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人教A版(选修2-2)1.4生活中的优化问题举例【三课时】


人教版A 数学 选修2-2

高二【16、22】专用

第一章 导数及其应用

吴川一中

<高二数学备课组 >

陈智敏

一、如何判断函数的单调性?
设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导, f(x)为增函数 f(x)为减函数

/>
二、如何求函数的极值与最值?
求函数极值的一般步骤
(1)确定定义域 (2)求导数f’(x)

(3)求f’(x)=0的根 (4)列表 (5)判断

求f(x)在闭区间[a,b] 上的最值的步骤:

(1) 求f(x)在区间(a,b)内极值; (2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b) 比较,从而确定函数的最值。

复习巩固
如何用导数来求函数的最值?
一般地,若函数y=f (x)在[a,b]上的图象是一条 连续不断的曲线,则求f (x) 的最值的步骤是: (1)求y=f (x)在[a,b]内的极值(极大值与极小值); (2)将函数的各极值与端点处的函数值f (a)、f (b) 比较, 其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 特别地,如果函数在给定区间内只有一个极值点, 则这个极值一定是最值。

生活中经常遇到求利润最大、用料 最省、效率最高等问题,这些问题通常称 为优化问题.通过前面的学习,我们知道, 导数是求函数最大(小)值的有力工具, 本节我们运用导数,解决一些生活中的 优化问题.

高二【16、22】专用

第一章 导数及其应用

人教版A 数学 选修2-2 吴川一中 <高二数学备课组 > 陈智敏

看一看!

想一想!

这是什 如果你是制作 么??? 海报的?海报的大
小对你有什么影 响???

例 题
例:海报版面尺寸的设计
学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行 宣传。现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴 的海报,要求版心面积为128dm2,上、下两边各 空2dm,左、右两边各空1dm,如何设计海报的 尺寸,才能使四周空白面积最小?

x

分析:已知版心的面 积,你能否设计出版心 的高,求出版心的宽, 从而列出海报四周的面 积来?

解 : 设版心的高为xdm, 则版心的宽为

128 S ( x) ? ( x ? 4)( ? 2) ? 128 x 512 ? 2x ? ? 8, x ? 0 x
512 求导数,得S ( x) ? 2 ? 2 x
'

128 dm, 此时四周空白面积为 x
你还有其他解法 吗?例如用基本 不等式行不?

令:S ' ( x) ? 2 ?

512 ?0 2 x

解得:x ? 16,x ? ?16 (舍)

128 128 于是宽为: ? ?8 x 16

当x ? ? 0,16?时,s' ? x ? ? 0;

当x ??16, ???时,s' ? x ? ? 0.

因此,x=16是函数S(x)的极小值,也是最小值点。所以, 当版心高为16dm,宽为8dm时,能使四周空白面积最 小。

例 题
解法二:由解法(一)得
512 512 S ( x) ? 2 x ? ? 8 ? 2 2x ? ?8 x x

? 2 ? 32 ? 8 ? 72
512 当且仅当2x ? , 即x ? 16( x ? 0)时S 取最小值 x

128 此时y= ?8 16

答:应使用版心宽为8dm,长为16dm,四周空白面积最小

解题说明
1、设出变量找出函数关系式; 确定出定义域; 所得结果符合问题的实际意义。 2、在实际应用题目中,若函数 f ( x )在定义域 内只有一个极值点x0 ,则不需与端点比较, f ( x0 ) 即是所求的最大值或最小值. (所说区间的也适用于开区间或无穷区间)

练 习
练习1:将一段长为12cm的铁丝围成一个矩 形,则这个矩形面积的最大值为多少?
解:设矩形的一边为xcm,则另一边为(6 ? x)cm,面积为S
2 S (x) ? x( ? 6 ? x) ? 6 x ? x( 0 ? x ? 6) ? S ?( x) ? 6 ? 2( x 0 ? x ? 6)

