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等比数列


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环 球 雅 思 教 育 学 科 教 师 讲 义
讲义编号: 副校长/组长签字: 签字日期:

学 员 编 号 : 学 员 姓 名 : 课 题
等比数列



级 :高二






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:3

辅 导 科 目 :数学

学 科 教 师 :武爽

授课日期及时段 教 学 目 的 重 难 点









【基础知识巩固】
一、基本概念与公式: 1、等比数列的定义;如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列 称为等比数列,这个常数称为等比数列的公比. 2、等比数列的通项公式: (1) a n ? a1 q n ?1 ; (2) a n ? a m q n ?m .(其中 a1 为首项、 a m 为第 m 项, a n ? 0 ; m, n ? N ? ) 3、等比数列的前 n 项和公式:当 q=1 时,Sn=n a1 当 q≠1 时,Sn=
a1 (1 ? q n ) a ? an q = K ? q n ? K , Sn= 1 1? q 1? q

(是关于 n 的正比例式);

4、在 a 与 b 中间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等比数列,则 G 称为 a 与 b 的等比中项.若 G 2 ? ab ,则 称 G 为 a 与 b 的等比中项 三、有关等比数列的几个特殊结论 1、等比数列 ?a n ?中,若 m ? n ? p ? q(m, n, p, q ? N ? ) ,则 a m ? a n ? a p ? a q 注意:由 S n 求 an 时应注意什么?

n ? 1 时, a1 ? S1 ; n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 .
2、等比数列 ?a n ?中的任意“等距离”的项构成的数列仍为等比数列.
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3、公比为 q 的等比数列 ?a n ?中的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、 S4m - S3m、??(Sm≠0)仍为等比数列,公比为 q m .
?a ? k 4、若 ?a n ?与 ?bn ?为两等比数列,则数列 ?k an ?、 a n 、 ?a n ? bn ?、 ? n ? ? bn ?

? ?

( k ? 0 , k 为常数)仍成等比数列. 5、若 ?a n ?为等差数列,则 c an

? ? (c>0)是等比数列.

6、若 ?bn ? ?bn ? 0 ? 为等比数列,则 ?log c bn ? (c>0 且 c ? 1) 是等差数列. 7、在等比数列 ?a n ?中: (1)若项数为 2n ,则
S偶 S奇 ?q

(2)若项数为 2n ? 1 ,则

S 奇 ? a1 S偶

?q

8、数列 ?a n ?是公比不为 1 的等比数列 ? 数列 ?a n ?前 n 项和 Sn= A ? q n ? A , (q ? 1, A ? 0) 等差数列 定义 递推公 式 通项公 式 中项 前 n 项 和
a n?1 ? a n ? d

等比数列
a n ?1 ? q(q ? 0) an
a n ? a n?1q ; a n ? a m q n ? m
a n ? a1 q n?1 ( a1 , q ? 0 )
G ? ? a n ? k a n ? k (a n ? k a n ? k ? 0) ( n, k ? N * , n ? k ? 0 )

a n ? a n?1 ? d ; a n ? a m?n ? md

a n ? a1 ? (n ? 1)d

A?

a n?k ? a n? k ( n, k ? N * , n ? k ? 0 ) 2 n (a1 ? a n ) 2

Sn ?

n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

?na1 (q ? 1) ? S n ? ? a1 1 ? q n a ?a q ? 1 n (q ? 2) ? 1? q ? 1? q

?

?

重要性 质

am ? an ? a p ? aq (m, n, p, q ? N * , m ? n ? p ? q)

am ? an ? a p ? aq (m, n, p, q ? N * , m ? n ? p ? q)

9、等比数列的判定方法 (1) n=an-1·q(n≥2) 是不为零的常数,an-1≠0 、a ,q (2) n2=an-1·an+1(n≥2, an-1,an,an+1≠0) 、a
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{an}是等比数列.

{an}是等比数列.
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(3) n=c·qn(c,q 均是不为零的常数) 、a 10、等比数列的前 n 项和的性质

{an}是等比数列.

(1) 、若某数列前 n 项和公式为 Sn=an-1(a≠0,±1),则{an}成等比数列. (2) 、若数列{an}是公比为 q 的等比数列,则 Sn+m=Sn+qn·Sm.

(3) 、在等比数列中,若项数为 2n(n∈N*),则 (4) 、Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等比数列.

【典型例题分析】
【例 1】 已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和,Sn=pn(p∈R,n∈N*),那么数列{an}.[ B.当 p≠0 时是等比数列 D.不是等比数列 ] A.是等比数列 C.当 p≠0,p≠1 时是等比数列 分析

由 Sn=pn(n∈N*),有 a1=S1=p,并且当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=pn-pn-1=(p-1)pn-1

? ? ?p≠ 0 ? 故a 2 = (p-1)p,因此数列{a n }成等比数列 ? ?p-1≠ 0 ? n ?1 p( p ? 1) ? (p ? 1)p n?2 ? ? ( p ? 2) p p ?
但满足此条件的实数 p 是不存在的,故本题应选 D. 说明 数列{an}成等比数列的必要条件是 an≠0(n∈N*),还要注

意对任n∈N * ,n≥ 2 ,
【例 2】 解

an 都为同一常数是其定义规定的准确含义. a n?1

已知等比数列 1,x1,x2,?,x2n,2,求 x1·x2·x3·?·x2n.

