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福建师大附中2012-2013学年高二数学上学期期末考试试题 理(含解析)新人教A版


福建师大附中 2012-2013 学年高二(上)期末考试 数学试卷(理科)
一、选择题:本大题有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求. 2 1. 分)命题:“? x∈R,x ﹣x+2≥0”的否定是( (5 ) 2 2 2 2 A.? x∈R, ﹣x+2≥0B.? x∈R, ﹣x+2≥0C.? x∈R, ﹣x+2<0

D.? x∈R, ﹣x+2<0 x x x x 考点: 命题的否定.. 分析: 利用含量词的命题的否定形式是:将“? “改为“? ”结论否定,写出命题的否定. 解答: 解:利用含量词的命题的否定形式得到: 2 命题:“? x∈R,x ﹣x+2≥0”的否定是 2 “? x∈R,x ﹣x+2<0” 故选 C 点评: 考查含有全称量词的命题的否定.注意与否命题的区别. 2. 分)下列有关命题的说法正确的是( (5 ) 2 2 A.命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为“若 x =1,则 x≠1” 2 2 B.命题“若 x=y,则 x =y ”的逆否命题是假命题 2 2 C.命题“若 a +b ≠0,则 a,b 全不为 0”为真命题 D.命题“若 α ≠β ”,则 cosα ≠cosβ ”的逆命题为真命题 考点: 命题的真假判断与应用;四种命题.. 专题: 阅读型. 分析: 根据否命题的定义,写出否命题判断 A 是否正确; 根据命题与其逆否命题同真、同假,通过判定命题的真假来判断 B 是否正确; 根据命题的条件与结论,判断 C 是否正确; 写出否命题,根据否命题与逆命题是互为逆否命题,来判断 D 的真确性. 2 解答: 解:对 A,否命题应是:若 x ≠1,则 x≠1,∴A 错误; ∵命题是真命题,∴其逆否命题也是真命题,故 B 错误; 2 2 ∵若 a +b ≠0,a、b 可有一个为零,∴C 错误; 对 D,否命题是:若 α =β ,则 cosα =cosβ .是真命题,∴D 正确. 点评: 本题考查命题的真假判断及四种命题关系. 3. 分)抛物线 y=ax 的焦点坐标为( (5 A. B.
2

) C.

D.

考点: 抛物线的简单性质.. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 将抛物线方程化成标准形式,得到其焦点在 y 轴上.再分 a 的正负进行讨论,分别对 照焦点在 y 轴上抛物线的标准形式,即可得到该抛物线的焦点坐标.

1

解答: 2 2 解:∵抛物线 y=ax 的标准形式是 x = y ∴y=ax 表示焦点在 y 轴上的抛物线, 2 2 而焦点在 y 轴的抛物线的标准方程为 x =2py 或 x =﹣2py, (p>0) ①当 a>0 时,2p= ,可得 = ,此时焦点为 F(0, , ) ) ;
2

②当 a<0 时,2p=﹣ ,可得 =﹣

∵焦点为 F(0,﹣ ) ,∴该抛物线的焦点坐标为 F(0, 综上所述,抛物线的焦点为 F(0, )

故选:C 点评: 本题给出抛物线的方程含有字母参数 a,求它的焦点坐标,着重考查了抛物线的标准 方程与简单几何性质等知识,属于基础题. 4. 分) (5 已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, E 为上底面 A1C1 的中心, 点 若 则 x、y 的值分别为( ) A.x=1,y=1 B. x=1,y= + ,

C.

x= ,y=

D.

x= ,y=1

考点: 棱柱的结构特征;空间向量的加减法.. 专题: 计算题;作图题. 分析: 画出正方体,表示出向量 ,为 + 解答: 解:如图, + 故选 C. + ( ) .

的形式,可得 x、y 的值.

点评: 本题考查棱柱的结构特征,向量加减运算,是基础题. 5. 分)在如图所示的正方体 A1B1C1D1ABCD 中,E 是 C1D1 的中点,则异面直线 DE 与 AC 夹角 (5 的余弦值为( )

2

A. ﹣

B.



C.

D.