令S ?( x) ? 0,解得x ? 3 当S ?( x) ? 0时, 得0 ? x ? 3 ? S ( x)在(0,3)上是单调递增的, S ( x)在(3, 6) 是单调递减的 ? S ( x)在x ? 3cm处取到最大值S (3) ? 9cm 2 答 : 当矩形是正方形时, 它的面积最大为9cm 2

结论:周长为定值的矩形中,正方形的面积最大。

练 习
练习2:某养鸡场是一面靠墙,三面用铁丝网围成的矩 形场地.如果铁丝网长40 m,问靠墙的一面多长时,
解 : 设靠墙的一面长x m,围成的场地面积为y m 2 , 40 ? x 此时矩形的宽为 ? 0. 2 40 ? x 1 2 ? y ? x? ? ? x ? 20 x.(0 ? x ? 40) 2 2 y′=-x+20 令y′=0得,x=20
当0<x<20时,y′>0,当20<x<40时,y′<0.
∴x=20时,y最大=20×10=200.

围成的场地面积最大?

答:靠墙的一面长20 m时,围成的场地面积最大,为200 m2.

练 习
练习3:在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长 相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个 无盖的方底铁皮箱.箱底边长为多少时,箱子容积最大? 最大容积是多少?

h

x

解: 设箱底边长为 x,箱子容积为
2

解得 x1=0 (舍), x2=40.

60 ? x V ( x) ? x ( ) (0 ? x ? 60) 2 由 V ?( x) ? 60 x ? 3 x 2 ? 0 2

当x∈(0,40)时,V'(x)>0;当x∈(40,60)时,V'(x)<0. ∴函数V (x)在x=40处取得极大值,这个 极大值就是函数V (x)的最大值.
2

60 ? 40 3 V (40) ? 40 ( ) ? 16000 (cm )h 2
答 当箱箱底边长为40cm时,箱子容积最大, 最大值为16000cm3

x

练习4:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它 的高与底半径,使得所用材料最省? 解 设圆柱的高为h,底面半径为R.
则表面积为 S(R)=2πRh+2πR2. 又V=πR2h(定值), 则h ? V 2 . ?R V ? S ( R ) ? 2?R ? 2 ? 2?R 2 ? 2V ? 2?R 2 . ?R R
由S ?( R ) ? ?
R h

V V 3 从而h ? ? 2? 2 ?R 2?

2V V ? 4 ? R ? 0 . 3 解得R ? . R2 2?

即h=2R.

可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点. 答: 罐高与底的直径相等时, 所用材料最省.

小 结
由上述例子,我们不难发现,解决优化问题的 基本思路是: 优化问题 用函数表示的数学问题

优化问题的答案

用导数解决数学问题

上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程。

小 结
解决生活中的优化问题的基本步骤
1、建立实际问题的数学模型,写出函数 关系式 y ? f ( x) ; 2、求函数的导数 4、作答。
f ?( x )

,求出极值点;

3、确定最大(小)值;

课后练习

练习5:
要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为 20cm, 要使其体积最大,则其高为( ) A A.
20 3 3

B. 100 C.

20

D.

20 3

作 业

高二【16、22】专用

第一章 导数及其应用

人教版A 数学 选修2-2 吴川一中 <高二数学备课组 > 陈智敏

问题 饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?
? 你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一 般比大包装的要贵些?你想从数学上知道它的 道理吗? ? 是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?

例2:饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品,若它们 的价格如下表所示,则 (1)对消费者而言,选择哪一种更合算呢? (2)对制造商而言,哪一种的利润更大?

规格(L) 价格(元)

2 5.1

1.25 4.5

0.6 2.5

例 题
某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料,瓶子的制造成本 是0.8?r2分,其中r是瓶子的半径,单位是厘米,已知每出售1ml的 饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制造的瓶子的最大半径为 6cm,(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的 利润最大? (2)瓶子半径多大时,每瓶饮料的利润最小?

解:由于瓶子的半径为 ∴每瓶饮料的利润: r,所以每瓶饮料的利润是
4 3 y ? f (r ) ? 0.2 ? ? r ? 0.8? r 2 r 3 23

= 0.8π(

3

-r )
2

(0 ? r ? 6)

令f ' (r ) = 0.8π (r - 2r )? 0,得r = 2
r f '( r ) f (r) (0,2)

-

减函数↘

2 0 -1.07?

