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2013《金版新学案》高三数学一轮复习 4-5 三角函数的图象练习 (文) 全国.重庆专版


第4章

第5节

(本栏目内容,学生用书中以活页形式单独装订成册!) 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) π π 1. 已知简谐运动 f(x)=2sin?3x+φ??|φ|<2?的图象经过点(0,1), 则该简谐运动的最小正周 ? ?? ? 期 T 和初相 φ 分别为 ( π A.T=6,φ= 6 π C.T=6π,φ= 6

π B.T=6,φ= 3 π D.T=6π,φ= 3 )

1 【解析】 将(0,1)点代入 f(x)得 2sin φ=1 即 sin φ= , 2 π π 2π 又∵|φ|< .∴φ= ,而 T= =6. 2 6 π 3 【答案】 A π 2.(2009 年山东卷)将函数 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位,再向上平移 1 个单位, 4 所得图象的函数解析式是 ( A.y=cos 2x π C.y=1+sin?2x+4? ? ? B.y=2cos2x D.y=2sin2x )

π π 【解析】 将函数 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位,得到函数 y=sin2?x+4?,即 y= ? ? 4 π sin?2x+2?=cos 2x 的图象,再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式为 y=1+cos 2x ? ? =2cos2x,故选 B. 【答案】 B π π 3.函数 y=sin?2x-3?在区间?-2,π?上的简图是 ? ? ? ? ( )

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π 3 【解析】 令 x=0 得 y=sin?-3?=- , ? ? 2 π π 淘汰 B,D.由 f?-3?=0,f?6?=0, ? ? ? ? 淘汰 C,故选 A. 【答案】 A 4.如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置 O 的距离 s cm 和时间 t s 的函数关 π 系式为 s=6sin?2πt+6?,那么单摆来回摆动一次所需的时间为 ? ? ( )

A.2π s C.0.5 s 2π 【解析】 T= =1,∴选 D. 2π 【答案】 D

B.π s D.1 s

π 5.函数 f(x)=3sin?2x-3?的图象为 C,下列结论中正确的是 ? ? ( π A.图象 C 关于直线 x= 对称 6 π B.图象 C 关于点?-6,0?对称 ? ? π 5π C.函数 f(x)在区间?-12,12?内是增函数 ? ? π D.由 y=3sin 2x 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 C 3 π 【解析】 选项 A 错误,由于 f?6?=0≠± 3,故 A 错. ? ?
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)

由于正弦函数图象的对称点是图象的平衡点, π π π 3 3 因为 f?-6?=3sin?-2·-3?=- , 6 ? ? ? ? 2 π 所以?-6,0?不在函数图象上. ? ? 此函数图象不关于这点对称,故 B 错误. π 选项 C 正确,令 u=2x- , 3 π 5π π π 当- <x< 时,- <u< , 12 12 2 2 π π 由于 y=3sinu 在?-2,2?上是增函数,所以选项 C 正确. ? ? π 选项 D 错误,由于 y=3sin 2x 的图象向右平移 3 π 2π 得 y=3sin2?x-3?,即 y=3sin?2x- 3 ?的图象而不是图象 C.综上,选 C. ? ? ? ? 【答案】 C π 6.若函数 y=Asin(ωx+φ)+m(A>0)的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为 ,直线 2 π x= 是其图象的一条对称轴,则它的解析式是 3 ( π A.y=4sin?4x+6? ? ? π C.y=2sin?4x+3?+2 ? ? π B.y=2sin?2x+3?+2 ? ? π D.y=2sin?4x+6?+2 ? ? )

?A+m=4 ? 【解析】 由条件得:? ?A=m=2, ? ?-A+m=0



2π π = ?ω=4, ω 2

故 f(x)=2sin(4x+φ)+2, π 而 x= 是函数图象的一条对称轴, 3 π 4π 故有 f?3?=2sin? 3 +φ?+2=4 或 0, ? ? ? ? 4π 5π 即 sin? 3 +φ?=± ? ? 1?φ=kπ- 6 (k∈Z), π 5π 故 f(x)=2sin?4x+6?+2 或 f(x)=2sin?4x- 6 ?+2, ? ? ? ? 故只有 D 符合条件. 【答案】 D 二、填空题(每小题 6 分,共 18 分)
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π π π 7.函数 f(x)=tan ωx(ω>0)的图象中相邻的两支截直线 y= 所得线段长为 ,则 f?4?= ? ? 4 4 ________. π π 【解析】 ∵T= = ,∴ω=4.∴f(x)=tan 4x, ω 4 π f?4?=0. ? ? 【答案】 0 8.函数 y=Asin(ωx+φ)(A、ω、φ 为常数,A>0,ω>0)在闭区间[-π,0]上的图象如 图所示,则 ω=________.

