当前位置:首页 >> 数学 >>

2017届山东省师大附中高三第三次模拟考试数学(理)试卷(带解析)


绝密★启用前

2017 届山东省师大附中高三第三次模拟考试数学(理)试卷 (带解析)
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题 1.已知复数 z 满足 z ? i ? 2 ? i , i 为虚数单位,则 z ? ( A. 2 ? i B. 1 ? 2i C. ?1 ? 2i
x

) D. ?1 ? 2i

?1? 2.已知集合 A ? {x | ? ? ? 1} , B ? {x | x2 ? 2 x ? 8 ? 0} ,则 A ? B ? ( ?2?
A. {x | ?2 ? x ? 0} B. {x | 2 ? x ? 4}
2



C. {x | 0 ? x ? 4}

D. {x | x ? ?2}

3.直线 y ? 3x 与曲线 y ? x 围成图形的面积为( A.



27 2

B. 9

C.

9 2

D.

27 4

4.已知函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? (? ? 0, ? ?

?
2

) 的最小正周期是 ? ,若将其图象


向右平移

? 个单位后得到的函数为奇函数,则函数 y ? f ? x ? 的图象( 3
?? ? , 0 ? 对称 ? 12 ?
B. 关于直线 x ?

A. 关于点 ?

?
12

对称

C. 关于点 ?

? 5? ? , 0 ? 对称 ? 12 ?

D. 关于直线 x ?

5? 对称 12

5.下列说法错误的是(
2



2 A. 对于命题 p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0
2 B. “ x ? 1 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件

C. 若命题 p ? q 为假命题,则 p, q 都是假命题

试卷第 1 页,总 5 页

D. 命 题 “ 若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 , 则 x ? 1 ” 的 逆 否 命 题 为 : “ 若 x ? 1 , 则

” x 2 ? 3 x ? 2? 0
6. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的 几何体.它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似 两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖) .其直观图如下左图,图中四边形是为体现 其直观性所作的辅助线.其实际直观图中四边形不存在,当其正视图和侧视图完全相同 时,它的正视图和俯视图分别可能是( )

A. a , b

B. a , c
2

C. c, b
2

D. b, d )

7.点 P(4, ?2) 与圆 x ? y ? 4 上任一点连线的中点的轨迹方程是( A. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1
2 2

B. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 4
2 2

C. ( x ? 4) ? ( y ? 2) ? 4
2 2

D. ( x ? 2) ? ( y ?1) ? 1
2 2

8.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a2 a5 ? 2a3 ,且 a4 与 2a7 的等差中项为 则 S5 ? ( A.29 ) B.31 C.33 D.36

5 , 4

9.已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , O 为 a 2 b2

坐标原点, P 是双曲线上在第一象限内的点, 直线 PO, PF2 分别交双曲线 C 左、 右支于另一点 M , N , PF1 ? 2 PF2 ,且 ?MF2 N ? 60? ,则双曲线 C 的离心率 为(
A.



2

B.

3

C.

7

D.

2 3 3 ?1? ?1 ? ? ,且当 x ? ? ,1? 时, f ? x ? ? lnx ,若当 ?? ? ?x?

10.已知函数 f ? x ? 满足 f ? x ? ? f ?

试卷第 2 页,总 5 页

?1 ? x ? ? , ? ? 时,函数 g ? x? ? f ? x? ? ax与 x 轴有交点,则实数 a 的取值范围是 ?? ?
( )

A. ? ? , 0? ? ? ?

? ln?

?

B. ? ? , ? ? ? 2 ??

? ?

1?

C. ? ? , ? ? ? ? ?

? 1 ln? ?

D.

??? ln? ,0?

试卷第 3 页,总 5 页

第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题

? x ? y ? 1 ? 0, y ? 11.已知实数 x , y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 的最小值为 x?3 ? y ? ?1, ?
2



2 12.若经过抛物线 y 2 ? 4 x 焦点的直线 l 与圆 ? x ? 4 ? ? y ? 4 相切,则直线 l 的斜

率为__________.
13.已知 sin ?