考点: 异面直线及其所成的角.. 专题: 计算题;空间角. 分析: A1D1 中点,连接 EF、DF、A1C1,用三角形的中位线和平行线的传递性,证出 EF∥AC, 取 得∠DEF (或其补角) 就是异面直线 DE 与 AC 所成的角. 然后在△DEF 中求出各边的长, 再利用余弦定理即可算出异面直线 DE 与 AC 夹角的余弦值. 解答: 解:取 A1D1 中点,连接 EF、DF、A1C1, ∵正方形 ABCD﹣A1B1C1D1 中,A1A∥C1C 且 A1A=C1C ∴四边形 AA1C1C 是平行四边形,可得 A1C1∥AC 又∵△A1C1D1 中,EF 是中位线 ∴EF∥A1C1,且 EF= A1C1. 由此可得 EF∥AC,得∠DEF(或其补角)就是异面直线 DE 与 AC 所成的角 设正方体的棱长为 a,则△DEF 中 DF=DE= = a,EF= A1C1= a

由余弦定理,得 cos∠DEF=

=

>0

可得∠DEF 是锐角,因此∠DEF 是异面直线 DE 与 AC 所成的角,余弦值为 故选:D

点评: 本题在正方体中求异面直线所成角的余弦值, 着重考查了正方体的性质和异面直线所 成角的定义及求法等知识,属于基础题.

6. 分)过点 P(2,﹣2) (5 ,且与 A. B.

有相同渐近线的双曲线方程是( C. D.



3

考点: 双曲线的简单性质.. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设所求的双曲线方程是 =k,由点 P(2,﹣2)在双曲线方程上,求出 k 值, 即得所求的双曲线方程. 解答: 解:由题意知,可设所求的双曲线方程是 ∵点 P(2,﹣2)在双曲线方程上, 所以 ,∴k=﹣2,

=k,

故所求的双曲线方程是



故选 B. 点评: 本题考查双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,解题的关键是根据渐近 线方程相同设所求的双曲线方程是 =k,属于基础题.

7. 分)“方程 (5 A.

+

=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的充分不必要条件是( C.2<m<3 D.1<m<3



B.1<m<2

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断.. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据题意,先求出“方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的充要条件对应 的取值集合 A,再将集合 A 的不等式范围与各个选项加以对照,即可得到所求充分不 必要条件. 解答: 解:设条件 P:“方程 + =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”,P 的充要条件对应 m 的取值集合为 A 则 A 的不等式为:3﹣m>m﹣1>0,解之得 1<m<2 ∴A={m|1<m<2} ∵条件 P 的充分不必要条件对应的取值集合必定是集合 A 的真子集, ∴对照各个选项,可得 A 项是符合题意的选项 故选:A 点评: 本题给出含有字母参数的椭圆,求它表示焦点在 y 轴上椭圆的充分不必要条件,着重 考查了椭圆的标准方程和充分必要条件的判断等知识,属于基础题.

4

8. 分)已知△ABP 的顶点 A、B 分别为双曲线 (5

的左、右焦点,顶点 P 在

双曲线 C 上,则 A. B.

的值等于(

) C. D.

考点: 双曲线的简单性质;三角形中的几何计算.. 专题: 计算题. 分析: 由题意得|PB﹣PA|=8,|AB|=2 ,再利用正弦定理进行求解. 解答: 解:由题意得:|PB﹣PA|=8, |AB|=2 , 从而由正弦定理,得 .

故选 C. 点评: 本题考查双曲线的性质和应用,解题时要熟练掌握双曲线的性质,注意正弦定理的合 理运用. 9. 分) (5 已知抛物线 y =﹣4x 上的焦点 F, P 在抛物线上, A 点 点 (﹣2, , 1) 则要使|PF|+|PA| 的值最小的点 P 的坐标为( ) A. B. C. D.
2

考点: 抛物线的简单性质;两点间的距离公式.. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用抛物线的定义,将点 P(m,n)到焦点 F 的距离|PF|转化为它到准线 l:x=1 的距 离,利用不等式即可求得答案. 2 解答: 解:∵抛物线 y =﹣4x 的焦点 F, ∴F(﹣1,0) ,其准线方程为 l:x=1; ∵点 P 在抛物线上,点 A(﹣2,1) , 设点 P 在准线 l:x=1 上的射影为 P′, 则|PF|=|PP′|, ∴|PF|+|PA|=|PA|+|PP′|≥|AP′|=3(当 A,P,P′三点共线时取“=”) . 此时 P 点的纵坐标为 n=1, 由 1 =﹣4m 得:m=﹣ . ∴点 P 的坐标为(﹣ ,1) . 故选 A. 点评: 本题考查抛物线的简单性质,考查转化思想与不等式思想,属于中档题. 10. 分)已知正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分别是 AB、AD 的中点,GC⊥平面 ABCD,且 (5 GC=2,则点 B 到平面 EFG 的距离为( )
5
2

A.