π 2 T π 2 【解析】 由函数 y=Asin(ωx+φ)的图象可知: =?-3?-?-3π?= ,∴T= π. ? 3 2 ? ? ? 3 2π 2 ∵T= = π,∴ω=3. ω 3 【答案】 3 1 π 9. 在函数 f(x)=cos( x- )的图象中, 相邻的对称轴与对称中心之间的距离是________. 2 6 T 【解析】 由函数式知 T=4π,则图象上相邻的对称轴与对称中心的距离为 =π. 4 【答案】 π

三、解答题(46 分) π 10.(15 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< ,x∈R)的图象的一部分如 2 图所示. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 y=f(x)+f(x+2)的最大值与最小值.

【解析】

2π π (1)由图象知 A=2,周期 T=8.∵T= =8,∴ω= .又图象经过点(-1,0), ω 4

π ∴2sin(- +φ)=0. 4 π π ∵|φ|< ,∴φ= , 2 4
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π π ∴f(x)=2sin( x+ ). 4 4 π π π π π (2)y=f(x)+f(x+2)=2sin( x+ )+2sin( x+ + ) 4 4 4 2 4 π π π π π π =2sin( x+ )+2cos( x+ )=2 2sin( x+ ) 4 4 4 4 4 2 π =2 2cos x, 4 ∴y=f(x)+f(x+2)的最大值为 2 2,最小值为-2 2. 11. 分)(2009 年重庆卷)设函数 f(x)=(sin ωx+cos ωx)2+2cos2ωx(ω>0)的最小正周期 (15 2π 为 . 3 (1)求 ω 的值; π (2)若函数 y=g(x)的图象是由 y=f(x)的图象向右平移 个单位长度得到,求 y=g(x)的单 2 调增区间. 【解析】 (1)f(x)=sin2ωx+cos2ωx+2sin ωxcos ωx+1+cos 2ωx

=sin 2ωx+cos 2ωx+2 π = 2sin?2ωx+4?+2 ? ? 2π 2π 3 依题意得 = ,故 ω= . 2ω 3 2 (2)依题意得 π π g(x)= 2sin?3?x-2?+4?+2 ? ? ? ? 5π = 2sin?3x- 4 ?+2. ? ? π 5π π 由 2kx- ≤3x- ≤2kπ+ (k∈Z)解得 2 4 2 2 π 2 7π kπ+ ≤x≤ kπ+ (k∈Z). 3 4 3 12 2 π 2 7π 故 g(x)的单调增区间为?3kπ+4,3kπ+12?(k∈Z) ? ? 12.(16 分)据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在 6 千元的基础上,按月呈 f(x)= Asin(ωx+φ)+B(A>0)的模型波动(x 为月份),已知 3 月份达到最高价 8 千元,7 月份价格最 低为 4 千元;该商品每件的售价为 g(x)(x 为月份),且满足 g(x)=f(x-2)+2. (1)分别写出该商品每件的出厂价函数 f(x)、售价函数 g(x)的解析式; (2)问哪几个月能盈利? 【解析】 π π (1)f(x)=Asin(ωx+φ)+B,由题意可得 A=2,B=6,ω= ,φ=- , 4 4

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π π 所以 f(x)=2sin?4x-4?+6(1≤x≤12,x 为正整数), ? ? π 3 g(x)=2sin?4x-4π?+8(1≤x≤12,x 为正整数). ? ? π 2 (2)由 g(x)>f(x),得 sin x< . 4 2 3 π 9 2kπ+ π< x<2kπ+ π,k∈Z, 4 4 4 ∴8k+3<x<8k+9,k∈Z, ∵1≤x≤12,k∈Z,∴k=0 时,3<x<9, ∴x=4,5,6,7,8; k=1 时,11<x<17,∴x=12. ∴x=4,5,6,7,8,12. 答:其中 4,5,6,7,8,12 月份能盈利.

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