 在点 处的切线方程. ,因此有……(3 分) ,即函数 的单调递增区间是 ;……

,……(9 分) 处的切线方程为 .……(12 分)

12.(06 年福建卷)已知函数 为 (1)求函数 .

的图象在点

处的切线方程

的解析式;(2)求函数

的单调区间.

参考答案:(1) 又 函数 的图象在点



.……(2 分) 处的切线方程为 x+2y+5=0, ……(4 分)

所求函数解析式为

.……(6 分)

(2) 当 或 时,

解得 当 时,

……(8 分)

在 增函数. ……(12 分) 13.已知 a 为实数, (2)若 (3) 若 在 ,求 和



内是减函数,在

内是

,(1)求导数 在



上的最大值和最小值; 上都是增函数,求 a 的取值范围. (☆P45 例 3) = ,所以

参考答案:(1)因为 .……(3 分)

(2)由

,得

, 此时有

所以

……(5 分)



,得



,又因为



所以 (3)



上的最大值为 ,最小值为

.……(8 分)

的图象为开口向上且过点(0,-4)的抛物线.

由条件得 .……(12 分)



,解得

. 所以 的取值范围为

14.( 2005 年全国卷 III.文)用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖 的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转 90° 角,再焊接而成 (如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?

参考答案:设容器的高为 x,容器的体积为 V,……(1 分) 则 V=(90-2x)(48-2x)x,(0<x<24)……(5 分) =4x3 -276x2 +4320x ∵V′=12 x2 -552x+4320 令 V′=12 x2 -552x+4320=0 得 x1 =10,x2 =36. ……(8 分) ∵令 V′>0 得 x>36 或 x<10 ;令 V′<0 得 10<x<36. 函数在 又 分) =0, 上递增,在 =0, 上递减. 当 x=10 时,V 有极大值 =19600.

所以当 x=10 时,V 有最大值

=19600cm .……(12

15. (2006 年江西卷) 已知函数 (1)求 a、b 的值与函数 (2)若对 参考答案:(1) 的单调区间.





时都取得极值,

时,不等式

恒成立,求 c 的取值范围. , .……(3 分)





得 a= , 当 x 变化时,

,b=-2



的变化情况如下表:

函数 (6 分)

的递增区间是 (-? , - ) 和 (1, +? ) ; 递减区间是 (- , 1) . ……

(2)

=x3 - x2 -2x+c

,……(8 分)











=c+2.

=c+2 为最大值. ……(10 分) 要使 分) 选修 1-2P(1) 在 恒成立, 只需 =c+2, 解得 c<-1 或 c>2. …… (12

1.考点:①会画散点图②能利用公式求线性回归方程 某种产品的广告费用支出 (万元)与销售额 (万元)之间有如下的对应数据:

(1)画出散点图; (2)求回归直线方程; (3)据此估计广告费用为 9 万元时,销售收入 的值. 参考公式:回归直线的方程 ,其中

.

参考答案:(1)作出散点图如下图所示:

(2) , ,

, .



, 因此回归直线方程为 (3) 时,预报 的值为 ; (万元).



2.考点:①会根据数据绘制 (独立性检验)

列连表②能利用公式判断两个量之间的相关性

甲乙两个班级均为 40 人,进行一门考试后,按学生考试成绩及格与不及格进行 统计,甲班及格人数为 36 人,乙班及格人数为 24 人. (1)根据以上数据建立一个 的列联表;

(2)试判断是否成绩与班级是否有关?

参考公式:



参考答案:(1)2× 2 列联表如下:

(2) 由 ,所以有 99.5%的把握认为“成绩与班级有关系”.

3.考点:合情推理及证明

已知

,分别求





,然后归纳猜

想一般性结论,并证明你的结论.

参考答案:由

,得





.

归纳猜想一般性结论为 证明如下:

.

4. (同上)考点:合情推理及证明 (1)若三角形的内切圆半径为 r,三边的长分别为 a,b,c,则三角形的面积

,根据类比思想,若四面体的内切球半径为 R,四个面的面积分 别为 ,则此四面体的体积 V=________. 的两边 互相

(2) (2003 年全国卷)在平面几何里有勾股定理:“设 垂直,则

.” 拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱

锥的侧面面积与底面面积之间的关系,可以得出的正确结论是:“设三棱锥 的三侧面 两两垂直,则__________.” 的 为底面的四

参考答案:(1)设四面体内切球的球心为 O,则球心 O 到四个面 距离都是 R,所以四面体的体积等于以 O 为顶点,分别以

个三棱锥体积的和.