(2,6]

+
增函数↗

例 题
当半径r>2时,f ’(r)>0它表示 f(r) 单调递增, 即半径越大,利润越高; 当半径r<2时,f ’(r)<0 它表示 f(r) 单调递减, 即半径越小,利润越低. 1.半径为2cm 时,利润最小,这时 f (2) ? 0 表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本, 此时利润是负值 2.半径为6cm时,利润最大

思考!
换一个角度: 如果 我 们不用导 数工具 ,直接 从函数的图象 (图 ? r3 2? f ?r ? ? 0.8π? ?r ? ? ? 1.4 ? 4)上观察,你有什么发现? 3 ? ? 从 图象上容易看出,当 r ? 3 时, f ?3? ? 0, 即瓶子半径是3cm 时, 2 3 o r 饮料的利润与饮料瓶的 成本恰 好相等;当r ? 3 时,利润才为正值 .
当r ? ?0,2?时, f ?r ?是减函数,你能 解释它的实际意义吗 ?
图1.4 ? 4
y

练 习
练习1:已知某工厂生产x件产品的成本为c=2 500+200x+?x2(元).
(1)要使平均成本最低,应生产多少件产品? (2)若产品以每件500元售出,要使利润最大,应生产多少件产品?

解 : ?1? 设生产x件产品时, 平均成本y最低. c 2500 x ?y ? ? ? ? 200. x x 4 2500 1 y? ? ? 2 ? , 令y? ? 0得x ? 100. x 4 当0 ? x ? 100时, y? ? 0, 当x ? 100时, y? ? 0, ? x ? 100时, y最小 ? 25 ? 25 ? 200 ? 250.
答:生产100件产品时,平均成本最低为250元.

练习2:已知某厂每天生产x件产品的成本为

x c ? 25000 ? 200 x ? (元) 40
若要使平均成本最低,则每天应生产多少件产品? 解:设平均成本为y元,每天生产x件产品,则 c 25000 x y? ? ? 200 ? x x 40

2

练 习

25000 x ?2 ? ? 200 ? 250 x 40 25000 x 当且仅当 ? ,即x ? 1000时等号成立 x 40 ∴每天应生产1000件产品

练 习
练习3:已知某厂每天生产x件产品的成本为:

变题:若受到设备的影响,该厂每天至多只能生产800件 产品,则要使平均成本最低,每天应生产多少件产品呢?

x c ? 25000 ? 200 x ? (元) 40

2

解:设平均成本为y元,每天生产x件产品,则 c 25000 x y? ? ? 200 ? x x 40 25000 1 ? y' ? ? ? 2 x 40

?由y ' ? 0,可求得0 ? x ? 1000 由y ' ? 0,可求得x ? 1000

练 习
练习4:已知某厂每天生产x件产品的成本为

x c ? 25000 ? 200 x ? (元) 40
变题:若受到产能的影响,该厂每天至多只能生产800件 产品,则要使平均成本最低,每天应生产多少件产品呢? ∴函数在(0,1000)上是减函数

2

?当x ? 800时,y取最小值
故每天应生产800件产品

归 纳
b [注] 对于型如 y ? ax ? (ab ? 0) 的函数最值问题, x

要根据定义域选择恰当的方法,并熟练掌握这些 方法的要点。
基本不等式法: “一正、二定、三相等、四最值”; 导数法: 一定义域、二导数符号、三单调性、四最值”。

练 习
练习5. 某商品每件成本9元,售价为30元,每星期卖出 432件,如果降低价格,销售量将会增加,且每星期多

卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位:
元,0≤x≤30)的平方成正比,已知商品单价降低2元时,

一星期将多卖出24件.
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数;

(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?

练 习
解: (1)设商品降价x元,则多卖出的商品件数为kx2,若 记商品一个星期的获利为f(x), 则依题意有

f(x)=(30-x-9)(432+kx2) =(21-x)(432+kx2).
又由已知条件,24=k×22,于是有k=6. ∴f(x)=-6x3+126x2-432x+9072,x∈[0,30].

