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数学精华课件:抛物线的简单几何性质(1)


抛物线的简单几何性质(1)

2013年2月8日星期五

一、复习回顾:
1、抛物线的定义:
动点 M与一个定点 的距离和它到一条定直 l的距离的比 F 线 是常数 e ? 1,则这个点的轨迹是抛 物线 .
定点F是抛物线的焦点, 定直线l叫做抛物线的准线, 常数e= 是抛物线的离心率 . 1
K

y

l

d

.M .
F

y ? 2 px
2

O

x

p ? 0是焦准距

--抛物线标准方程

2、抛物线的标准方程:
标准方程

y 2 ? 2 px( p ? 0) y 2 ? ?2 px( p ? 0)
y y
F

x 2 ? 2 py( p ? 0)
y

x 2 ? ?2 py ( p ? 0)
y o x
F

图 形

.

o

x

F

.

o

x

F

o

x







线

p F ( ,0) 2 p x?? 2

F (?

p ,0) 2 p x? 2

p F (0, ) 2 p y?? 2

F (0,?

p ) 2 p y? 2

3、椭圆和双曲线的性质:

x2 y2 方程 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 性质 a b

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b

图形

范围

? a ? x ? a,?b ? y ? b

x ? ?a或x ? a, y ? R

关于x, y轴及原点对称 关于x, y轴及原点对称 A1 (?a,0), A2 (a,0) A1 (?a,0), A2 (a,0) 顶点坐标 B1 (0,?b), B2 (0, b) A1 A2叫长轴, B1B2叫短轴 A1 A2叫实轴, B1B2叫虚轴

对称性

离心率

e?

c , (0 ? e ? 1) a

e?

c , (e ? 1) a

一、抛物线的几何性质
1、范围

y

P(x,y)

由抛物线y2 =2px(p>0)


o

F(

2 px ? y ? 0 p?0
2

p ,0 ) 2

x

所以抛物线的范围为 x ? 0
抛物线在y轴的右侧,当x的值增大时,︱y︱ 也增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限 延伸。

x ?? 0

2、对称性

? ( x, y)

关于x轴

对称

( x, ? y )

y

P(x,y)

由于点( x, ? y ) 也满

o

足 y2 = 2px ,故抛物线 y2 = 2px
(p>0)关于x轴对称.

F(

p ,0 ) 2

x

3、顶点

定义:抛物线和它的轴的交点称为抛物线

的顶点。

由y2 = 2px (p>0)当 y=0时,x=0, 因此抛 物线的顶点就是坐 标原点(0,0)。

y

P(x,y)

o

F(

p ,0 ) 2

x

注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有 两个顶点不同。

4、离心率
y
P(x,y)

抛物线上的点与焦 点的距离和它到准线的 距离 之比,叫做抛物线 的离心率,由抛物线的 定义,可知e=1。

o

p F ( ,0 ) 2

x

下面请大家得出其余三种标准方程抛 物线的几何性质。

5、开口方向
y
P(x,y)

抛物线y2 =2px(p>0)的开 口方向向右。

y ? 2 px
2 2

+X,x轴正半轴,向右
-X,x轴负半轴,向左 +y,y轴正半轴,向上 -y,y轴负半轴,向下

o

F(

p ,0 ) 2

x

y ? ?2 px x ? 2 py
2 2

x ? ?2 py

特点:
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 y2=4x 限延伸,但它没有渐近线;
y2=2x y y2=x 2.抛物线只有一条对称轴,没有 2 1 y = x
4 3 2 1

P(x,y)

对称中心;
-2

2

2

4

6

8

10

-1

-2

3.抛物线只有一个顶点、
-3 -4

o

F(

p ,0 ) 2

x

一个焦点、一条准线;
-5

4.抛物线的离心率是确定的,为1;

思考:抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.