1 ?? ?? ? ? ? ? ? ? cos? ? ,则 cos ? 2? ? ? ? __________. 3 3? ?6 ? ?

? ? 5 ?? ,则 f ? f ? ?? ? __________. log 2 ? x ? 1? , x ? 1 ? ? 2 ?? ??? ? 3 ??? ? 15.在 ?ABC 中,点 D 满足 BD ? BC ,当点 E 在射线 AD(不含点 A)上移动时,若 4
14.函数 f ? x ? ? {

2 x ? 2, x ? 1

??? ? ??? ? ??? ? 1 AE ? ? AB ? ? AC ,则 ? ? 的最小值为________.

?

评卷人

得分 三、解答题

16. ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 2cos C ? a cos B ? b cos A? ? c . (1)求 C ; (2)若 c ? 7, ?ABC 的面积为

3 3 ,求 ?ABC 的周长. 2

17 . 如 图 , 在 三 棱 柱 ABC ? A 1B 1C1 中 ,

C1C ? 底 面 ABC ,

CC1 ? AB ? AC ? BC ? 4 , D 为线段 AC 的中点.

(1)求证:直线 AB1 / / 平面 BC1D ;
试卷第 4 页,总 5 页

(2)求三棱锥 D ? C1CB 的体积.
18.已知正项数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,且 an ?1 ?

an n? N* . 2an ? 1

?

?

?1? (1)证明数列 ? ? 为等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; ? an ?
n an an ?1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . (2)设 bn ? ? ?1? ?
n

19 . 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD为直角梯形, AD / / BC ,

?ADC ? 90? ,平面 PAD ? 平面 ABCD , Q 为 AD 的中点, M 是棱 PC 上的
点, PA ? PD ? 2 , BC ?

1 AD ? 1 , CD ? 3 . 2

(1)求证:平面 PQB ? 平面 PAD ; (2)若二面角 M ? BQ ? C 大小为 30? ,求线段 QM 的长.
20.已知椭圆:2 + 2 = 1( > > 0)的右焦点为(1,0),且点(?1, 2 )在椭圆上. ⑴求椭圆的标准方程; ⑵ 已 知 动 直 线 过 点 且 与 椭 圆 交 于 , 两 点 . 试 问 轴 上 是 否 存 在 定 点 , 使 得
2 2
2

· = ? 16恒成立?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
21. 已知函数 f ? x ? ? 2mlnx ? x2 , g ? x ? ? ex ? 2mlnx , ? m ? R ? , ln2 ? 0.693 .

7

(1)讨论 f ? x ? 的单调性; (2) 若 f ? x ? 存在最大值 M , g ? x ? 存在最小值 N , 且M ? N , 求证: m ?

e . 2

试卷第 5 页,总 5 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

参考答案 1.D 【解析】解:因为复数 z 满足 z ? i ? 2 ? i ? z ? 2.C

2?i ? ?2i ? 1 ,选 D i

?1? 【解析】 因为 A ? {x | ? ? ? 1} ? {x | x ? 0} , B ? {x | x2 ? 2x ? 8 ? 0} ? {x | ?2 ? x ? 4} , ?2?
所以, A ? B ? {x | 0 ? x ? 4} ,故选 C. 3.C 【解析】 由直线 y ? 3x 与曲线 y ? x2 , 解得 {

x

x?0 y?0

或{

x?3 y ?3

, 所以直线 y ? 3x 与曲线 y ? x2

的交点为 O ? 0,0? 和 A ? 3,3? ,因此,直线 y ? 3x 与曲线 y ? x2 所围成的封闭图形的面积是

1 ? 9 ?3 ,故选 C. S ? ? 3x ? x 2 dx ? ? x 2 ? x3 ? |3 0? 3 ? 2 ?2 0

3

?

?

4.D 【 解 析 】 因 为 函 数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? (? ? 0, ? ?

?
2

) 的最小正周期是 ? ,所以,

2?

?