练 习
(2)根据(1)有f′(x)=-18x2+252x-432

=-18(x-2)(x-12).
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x [0,2) 2 (2,12) 12 (12,30]

f′(x)
f(x)



0
极小值

+


0
极大值



故x=12时,f(x)达到极大值,∵f(0)=9072,f(12)=11664, ∴定价为30-12=18(元)能使一个星期的商品销售利润最大.

练 习
【 用料问题】 练习6: (2009·湖南高考)某地建一座桥,两端的桥墩已建好,

这两墩相距m米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥
墩.经测算,一个桥墩的工程费用为256万元;距离为x米的相 邻两墩之间的桥面工程费用为 (2 ? x ) x 万元.假设桥墩等 距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工 程的费用为y万元.

(1)试写出y关于x的函数关系式;
(2)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小?

练 习
m [解] ?1? 设需新建n个桥墩, 则 ? n ? 1? x ? m, 即n ? ? 1. x ? y ? f ( x) ? 256n ? (n ? 1)(2 ? x ) x m m ? 256( ? 1) ? (2 ? x ) x x x 256m ? ? m x ? 2m ? 256.(0 ? x ? m) x

练 习
3 256m 1 ? 1 m ? 2 ?由?1? 知, f '( x) ? ? 2 ? mx 2 ? 2 ( x 2 ? 512). x 2 2x

令f ? ? x ? ? 0, 得x ? 512, 所以x ? 64. 当0 ? x ? 64时, f ? ? x ? ? 0, f ? x ? 在区间 ? 0, 64 ?内为减函数; 当64 ? x ? 640时, f ? ? x ? ? 0, f ? x ? 在区间 ? 64, 640 ?内为增函数, 所以f ? x ? 在x ? 64处取得最小值. m 640 此时n ? ? 1 ? ? 1 ? 9. x 64 故需新建9个桥墩才能使y最小.

3 2

作 业

高二【16、22】专用

第一章 导数及其应用

人教版A 数学 选修2-2 吴川一中 <高二数学备课组 > 陈智敏

例 题
问题3、磁盘的最大存储量问题
(1) 你知道计算机是如何存储、检索信息的吗? (2) 你知道磁盘的结构吗? (3)如何使一个圆环状的磁 盘存储尽可能多的信息?

例 题
例3:现有一张半径为R的磁盘, 它的存储区是半径介于r与R的 环行区域。 (1)是不是r越小,磁盘的存 储量越大? (2) r为多少时,磁盘具有最大存储量
R

r

(最外面的磁道不存储任何信息)?

例 题
解:存储量=磁道数×每磁道的比特数
设存储区的半径介于r与R之间,由于磁道之间的宽度必须 大于m,每比特所占用的磁道长度不得小于n,且最外面的磁道

R?r , 不存储任何信息,所以磁道最多可达 m

又由于每条磁

道上的比特数相同,为获得最大的存储量,最内一条磁道必须

2 ? r 装满,即每条磁道上的比特数可达到 所以,磁道总存 . n 储量

R ? r 2?r 2?r f ?r ? ? ? ? r ?R ? r ?. m n mn

(1)它是一个关于r的二次函数,从函数的解析式上可以判断, 不是r越小,磁盘的存储量越大.

例 题
解:存储量=磁道数×每磁道的比特数
R ? r 2?r 2? f (r ) ? ? ? r(R ? r) m n mn

(2) 为求f(r)的最大值,先计算 f ?(r ) ? 0
2? f ?(r ) ? ( R ? 2r ) mn

令    f ?(r ) ? 0
解得
R r? 2

例 题

R R 当r ? 时, f ?(r ) ? 0  ;   当r ? 时, f ?(r ) ? 0 2 2

R 因此, 当r ? 时, 磁盘具有最大存储量 , 2 最大存储量为 2m n

?R 2

练 习
练习1:甲?乙两地相距400千米,一汽车从甲地匀速行驶到乙

地,速度不得超过100千米/时.已知该汽车每小时的运输成
本t(元)关于速度x(千米/时)的函数关系式是 1 1 3 t? x4 ? x ? 15 x. 19200 160 (1)当汽车以60千米/时的速度匀速行驶时,全程运输成本为多 少元?