∵1,x1,x2,?,x2n,2 成等比数列,公比 q ∴2=1·q2n+1

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中国教育培训领军品牌 x1x2x3?x2n=q·q2·q3?q2n=q1+2+3+?+2n = q
2n(1+2n) 2

? q n ( 2 n ?1) ? 2 n

1 (2)已知 a3·4·5=8, a2a3a4a5a6 a a 求 【例3】 等比数列{a n }中,(1) 已知a 2 = 4 ,a 5 =- ,求通项公 式; 2
的值.

解 (1)a 5 = a 2 q 5?2 ∴q = -

1 2

1 1 ∴a n =a 2 q n ? 2 = 4( - ) n ? 2 = ( ? ) n ? 4 2 2 2 (2) ∵a 3 ·a 5 =a 4 a 3 ·a 4 ·a 5 =a 3 = 8 4
∴a4=2

又a 2 a 6 =a 3 a 5 =a 2 4 ∴a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 = a 5 = 32 4
【例 4】 已知 a>0,b>0 且 a≠b,在 a,b 之间插入 n 个正数 x1,x2,?,xn,使得 a,x1,x2,?,xn,b 成

等比数列,求 证 n x1 x 2 ?x n < 证明

a?b . 2

设这 n+2 个数所成数列的公比为 q,则 b=aqn+1

∴q n ?1 ?

b a
n ?1 2

∴ n x 1 x 2 ?x n ? n aqaq 2 ?aq n ? aq ? ab <
【例 5】

a?b 2

设 a、b、c、d 成等比数列,求证:(b-c)2+(c-a)2+(d-b)2=(a-d)2.

证法一 ∵a、b、c、d 成等比数列



a b c ? ? b c d

∴b2=ac,c2=bd,ad=bc

∴左边=b2-2bc+c2+c2-2ac+a2+d2-2bd+b2 =2(b2-ac)+2(c2-bd)+(a2-2bc+d2) =a2-2ad+d2=(a-d)2=右边 证毕. 证法二 ∵a、b、c、d 成等比数列,设其公比为 q,则:b=aq,c=aq2,d=aq3

∴左边=(aq-aq2)2+(aq2-a)2+(aq3-aq)2=a2-2a2q3+a2q6=(a-aq3)2=(a-d)2=右边

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中国教育培训领军品牌 证毕. 说明 这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目.证法一是抓住了求证式中右边没有 b、c 的特点,走 的是利用等比的条件消去左边式中的 b、c 的路子.证法二则是把 a、b、c、d 统一化成等比数列的基本元素 a、q 去解决的.证法二稍微麻烦些,但它所用的统一成基本元素的方法,却较证法一的方法具有普遍性. 【例 6】 求数列的通项公式: (1){an}中,a1=2,an+1=3an+2 (2){an}中,a1=2,a2=5,且 an+2-3an+1+2an=0 思路:转化为等比数列.

解 (1)a n+1 = 3a n +2 ? a n+1 +1 = 3(a n +1)
∴{an+1}是等比数列 ∴an+1=3·3n-1 ∴an=3n-1

(2)a n+2 -3a n+1 +2a n = 0 ? a n+2 -a n+1 = 2(a n+1 -a n )
∴{an+1-an}是等比数列,即 an+1-an=(a2-a1)·2n-1=3·2n-1 再注意到 a2-a1=3,a3-a2=3·21,a4-a3=3·22,?,an-an-1=3·2n-2,这些等式相加,即可以得到

a n = 3[1+ 2 +2 +?+2
2

n-2

2 n?1 ? 1 ] = 3· = 3(2 n ?1 -1) 2 ?1

说明

解题的关键是发现一个等比数列,即化生疏为已知.(1)中发现{an+1}是等比数列,(2)中发现{an+1-an}是

等比数列,这也是通常说的化归思想的一种体现.
2 【例7】 若实数a 1 、a 2 、a 3 、a 4 都不为零,且满足 (a 1 +a 2 )a 2 - 2a 2 2 4

(a 1 +a 3 )a 4 +a 2 +a 2 = 0求证:a 1 、a 2 、a 3 成等比数列,且公比为a 4 . 2 3
证 ∵a1、a2、a3、a4 均为不为零的实数
2 ∴ (a 1 +a 2 )x 2 - 2a 2 (a 1 +a 3 )x+a 2 +a 2 = 0为实系数一元二次方程 2 2 3 2 等式 (a 1 +a 2 )a 2 - 2a 2 (a 1 +a 3 )a 4 +a 2 +a 2 = 0说明上述方程有实数根a 4 . 2 4 2 3