? ? , ? ? 2 , 所以 f ? x? ? sin? 2x ? ? ? ,将其图象向右平移

? 个单位后得到的函数为 3

2? ? ? g ? x ? ? sin ? 2 x ? ?? ? , 又 因 为 g ? x ??s 3 ? ?
? 2? ? ? ? ? k? , 可得 ? ? ? , 则 f ?x ? ? s i n 3 3

? i? n ?

2 ? x

2? ? ?? ? 为 奇 函 数 , 所 以 3 ?

?? ? ? 5? ? ? 5? ? ? 2 ? ? ? 1, ?x ? ?, f ? ? ? sin ? 3? ? ? 12 ? ? 6 3?

所以函数 y ? f ? x ? 的图象关于直线 x ? 5.C

5? 对称,故选 D. 12

2 【解析】根据全称命题的否定是特称命题知 A 正确;由于 x ? 1 可得 x ? 3x ? 2 ? 0 ,而由

x 2 ? 3x ? 2 ? 0 得 x ? 1 或 x ? 2 ,所以“ x ? 1 ”是“ x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件
正确;命题 p ? q 为假命题,则 p, q 不一定都是假命题,故 C 错;根据逆否命题的定义可知 D 正确,故选 C. 6.A 【解析】 试题分析:正视图和侧视图完全相同时,牟合方盖相对的两个曲面正对前方,正视图为一个 圆,而俯视图为一个正方形,且有两条实线的对角线,选 A. 考点:三视图
答案第 1 页,总 11 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

7.A 【解析】 试题分析:设圆上任一点为 Q ? x0 , y0 ? , PQ 中点为 M ? x, y? ,根据中点坐标公式得,

? x0 ? 2 x ? 4 2 2 , 因 为 Q ? x0 , y0 ? 在 圆 x ? y ? 4 上 , 所 以 x02 ? y02 ? 4 , 即 ? ? y0 ? 2 y ? 2

? 2x ? 4?

2

? ? 2 y ? 2 ? ? 4 ,化为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 ,故选 A.
2

考点:1、圆的标准方程;2、 “逆代法”求轨迹方程. 【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、 “逆代法”求轨迹方程,属于难题.求轨迹方程的 常见方法有:①直接法,设出动点的坐标 ? x, y ? ,根据题意列出关于 x, y 的等式即可;②定 义法,根据题意动点符合已知曲线的定义,直接求出方程;③参数法,把 x, y 分别用第三个 变量表示,消去参数即可;④逆代法,将 ? 法④求 M 的轨迹方程的. 8.B 【解析】

? ? x0 ? g ? x ? 代入 f ? x0 , y0 ? ? 0 .本题就是利用方 ? ? y0 ? h ? x ?

?a1qa1q 4 ? 2a1q 2 ? 试题分析:设等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公比为 q ,由题意知 ? 5 ,解 3 6 ?a1q ? 2a1q ? 2 ? ? 4 1 ? a1 (1 ? q5 ) ?q ? 得? ? 31 ,故选 B. 2 ,所以 S5 ? 1? q ? ?a1 ? 16
考点:等比数列通项公式及求前 n 项和公式. 【一题多解】由 a2 a5 ? 2a3 ,得 a4 ? 2 .又 a4 ? 2a7 ?

5 1 1 ,所以 a7 ? ,所以 q ? ,所以 2 4 2

a1 ? 16 ,所以 S5 ?
9.B

a1 (1 ? q5 ) ? 31 ,故选 B. 1? q

【解析】 由题意, PF1 ? 2 PF2 , PF1 ? PF2 ? 2a,? PF1 ? 4a, PF2 ? 2a , 连接 MF 1 , MF 2,
? ? 根据双曲线的对称性可得 MF 1 PF2 为平行四边形, ??MF 2 N ? 60 ,??F 1PF 2 ? 60 ,由
2 2 2 余弦定理可得 4c ? 16a ? 4a ? 2? a a ?

?c ?

a ?e ?

c ? a

,故选 B.