(2)为使全程运输成本最少,汽车应以多少速度行驶?并求出此
时运输成本的最小值.

练 习
[分析] 根据全程运输成本=每小时运输成本×运输总时间建
立函数关系式,然后利用导数方法求最值.
[解] ?1? 设全程运输成本为f ? x ? 元, 则 1 1 3 400 4 f ( x) ? ( x ? x ? 15 x) ? 19200 160 x 1 3 5 2 ? x ? x ? 6000(0 ? x≤100). 48 2 1 5 当x ? 60千米 / 时, f (60) ? ? 603 ? ? 602 ? 6000 ? 1500(元). 48 2

答:汽车以60千米/小时的速度匀速行驶时,全程运输成本为1 500元.

练 习
1 2 (2) f '( x) ? x ? 5 x(0 ? x≤100), 令f ? ? x ? ? 0, 得x ? 80. 16 ?当x ? ? 0,80 ? 时, f ? ? x ? ? 0,? f ? x ? 是减函数; 当x ? ? 80,100?时, f ? ? x ? ? 0,? f ? x ? 是增函数. ?当x ? 80千米 / 小时, f ? x ? 取极小值. ? f ? x ? 在 ? 0,100? 上只有一个极小值,? f ? 80 ? 是最小值. ? f (80) ? 1 5 2000 ? 803 ? ? 802 ? 6000 ? (元). 48 2 3

答 : 当汽车以80千米 / 时的速度匀速行驶时, 全程运输成本最小, 2000 最小值为 元. 3

练 习
练习3. 某单位用2160万元购得一块空地,计划在该块地上 建造一栋至少10层,每层2000平方米的楼房,经测算,如果将 楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为

560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最
少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用=平均建筑费用 +平均购地费用,平均购地费用 = 购地总费用) 建筑总面积

练 习
[解] : 设楼房每平方米的平均综合费用为f ? x ? 元, 则 2160 ?10000 10800 f ( x) ? (560 ? 48 x) ? ? 560 ? 48 x ? 2000 x x 10800 f '( x) ? 48 ? . 2 x 令f ? ? x ? ? 0得x ? 15. 当x ? 15时, f ? ? x ? ? 0, 当0 ? x ? 15时, f ? ? x ? ? 0, 因此, 当x ? 15时, f ? x ? 取最小值f ?15 ? ? 2000.

答:为了楼房每平方米的综合费用最少,该楼房应建为15层.

【汽油使用效率何时最高】
我们知道,汽油的消耗量 w (单位:L)与汽车的速度 v (单位:km/h) 之间有一定的关系,汽车的消耗量 w 是汽车 速度 v 的函数. 根据实际生活,思考下面两个问题: (1)是不是汽车的速度越快, 汽油的消耗量越大? 如何计算每千米路 (2)当汽车的行驶路程一定时,是车速快省油还是 程的汽油消耗量? 车速慢的时候省油呢? 一般地,每千米路程的汽油消耗量越少,我们就说 汽油的使用效率越高(即越省油)。

这里的w是汽油消耗量,s是汽车行驶的路程

w 若用G来表示每千米平均的汽油消耗量,则 G = s

例、通过研究,人们发现汽车在行驶过程中,汽油的 平均消耗率 g(即每小时的汽油消耗量, 单位: L / h) 与汽车行驶的平均速度v(单位: km)之间,有如图的 函数关系 g = f (v) ,那么如何根据这个图象中的数据来 解决汽油的使用效率最高的问题呢? w g 的几何意 分析:每千米平均的汽油消耗量 G = ,这里 w是汽油 v s 义是什么? 消耗量,s是汽车行驶的路程 g (L/h) ∵w=gt,s=vt 15 w gt g P(v,g) ?G = ? ? s vt v 10 g 如图所示, 表示经过原点 所以由右图可知,当直线 OP 5 v kmin ? f '(90) 为曲线的切线时,即斜率k取 与曲线上的点 P(v,g)的直线 ? 0.07 最小值时,汽油使用效率最高 的斜率k 90 120 v(km/h) O 30 50