∴上述方程的判别式Δ ≥0,即
2 [ -2a 2 (a 1 +a 3 )]2 -4(a 1 +a 2 )(a 2 +a 2 ) 2 2 3

= -4(a 2 -a 1a 3 ) 2 ≥0 2 ∴(a 2 -a 1a 3 ) 2 ≤0 2
又∵a1、a2、a3 为实数

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∴ (a 2 -a 1a 3 ) 2 ≥ 0 2 必有a 2 -a 1a 3 = 0即a 2 = a 1a 3 2 2
因而 a1、a2、a3 成等比数列

又∵a 4 =

2a 2 (a 1 ? a 3 ) a 2 (a 1 ? a 3 ) a 2 ? 2 ? 2 a1 2( a 1 ? a 2 ) a 1 ? a 1a 3 2

∴a4 即为等比数列 a1、a2、a3 的公比. 【例 8】 若 a、b、c 成等差数列,且 a+1、b、c 与 a、b、c+2 都成等比数列,求 b 的值. 解 设 a、b、c 分别为 b-d、b、b+d,由已知 b-d+1、b、b+d 与 b-d、b、b+d+2 都成等比数列,有

?b 2 = (b-d+1)(b+d) ? ? 2 ?b = (b-d)(b+d+ 2) ?
∴b+d=2b-2d 即 b=3d

① ②

? b 2 = b 2 - d 2 + b+ d ? 整理,得 ? 2 ?b = b 2 -d 2 + 2b- 2d ?

代入①,得 9d2=(3d-d+1)(3d+d) 【例 9】

9d2=(2d+1)·4d

解之,得 d=4 或 d=0(舍)

∴b=12

已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是 d,又知 d≠1,且 a4=b4,a10=b10: (2)b16 是不是{an}中的项?

(1)求 a1 与 d 的值;

思路:运用通项公式列方程

?a 1 + 3d = a 1d 3 ?a 4 = b 4 ? 解 (1) 由 ? ?? ?a 1 + 9d = a 1d 9 ?a 10 = b 10 ? ?a 1 (1-d 3 ) = - 3d ? ?? ?a 1 (1-d 9 ) = - 9d ?

? d 6 +d 3 - 2 = 0 ? d 1 ? 1( 舍 ) 或d 2 ? 3 ? 2 ∴a 1 ? ?d ? 3 2 d ? ?3 2

(2)∵b16=b1·d15=-32b1

且a 4 = a 1 +3d = ?23 2 = b 4 b 4 = b 1 ·d 3 = -2b 1 = -23 2 ∴b1 = a 1 = 3 2
∴b16=-32b1=-32a1,如果 b16 是{an}中的第 k 项,则-32a1=a1+(k-1)d ∴(k-1)d=-33a1=33d ∴k=34 即 b16 是{an}中的第 34 项.

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1 21 【例10】 设{a n }是等差数列,b n = ( ) a n ,已知b 1 +b 2 +b 3 = , 2 8 1 b 1 b 2 b 3 = ,求等差数列的通项. 8
解 设等差数列{an}的公差为 d,则 an=a1+(n-1)d

1 a ? ( n ?1) d ∴b n = ( ) 1 2 1 1 1 b 1 b 3 = ( ) a1 · ( ) a1 +2d = ( ) 2(a1 +d) b 2 2 2 2 2
1 1 1 ,解得b 3 = ,解得b 2 = ,代入已知条件 2 8 8 2 1 1 ? ? ?b 1 b 2 b 3 = 8 ?b 1 b 3 = 4 ? ? 整理得 ? ? ?b ? b ? b ? 21 ?b +b = 17 1 2 3 3 ? ? 8 8 ? ? 1 由b 1 b 2 b 3 =
解这个方程组,得

b1 = 2 ,b 3 =

1 1 或b1 = ,b 3 = 2 8 8

∴a1=-1,d=2 或 a1=3,d=-2 ∴当 a1=-1,d=2 时,an=a1+(n-1)d=2n-3 当 a1=3,d=2 时,an=a1+(n-1)d=5-2n

【例 11】 三个数成等比数列,若第二个数加 4 就成等差数列,再把这个等差数列的第 3 项加 32 又成等比数列, 求这三个数. 解法一 按等比数列设三个数,设原数列为 a,aq,aq2

由已知:a,aq+4,aq2 成等差数列 即:2(aq+4)=a+aq2 a,aq+4,aq2+32 成等比数列 即:(aq+4)2=a(aq2+32) ①

? aq+2 = 4a



2 ? ?a = 2 ?a = 9 ①,②两式联立解得: ? 或? ?q = 3 ?q = -5 ? 2 10 50 ∴这三数为: 2 , 6,18或 , ? , . 9 9 9
解法二 按等差数列设三个数,设原数列为 b-d,b-4,b+d 环球雅思 由已知:三个数成等比数列

