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高二数学2.1.2离散型随机变量的分布列(一).ppt


高二数学 选修2-3

2.1.2离散型随机变 量的分布列(1)

【温故知新】
1. 随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.

随机变量常用希腊字母X、Y、ξ、η等表示。

2、离散型随机变量
所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散 型随机变量。 如果

随机变量可能取的值是某个区间的一切值, 这样的随机变量叫做连续型随机变量.

【实例引入】
在随机试验掷一枚骰子中,我们可以定义一个随机

变量X , X 的值分别对应试验所得的点数.
X 取每个值的概率分别是多少?

解:X的取值有1、2、3、4、5、6
则 P ( X ? 1) ?
1 1 P ( X ? 2) ? 6 6 1 1 P ( X ? 4) ? P ( X ? 5) ? 6 6 P ( X ? 3) ? 1 6 1 P ( X ? 6) ? 6

列成 1 2 3 4 5 X 表的 1 1 1 1 1 P 6 6 6 6 6 形式 该表不仅列出了随机变量X的所有取值. 而且列出了X的每一个取值的概率.

6
1 6

分布列

【定义得出】
定义:概率分布列(分布列)
设离散型随机变量X可能取的值为 x1 , x2 ,? ? ?, xn X取每一个值xi (i=1,2,…,n) 的概率 P( X ? xi ) ? pi 则称表

X P

x1 p1

x2 p2

… …

xn pn

为随机变量X的概率分布列,简称X的分布列. 也可用 P(X=xi)= pi ,i=1,2,3 …n 表示X的分布列. 思考:根据随机变量的意义与概率的性质,你能得出分 布列有什么性质? 注:1.离散型随机变量的分布列具有下述两个性质:

(1) pi ? 0, i ? 1,2,? ? ?, n

(2) p1 ? p2 ? ? ? ? ? pn ? 1

2.概率分布还经常用图象来表示.(这有点类似于函数)

【典型例题】
例1. 某一射手射击所得环数ξ 的分布列如下: ξ P 4
0.02

5
0.04

6
0.06

7
0.09

8
0.28

9
0.29

10
0.22

求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率. 分析: “射击一次命中环数≥7”是指互斥事件 “ξ=7”, “ξ=8”, “ξ=9”, “ξ=10” 的和. 解: 根据射手射击所得环数ξ 的分布列,有 P(ξ=7)=0.09,P(ξ=8)=0.28, P(ξ=9)=0.29, P(ξ=10)=0.22, 所求的概率为 P(ξ≥7)=0.09+ 0.28+ 0.29+ 0.22= 0.88

课堂练习:
1、下列A、B、C、D四个表,其中能成为随机变量 ? 的 分布列的是(B )

A

?
P

0
0.6

1
0.3

B

?
P

0
0.9025

1
0.095

2
0.0025

C

?

0 1 2 … n
2 1 4
1 … 1 2 n ?1 8

D

?

2
1 3

1
1 3
i

2
1 3

P 1

P

?1? 2、设随机变量 ? 的分布列为 P(? ? i ) ? a? ? , i ? 1,2,3 ? 3? 则 的值为 . 27 13

a

例3、一个口袋里有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取 出3只,以X表示取出的3个球中的最小号码,试写出X的分 布列. 解: 随机变量X的可取值为 1,2,3. 当X=1时,即取出的三只球中的最小号码为1,则其它两 只球只能在编号为2,3,4,5的四只球中任取两只,故有 2 3 注:在写出X的分布列 P(X=1)= C4 / C5 =3/5; 后,要及时检查所有 同理可得 P(X=2)=3/10;P(X=3)=1/10. 的概率之和是否为1. 2 3 因此,X 的分布列如下表所示 X 1 P 3/5 3/10 1/10 练习:将一枚骰子掷2次,求 随机变量两次掷出的最大点 数X的概率分布. X 1 P
1 36

2
3 36

3
5 36

4

5

6

7 9 11 36 36 36

求离散型随机变量的概率分布的方法步骤:
1、找出随机变量ξ的所有可能的取值 xi (i ? 1, 2,?); 2、求出各取值的概率 3、列成表格。

P(? ? xi ) ? pi ;

