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人教版高一对数、指数的运算练习及答案


对数的运算公式,幂的运算公式.
1.幂的有关概念: (1)正整数指数幂: a = (3)负整数指数幂: a (4)正分数指数幂: a (5)负分数指数幂: a
?p n

( n ? N ).
*

(2)零指数幂: a0 ? 1(a ?

).

?

/>(a ? 0, p ? N * ) . (a ? 0, m,n ? N *且n ? 1) (a ? 0, m,n ? N *且n ? 1)

m n m n

? ?

?

(6)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. 2.根式:
* (1)如果一个数的 n 次方等于 a n ? 1且n ? N ,那么这个数叫做 a 的 n 次方根.

?

?

(2)0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0 . (3)式子 n a 叫做根式,n 叫做根指数,a 叫做被开方数. (4)

? a?
n

n

?

. . (6)当 n 为偶数时,
n

(5)当 n 为奇数时, n an = 3.指数幂的运算法则: (1) a ? a =
r s

an =

=

.

(a ? 0, r , s ? R) .

(2)

ar = as
s

(a ? 0, r , s ? R) .
(a ? 0, r , s ? R) .

(3) ? ab ? =
r

r (a ? 0 ,b ? 0 r ,? R . ) (4) ? a ? =

二.对数
1.对数的定义:如果 a ? N (a ? 0且a ? 1),那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数,记作
b

,

其中 a 叫做 , 2.对数的运算法则:

叫做真数.

若 a ? 0且a ? 1 , M ? 0, N ? 0 ,那么 (1) loga MN = (3) loga M = 3.特殊对数: (1) loga1 = ; (2) loga a = . (其中 a ? 0且a ? 1)
n

. .

(2) log a

M = N

.

4.对数的换底公式及对数恒等式

(1) a

loga N

=

(对数恒等式).

(2) loga N ?

logb N (换底公式); logb a
(换底公式的推论)

(3) loga b ?

1 ; logb a

logan N m ?

【基础练习】
1.对于 a ? 0, a ? 1 ,下列说法中,正确的是( (1)若 M=N,则 loga M ? loga N ; (2)若 loga M ? loga N ,则 M=N; (3)若 loga M 2 ? loga N 2 ,则 M=N; (4)若 M=N,则 loga M 2 ? loga N 2 . A.(1)(3) B.(2)(4) C.(2) D. (1)(2)(3)(4) ) )

2.若 a ? 0, a ? 1 ,且 x>0,y>0,x>y,则下列式子中正确的个数有(

(1) loga x ? loga y ? loga ? x ? y ? ;(2) loga x ? loga y ? loga ? x ? y ? ; (3) log a ?

?x? ? ? log a x ? log a y ;(4) loga ? xy ? ? loga x ? loga y ? y?
D.3 个

A.0 个 B.1 个 C.2 个 3.下列各式中成立的一项是( )
1 ?n? 7 7 A. ? ? ? n m ?m?
3 2

7

B. 12 ? ?3? ? 3 ?3
4

C. 4 x ? y ? ? x ? y ? 4
3 3

3

D.

3

9 ?33

4.化简 a ? a

3

?3

?

?a ?

1 ?5 ? 2

? ?1 ? 2 ?a ? = ? ?

13

.

【典例分析】
题型一:指数幂的运算 例 1. 化简下列各式:
2 ? ? (1) ? 0.027 3 ? ? ? ?1.5

1000 27
? 1 3

3 ? 2 1 ? ? ? (2) ? x 3 ? y 4 ? z ?1 ? ? ? x ?1 ? y 4 ? z 3 ? ? ? ? ?

xz ?2

(3) a

3

7 2

a

?3

?

3

a ? a
3

?8

15

a

?

1 2

变式训练 1:化简

3

a

?

9 2

? 3 a ?2 ? ? ?2 ?

3

a ?7 ? 3 a13 ? ? ?

25 1 ? 12 a 2

例 2 . 化简

x ?1 x ? x ?1
2 3 1 3

?

x ?1 x ?1
1 3

?

x ? x3 x ?1
1 3

1

?x3

1

变式训练 2:化简(1) a ? a
3

?

?3

?? a

3

4 ?4 ?1 ? ? a ?3 ? ? ? ?? a ? a ? 1?? a ? a ??

a ? a ?1

(2) x ?1 ? x ? 1 ? x

?

?

? ?

?

1 2

1 ? ? x2 ? ?

x

?

3 2

? x2

3

题型二:对数式的运算
1

例 3.计算(log3 3 2 )2- 3

? log3 2

+log0.25

1 +9log5 5 - l o g2 3 4

27

9 2

变式训练 3: 化简或求值: (1) ??1 ? log 6 3? ? log 6 2 ? log 6 18? ? log 6 4
2

?

?

1

(2) log

2

?

6?4 2 ? 6?4 2

?

4

例 4.已知 log18 9 ? a,18b ? 5 ,求 log36 25 (用 a,b 表示). .
1? a ? b 2(1? b )

2b 2?a

变式训练 4:设 60 ? 3,60 ? 5, 试求 12
a b

的值.

2

题型三:综合应用
例 5.若正整数 m 满足 10
m -1

? 2512 ? 10m ,则 m=

? lg 2 ? 0.3010? .

155

变式训练 5:(1)已知 3 ? 5 ? c ,且
a b

1 1 ? ? 2 ,则 c 的值为( a b

)

B

A.2

B. 15

C.4

D. 30

(2)方程的 log 1 (9x?1 ? 5) ? log 1 3x?1 ? 2 解是
2 2

.

log3 15


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