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中国教育培训领军品牌 即:(b-4)2=(b-d)(b+d)

? 8b-d 2 = 16



b-d,b,b+d+32 成等比数列 即 b2=(b-d)(b+d+32)

? 32b-d 2 -32d = 0



26 ? ?b = 9 ?b = 10 ? ①、②两式联立,解得: ? 或? ?d = 8 ?d = 8 ? 3 ? 2 10 50 ∴三数为 , ? , 或 2 , 6,18. 9 9 9
解法三 任意设三个未知数,设原数列为 a1,a2,a3

由已知:a1,a2,a3 成等比数列 a1,a2+4,a3 成等差数列 a1,a2+4,a3+32 成等比数列

得:a 2 = a 1a 3 2
得:2(a2+4)=a1+a3 得:(a2+4)2=a1(a3+32)


② ③

2 ? ?a 1 = 9 ? 10 ? ①、②、③式联立,解得: ?a 2 = ? 9 ? 50 ? ?a 3 = 9 ?
说明

?a 1 = 2 ? 或 ?a 2 = 6 ?a = 18 ? 3

将三个成等差数列的数设为 a-d,a,a+d;将三个成

a 等比数列的数设为a,aq,aq 2 ( 或 ,a,aq) 是一种常用技巧,可起到 简化计算过程的作用. q
【例 12】 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是 16,第 二个数与第三个数的和是 12,求这四个数. 分析 本题有三种设未知数的方法 方法一 设前三个数为 a-d,a,a+d,则第四个数由已知条 件可推得:

(a ? d ) 2 a

方法二

设后三个数为 b,bq,bq2,则第一个数由已知条件推得为 2b-bq.

方法三 设第一个数与第二个数分别为 x,y,则第三、第四个数依次为 12-y,16-x.由这三种设法可利用余下 的条件列方程组解出相关的未知数,从而解出所求的四个数,

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? (a ? d ) 2 (a ? d ) 2 = 16 ?a-d+ a 解法一 设前三个数为a-d,a,a+d,则第四个数为 . 依题意,有 ? a ?a+ (a+d) = 12 ?

?a 2 = 9 ?a 1 = 4 解方程组得: ? 或 ? ?d 1 = 4 ?d 2 = - 6
所求四个数为:0,4,8,16 或 15,9,3,1. 解法二 设后三个数为:b,bq,bq2,则第一个数为:2b-bq

?b 2 = 9 ?2b-bq+bq 2 = 16 ?b 1 = 4 ? 依题意有: ? 解方程组得: ? 或? 1 ?q 1 = 2 ?b+bq = 12 ?q 2 = 3 ?
所求四个数为:0,4,8,16 或 15,9,3,1. 解法三 设四个数依次为 x,y,12-y,16-x.

? x+ (12 -y) = 2y ?x 1 = 0 ?x 2 = 15 依题意有 ? 解方程组得: ? 或 ? 2 ?y 1 = 4 ?y 2 = 9 ? y· (16-x) = (12 -y)
这四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1. 【例 13】 已知三个数成等差数列,其和为 126;另外三个数成等比数列,把两个数列的对应项依次相加,分别得 到 85,76,84.求这两个数列. 解 设成等差数列的三个数为 b-d,b,b+d,由已知,b-d+b+b+d=126 ∴b=42 这三个数可写成 42-d,42,42+d. 再设另三个数为 a,aq,aq2.由题设,得

?a+42 -d = 85 ?a-d = 43 ? ? 整理,得 ?aq = 34 ?ap+42 = 76 ? 2 ? 2 ?aq +42 +d = 84 ?aq +d = 42
解这个方程组,得 a1=17 或 a2=68 当 a=17 时,q=2,d=-26

① ② ③

当a = 68时,q =

1 ,d = 25 2

从而得到:成等比数列的三个数为 17,34,68,此时成等差的三个数为 68,42,16;或者成等比的三个数为 68,34,17,此时成等差的三个数为 17,42,67. 【例 14】 已知在数列{an}中,a1、a2、a3 成等差数列,a2、a3、a4 成等比数列,a3、a4、a5 的倒数成等差数列, 证明:a1、a3、a5 成等比数列. 证明 由已知,有 2a2=a1+a3 ①

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a 2 = a 2 ·a 4 3 2 1 1 ? ? a4 a3 a5

② ③

由③,得a 4 = 由①,得a 2 =

2a 3 ·a 5 a3 + a5

a1 + a 3 代入②,得 2 a1 + a 3 2 a 3 ·a 5 a2 = · 3 2 a3 ? a5
a 5 (a 1 + a 2 ) a3 + a5
即 a3(a3+a5)=a5(a1+a3)

整理,得a 3 =

a 2 +a 3 a 5 = a 1 a 5 +a 3 a 5 3 ∴a 2 = a 1 ·a 5 3
所以 a1、a3、a5 成等比数列. 【例 15】 已知(b-c)logmx+(c-a)logmy+(a-b)logmz=0.