方程
图 形 范围

y2 = 2px

y2 = -2px (p>0) y l
x

x2 = 2py (p>0) y
F x

x2 = -2py (p>0) y
x l

(p>0) y
l O F

l x

F

O

O

O

F

x≥0 y∈R

x≤0 y∈R

x∈R y≥0

x∈R y≤0
关于y轴对称

对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称

顶点
焦半径

(0,0)
p ? x0 2

(0,0)
p ? x0 2

(0,0)
p ? y0 2

(0,0)
p ? y0 2
p ? ( y1 ? y2 )

焦点弦 的长度

p ? x1 ? x2

p ? ( x1 ? x2 )

p ? y1 ? y2

二、抛物线的焦点弦:

如图所示,弦AB过抛物线y 2 ? 2 px( p ? 0)的焦点F, 设A( x1 , y1 )、B ( x2 , y2 ),弦AB的中点为P(x0 ,y0 ).
从点A、B、P分别向抛物线的准线作 垂线,垂足分别为A1、B1、P,依据 1 抛物线的定义,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1| 所以|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|, 又PP是梯形AA1BB1的中位线, 1 所以|AA1|+|BB1|=2|PP|. 1 因此,我们容易得到
p1
B1 l

y
A

A1 p F B

x

抛物线的焦点弦的如下性质:
(1) | AB |? x1 ? x2 ? p ? 2 x0 ? p (2)以AB为直径的圆必与准线相切
另外,将直线方程与抛物线方程联立方程组, l 我们还可以推得以下结论:
2P (1)若直线的倾斜角为?,则 | AB |? . 2 sin ?
(2) A、B两点间的横坐标之积,纵坐标之积均为 定值,即x1x2 ? p , y1 y2 ? ? p 2 . 4
2

y
A

A1 p1
B1

?
F

p

(3)设 | AF |? m,| BF |? n, 则

1 1 2 ? ? . m n p

B

x

(4)所有的焦点弦中,通径是最短的.

通径就是过焦点且垂直于x轴的线段长为2p即为 最小值

2P 的 | AB |? 2 sin ?

y
A
F1 O F2

y

l
x
F1 O

l
A
F2

d1

B

B

x
d2

y

y

F1

.

A
O

B

.

F2

x

F1

.

A
O

B

.

F2

x

三、例题选讲:
例1. 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点

M(2, ?2 2 )的抛物线有几条,求它的标准方程.
当焦点在x[或y]轴上,开口方向不定时, 设为y2=mx(m ≠0) [或x2=my (m≠0)],可

避免讨论!

y2 ? 8x 的焦点,作倾斜角为 450 例2、(1)过抛物线

的直线,则被抛物线截得的弦长为 . (2)过抛物线的焦点做倾斜角为? 的直线L, 设L交抛物线于A,B两点,(1)求|AB|;(2)求 y |AB|的最小值.
A

思考:通径是抛物线的 焦点弦中最短的弦吗?
F B

?
x

例3、过抛物线焦点作直线交抛物线y 2 ? 2 px( p ? 0)于 A,B两点,判断与AB为直径的圆与准线的位置关系.
y

dA
A

d
O

dB

F B

?

x

例4、过抛物线焦点作直线交抛物线y 2 ? 2 px( p ? 0)于 A,B两点,设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 求证 : y1 y2 ? ? p 2 .

解:过A,B点作准线的垂线,垂足 P, Q 为
p p p ? P(? , y1 ), Q(? , y2 ), F ( ,0) 2 2 2

P

y

A

? PF ? QF

O

?

Q

F

x

? PF ? QF ? 0 即( p,? y1 ) ? ( p,? y2 ) ? 0
? p 2 ? y1 y2 ? 0
即y1 y2 ? ? p 2

B

p2 易得:x1 x2 ? 4

例5、正三角形的一个顶点 位于坐标原点,另外 两个顶点在抛物线 ? 2 px(p ? 0)上,求这个 y
2

正三角形的边长 .

y

A

O B

x

例6、过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点, 通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于 点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.
y A

F
O D B

x

作业:
1、在抛物线y2=64x上求一点,使它到直线L:4x+3y+46=0的 距离最短,并求此距离.

2、已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2,求AB中点纵坐标的最小值. 3、已知抛物线y2=2x,过Q(2,1)作直线于抛物线交于A、B,求AB中
点的轨迹方程.


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