例4 一盒中放有大小相同的红,绿,黄色三种小球, 红球数是绿球数的两倍,黄球数是绿球数的一半, 现从中随机取出一球,若取出红球得1分,取出绿 球得0分,取出黄球得-1分,试写出从该盒内随机取出 一球所得分数ξ的分布列. 解:随机变量X的可取值为 1,0,-1. 设黄球的个数为n,则绿球的个数为2n, 红球的个数为4n,盒中球的个数为7n,所以 4n 4 2n 2 P(ξ=1)= 7 n= , P(ξ=0)= = , 7 7n 7 n
1 P(ξ=-1)= = . 7n 7

ξ

1

0

-1

所以从该盒中随机取出一球

所得分数ξ的分布列为:

P

4 7

2 7

1 7

学习小结: 1、理解离散型随机变量的分布列的意义,会 求某些简单的离散型随机变量的分布列; 2、掌握离散型随机变量的分布列的两个基本 性质,并会用它来解决一些简单问题;
会求离散型随机变量的概率分布列:
(1)找出随机变量ξ的所有可能的取值 xi (i ? 1, 2,?);
(2)求出各取值的概率 P(? ? xi ) ? pi ; (3)列成表格。 明确随机变量的具体取值 所对应的概率事件

例2、一盒中放有大小相同的4个红球、1个绿球、 2个黄球,现从该盒中随机取出一个球,若取出 红球得1分,取出黄球得0分,取出绿球得 -1分, 试写出从该盒中取出一球所得分数X 的分布列。

例如:抛掷两枚骰子,点数之和为ξ,则ξ可 能取的值有:2,3,4,……,12. ξ的概率分布为:
ξ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 p 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36

课堂练习:
3、设随机变量的分布列如下:

?
P

1
K

2
2K

3
4K




n

2 K

n ?1

求常数K。
4、袋中有7个球,其中3个黑球,4个红球,从袋中 任取个3球,求取出的红球数 ? 的分布列。

例4: 已知随机变量?
?

的分布列如下:

-2
1 12

-1
1 4
1

0
1 3

1
1 12

2
1 6

3
1 12

P

分别求出随机变量⑴ ?1 ? ? ;⑵ ? 2 ? ? 2 的分布列. 2 1 1 3 1 ? ? 1 ? 、0、 、1、 ⑴由 ?1 ? ? 可得 1 的取值为 、 解: 2 2 2 2 且相应取值的概率没有变化 ∴ ? 1 的分布列为:

?1

-1
1 12

1 ? 2
1 4

0
1 3

1 2
1 12

1
1 6

3 2
1 12

P

例4: 已知随机变量?
?

的分布列如下:

-2
1 12

-1
1 4
1 2

0
1 3

1
1 12

2
1 6

3
1 12

P

分别求出随机变量⑴ ?1 ? ? ;⑵ ? 2 ? ? 2 的分布列.

解:⑵由 ?2 ? ? 2 可得?2 的取值为0、1、4、9
P(?2 ? 0) ? P(? ? 0) ?

P(?2 ? 4) ? P(? ? ?2) ? P(? ? 2) ? 1 ? 1 ? 1

1 3

P(?2 ? 1) ? P(? ? ?1) ? P(? ? 1) ?
1 12
12 6

1 1 ? ? 4 12

1 3

P(?2 ? 9) ? P(? ? 3) ?
∴ ?2 的分布列为:

4

?2

0
1 3

1
1 3

4
1 4

9
1 12

P

思考1.一个口袋里有5只球,编号为1,2,3,4,5,在袋中 同时取出3只,以ξ表示取出的3个球中的最小号码,试 写出ξ的分布列.

思考2.将一枚骰子掷2次,求下列随机变量的概率分布. (1)两次掷出的最大点数ξ; (2)第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数之差η .

例3:将一枚骰子掷2次,求下列随机变量的概率分布. (1)两次掷出的最大点数ξ;(2)两次掷出的最小点数η; (3)第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数之差ζ. 解:(1)ξ=k包含两种情况,两次均为k点,或一个k点,另 1 ? ( k ? 1) ? 2 2k ? 1 ? 一个小于k点,故P(ξ=k)= ,k=1,2,3,4,5,6.
6? 6 36

(2)η=k包含两种情况,两次均为k点,或一个k点,另一 个大于k点,故 P(η=k)= 1 ? (6 ? k ) ? 2 ? 13 ? 2k ,k=1,2,3,4,5,6.
6? 6 36

(3)ζ的取值范围是-5,-4,…,4,5.ζ=-5,即第一次 是1点,第二次是6点;……,从而可得ζ的分布列是: ζ -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 p
1 36
2 36 3 4 36 36 5 36

6 36

5 36

4 36

3 2 1 36 36 36


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