(1)设 a,b,c 依次成等差数列,且公差不为零,求证:x,y,z 成等比数列. (2)设正数 x,y,z 依次成等比数列,且公比不为 1,求证:a,b,c 成等差数列. 证明 (1)∵a,b,c 成等差数列,且公差 d≠0 ∴b-c=a-b=-d,c-a=2d 代入已知条件,得:-d(logmx-2logmy+logmz)=0 ∴logmx+logmz=2logmy ∴y2=xz

∵x,y,z 均为正数 ∴x,y,z 成等比数列 (2)∵x,y,z 成等比数列且公比 q≠1 ∴y=xq,z=xq2 代入已知条件得: (b-c)logmx+(c-a)logmxq+(a-b)logmxq2=0 变形、整理得:(c+a-2b)logmq=0 ∵q≠1 ∴logmq≠0 ∴c+a-2b=0 即 2b=a+c 即 a,b,c 成等差数列

【重点知识巩固】
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中国教育培训领军品牌 1、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为等比数列,这个常数称为等 比数列的公比. 2、在 a 与 b 中间插入一个数 G ,使 a , G , b 成等比数列,则 G 称为 a 与 b 的等比中项.若 G ? ab ,则称 G 为 a 与
2

b 的等比中项.
3、若等比数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公比是 q ,则 an ? a1q 4、通项公式的变形:① an ? am q
n?m

n ?1


n ?1

;② a1 ? an q

?? n ?1?

;③ q

?

an a n?m ;④ q ? n . a1 am

5、 ?an ? 是等比数列, m ? n ? p ? q( m 、n 、p 、q ? ? ) 则 am ? an ? a p ? aq ; ?an ? 是等比数列, 2n ? p ? q 若 且 , 若 且
* * ( n 、 p 、q ? ? ) ,则 an ? a p ? aq ;下角标成等差数列的项仍是等比数列;连续 m 项和构成的数列成等比数列。
2

?na1 ? q ? 1? ? 6、等比数列 ?an ? 的前 n 项和的公式: Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q . ? 1 n ? q ? 1? ? 1? q ? 1? q
q ? 1 时, Sn ?

a1 a ? 1 q n ,即常数项与 q n 项系数互为相反数。 1? q 1? q

7、等比数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2n n ? ? ② Sn? m ? Sn ? q ? Sm .
n

?

*

? ,则 S

S偶


?q.

③ S n , S 2n ? S n , S3n ? S2 n 成等比数列.

8、 an 与 S n 的关系: an ? ?

?Sn ? Sn?1 ? n ? 2 ? ? ? n ? 1? ?S1 ?

【例 1】 设等比数列的首项为 a(a>0),公比为 q(q>0),前 n 项和为 80,其中最大的一项为 54,又它 的前 2n 项和为 6560,求 a 和 q. 解 由 Sn=80,S2n=6560,故 q≠1

? a (1 ? q n ) ? 1 ? q = 80 ? ? 2n ? a (1 ? q ) = 6560 ? 1? q ?

① ? q n = 81 ② ③

∵a>0,q>1,等比数列为递增数列,故前 n 项中最大项为 an. ∴an=aqn-1=54 将③代入①化简得 a=q-1 ④ ⑤

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③ 化简得 3a = 2q ④
由⑤,⑥联立方程组解得 a=2,q=3



【例2】求证:对于等比数列,有S 2 +S 2 = S n (S 2n +S 3n ) . n 2n
证 ∵Sn=a1+a1q+a1q2+?+a1qn-1 S2n=Sn+(a1qn+a1qn+1+?+a1q2n-1) =Sn+qn(a1+a1q+?+a1qn-1) =Sn+qnSn =Sn(1+qn) 类似地,可得 S3n=Sn(1+qn+q2n)

∴S 2 + S 2 = S 2 +[S n (1+q n )]2 n 2n n = S 2 (2 + 2q n +q 2n ) n

S n (S 2n +S 3n ) = S n [S n (1+q n ) +S n (1+q n +q 2n )] = S 2 (2 +2q n +q 2n ) n ∴S 2 +S 2 = S n (S 2n +S 3n ) n 2n
说明 本题直接运用前 n 项和公式去解, 也很容易. 上边的解法, 灵活地处理了 S2n、 3n 与 Sn 的关系. S 介 绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键,并 且变得好,则解法巧. 【例 3】 一个有穷的等比数列的首项为 1,项数为偶数,其奇数项的和为 85,偶数项的和为 170,求这 个数列的公比和项数. 分析 设等比数列为{an},公比为 q,取其奇数项或偶数项所成的数列仍然是等比数列,公比为 q2,首 项分别为 a1,a1q. 解 设项数为 2n(n∈N*),因为 a1=1,由已知可得 q≠1.

? a 1 (1 ? q 2 n ) = 85 ? 2 ? 1? q ∴? 2n ? a 1q (1 ? q ) = 170 ? 1? q2 ?

