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圆锥曲线2:定点、定值、最值问题


定点定值最值问题
定点 例 1.(2013 陕西理 20)已知动圆过定点 A(4, 0) ,且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8 . (1) 求动圆圆心的轨迹 C 的方程; ( y 2 ? 8x ) (2) 已知点 B(?1, 0) ,设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P , Q ,若 x 轴是 ?PBQ 的角 平分线, 证明直线 l 过定点

.(过点 (1, 0) )

x2 y 2 例 2.(2015 衡水模拟)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的左、右焦点分别为 F 1 、 F2 ,点 M (0,2) a b
是椭圆的一个顶点, ?F 1MF2 是等腰直角三角形. (1)求椭圆 C 的方程; (

x2 y 2 ? ? 1) 8 4
x2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 ) 2

(2)设点 P 是椭圆 C 上一动点,求线段 PM 的中点 Q 的轨迹方程; (

(3)过点 M 分别作直线 MA , MB 交椭圆于 A 、 B 两点,设直线的斜率分别为 k1 , k2 ,且 k1 ? k2 ? 8 , 探究:直线 AB 是否过定点,并说明理由.(过点 ( ?

1 , ?2) ) 2

x2 y2 例 3.(2010 江苏)在平面直角坐标系 xoy 中,如图,已知椭圆 ? ? 1 的左右顶点为 A,B,右顶点为 9 5
F, 设过点 T( t , m ) 的直线 TA, TB 与椭圆分别交于点 M ( x1 , y1 ) ,

N ( x2 , y 2 ) ,其中 m ? 0 , y1 ? 0, y 2 ? 0 .
(1)设动点 P 满足 PF ? PB ? 4 ,求点 P 的轨迹; (x?
2 2

9 ) 2

(2)设 x1 ? 2, x 2 ?

1 10 ,求点 T 的坐标; ( (7, ) ) 3 3

(3)设 t ? 9 ,求证:直线 MN 必过 x 轴上的一定点.(其坐标与 m 无关) ( (1, 0) )

例 4. (2010 福建)椭圆 E :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点为 F1 ,右焦点为 F2 ,离心率 e ? ,过 2 2 a b

F1 的直线交椭圆 E 于 A , B 两点.且 ?ABF2 的周长为 8 .
x2 y 2 ? ?1 (1) 求椭圆 E 的方程; 4 3
(2) 设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 E 有且仅有一个公共点 P ,且与直线 x ? 4 相交于点 Q ,试探究坐标 平面内是否存在定点 M ,使得以 PQ 为直线的圆恒过点 M ,若存在,求出点 M 的坐标;若不存在, 说明理由.M(-1,0)

1 x2 y 2 例 5.已知椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的离心率为 ,右顶点 M 的坐标为 (2, 0) ,直线 l 过左焦点 F 交 2 a b
椭圆于 A , B 两点,直线 MA , MB 分别交直线 x ? ?4 于 C , D 两点. (1)求椭圆方程;

x2 y 2 ? ?1 4 3

(2)当 l ? x 轴时,求证: CF ? DF ; (3)求证:以线段 CD 为直径的圆恒过两个定点.F(-1,0),G(-7,0)

定值 例 6. ( 2015 全新 20 )在直角坐标系 xOy 中,曲线 C : y ? 点. (1) 当 k ? 0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (2) y 轴上是否存在点 P ,使得当 k 变动时,总有 ?OPM ? ?OPN .说明理由.(p(0,a))

x2 与直线 y ? kx ? a (a ? 0) 交与 M , N 两 4

例 7. 如图,椭圆 E :

x2 a
2

?

y2 b
2

? 1 的离心率是

2 ,过点 P(0,1) 的动直线 l 与椭圆相交于 A, B 两点。当直 2

线 l 平行于 x 轴时,直线 l 被椭圆 E 截得的线段长为 2 2 。 (1)求椭圆 E 的方程;

x2 y 2 ? ?1 4 2

(2)在平面直角坐标系 xoy 中,是否存在与点 P 不同的定点 Q ,使得 出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由。 (Q(0,2))

QA QB

?