B.

C.

D.1

考点: 点、线、面间的距离计算.. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: 利用题设条件推导出 BD∥平面 EFG,从而得到 BD 和平面 EFG 的距离就是点 B 到平面 EFG 的距离,作 OK⊥HG 交 HG 于点 K,由两平面垂直的性质定理知 OK⊥平面 EFG,所 以线段 OK 的长就是点 B 到平面 EFG 的距离. 解答: 解:如图,连接 EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD 分别交 AC 于 H、O. 因为 ABCD 是正方形,E、F 分别为 AB 和 AD 的中点,故 EF∥BD,H 为 AO 的中点. 由直线和平面平行的判定定理知 BD∥平面 EFG, 所以 BD 和平面 EFG 的距离就是点 B 到平面 EFG 的距离. ∵BD⊥AC,∴EF⊥HC. ∵GC⊥平面 ABCD,∴EF⊥GC, ∵HC∩GC=C,∴EF⊥平面 HCG. ∵EF? 平面 EFG,∴平面 EFG⊥平面 HCG,HG 是这两个垂直平面的交线. 作 OK⊥HG 交 HG 于点 K,由两平面垂直的性质定理知 OK⊥平面 EFG, 所以线段 OK 的长就是点 B 到平面 EFG 的距离. ∵正方形 ABCD 的边长为 4,GC=2, ∴AC=4 ,HO= ,HC=3 . ∴在 Rt△HCG 中,HG= = . 由于 Rt△HKO 和 Rt△HCG 有一个锐角是公共的, 故 Rt△HKO∽△HCG. ∴OK= = = . .

即点 B 到平面 EFG 的距离为 故选 B.

点评: 本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、点到平面的距离等 有关知识,考查学生的空间想象能力和思维能力,属于中档题.解决此类问题应该注 意从三维空间向二维平面的转化,从而找到解题的捷径.

11. 分)椭圆 (5

的四个顶点 A,B,C,D 构成的四边形为菱形,若 ) D.

菱形 ABCD 的内切圆恰好过焦点,则椭圆的离心率是( A. B. C.

6

考点: 圆与圆锥曲线的综合;椭圆的简单性质.. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,设出直线 AB 的方程,利用菱形 ABCD 的内切圆恰好过焦点,可得原点到直 线 AB 的距离等于半焦距,从而可求椭圆的离心率. 解答: 解:由题意,不妨设点 A(a,0) ,B(0,b) ,则直线 AB 的方程为: 即 bx+ay﹣ab=0 ∵菱形 ABCD 的内切圆恰好过焦点 ∴原点到直线 AB 的距离为 ∴a b =c (a +b ) 2 2 2 2 2 2 ∴a (a ﹣c )=c (2a ﹣c ) 4 2 2 4 ∴a ﹣3a c +c =0 4 2 ∴e ﹣3e +1=0 ∴ ∵0<e<1 ∴ 故选 C. 点评: 本题重点考查椭圆的几何性质,解题的关键是利用菱形 ABCD 的内切圆恰好过焦点, 得到原点到直线 AB 的距离等于半焦距.
2 2 2 2 2

12. 分)双曲线 (5 A.

的实轴长和焦距分别为( B. C.

) D.

考点: 双曲线的简单性质.. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出双曲线的实轴与双曲线的交点, 求出 a, 利用双曲线的渐近线方程求出焦距即可. 解答: 解:因为双曲线的实轴为 y=x,所以双曲线与实轴的交点为: (1,1) , 所以 a= ,2a=2 , 因为双曲线的渐近线是坐标轴,是等轴双曲线,所以双曲线的离心率为 , 所以 c=2,2c=4. 故选 C. 点评: 本题考查双曲线的基本性质的应用,考查计算能力. 二、填空题:本大题有 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在答卷的相应位置. 13. 分)已知向量 (5 垂直,则 k 等于 7 . , ,且 与

7

考点: 向量的数量积判断向量的共线与垂直.. 专题: 空间向量及应用. 分析: 由已知中向量 , 结合 的值. 解答: 解:∵向量 ∴ 又∵ ∴

,可求出向量

的坐标,

与 垂直,两向量的数量积为 0,构造关于 k 的方程,解方程可得 k



=(﹣k﹣1,﹣2,k﹣3) ⊥ ? =﹣k﹣1﹣4+3k﹣9=2k﹣14=0

解得 k=7 故答案为:7 点评: 本题考查的知识点是向量的数量积判断向量垂直,其中根据两向量垂直数量积为 0, 构造关于 k 的方程是解答的关键.