所以,

. . 证明如下:

(2)线的关系类比到面的关系,猜测: 如图作 连 ,则 .

5.考点:综合法、分析法、反证法的步骤和格式 试分别用综合法、分析法、反证法等三种方法,证明下列结论: 已知 ,



.

参考答案:分析法:

反证法:假设 ∵ 盾. , ∴

,通分得 , 整理得

. ,这与平方数不小于 0 矛

∴ 假设不成立, 则 综合法:由 ,变形得

. .



, ∴

, 即

.

6.考点:证明方法的合理利用

已知 中项.





的等差中项,



的等比

求证:(1) 参考答案:证明:(1)∵ ∴ ①2 -②× 2, 可得 ,

; (2) 与 的等差中项是 , ②

. ,等比中项是 ,



,即

.

∴ .

, 即

.故证得

(2)要证

,只需证



即证 . 由(1)的结论,

,即证

,只需证

显然成立. 所以,

.

7.考点:①复数的运算②复数的共轭

(1)已知





,求 z.

(2)已知

,求 z 及 .

参考答案:(1)



,故

(2)

8.考点:复数的几何意义(对应复平面上的点)

已知 z 是复数,z+2i、

均为实数,且复数

在复平面上对应的点在第一

象限,求实数 a 的取值范围. 参考答案:根据题意,设复数 z=c+di, 则 z+2i=c+(d+2)i 为实数,即 ,解得 所以 .

又 而

为实数,即 对应的点在第一象限,

.

, 解得 2<a<6. 所以实数 a 的取值范围是 2<a<6. 9.考点:利用空间向量解决立体几何问题(涉及空间直角坐标系的建立、空间点 坐标的表示、空间向量数量积的运算、平面向量定理、空间向量垂直的判定) 如图, PD 垂直正方形 ABCD 所在平面, AB=2, E 是 PB 的中点, , )

. (1)建立适当的空间坐标系,写出点 E 的坐标;

(2)在平面 PAD 内求一点 F,使 EF⊥平面 PCB.

参考答案:(1)以 DA、DC、DP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间坐 标系,则 A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0). 设 P(0,0,2m),则 E(1,1,m). ∴ (-1,1,m), =(0,0,2m),





,解得

.

∴ 点 E 坐标是(1,1,1). (2)∵ 平面 PAD, ,∴ ,-1, ∴ 可设 F(x,0,z) ,-1, 0,2,-2 =(x-1,-1,z-1). 2,0, . .

∵ EF⊥平面 PCB ∵ , ∴

∴ 点 F 的坐标是(1,0,0),即点 F 是 AD 的中点. 另解:由平面向量定理,设 ,即

,即 10.考点:①求概率②求随机变量的分布列和期望 (07 年北京高考.理 18)某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益 活动(以下简称活动).该校合唱团共有 100 名学生,他们参加活动的次数统计 如图所示. (1)求合唱团学生参加活动的人均次数; (2)从合唱团中任意选两名学生,求他们参加活动次数恰好相等的概率. (3)从合唱团中任选两名学生,用 表示这两人参加活动次数之差的绝对值,

求随机变量 的分布列及数学期望



参考答案:由图可知,参加活动 1 次、2 次和 3 次的学生人数分别为 10、 和 40. (1)该合唱团学生参加活动的人均次数为

50

. (2)从合唱团中任选两名学生,他们参加活动次数恰好相等的概率为

. (3)从合唱团中任选两名学生,记“这两人中一人参加 1 次活动,另一人参加 2 次活动”为事件 , “这两人中一人参加 2 次活动, 另一人参加 3 次活动”为事件 , “这两人中一人参加 1 次活动,另一人参加 3 次活动”为事件 .易知



; 的分布列:

的数学期望:



11.考点:数学归纳法(步骤) 数列 满足 .( ,并由此猜想 , 为前 n 项和) ;(2)用数学归纳法证明(1)中的结论. ,

(1)计算 参考答案:(1)



,



,



,

猜想

.

(2)证明:①当 n=1 时,

,猜想结论成立.

②假设当 当 n=k+1 时

时结论成立,即 =2 ,

.



=

.

所以当 n=k+1 时,猜想结论成立. 由(1)和(2)可知,对一切 结论成立.

12.考点:绝对值不等式(涉及分段函数的图像) (2007 年宁夏、海南.理)设函数 (1)解不等式 (2)求函数 ; 的最小值. .

参考答案:(1)令

,则

作出函数

的图象,

它与直线

的交点为





所以

的解集为



(2)由函数

的图像可知,当

时,

取得最小值




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