① ②

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① 得:q = 2 把q = 2 代入 ② 得 1? 4n = 85 1? 4 ∴ 4 n = 256 n = 4



即公比为 2,项数为 8. 说明 运用等比数列前 n 项和公式进行运算、推理时,对公比 q 要分情况讨论.有关等比数列的问题所 列出的方程(组)往往有高次与指数方程,可采用两式相除的方法达到降次的目的. 【例 4】 选择题: 在等比数列{an}中, 已知对任意正整数 n, Sn=2n -1,则a 1 +a 2 +?+a n 等于 [ ] 有
2 2 2

A. (2 n -1) 2 C. 2 n -1
解 D. ∵a1=S1=1,an=Sn-Sn-1=2n-1 ∴an=2n-1 ∴bn=(an)2=(2n-1)2=22n-2=4n-1

1 B. (2 n -1) 2 3 1 D. (4 n -1) 3

2 ∴b 1 +b 2 +?+b n = a 1 +a 2 +?+a 2 2 2

= 1+ 4 + 4 2 +?+ 4 n ?1 =
【例 5】

4n ? 1 1 n ? ( 4 ? 1) 4 ?1 3

设 0<V<1,m 为正整数,求证:

(2m+1)Vm(1-V)<1-V2m+1 分析 直接作,不好下手.变形:

1 ? V 2 m?1 (2m+1)V < 1? V
m

右边分式的外形,使我们联想到等比数列求和公式,于是有: (2m+1)Vm<1+V+V2+?+V2m 发现左边有(2m+1)个 Vm,右边有(2m+1)项,变形:Vm+Vm+?+Vm<1+V+V2+?+V2m. 显然不能左右各取一项比较其大小,试用“二对二”法,即左边选两项与右边的两项相比较.鉴于左、 右两边都具有“距首末等远的任意两项指数之和均相等”的特点,想到以如下方式比较: Vm+Vm<1+V2m,Vm+Vm<V+V2m-1,?,Vm+Vm<Vm-1+Vm+1,Vm=Vm. 即 2Vm<1+V2m,2Vm<V+V2m-1,?. 环球雅思 www.ielts.com.cn
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中国教育培训领军品牌 根据“两个正数的算术平均值大于等于其几何平均值” ,这些式子显然成立. (具体证法从略). 说明 本题最大的特点是解题过程中需要多次用到“逆向思考” :

C 1 ? V 2 m?1 要证A·B<C(B> 0) ,改证A< ;见到 ,去逆向运用S n = B 1? V a 1 ? a·q n ,化成1+V+V 2 +?+V 2m ;要证A+B<C+D,先证A< 1? q
C,B<D,等等.善于进行逆向思考,是对知识熟练掌握的一种表现,同时也是一种重要的思维能力, 平时应注意训练. 【例 6】 数列{an}是等比数列,其中 Sn=48,S2n=60,求 S3n.

解法一 利用等比数列的前 n 项和公式 若 q=1,则 Sn=na1,即 na1=48,2na1=96≠60,所以 q≠1

a 1 (1 ? q n ) ∵S n = 1? q

S 2n

a 1 (1 ? q 2 ) = 1? q
n

a 1 (1 ? q n )(1 + q n ) ? 1? q ? S n (1 ? q n )
∴q n = S 3n 1 4 a 1 (1 ? q 3n ) = 1? q ? a 1 (1 ? q n )(1 ? q n ? q 2 n ) 1? q

=Sn(1+qn+q2n)

∴ S 3n = 48(1 ?

1 1 + ) = 63 4 16

解法二 利用等比数列的性质:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍成等比数列 ∴ (60-48)2=48·(S3n-60) 解法三 取特殊值法 取 n=1,则 S1=a1=48,S2n=S2=a1+a2=60 ∵ {an}为等比数列 ∴ a2=12 S3n=S3=a1+a2+a3=63 ∴ S3n=63.

∴ q=

a2 1 ? a =3 a1 4 3
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中国教育培训领军品牌 【例 7】 已知数列{an}中,Sn 是它的前 n 项和,并且 Sn+1=4an+2(n∈N*),a1=1

(1)设 bn=an+1-2an(n∈N*),求证:数列{bn}是等比数列;

(2) 设c n =


an (n∈N*) ,求证:数列{c n }是等差数列. 2n
Sn+2=4an+1+2

(1)∵ Sn+1=4an+2

两式相减,得 Sn+2-Sn+1=4an+1=4an(n∈N*) 即:an+2=4an+1-4an 变形,得 an+2-2an+1=2(an+1-2an) ∵ bn=an+1-2an(n∈N*)∴ bn+1=2bn

由此可知,数列{bn}是公比为 2 的等比数列. 由 S2=a1+a2=4a1+2,a1=1 可得 a2=5,b1=a2-2a1=3 ∴ bn=3·2n-1

(2) ∵ c n =

an (n∈N*) 2n a n ?1 a n a n ?1 ? 2a n ∴ c n+1 ? c n ? n ?1 ? n ? 2 2 2 n ?1 bn = n+1 2
3 (n∈N*) 4