【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率,属于中档题.求解与 双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析,既使不画出图形,思考时也要联想到图形, 当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时,要理清它们之间的关系,挖
答案第 2 页,总 11 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 e 用有关的一些量表示出来, 再利用其中的 一些关系构造出关于 e 的等式,从而求出 e 的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构 造出关于 e 的等式,最后解出 e 的值. 10.D 【解析】 因为函数 f ? x ? 满足 f ? x ? ? f ? 上, f ? x ? ? f ?

?1? ?1 ? 且当 x ? ? ,1? 时, f ? x ? ? lnx , 则在 ?1, ? ? ?, ?? ? ?x?

1 ?1? ?1 ? ? ? ln ? ?lnx ,若当 x ? ? , ? ? 时,函数 g ? x ? ? f ? x ? ? ax 与 x 轴有 x ? x? ?? ? ?1 ? , ?ln? ? 的斜率 a ? ?? ln? , ?? ?

交点,即函数 y ? f ? x ? , y ? ax 的图象有交点,如图过 ?

则实数 a 的取值范围为 ?? ln? ,0 ,综上所述,故选 D. 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、数形结合思想的应用,属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系, 通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种 重要思想方法,是中学数学四种重要的数学思想之一,尤其在解决选择题、填空题是发挥着 奇特功效,大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透, 这样才能快速找准突破点. 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简,并迎刃而 解. 11. ?

?

?

1 3

【解析】

y 表示平面区域内的点与 x?3 y 1? 0 1 ?? . 定点 P(3, 0) 连线的斜率,由图知斜率 k AP 最小,所以 的最小值为 0?3 3 x?3
试题分析:作出实数 x , y 满足的平面区域,如图所示,因为

答案第 3 页,总 11 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

考点:简单的线性规划问题. 12. ?

2 5 5

【解析】抛物线的焦点为 F ?1,0 ? ,设直线 l 的方程为, y ? k ? x ?1? ,即 kx ? y ? k ? 0 ,

? 直线 l 与圆 ? x ? 4 ? ? y 2 ? 4 相切, ?
2

4k ? k k ?1
2

解得 k ? ? ? 2,

2 5 2 5 , 故答案为 ? . 5 5

13.

7 9

【 解 析 】 ?s i n ?

?? ? ?? ? ? ?6 ?

c? o? s

1 2

?c? os

3 2

? ?s i n ? ? ?c o ? s? ?

? ?

??

1 s? in ,则 ? 6 3 ?

?? ? c o? s ?2? ? ? ? 1 3? ?
14. ?

7 ?? 7 2? 2 s? i? n ? ? ,故选答案为 . ? 9 6? 9 ?

1 2
解 析 】



2 x ? 2, x ? 1 f ? x? ? { ,? f log 2 ? x ? 1? , x ? 1

3 ?5? ? ? ? log 2 2 ?2?



? ? 5 ?? f ? f ? ?? ? ? ? 2 ??

? f ? log 2 ?

1 3 ? log2 3 3 1 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ,故答案为 ? . ??2 2 2? 2 2

【思路点睛】 本题主要考查分段函数的解析式、 已知分段函数解析式求函数值, 属于中档题. 对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一, 这类问题的特点是综合性强, 对抽象思维能 力要求高,因此解决这类题一定要层次清出,思路清晰。本题解答分两个层次:首先求出

? ? 5 ?? ?5? f ? ? 的值,进而得到 f ? f ? ? ? 的值; ?2? ? ? 2 ??
15.

2 3 3
????

【解析】

? ???? ??? ? 3 ???? ??? ? ???? 1 ??? ? 3 ???? 3 ??? BC ,得 AD ? AB ? ( AC ? AB ) ,即 AD ? AB ? AC ,因为 4 4 4 4 ??? ? ???? t ??? ? 3t ???? AC , 又 因 为 点 E 在 射 线 AD ( 不 含 点 A ) 上 移 动 , 所 以 AE ? t AD ? AB ? 4 4 ??? ? ??? ? ??? ? t 3t ,所以 ? ? , ? ? (t ? 0) , A E? ? A B ? ? AC 4 4
试题分析:由 BD ? 则? ?

1

?

