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2014人教数学必修五【课件】2.5等比数列的前n项和(一)


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§2.5(一)

【学习目标】 1.掌握等比数列前n项和公式的推导方法. 2.会用等比数列前n项和公式解决一些简单问题. 【学法指导】
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1.推导等比数列前n项和公式的关键在于准确把握“错位相 减,消除差别”的内涵. 2.运用等比数列前n项和公式时,一定要注意“q=1”与 “q≠1”时必须使用不同的公式. 3.推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法.一般适用于 求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和.

填一填·知识要点、记下疑难点

§2.5(一)

1.等比数列前 n 项和公式:
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? a1-anq ? a1?1-qn? = ?q≠1? (1)公式:Sn=? 1-q 1-q ? na ? 1 ?q=1?

.

(2)注意:应用该公式时,一定不要忽略 q=1 的情况. a1 2.若{an}是等比数列,且公比 q≠1,则前 n 项和 Sn= (1 1-q a1 -qn)=A(qn-1).其中 A= q-1 .

填一填·知识要点、记下疑难点

§2.5(一)

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3.等比数列 1,x,x2,x3,?的前 n 项和 Sn 为 1-xn 1-xn-1 A. B. 1-x 1-x ?1-xn ? ,x≠1 C.? 1-x ?n,x=1 ? ?1-xn 1 ? ,x≠1 D.? 1-x ?n,x=1 ?


( C )

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§2.5(一)

[问题情境] 国际象棋起源于古代印度,相传有位数学家带着画有 64 个方格
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的木盘,和 32 个雕刻成六种立体形状,分涂黑白两色的木制小 玩具,去见波斯国王并向国王介绍这种游戏的玩法.国王对这 种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣,一天到晚兴致勃勃地 要那位数学家或者大臣陪他玩.高兴之余,他便问那位数学家, 作为对他忠心的奖赏,他需要得到什么赏赐呢?数学家开口说 道:“请您在棋盘上的第一个格子上放 1 粒麦子,第二个格子 上放 2 粒,第三个格子上放 4 粒,第四个格子上放 8 粒??即 每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数

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§2.5(一)

目的 2 倍,直到最后一个格子第 64 格放满为止,这样我就十分满足 了.”“好吧!”国王挥挥手,慷慨地答应了数学家的这个谦卑的请 求.国王觉得,这个要求太低了,问他:“你怎么只要这么一点东西 呢?”数学家笑着恳求道:“陛下还是叫管理国家粮仓的大臣算一
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算!”第二天,管理粮仓的大臣满面愁容地向国王报告了一个数字, 国王大吃一惊:“我的天!我哪来这么多的麦子?”这个玩具也随着 这个故事传遍全世界,这就是今日的国际象棋.假定一千粒麦的质量 为 40 g,那么,数学家要求的麦粒数的总质量究竟是多少呢?(将超过 7 000 亿吨)这实际上是求数列 1,2,4,?,263 的和.据查,目前世界年 度小麦产量约 6 亿吨,显然国王无法满足数学家的要求. 这个传说中的计算是一个等比数列的求和问题,那么等比数列的求和 公式是怎样的呢?怎样的等比数列才能应用这个公式呢?这一节我们 就来学习等比数列的求和公式.

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探究点一 等比数列前 n 项和公式的推导

§2.5(一)

探究 1 阅读教材后, 完成下面等比数列前 n 项和公式的推导过程. 设等比数列 a1,a2,a3,?,an,?,它的前 n 项和 Sn=a1+a2 +a3+?+an,由等比数列的通项公式可将 Sn 写成:
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Sn=a1+a1q+a1q2+?+a1qn-1. - a1q+a1q2+?+a1qn 1+a1qn . 则 qSn=
a1-a1qn . 由①-②得:(1-q)Sn= a1?1-qn? 当 q≠1 时,Sn= 1-q .

① ②

当 q=1 时,由于 a1=a2=?=an,所以 Sn= na1 .

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? na1 ,q=1 ? ? 综上所述,Sn=? a ?1-qn? ? 1 ? 1-q , q≠1 ? 当 q≠1 时,因为 an=a1qn 1. ?na1,q=1 ? 所以 Sn 可以用 a1,q,an 表示为 Sn=? a1-anq ? 1-q ,q≠1 ? .