将 bn=3·2n-1 代入,得 c n+1 -c n =

由此可知,数列{c n }是公差d = 1 1 3 ,故c n = + (n-1) · 2 2 4 3 1 即:C n = n ? 4 4
说明

a1 3 的等差数列,它的首项c1 = ? 4 2

利用题设的已知条件,通过合理的转换,将非等差、非等比数列转化为等差数列或等比数列来解决

【课后强化练习】
一.选择题。 (每题 5 分, 12 ? 5 ? 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的) 1、设 {an } 是由正数组成的等比数列,且公比不为 1,则 a1 ? a8 与 a4 ? a5 的大小关系为( ) A. a1 ? a8 ? a4 ? a5 B. a1 ? a8 ? a4 ? a5 C. a1 ? a8 ? a4 ? a5 D.与公比的值有关

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中国教育培训领军品牌 2.已知 {an } 是等比数列,且 an ? 0 , a2 a4 ? 2a3a5 ? a4 a6 ? 25 ,那么 a3 ? a5 ? ( ) A. 10 B. 15 C. 5 D.6
30

3.设 {an } 是正数组成的等比数列,公比 q ? 2 ,且 a1a2 a3 ? a30 ? 2 ,那么 a3 a6 a9 ? a30 ? ( ) A. 210 B. 220 C. 216 D. 215

4.三个数成等比数列,其和为 44,各数平方和为 84,则这三个数为( ) A.2,4,8 B.8,4,2 C.2,4,8,或 8,4,2 D.

14 28 56 ,? , 3 3 3
1 1 } ,由 { } 的前 n an an

5.等比数列 {an } 的首项为 1,公比为 q,前 n 项的和为 S,由原数列各项的倒数组成一个新数列 { 项的和是( A. ) B.

1 5

1 qnS
n

C.

S q n ?1

D.

qn S

6.若等比数列 {an } 的前项之和为 S n ? 3 ? a ,则 a 等于( ) A.3 B.1 C.0 7.一个直角三角形三边的长成等比数列,则( ) A.三边边长之比为 3: 4 : 5 , D. ?1

B.三边边长之比为 1: 3 : 3 ,

C.较小锐角的正弦为

5 ?1 , 2

D.较大锐角的正弦为

5 ?1 , 2


8.等比数列 a1 a2 a3 的和为定值 m(m>0),且其公比为 q<0,令 t ? a1a2 a3 ,则 t 的取值范围是( A. [? m , 0)
3

B. [?m , ??)
3
n

C.

(0, m3 ]
?

D. (??, m ]
3

9.已知 S n 是数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? P ( P ? R, n ? N ) ,那么 {an } ( A.是等比数列 C.当 P ? 0 , P ? 1 时是等比数列 B.当时 P ? 0 是等比数列 D.不是等比数列



10.认定:若等比数列 {an } 的公比 q 满足 q ? 1 ,则它的所有项的和 S ? ( A. )

a1 1 2 1 2 ,设 S ? ? 2 ? 3 ? 4 ?? 。则 S ? 1? q 7 7 7 7

4 15

B.

1 16

C.

3 16


D.

8 15

11.若数列是等比数列,下列命题正确的个数是(
2

① {an } , {a2 n } 是等比数列 ② {lg an } 成等差数列 ③ {

1 } , { an } 成等比数列 ④ {can } , {an ? k} (k ? 0) 成等比数 an

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中国教育培训领军品牌 列。 A. 5 B.4 C.3 D.2

12.等比数列 {an } 中 a1 ? 512 ,公比 q ? ? ( ) B. ?10

1 a ?? ,用 ? n ? a1 ? 2 ? an 表示它的前 n 项之积,则 ?1 , ? 2 ,? , 中最大的是 2
C. ? 9 D. ?8

A. ?11

二.填空题。 (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上。 ) 13.有三个正数成等比数列,其和为 21,若第三个数减去 9,则它们成等差数列,这三个数分别为_____________。 14.若不等于 1 的三个正数 a,b,c 成等比数列,则 (2 ? logb a)(1 ? log c a) ? _______。 15.在等比数列中, a1 ? 3 , q ? 4 ,使 Sn ? 3000 的最小自然数 n=________。 16.若首项为 a1 ,公比为 q 的等比数列 {an } 的前 n 项和总小于这个数列的各项和,则首项 a1 公比 q 的一组取值可以是