14. 分) F1, 2 是椭圆 (5 设 F 的面积为 1 .

的两个焦点, P 在椭圆上, 点 且

, 则△F1PF2

考点: 椭圆的简单性质.. 专题: 计算题. 分析: 先根据 得出∠F1PF2=90°,设出|PF1|=m,|PF2|=n,利用椭圆的定义求得 n+m 的值,平方后求得 mn 和 m +n 的关系,代入△F1PF2 的勾股定理中求得 mn 的值, 即可求出△F1PF2 的面积. 解答: 解:∵ ∴∠F PF =90°,
1 2 2 2

设|PF1|=m,|PF2|=n,由椭圆的定义可知 m+n=2a=4, 2 2 2 2 2 2 ∴m +n +2nm=4a ,∴m +n =4a ﹣2nm 2 2 2 由勾股定理可知 m +n =4c , 求得 mn=2,则△F1PF2 的面积为 1. 故答案为:1. 点评: 本题主要考查了椭圆的应用、椭圆的简单性质和椭圆的定义等基础知识,考查运算求 解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题. 15. 分)已知抛物线 y =8x,F 为其焦点,P 为抛物线上的任意点,则线段 PF 中点的轨迹 (5 2 方程是 y =4x﹣4 . 考点: 轨迹方程..
8
2

专题: 运动思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 分析: 先求焦点坐标,假设动点 P 的坐标,从而可得中点坐标,利用 P 是抛物线 y =8x 上的 动点,代入抛物线方程即可求得. 2 解答: 解:抛物线的焦点为 F(2,0)设 P(p,q)为抛物线一点,则 q =8p, 设 Q(x,y)是 PF 中点,则:x= ,y= ,将 p=2x﹣2,q=2y 代入:q =8p 得:y =4x
2 2

﹣4, 2 故答案为:y =4x﹣4. 点评: 本题主要考查轨迹方程的求解,利用了代入法,关键是寻找动点之间的关系,再利用 已知动点的轨迹求解. 16. 分)有一抛物线形拱桥,中午 12 点时,拱顶离水面 2 米,桥下的水面宽 4 米;下午 (5 2 点,水位下降了 1 米,桥下的水面宽 米. 考点: 抛物线的应用.. 专题: 计算题. 2 分析: 由题设条件,设抛物线方程为 x =﹣2py,利用拱顶离水面 2 米,桥下的水面宽 4 米, 2 得到抛物线方程为 x =﹣2py 过点(2,﹣2) ,由此求出抛物线方程后能求出水面宽. 2 解答: 解:设抛物线方程为 x =﹣2py, ∵拱顶离水面 2 米,桥下的水面宽 4 米, 2 ∴抛物线方程为 x =﹣2py 过点(2,﹣2) , 2 所以 p=1,x =﹣2y, 当 y=﹣3 时, , 所以桥下的水面宽 米. 故答案为:2 . 点评: 本题考查抛物线的应用, 解题时要认真审题, 仔细解答, 注意分析题设中的数量关系, 合理地建立抛物线方程. 17. 分)如图,甲站在水库底面上的点 D 处, (5 乙站在水坝斜面上的点 C 处, 已知测得从 D、 C 到库底与水坝的交线的距离分别为 米、 CB=10 米, 的长为 10 米, 的长为 AB CD 米,则库底与水坝所成的二面角的大小为 135 度.

考点: 二面角的平面角及求法.. 专题: 空间角;空间向量及应用. 分析: 利用向量的运算法则和模的计算公式、二面角的定义即可得出. 解答: 解:如图所示, , ∴ = + ,

9

∵ 又 ∴ 解得

, , =

,∴ , , + ,∴

. . , .