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探究 2 下面提供了两种推导等比数列前 n 项和公式的方法. 请 你补充完整. 方法一 由等比数列的定义知: a2 a3 a4 an = = =?= =q. a1 a2 a3 an-1
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当 q≠1 时,由等比性质得: a2+a3+a4+?+an =q, a1+a2+a3+?+an-1

Sn-a1 即 Sn-an =q.
a1-anq a1?1-qn? 故 Sn= 1-q = . 1-q

当 q=1 时,易知 Sn= na1 .

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方法二

由 Sn=a1+a2+a3+?+an 得:

Sn=a1+a1q+a2q+?+an-1q
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(a =a1+q· 1+a2+?+an-1)
(S =a1+q· n-an)

从而得(1-q)·n= a1-anq . S
a1-anq 当 q≠1 时,Sn= 1-q ;

当 q=1 时,Sn=na1.

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探究点二 错位相减法求和 问题 教材中推导等比数列前 n 项和的方法叫错位相减法. 这种求 和方法是我们应该掌握的重要方法之一,这种方法的适用范围 可以拓展到一个等差数列{an}与一个等比数列{bn}对应项之积构 n 成的新数列求和. 下面是利用错位相减法求数列{ n}前 n 项和的 2 步骤和过程,请你补充完整. n-1 1 2 n 1 2 3 n 1 + +?+ 2n + n+1, 设 Sn= + 2+ 3+?+ n,∴ Sn= 22 23 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n 1 ∴Sn- Sn= 2+22+23+?+2n-2n+1 , 2 1 1 ?1-2n? 2 n 1 n 1 -2n+1 1 1- n- n+1 1- 2 2 即 Sn= = . 2 2

n n+2 2- n-1-2n 2 ∴Sn= = 2- 2n

1

.

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【典型例题】 7 63 例 1 在等比数列{an}中,S3= ,S6= ,求 an. 2 2 7 63 解 由已知 S6≠2S3,则 q≠1,又 S3=2,S6= 2 ,
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?a1?1-q3? 7 ? = , 2 ? 1-q 即? 6 ?a1?1-q ? 63 ? 1-q = 2 . ?
②÷ ①得 1+q3=9,∴q=2. 1 可求得 a1=2,因此 an=a1qn-1=2n-2.
小结

① ②

涉及等比数列前 n 项和时, 要先判断 q=1 是否成立, 防

止因漏掉 q=1 而出错.

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跟踪训练 1 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+S6=2S9, 求数列的公比 q.

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当 q=1 时,Sn=na1,

∴S3+S6=3a1+6a1=9a1=S9≠2S9;
a1?1-q3? a1?1-q6? a1?1-q9? 当 q≠1 时, + =2× , 1-q 1-q 1-q
得 2-q3-q6=2-2q9,∴2q9-q6-q3=0,
1 解得 q =-2,或 q3=1(舍去), 3 4 ∴q=- 2 .
3

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例 2 已知等比数列的首项为 1,项数为偶数,其奇数项的和为 85, 偶数项的和为 170,求这个数列的公比与项数.

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设此等比数列共 2n 项,公比为 q.

由于 S 奇≠S 偶,∴q≠1.

由于奇数项依次组成以 a1 为首项,以 q2 为公比的等比数列,故 a1?1-q2n? 所有奇数项之和为 S 奇= =85 ① 1-q2 a2?1-q2n? 同理可得所有偶数项之和为 S 偶= =170 ② 1-q2
②÷ ①,得 q=2,代入①得 22n=256,
解得 2n=8,所以这个数列共 8 项,公比为 2.

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§2.5(一)

小结
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本题利用了等比数列的“子数列”性质,若等比数列的项的

序号成等差数列,则对应项依次成等比数列.另外,两个等式之间 的除法运算体现了“整体消元”的方法技巧.

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跟踪训练 2 在等比数列{an}中, 1+an=66, 3an-2=128, n=126, a a S 求 n 和 q.
解 ∵a3·n-2=a1·n,∴a1an=128, a a

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?a a =128, ? 1 n 解方程组? ?a1+an=66, ? ?a =64, ?a =2, ? 1 ? 1 ? 得① 或②? ?an=2, ?an=64. ? ?

a1-anq 1 将①代入 Sn= =126,可得 q=2, 1-q
由 an=a1qn-1 可解得 n=6.
a1-anq 将②代入 Sn= =126,可得 q=2, 1-q 1 由 an=a1qn-1 可解得 n=6.故 n=6,q=2或 2.