?

t 4 2 3 4 3 t 4 1 2 3 (当且仅当 ? ,即 t ? 时取等号) ;故填 . ? ?2 ? 4 3t 3 3 4 3t 3 3

答案第 4 页,总 11 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

考点:1.平面向量的线性运算;2.基本不等式. 【规律点睛】本题考查平面向量的线性运算和基本不等式的应用,属于中档题;在利用基本 不等式求函数的最值时,要注意基本不等式的适用条件(一正,二定,三相等) ,在本题中, 要正确根据点 E 在射线 AD(不含点 A)上移动,得到 t ? 0 ,最后不要忽视验证等号是否成 立(即当且仅当两个数相等时,取得等号). 16. (1) C ? 【解析】 试题分析: (1)根据正弦定理和三角形内角和定理,化简 2cos C ? a cos B ? b cos A? ? c 得

?
2

; (2) 5 ? 7 .

cos C ?

1 1 3 3 3 ? C? ; , (2) 利用三角形面积公式 S ? ab? 求得 ab ? 6 . sin C ? ab ? 2 2 2 4 2
2

利用余弦定理,求得 ? a ? b ? ? 3ab ? 7 ,由此求得 a ? b ? 5 , a ? b ? c ? 5 ? 7 . 试题解析: (1) 2cos C ? a cos B ? b cos A? ? c 由正弦定理得: 2cos C ?sin A? cos B ? sin B? cos A? ? sin C ,

2cos C? sin ? A ? B? ? sin C ,∵ A ? B ? C ? ? , A、B、C ? ? 0, ? ?
∴ sin ? A ? B ? ? sin C ? 0 ,∴ 2 cos C ? 1, cos C ?

1 ? ,∵ C ? ? 0, ? ? ,∴ C ? . 2 2

cos C , (2)由余弦定理得: c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab?

1 3 3 3 1 2 7 ? a 2 ? b 2 ? 2ab? , ? a ? b ? ? 3ab ? 7 , S ? ab? ,∴ ab ? 6 , sin C ? ab ? 2 2 4 2
∴ ? a ? b ? ? 18 ? 7 , a ? b ? 5 ,∴ ?ABC 周长为 a ? b ? c ? 5 ? 7 .
2

考点:解三角形. 17. (1)证明见解析; (2)

8 3. 3

【解析】 试题分析: (1) 连接 B1C 交 BC1 于点 M , 连结 DM , 根据中位定理得出 AB1 ? DM , 根据线面平行的判定定理可得 AB1 ?平面 BC1D ; (2)以 ?BCD 作棱锥的底面,则 CC1 为 棱锥的高,根据棱锥的体积公式可得结果. 试题解析: (1)连接 B1C 交 BC1 于点 M ,连接 DM ,

在 ?ACB1 中, D 为 AC 中点, M 为 BC1 中点, 所以 DM / / AB1 ,
答案第 5 页,总 11 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

又因为 AB1 ? 平面 BC1D ,
DM ? 平面 BC1D

所以 AB1 / / 平面 BC1D .

(2)因为 CC1 ? 底面 ABC ,所以 CC1 为三棱锥 C1 ? DBC 的高, 所以 VD ?C1CB ? VC1 ? BCD ?
18. (1) an ?

1 1 1 8 S ?BCD ? CC1 ? ? ? 2 ? 2 3 ? 4 ? 3 3 3 2 3

1 1? 1 ? n n? N* ; (2) ? ?1 ? ? ?1? . 2n ? 1 4? 2n ? 1 ? ?

?

?

【解析】 试题分析: (1) ? a1 ? 1, an?1 ?

an 1 1 ? 2? , ? n ? N? ? ,两边取倒数可得 2an ? 1 an?1 an



?1? 1 1 ( 2) ? ? 2 , ? 数列 ? ? 为等差数列,首项为 1 ,公差为 2 ,进而可得结果; an?1 an ? an ?
n

bn ? ? ?1? ? n an an?1 ? ? ?
法可得结果. 试题解析:

?

n

n

? 2n ?1?? 2n ? 1?

1

? ??

