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主要抛物线一例


已知椭圆 C1:

,抛物线 C2:(y-m) =2px(p>0),且 C1、C2 的公共弦 AB 过椭圆 C1 的右焦点。

2

(1)当 AB⊥x 轴时,求 m、p 的值,并判断抛物线 C2 的焦点是否在直线 AB 上; (2)若 且抛物线 C2 的焦点在直线 AB 上,求 m 的值及直线 AB 的方程。

>
解;(1)当 AB⊥x 轴时,点 A、B 关于 x 轴对称,所以 m=0,

直线 AB 的方程为 x=1,从而点 A 的坐标为(1,

)或(1,-



因为点 A 在抛物线上,所以

,即

此时 C2 的焦点坐标为(

,0),该焦点不在直线 AB 上。

(2)当 C2 的焦点在 AB 时,由(1)知直线 AB 的斜率存在, 设直线 AB 的方程为



消去 y 得



设 A、B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),

则 x1,x2 是方程①的两根,x1+x2= 因为 AB 既是过 C1 的右焦点的弦,又是过 C2 的焦点的弦,

所以

,且

从而

所以

,即

解得

,即

因为 C2 的焦点 所以 当 即

在直线

上,



时,直线 AB 的方程为



时,直线 AB 的方程为



据分析,试题“已知椭圆 C1:,抛物线 C2:(y-m)2=2px(p>0),且 C1、C2 的公共弦 AB 过椭..”主要

考查你对 抛物线的性质(顶点、范围、对称性、离心率),直线的方程,直线与椭圆方程的应用 等考点 的理解。关于这些考点的“档案”如下:因为篇幅有限,只列出部分考点,详细请访问魔方格学习社区。 抛物线的性质(顶点、范围、对称性、离心率)直线的方程直线与椭圆方程的应用 考点名称:抛物线的性质(顶点、范围、对称性、离心率) 抛物线的性质(见下表):

抛物线的焦点弦的性质:

关于抛物线的几个重要结论: (1)弦长公式同椭圆. (2)对于抛物线 y =2px(p>0), 我们有 P(x0, y0)在抛物线内部
2

P(x0, y0)在抛物线外部

(3)抛物线 y =2px 上的点 P(x1,y1)的切线方程是

2



物线 y =2px(p>0)的斜率为 k 的切线方程是 y=kx+ (4)抛物线 y =2px 外一点 P(x0,y0)的切点弦方程是 (5) 过 抛 物 线 y =2px 上 两 点
2 2

2

的 两 条 切 线 交 于 点 M(x0 , y0) , 则

(6) 自 抛 物 线 外 一 点 F,

P

作 两 条 切 线 , 切 点 为

A,B , 若 焦 点 为

又若切线 PA⊥PB,则 AB 必过抛物线焦点 F.

利用抛物线的几何性质解题的方法: 根据抛物线定义得出抛物线一个非常重要的几何性质:抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.利 用抛物线的几何性质,可以进行求值、图形的判断及有关证明. 抛物线中定点问题的解决方法: 在高考中一般以填空题或选择题的形式考查抛物线的定义、标准方程以及几何性质等基础知识,在解答题 中常常将解析几何中的方法、技巧与思想集于一身,与其他圆锥曲线或其他章节的内容相结合,考查综合 分析问题的能力,而与抛物线有关的定值及最值问题是一个很好的切人点,充分利用点在抛物线上及抛物 线方程的特点是解决此类题型的关键,在求最值时经常运用基本不等式、判别式以及转化为函数最值等方 法。 利用焦点弦求值: 利用抛物线及焦半径的定义,结合焦点弦的表示,进行有关的计算或求值。

抛物线中的几何证明方法: 利用抛物线的定义及几何性质、焦点弦等进行有关的几何证明是抛物线中的一种常见题型,证明时注意利 用好图形,并做好转化代换。


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