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例 3 求和:Sn=x+2x2+3x3+?+nxn (x≠0).
解 分 x=1 和 x≠1 两种情况.
n?n+1? 当 x=1 时,Sn=1+2+3+?+n= 2 . 当 x≠1 时,Sn=x+2x2+3x3+?+nxn,
xSn=x2+2x3+3x4+?+(n-1)xn+nxn+1,

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∴(1-x)Sn=x+x +x +?+x -nx
x?1-xn? nxn+1 ∴Sn= - . ?1-x?2 1-x
?n?n+1? ? ? 2 综上可得 Sn=? x?1-xn? nxn+1 ? ? ?1-x?2 - 1-x ?
小结

2

3

n

n+1

x?1-xn? + = -nxn 1. 1-x

?x=1? . ?x≠1且x≠0?

一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数

列{anbn}的前 n 项和时,可采用错位相减法.

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跟踪训练 3 求数列 1,3a,5a2,7a3,?,(2n-1)·n-1 的前 n 项和. a

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(1)当 a=0 时,Sn=1.

(2)当 a=1 时,数列变为 1,3,5,7,?,(2n-1),

n[1+?2n-1?] 则 Sn= =n2. 2 (3)当 a≠1 且 a≠0 时,
有 Sn=1+3a+5a2+7a3+?+(2n-1)an-1
aSn=a+3a2+5a3+7a4+?+(2n-1)an




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§2.5(一)

①-②得 Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+?+2an-1-(2n-1)an,
(1-a)Sn=1-(2n-1)an+2(a+a2+a3+a4+?+an-1)
a?1-an 1? n =1-(2n-1)a +2· 1-a


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2?a-an? =1-(2n-1)a + , 1-a 1-?2n-1?an 2?a-an? 又 1-a≠0,∴Sn= + . 1-a ?1-a?2
n

?1 ? ?n2 综上,Sn=? n n ?1-?2n-1?a 2?a-a ? + ? 1-a ?1-a?2 ?

?a=0? ?a=1? ?a≠0且a≠1?

.

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§2.5(一)

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1.设数列{(-1)n}的前 n 项和为 Sn,则 Sn 等于 + n[?-1?n-1] ?-1?n 1+1 A. B. 2 2 ?-1?n+1 ?-1?n-1 C. D. 2 2 ?-1?[1-?-1?n] ?-1?n-1 解析 Sn= = . 2 1-?-1?

( D )

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§2.5(一)

2.等比数列{an}的各项都是正数,若 a1=81,a5=16,则它 的前 5 项的和是
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( B ) D.275

A.179

B.211 C.243 a5 16 2 4 2 4 解析 ∵q =a =81=(3) ,∴q=3, 1 2 a1-a5q 81-16×3 ∴S5= = =211. 2 1-q 1- 3

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3 3 9 3.在等比数列{an}中,已知 a3= ,S3= ,则 a1=______. 2或 6 2 2

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3 解析 当 q=1 时,S3=3a3,符合题意,此时 a1= ; 2 9 3 当 q≠1 时,由 S3= ,a3= , 2 2 ?a1?1-q3? 9 ? =2 ① ? 1-q 得? ? 2 3 ② ?a1q =2 ? 1 由①÷ ②得 2q2-q-1=0,∴q=-2.
3 a3 2 ∴a1= 2= =6. q 1 4

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§2.5(一)

(n-1)· +2 2 4.求和:1×21+2×22+3×23+?+n·n=______________. 2

n+1

解析 设 Sn=1×21+2×22+3×23+?+n·n 2
则 2Sn=1×22+2×23+?+(n-1)×2n+n·n+1 2
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2?1-2n? ∴-Sn=21+22+23+?+2n-n·n+1= 2 -n·n+1 2 1-2 =2n+1-2-n·n+1=(1-n)·n+1-2 2 2

∴Sn=(n-1)·n+1+2. 2

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§2.5(一)

1. 在等比数列的通项公式和前 n 项和公式中, 共涉及五个量: a1,an,n,q,Sn,其中首项 a1 和公比 q 为基本量,且“知
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三求二”. 2.前 n 项和公式的应用中,注意前 n 项和公式要分类讨论, 即 q≠1 和 q=1 时是不同的公式形式,不可忽略 q=1 的 情况. 3.一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列且公比 为 q,求数列{an·n}的前 n 项和时,可采用错位相减的方 b 法求和.


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