例3、经统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的 耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式 可以表示为:

1 3 3 y? x ? x ? 8(0 ? x ? 120). 128000 80

若已知甲、乙两地相距100千米。 (I)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到 乙地要耗油为 17.5 升; (II)若速度为x千米/小时,则汽车从甲地到乙地需 行驶
100 x 小时,记耗油量为h(x)升,其解析式为:

1 3 100 1 2 800 15 3 h( x ) ? ( x ? x ? 8). ? x ? ? (0 ? x ? 120), 128000 80 x 1280 x 4 . (III)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油 最少?最少为多少升?

例3、经统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的 耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式 可以表示为:

若已知甲、乙两地相距100千米。 (III)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油 最少?最少为多少升?

1 3 3 y? x ? x ? 8(0 ? x ? 120). 128000 80

解:设当汽车以x km/h的速度行驶时,从甲地到乙地 的耗油量为h(x) L,则

1 3 100 3 h( x ) ? ( x ? x ? 8). 128000 80 x 1 2 800 15 ? x ? ? (0 ? x ? 120) 1280 x 4

x 800 x3 ? 803 ? h '( x) ? ? 2 ? (0 ? x ? 120) 2 640 x 640 x
令 h '( x ) ? 0, 得 x ? 80.
当 x ? (0,80) 时, h '( x ) ? 0, h ( x ) 是减函数; 当 x ? (80,120] 时, h '( x ) ? 0, h( x ) 是增函数。
? 当 x ? 80 时, h( x ) 取到极小值 h (80) ? 11.25.
因为 h( x ) 在 (0,120] 上只有一个极值,所以它是最小值。

答:当汽车以 80 千米 /小时的速度匀速行驶时, 从甲地到乙地耗油最少,最少为 11.25 升。

练习: 如图,在二次函数 f(x)=4x-x2的图象与x轴所 围成的图形中有一个内接 矩形ABCD,求这 个矩形的 最大面积.

y

x 解:设B(x,0)(0<x<2), 则 A(x, 4x-x2). 从而|AB|= 4x-x2,|BC|=4-2x.故矩形ABCD的面积 为:S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x(0<x<2). 2 3 2 3 2 , x2 ? 2 ? . S?( x) ? 6 x ? 24x ? 16. 令 S ?( x ) ? 0 ,得x1 ? 2 ?

? x1 ? (0,2), 所以当 x ? 2 ? 2 3 时, S ( x )max 3 2 3 32 3 ,0) 时,矩形的最大面积是 . 因此当点B为( 2 ? 2 9

3 32 3 ? . 9

3

小 结
1、实际问题中的应用.
在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求函数的 最大(小)值的问题.建立目标函数,然后利用导数的方法 求最值是求解这类问题常见的解题思路. 在建立目标函数时,一定要注意确定函数的定义域. 在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个 点使 f ?( x ) ? 0 的情形,如果函数在这个点有极大(小)值, 那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值. 这里所说的也适用于开区间或无穷区间. 满足上述情况的函数我们称之为“单峰函数”.

小 结
2、实际应用问题的表现形式,常常不是 以纯数学模式反映出来。
首先,通过审题,认识问题的背景,抽象出问题的实质。 其次,建立相应的数学模型, 将应用问题转化为数学问题,再解。

3、求最大(最小)值应用题的一般方法
(1)分析实际问题中各量之间的关系,把实际问题化为 数学问题,建立函数关系式,这是关键一步。 (2)确定函数定义域,并求出极值点。 (3)比较各极值与定义域端点函数的大小, 结合实 际,确定最值或最值点。

小 结
由上述例子,我们不难发现,解决优化问题的 基本思路是: 优化问题 用函数表示的数学问题

优化问题的答案

用导数解决数学问题

上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过 程。


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