∴库底与水坝所成的二面角=180°﹣45°=135°. 故答案为 135°. 点评: 熟练掌握向量的运算法则和模的计算公式、二面角的定义是解题的关键. 18. 分)已知平面 α 经过点 A(1,1,1) (5 ,且

是它的一个法向量.类

比曲线方程的定义以及求曲线方程的基本步骤, 可求得平面 α 的方程是 x+2y+3z﹣6=0 . 考点: 类比推理.. 专题: 证明题. 分析: 设点 P(x,y,z)为平面 α 上任意一点,可得向量 方程. 解答: 解:设点 P(x,y,z)为平面 α 上任意一点, 则 因为 所以 =(x﹣1,y﹣1,z﹣1) , 平面 α 的一个法向量, =1?(x﹣1)+2(y﹣1)+3(z﹣1)=0,

的坐标,由

=0 可得平面

化简可得 x+2y+3z﹣6=0,即平面 α 的方程为 x+2y+3z﹣6=0, 故答案为:x+2y+3z﹣6=0 点评: 本题考查类比推理,熟练掌握轨迹方程的求解及向量的数量积的运算时解决问题关 键,属基础题. 三、解答题:本大题有 5 题,共 60 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19. (12 分)在如图的多面体中,EF⊥平面 AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC,BC=2AD=4,EF=3, AE=BE=2,G 是 BC 的中点. (Ⅰ) 求证:AB∥平面 DEG; (Ⅱ) 求二面角 C﹣DF﹣E 的余弦值.

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考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定;二面角的平面角及求法.. 专题: 计算题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)由 AD∥EF,EF∥BC,知 AD∥BC.由 BC=2AD,G 是 BC 的中点,知四边形 ADGB 是平行四边形,由此能证明 AB∥平面 DEG. (Ⅱ) EF⊥平面 AEB, 由 AE? 平面 AEB, BE? 平面 AEB, EF⊥AE, 知 EF⊥BE, AE⊥EB, 由 知 EB,EF,EA 两两垂直.以点 E 为坐标原点,EB,EF,EA 分别为 x,y,z 轴建立空 间直角坐标系,利用向量法能够求出二面角 C﹣DF﹣E 的余弦值. 解答: (Ⅰ)证明:∵AD∥EF,EF∥BC, ∴AD∥BC. 又∵BC=2AD,G 是 BC 的中点, ∴ , ∴四边形 ADGB 是平行四边形,∴AB∥DG. ∵AB?平面 DEG,DG? 平面 DEG, ∴AB∥平面 DEG.?(6 分) (Ⅱ)解:∵EF⊥平面 AEB,AE? 平面 AEB,BE? 平面 AEB, ∴EF⊥AE,EF⊥BE, 又∵AE⊥EB,∴EB,EF,EA 两两垂直.?(7 分) 以点 E 为坐标原点,EB,EF,EA 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 由已知得 A(0,0,2) ,B(2,0,0) ,C(2,4,0) ,F(0,3,0) ,D(0,2,2) ,G (2,2,0) , 由已知得 =(2,0,0)是平面 EFDA 的法向量,

设平面 DCF 的法向量 =(x,y,z) , ∵ =(0,﹣1,2) , =(2,1,0) ,



,解得 =(﹣1,2,1) .

设二面角 C﹣DF﹣E 的平面角为 θ , 则 cosθ =cos< , >= =﹣ . .

∴二面角 C﹣DF﹣E 的余弦值为﹣

11

点评: 本题考查直线与平面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,解题时要认真审题, 仔细解答,注意向量法的合理运用. 20. (10 分)已知抛物线 C:y =4x 与直线 y=2x﹣4 交于 A,B 两点. (1)求弦 AB 的长度; (2)若点 P 在抛物线 C 上,且△ABP 的面积为 12,求点 P 的坐标. 考 直线与圆锥曲线的关系;三角形的面积公式;两点间的距离公式.. 点: 专 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 题: 分 (1)利用弦长公式即可求得弦 AB 的长度; 析: (2)设点 S△PAB= ? ,利用点到直线的距离公式可表示出点 P 到 AB 的距离 d, ?d=12,解出即可;
2

解 解: (1)设 A(x1,y1) 、B(x2,y2) , 答: 2 由 得 x ﹣5x+4=0,△>0. 由韦达定理有 x1+x2=5,x1x2=4, ∴|AB|= = , 所以弦 AB 的长度为 3 .

(2)设点

,设点 P 到 AB 的距离为 d,则



∴S△PAB= ?

?

=12,即



12



,解得 yo=6 或 yo=﹣4

∴P 点为(9,6)或(4,﹣4) . 点 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、点到直线的距离公式及三角形的面积公式,考查 评:学生的计算能力,属中档题.

21. (12 分)已知双曲线 C 与椭圆 (1)求双曲线 C 的方程; (2)若直线 原点) ,求 k 的取值范围.