?

n

1? 1 1 ? 利用裂项相消 ? ? ?, 4 ? 2n ?1 2n ? 1 ?

( (1)∵ an ?1 ?

an 1 1 1 1 ,∴ ? 2 ? ,∴ ? ?2 an?1 an an?1 an 2an ? 1



?1? 1 ? 1 ,∴数列 ? ? 是以 1 为首项,2 为公差的等差数列 a1 ? an ?
1 1 ? 2n ? 1 ,∴ an ? ?n ? N* ? . 2n ? 1 an
n



(2)由(1)知, bn ? ? ?1?

1 1 1 ? n ? ? ? ? ?1? ? ? ? ? ? 2n ?1?? 2n ? 1? 4 ? 2n ? 1 2 n ? 1 ? n

答案第 6 页,总 11 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

∴ Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn

?

1 ? ?1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 1 ?? n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? ? ? ?? ? 4 ? ?1 3 ? ? 3 5 ? ? 5 7 ? ? 2n ?1 2n ? 1 ? ?
1? 1 ? n . ?1 ? ? ?1? ? 4? 2n ? 1 ? ? 39 . 4

?

19. (1)证明见解析; (2)

【解析】 试题分析: (1) 推导出四边形 BCDQ 为平行四边形, 从而 CD ? BQ .又 QB ? AD . 从而 BQ ? 平面 PAD ,根据面面垂直的判定定理可得平面 PQB ? 平面 PAD ; (2)以 Q 为 原点, QA 为 x 轴, QB 为 y 轴, QP 为 z 轴,建立空间直角坐标系.利用空间向量夹角 余弦公式可确定 M 的位置,进而可得结果. 试题解析:

(1)∵ AD / / BC , BC ?

1 AD , Q 为 AD 的中点, 2

∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴ CD / / BQ 又∵ ?ADC ? 90? ,∴ ?AQB ? 90? ,即 QB ? AD . 又∵平面 PAD ? 平面 ABCD ,且平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD ∴ BQ ? 平面 PAD ,∵ BQ ? 平面 PQB , ∴平面 PQB ? 平面 PAD . (2)∵ PA ? PD , Q 为 AD 的中点,∴ PQ ? AD ∵平面 PAD ? 平面 ABCD ,且平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD ∴ PQ ? 平面 ABCD 如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系,

答案第 7 页,总 11 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

平面 BQC 的法向量为 n ? ? 0,0,1?

?

???? ? ??? ? 又 PQ ? 3 ,∴设 PM ? ? PC ? ? ?1, 3, ? 3 , ? ??0,1?

?

?

???? ? ??? ? ???? ? QM ? QP ? PM ? 0, 0, 3 ? ?? , 3? , ? 3? ? ?? , 3? , 3 ? 3?

?

? ?

? ?

?

??? ? ? 又 QB ? 0, 3, 0 ,设平面 MBQ 的法向量为 m ? ? x, y, z ?

?

?

3y ? 0 ? ? ? ? 取 m ? ? 3,0, { ? 1? ? ? ?? x ? 3? y ? 3 ? 3? z ? 0 ?

?

?

?? m· n 3 3 ?? ? ∵二面角 M ? BQ ? C 为 30 ,∴ cos30 ? ? ? ? 2 4 m· n
?

?

???? ? ? 3 3 3 3? 39 ∴ QM ? ? ? , ? 4 4 , 4 ? ? ,∴线段 QM 的长为 4 . ? ?
20. (1) 2 + 2 = 1(2)轴上存在点(4 , 0) 【解析】试题分析: (1)利用椭圆的定义求出 a 的值,进而可求 b 的值,即可得到椭圆的标 准方程; (2)先利用特殊位置,猜想点 Q 的坐标,再证明一般性也成立即可 试题解析: (1)由题意知, = 1 根据椭圆的定义得:2 = 即 = 2 2 = 2 ? 1 = 1, ∴椭圆的标准方程为 2 + 2 = 1 (2)假设在轴上存在点( , 0),使得 · = ? 16恒成立. ① 当直线 的斜率为0时,( 2, 0),(? 2, 0). 则( 2 ? , 0) ·(? 2 ? , 0) = ? 16 解得= ± 4.
5 7 7