(a1 , q) ? _________。
三.解答题。 (本大题共 4 小题,共 44 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 17. (本小题 10 分) 已知三个数成等比数列,它们的积为 27,它们的平方和为 91,求这三个数。 18. (本小题 10 分)设 {an } 是由正数组成的等比数列, S n 是其前 n 项和,证明

log 0.5 Sn ? log 0.5 Sn ? 2 ? log 0.5 Sn ?1 。 2

19. (本小题 12 分) {an } 为等差数列 (d ? 0) , {an } 中的部分项组成的数列 ak1 , ak2 ,? akn 恰为等比数列,且

k1 ? 1, k2 ? 5, k3 ? 17 ,求 k1 ? k2 ? ? ? kn 。

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中国教育培训领军品牌 20. (本小题 12 分)设有数列 {an } , a1 ? 且满足 3? ? ?? ? 3? ? 1 。 (1)求证:数列 {an ? } 是等比数列。 (2)求数列 {an } 的通项 an 以及前 n 项和 S n 。

5 2 ,若以 a1 , a2 , a3 ,?, an 为系数的二次方程 an ?1 x ? an x ? 1 ? 0 都有根 ? , ? , 6

1 2

答案: 一.1.A 2.C 3.B 4.C 5.C 6.D 7.C 8.C 9.D 10.C 11.D 12.C 二.13. 1,4,16 或 16,4,1, 14。2 15。 6 16。 (1, )

1 2

? a ?a ?aq ? 27 ???????????(1) ?q a 三.17 解:设这三个数分别为 , a, aq ,则 ? a 2 2 2 2 q ? q2 ? a ? a q ?91???? o ?? (2) ?
由 (1) 得 a ? 3 ,代入 (2) 得 q ? ?3或q ? ?

-------------4 分

1 3

-----------------------7 分

?当 q ? 3 时,这三个数分别为 1,3,9;
当 q ? ?3 时,这三个数分别为 ?1,3, ?9 ;

1 时,这三个数分别为 9,3,1; 3 1 当 q ? ? 时,这三个数分别为 ?9,3, ?1 。 3
当q ?

----------------------------------10 分

18.证明:设 {an } 的公比为 q ,由题设知 a1 ? 0, q ? 0 , 当 q ? 1 时, S n ? na1 ,

( 从而 Sn ?Sn ? 2 ? Sn ?1 ? na1 ? n ? 2)a1 ? (n ? 1) a1 ? ?a1 ? 0
2 2 2 2

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? Sn ?Sn ? 2 ? Sn ?12
当 q ? 1 时, S n ?

-----------------------------------4 分

a1 (1 ? q n ) , 1? q
2

从而 Sn ?Sn ? 2 ? Sn ?1 ?

a12 (1 ? q n )(1 ? q n ? 2 ) a12 (1 ? q n ?1 ) 2 ? ? ?a12 q n ? 0 (1 ? q) 2 (1 ? q) 2
--------------------------------------8 分

? Sn ?Sn ? 2 ? Sn ?12 ? 0.5 ? 1? log 0.5 Sn ?Sn ? 2 ? log 0.5 Sn ?12


log 0.5 Sn ? log 0.5 Sn ? 2 ? log 0.5 Sn ?1 2

------------------------------------10 分

19.解:设等差数列的公差为 d,等到比数列的公比为 q,则 则题意得 a5 ? a1a17 ,
2

? (a1 ? 4d ) 2 ? a1 (a1 ? 16d )
又q ?

即d ?

a1 2
--------------------------------4 分

a5 a1 ? 4d ? ?3 a1 a1

? akn ? ak1 ? n ?1 ? a1 ? n ?1 ? ? ? ? ? ? ? (1) 3 3
由 {an } 是等差数列,有 akn ? a1 ? (kn ? 1)d ? a1 ? (kn ? 1)

? akn ?

kn ? 1 a1 ? ? ? ? ? (2) 2
n ?1

a1 2

---------------------------------8 分

3 由(1) (2)得 kn ? 2?

?1

? k1 ? k2 ? ? ? kn ? (2? 0 ? 1) ? (2? 1 ? 1) ? ? ? (2? n?1 ? 1) 3 3 3

?2

1?(3n ? 1) ? n ? 3n ? n ? 1 ---------------------------------12 分 3 ?1
an 1 , ?? ? an ?1 an ?1
代入 3? ? ?? ? 3? ? 1 得

20.解: (1) ? ? ? ?

1 1 an ? an ?1 ? 3 3

1 1 1 1 an ?1 ? ? 3 2 ? 1 (定值) 2 ?3 ? 1 1 3 an ?1 ? an ?1 ? 2 2 an ?
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?数列 {an ? 1} 是等比数列。
2
(2)因为数列 {an ? } 是公比为 所以 an ?

----------------------------------5 分

1 2

1 1 5 1 1 的等比数列,且其首项为 a1 ? ? ? ? 3 2 6 2 3

1 1 1 n ?1 1 n ? ( ) ?( ) 2 3 3 3 1 n 1 即 an ? ( ) ? 。 ------------------------------------8 分 3 2 1 1 1 1 3 1 n Sn ? [ ? ( )2 ? ? ? ( )n ] ? n? ? (1 ? n ) ? 3 3 3 2 2 3 2 1 1? n n n?3 1 --------------------------------------12 分 ?1 3 ? ? ? 1 2 2 2? n?1 3 1? 3

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