PA PB

恒成立?若存在,求

例 8. 如图,椭圆 C :

3 1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 P (1, ) ,离心率 e ? ,直线 l 的方程为 x ? 4 . 2 2 2 a b

1)求椭圆 C 的方程;

x2 y 2 ? ?1 4 3

2) AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P ) ,设直线 AB 与直线 l 相交于点 M ,记 PA , PB , PM 的 斜率分别为 k1 , k2 , k3 。问:是否存在常数 ? ,使得 k1 ? k2 ? ? k3 ?若存在,求 ? 的值;若不存在,说明理由.2

最值 例 9. 已知椭圆 C1 :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的长轴长为 4 ,离心率为 , F1 , F2 分别为其左右焦点.一动 2 2 a b

圆过点 F2 ,且与直线 x ? ?1 相切. (Ⅰ) (ⅰ)求椭圆 C1 的方程

x2 y 2 ? ? 1 ; (ⅱ)求动圆圆心轨迹 C 的方程; C : y 2 ? 4 x 4 3

( Ⅱ ) 在 曲 线 C 上 有 四 个 不 同 的 点 M , N , P, Q , 满 足 MF2 与 NF2 共 线 , PF2 与 QF2 共 线 , 且

PF2 ? MF2 ? 0 ,求四边形 PMQN 面积的最小值. 32

例 10. ( 2015 湖北 22 )一种画椭圆的工具如图所示.O 是滑槽 AB 的中点,短杆 ON 可绕 O 转动,长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接, MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动,且 DN ? ON ? 1 , MN ? 3 .当栓 子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时,带动 N 绕 O 转动, M 处的笔尖画出的椭圆记为 C .以 O 为原点, AB 所在的直线为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标系. (1) 求椭圆 C 的方程;

x2 y 2 ? ?1 16 4

(2) 设动直线 l 与两定直线 l1 : x ? 2 y ? 0 和 l2 : x ? 2 y ? 0 分别交于 P ,Q 两点.若直线 l 总与椭圆 C 有 且只有一个公共点,试探究: ?OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在, 说明理由. (? k ? 0 时, S?OPQ 的最小值为 8 )

x2 y2 例 11. 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的长轴为短轴的 3倍, 直线y ? x 与椭圆交于 A、B 两点,C 为椭圆的 a b
右项点, OA ? OC ?

3 . 2

(I)求椭圆的方程;

x2 ? y2 ? 1 3

(II)若椭圆上两点 E、F 使 OE ? OF ? ?OA, ? ? (0,2),求?OEF 面积的最大值。

3 2

例 12. 已知椭圆 C1 :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 直线 l : y ? x ? 2 与以原点为圆心、 以椭圆 C1 2 a b 3

的短半轴长为半径的圆相切.

x2 y2 ? ?1 (I)求椭圆 C1 的方程; 3 2 (II)设椭圆 C1 的左焦点为 F1 ,右焦点 F2 ,直线 l1 过点 F1 且垂直于椭圆的长轴,动直线 l2 垂直 l1 于点
P ,线段 PF2 垂直平分线交 l2 于点 M ,求点 M 的轨迹 C2 的方程; y 2 ? 4 x
( III ) 设 C2 与 范. [8 5,??)

x 轴 交 于 点 Q , 不 同 的 两 点 R, S 在 C2 上 , 且 满 足 QR ? RS ? 0, 求 QS 的 取 值

??? ? ??? ?

??? ?

例 13.已知直线 l : y ? x ? 1 与曲线 C :

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 交于不同的两点 A, B , O 为坐标原点. a2 b2

(Ⅰ)若 | OA |?| OB | ,求证:曲线 C 是一个圆; (Ⅱ)若 OA ? OB ,当 a ? b 且 a ? [

6 10 2 3 , ] 时,求曲线 C 的离心率 e 的取值范围. e ? [ , ] 2 2 2 2

例 14. 已知动点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上,且满足|AB|=2,点 P 在线段 AB 上,且

AP ? t PB(t是不为零的常数 ). 设点 P 的轨迹方程为 c。
x2 y2 (1)求点 P 的轨迹方程 C; ? ?1 4 4t 2 (1 ? t )2 (1 ? t )2
(2)若 t=2,点 M、N 是 C 上关于原点对称的两个动点(M、N 不在坐标轴上) ,点 Q 坐标为 ( ,3), 求△QMN 的面积 S 的最大值。 2 2

3 2


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