2

5

( ?1 ? 1 ) 2 + ( ) 2 +
2

2

2 2

=2 2

2

答案第 8 页,总 11 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

② 当直线 的斜率不存在时,(1, ),(1, ? ).
2 2

2

2

则(1 ? , 2 ) ·(1 ? , ? 2 ) = ? 16 解得= 4或= 4 ③ 由①②可知当直线 的斜率为0或不存在时,= 使得 ? = ? 成立.
4 16 5 7 5 3

2

2

7

下面证明= 4即(4 , 0)时 ? = ? 16恒成立. 设直线 的斜率存在且不为0时,直线 方程为 = ( ? 1),(1 , 1 ),(2 , 2 ) 由{
=(?1)
2
2

5

5

7

+2 =1

,可得(22 + 1)2 ? 42 + 22 ? 2 = 0 ∴ 1 + 2 = 42 22 ? 2 , = 1 2 22 + 1 22 + 1
22 ?2 22 +1

∵ 1 = (1 ? 1),2 = (2 ? 1) ∴1 ? 2 = (1 ? 1) ? (2 ? 1) = 2 [1 2 ? 2(1 + 2 ) + 1] = 2 [ ?
42 22 +1

+ 1] =

?2 22 +1

5 5 5 25 ∴ ? = (1 ? , 1 ) ? (2 ? , 2 ) = 1 2 ? (1 + 2 ) + + 1 2 4 4 4 16 =
5

22 ? 2

5 42 25 ?2 7 ? ? + + =? 2 2 2 4 16 16 2 + 1 2 + 1 2 + 1
7

综上所述:在轴上存在点(4 , 0),使得 ? = ? 16恒成立. 考点:直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程 21. (1) f ? x ? 在 0, m 递增,在

?

?

?

m , ?? 递减. (2)证明见解析.

?

【解析】试题分析: (1)当求出函数的导数,解关于导函数的不等式,可求出函数的单调区 间即可; ; (2)求出 g ? x ? 的导数,构造函数 u ? x ? ? xe ? 2m 求出 M , N 的表达式,构造函
x

数 h ? x? ?

3 x2 x xlnx ? ? ? ln2 ? 1? ? 1 ,根据函数的单调性证出结论. 2 2 2

试题解析:

(1)由题意知, x ? 0 , f ? ? x ? ?

2m ? 2 x 2 , x

m ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 ? 0, ??? 递减,

m ? 0 时,令 f ? ? x ? ? 0 ? 0 ? x ? m ,令 f ? ? x ? ? 0 ? x ? m ,
∴ f ? x ? 在 0, m 递增,在

?

?

?

m , ?? 递减.

?

答案第 9 页,总 11 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

(2)证明: g ? ? x ? ?

xe x ? 2m , x

m ? 0 时, g? ? x ? ? 0 恒成立, g ? x ? 在 ? 0, ??? 递增,无最小值,
由(1)知,此时 f ? x ? 无最大值,故 m ? 0 . 令 u ? x ? ? xex ? 2m ,则 u? ? x ? ? ex ? xex ? 0 , ∵ u ? 0? ? ?2m ? 0 , u ? 2m ? ? 2m e 2 m ? 1 ? 0 , 故存在唯一 x0 ? ? 0, 2m? ,使得 u ? x0 ? ? 0 ,即 m ? 列表如下:

?

?

x0 e x0 , 2

由(1)得:

M? f

? m ? ? mlnm ? m ,

N ? g ? x0 ? ? ex0 ? 2mlnx0 ,
x0 e x0 代入上式有: 2

由题意 M ? N ,即 nlnm ? m ? ex0 ? 2mlnx0 ,将 m ?

x0e x0 x0e x0 x0e x0 x0e x0 x0 ln ? ?e ?2 lnx0 2 2 2 2
化简得:

x2 x 3 x0lnx0 ? 0 ? 0 ? ln2 ? 1? ? 1 ? 0 (*) 2 2 2 3 x2 x 3 1 xlnx ? ? ? ln2 ? 1? ? 1 , h? ? x ? ? ? lnx ? 1? ? x ? ? ln2 ? 1? , 2 2 2 2 2
1 1? 9 ? 4 ? ln2 ? ? 0 , h? ? ? ? ? ? 5ln2 ? 0 , 2 ?8? 8

构造函数 h ? x ? ?