有相同的焦点,实半轴长为



与双曲线 C 有两个不同的交点 A 和 B,且

(其中 O 为

考 直线与圆锥曲线的关系;双曲线的标准方程.. 点 : 专 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 题 : 分 析 (1)设双曲线的方程为 : 的平方关系即可求得 b 值; (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则由

,由已知易求 a,c,根据 a,b,c

,可得 = >2, 联立方程组消掉 y, 根据韦达定理即可得到

关于 k 的不等式,注意判别式大于 0,解出即得 k 的范围. 解 (1)设双曲线的方程为 答 解: : 由题意知, 故双曲线方程为 (2)将 代入
2


2 2 2

,∴b =c ﹣a =1,解得 b=1, . ,得





,且 k <1,





13

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则由 得



=

=

,得

. 又 k <1,∴
2

,解得 )∪( ,1) .



所以 k 的取值范围为(﹣1,﹣

点 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及双曲线标准方程的求解,考查向量数量积运算及 评 韦达定理的应用,考查学生的运算能力及对问题转化能力. : 22. (12 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=1,BD= ,∠ABD=90°,将它们沿对角线 BD 折起,折后的点 C 变为 C1,且 AC1=2. (1)求证:平面 ABD⊥平面 BC1D; (2) 为线段 AC1 上的一个动点, E 当线段 EC1 的长为多少时, 与平面 BC1D 所成的角为 30°? DE

考点: 用空间向量求直线与平面的夹角;平面与平面垂直的判定.. 专题: 空间角;空间向量及应用. 分析: (1)利用勾股定理及其逆定理、线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理即可证 明; (2)通过建立空间直角坐标系,利用斜线的方向向量与平面的法向量所成的角即可 得到线面角. 解答: (1)证明:∵AB=1,BD= ,∠ABD=90°,∴AD= = =BC, ∵AC1=2,∴ = ,∴ ,∴AB⊥BC1.

又 AB⊥BD,BC1∩BD=B,∴AB⊥平面 BC1D, ∵AB? 平面 ABD,∴平面 ABD⊥平面 BC1D. (2)在平面 BC1D 过点 B 作直线 l⊥BD,分别以直线 l,BD,BA 为 x,y,z 建立空间 直角坐标系 B﹣xyz, 则 A(0,0,1) 1(1, ,0) ,C ,D(0, ,0) ,
14

∴ 设

, ,则 ,



∴ 又

. 是平面 BC1D 的一个法向量,

依题意得

,即



解得

,即|C1E|=1 时,DE 与平面 BC1D 所成的角为 30°.

点评: 熟练掌握勾股定理及其逆定理、线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理、通过建 立空间直角坐标系并利用斜线的方向向量与平面的法向量所成的角求得到线面角是 解题的关键.

23. (14 分)如图,已知椭圆

,A1,A2,B1 是椭圆 C 的顶点,若

椭圆 C 的离心率

,且过点



(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)作直线 l,使得 l∥A2B1,且与椭圆 C 相交于 P、Q 两点(异于椭圆 C 的顶点) ,设直线 A1P 和直线 B1Q 的倾斜角分别是 α ,β ,求证:α +β =π .

考 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.. 点: 专 圆锥曲线的定义、性质与方程.

15

题: 分 (Ⅰ)利用椭圆的标准方程、离心率及其 abc 的关系即可得出; 析: (Ⅱ) 把直线 l 的方程与椭圆的方程联立得到根与系数的关系、 平行线之间的斜率关系、 直线斜率的计算公式、两角和的正切公式即可得出. 解 答: 解: (Ⅰ) 由已知得: , 解得 a=2, b=1, c= . ∴椭圆 C 的方程为

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知:A1(﹣2,0) 2(2,0) 1(0,1) ,A ,B . ∴ = . . ,设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) .

∵l∥A1B1,∴ 可设直线 l 的方程为

联立

消去 y 得 x ﹣2mx+2m ﹣2=0.

2

2

∵直线 l 与椭圆有不同的两个交点, ∴△=4m ﹣4(2m ﹣2)>0,即 ∴ .
2 2



∵P,Q 异于椭圆 C 的顶点,∴

,∴





∴tanα +tanβ =

=









∴tanα +tanβ =

=

=0,





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又∵α ,β ∈(0,π ) ,∴α +β ∈(0,2π ) ,故 α +β =π . 点 熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题的解法、根与系数的关系、平 评: 行线之间的斜率关系、直线斜率的计算公式、两角和的正切公式是解题的关键.

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