显然 h? ? x ? 单调递增,且 h? ?1? ?

则存在唯一 t ? ? 0,1? ,使得 h? ? t ? ? 0 . 且 x ? ? 0, t ? 时, h? ? x ? ? 0 , h ? x ? 单调递减; x ? ? t , ?? ? 时, h? ? x ? ? 0 , h ? x ? 单
答案第 10 页,总 11 页

本卷由系统自动生成,请仔细校对后使用,答案仅供参考。

调递增.

1 又 h ?1? ? ? ln2 ? 1 ? 0 ,故 h ? x ? ? 0 只会在 ? t , ?? ? 有解, 2
而 h ? 2? ? 3ln2 ? 2 ? ? ln2 ?1? ? 2ln2 ? 0 故(*)的解是 x0 ? 1 ,则 m ?

x0 e x0 e ? . 2 2

【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、不等式的证明,属于难题. 不等式证明问题是近年高考命题的热点,命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西 不等式相结合,导数部分一旦出该类型题往往难度较大,要准确解答首先观察不等 式特点,结合已解答的问题把要证的不等式变形,并运用已证结论先行放缩,然后 再化简或者进一步利用导数证明.

答案第 11 页,总 11 页


相关文章:
...附属中学2017届高三上学期第三次模拟考试数学(理)试...
山东师范大学附属中学2017届高三上学期第三次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。山东师大附中 2014 级高三第三次模拟考试 数学...
山东省师大附中2017届高三第三次模拟考试数学(文)试题 ...
山东省师大附中2017届高三第三次模拟考试数学(文)试题 Word版缺答案_数学_高中教育_教育专区。山东师大附中 2014 级高三第三次模拟考试 数学(文史类)试题命题人:...
2017届高三第三次模拟考试数学(理)试题(含答案)
2017届高三第三次模拟考试数学(理)试题(含答案)_...本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两...
江西师大附中2017届高三第三次模拟考试数学(理)试卷+Wo...
江西师大附中2017届高三第三次模拟考试数学(理)试卷+Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。江西师大附中2017届高三第三次模拟考试数学(理)试卷+Word版含...
江西师大附中2017届高三第三次模拟考试数学(理)试卷
江西师大附中2017届高三第三次模拟考试数学(理)试卷_高三数学_数学_高中教育_教育专区。更多资源,请进入http://taoti.tl100.com/ ...
2017届高三第三次模拟试卷(数学理)(含答案)word版
2017届高三第三次模拟试卷(数学理)(含答案)word版_高三数学_数学_高中教育_...江西师大附中高三年级理科数学第三次模拟试卷 第Ⅰ卷 选择题(共 50 分) 一、...
2017年高三下学期第三次模拟考试数学(理)试题含答案
2017高三下学期第三次模拟 考试数学(理)试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 考试时间 120 分钟,满分 150 分. 第Ⅰ卷一、选择题(本...
山东省师大附中2017届高三第八次模拟考试数学(理)试题
山东省师大附中2017届高三第次模拟考试数学(理)试题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。绝密 ★ 启用前 试卷类型 A 山东师大附中 2014 级高三第八次模拟考试 ...
山东省师大附中2017届高三第三次模拟考试化学试题 Word...
山东省师大附中2017届高三第三次模拟考试化学试题 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。山东师大附中 2014 级高三第三次模拟考试 化学试题 出题人:刘晓华 分钟。...
2017届山东师大附中高考数学三模试卷(文科)(解析版)
2017届山东师大附中高考数学三试卷(文科)(解析版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2017 年山东师大附中高考数学三试卷(文科)一、选择题:本大题共 10 小...
更多相关标签: