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2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《2.4.1抛物线及其标准方程》课件


2.4 抛 物 线 2.4.1 抛物线及其标准方程

1.抛物线的定义是什么?标准方程的四种形式 问题 各是什么? 引航 2.如何建系才能使方程最简单?怎样推导抛物 线的标准方程?

1.抛物线的定义 (1)定义:平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离 相等 的点的轨迹. _____ 点F 叫做抛物线的焦点. (2)焦点:

____

直线l 叫做抛物线的准线. (3)准线:_____

2.抛物线的标准方程 标准方程 y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) 图 形 焦点坐标
p ( ,0) 2 p ( ? ,0) 2 _____ p (0, ) 2 _____ p (0, ? ) 2 _____

准线方程
x?? p 2

p x? 2 _____ p 2 _____ y?? p 2 _____ y?

x2=2py (p>0)
x2=-2py (p>0)

1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)标准方程y2=2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距 离.( )

(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决 定.( )

(3)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是 抛物线.( )

【解析】(1)正确.抛物线的标准方程中p(p>0)即为焦点到准线
的距离,故该说法正确.

(2)正确.一次项决定焦点所在的坐标轴,一次项系数的正负决
定焦点是在正半轴或负半轴上,故该说法正确. (3)错误.当定点在定直线上时,不表示抛物线,故该说法错误. 答案:(1)√ (2)√ (3)×

2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)抛物线y2=4x的焦点坐标为 为 . ;准线方程

(2)若抛物线的方程为x=2ay2(a>0),则焦点到准线的距离 p= . .

(3)焦点坐标为(0,2)的抛物线的标准方程为

【解析】(1)因为y2=4x,所以p=2,所以焦点坐标为(1,0),
准线方程为x=-1.

答案:(1,0)

x=-1
2a

(2)因为x=2ay2(a>0),所以 y 2 ? 1 x,

由 2p ? 1 ,所以 p ? 1 .
2a 答案: 1 4a 4a

(3)因为焦点坐标为(0,2),故标准方程可设为x2=2py(p>0), 其中
p ? 2, 所以p=4. 2

故标准方程为x2=8y. 答案:x2=8y

【要点探究】 知识点 抛物线的定义及标准方程

1.对抛物线定义的两点说明 (1)定直线l不经过定点F. (2)定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个 确定的比值.

2.抛物线标准方程的特点 (1)是关于x,y的二元二次方程. (2)p的几何意义是焦点到准线的距离.

3.四种位置的抛物线标准方程的对比
(1)共同点:①原点在抛物线上;

②焦点在坐标轴上;
③焦点的非零坐标都是一次项系数的 1 .
4

(2)不同点:①焦点在x轴上时,方程的右端为±2px,左端为y2;
焦点在y轴上时,方程的右端为±2py,左端为x2. ②开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)正 半轴上,方程右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同, 焦点在x轴(或y轴)负半轴上,方程右端取负号.

【知识拓展】抛物线与二次函数的关系 二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),当b,c为0时, y=ax2表示焦点在y轴上的抛物线,标准方程为x2= 1 y,a>0时
a

抛物线开口向上,a<0时,抛物线开口向下,当抛物线的开口 方向向左或向右时,方程为y2=2px,表示一条曲线,不能称为 函数.

【微思考】

(1)定义中若去掉条件“l不经过F”,则此时点的轨迹是什么?
提示:若点F在直线l上,满足条件的动点P的轨迹是过点F且垂直

于l的直线,而不是抛物线.
(2)确定抛物线的标准方程时,一般需要确定几个量?

提示:确定两个量,一个是p,另一个是一次项系数的正负.

【即时练】 1.以 F(? 3 , 0) 为焦点的抛物线的标准方程是_________.
4

2.若抛物线y2=8x上一点P到其焦点的距离为9,则点P的坐标为 __________.

【解析】1.因为焦点F为 (? 3 , 所以抛物线方程可设为y2= 0),
4

-2px(p>0),由 ? p ? ? 3 ,所以 p ? ,
2 4

3 2

故标准方程为y2=-3x. 答案:y2=-3x

2.根据抛物线的定义,点P到抛物线准线的距离为9, 设P(x0,y0),则 x 0 ? p ? 9,
2

即x0+2=9,所以x0=7,代入y2=8x, 得 y 0 ? ?2 14, 所以P点坐标为 7, ? 2 14 .

答案: 7, ?2

?

? 14 ?

?

【题型示范】 类型一 求抛物线的标准方程

【典例1】
2 2 x y (1)已知双曲线C1: ? ? 1 (a>0,b>0)的离心率为2.若抛物 a 2 b2

线C2:x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则
抛物线C2的方程为(
8 3 A.x ? y 3 C.x 2 ? 8y
2

)
16 3 B.x ? y 3 D.x 2 ? 16y
2

(2)求适合下列条件的抛物线的标准方程: ①过点M(-6,6); ②焦点F在直线l:3x-2y-6=0上.

【解题探究】1.题(1)中抛物线的焦点坐标是什么? 2.题(2)①已知抛物线上一点,如何确定开口方向? ②中抛物线的焦点坐标是什么? 【探究提示】1.抛物线的焦点坐标为 (0, p ).
2

2.①中的点在第二象限,故抛物线的开口向上或向左; ②中抛物线的焦点坐标为(0,-3)或(2,0).

【自主解答】(1)选D.抛物线的焦点坐标为 (0, p ), 双曲线的渐 近线方程为 y ? ? x, 不妨取 y ? x, 即bx-ay=0,焦点到渐近线
p |a? | 2 ? 2, 的距离为 a 2 ? b2
b a b a 2

即 ap ? 4a 2 ? b 2 ? 4c, 所以 c ? p ,
a 4

又双曲线的离心率为2,所以 c ? p ? 2.
a 4

所以p=8,所以抛物线方程为x2=16y.

(2)①由于点M(-6,6)在第二象限, 所以过M的抛物线开口向左或开口向上. 若开口向左,焦点在x轴上, 设其方程为y2=-2px(p>0), 将点M(-6,6)代入可得36=-2p×(-6), 所以p=3,抛物线方程为y2=-6x;

若开口向上,焦点在y轴上, 设其方程为x2=2py(p>0), 将M(-6,6)代入可得36=2p×6,所以p=3. 所以抛物线的方程为x2=6y. 综上所述,抛物线的标准方程为y2=-6x或x2=6y.

②直线l与x轴的交点为(2,0), 若抛物线的焦点在x轴上, 所以抛物线的焦点是F(2,0), 所以
p ? 2, p ? 4. 2

抛物线的方程为y2=8x.

直线l与y轴的交点是(0,-3), 若抛物线的焦点在y轴上, 即抛物线的焦点是F(0,-3), 所以
p ? 3,p ? 6. 2

所以抛物线的标准方程为x2=-12y. 综上,所求抛物线的标准方程为y2=8x或x2=-12y.

【方法技巧】求抛物线标准方程的方法 (1)当焦点位置确定时,可利用待定系数法,设出抛物线的标准 方程,由已知条件建立关于参数p的方程,求出p的值,进而写出 抛物线的标准方程. (2)当焦点位置不确定时,可设抛物线的方程为y2=mx或x2=ny, 利用已知条件求出m,n的值.

【变式训练】(2013·新课标全国卷Ⅱ)设抛物线C:y2=2px(p>0) 的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则 C的方程为( A.y2=4x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x ) B.y2=2x或y2=8x D.y2=2x或y2=16x

【解析】选C.由题意知:F( p ,0), 准线方程为 x ? ? p ,则由抛物 线的定义知,x M ? 5 ? p ,设以MF为直径的圆的圆心为 ( 5 , y M ), 所以圆方程为 (x ? 5 ) 2 ? (y ? y M ) 2 ? 25 . 又因为过点(0,2),所以 yM=4,又因为点M在C上,所以 16 ? 2p(5 ? p ), 解得p=2或p=8,所
2 2 2 4 2 2 2 2 2

以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x.

【补偿训练】抛物线顶点在原点,对称轴是x轴,点 P(?5, 2 5) 到焦点的距离为6,求抛物线的标准方程. 【解析】设焦点F(a,0), PF ? ? a ? 5 ?2 ? 20 ? 6, 即a2+10a+9=0,解得a=-1或a=-9. 当焦点为F(-1,0)时,p=2,抛物线的开口向左,其方程为

y2=-4x;当焦点为F(-9,0)时,p=18,抛物线开口向左,其方
程为y2=-36x.

类型二

根据标准方程求焦点坐标和准线方程

【典例2】

(1)(2014·广州高二检测)已知圆x2+y2-6x-7=0与抛物线y2=
2px(p>0)的准线相切,则抛物线的准线方程为 .

(2)指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程.
①y= 1 x2.
4

②x=ay2(a≠0).

【解题探究】1.题(1)由圆与抛物线的准线相切,能得出什么结 论? 2.题(2)当抛物线方程中含参数时,如何求焦点和准线? 【探究提示】1.可得出圆心到准线的距离等于圆的半径.

2.如果抛物线方程中含参数,要先把其化成标准方程,对参数应
分类讨论,再求焦点和准线.

【自主解答】(1)圆x2+y2-6x-7=0可化为(x-3)2+y2=16,所以圆 心为(3,0),半径为4,因抛物线y2=2px(p>0)的准线 x ? ? p 与圆相切,故 | 3 ? p |? 4, 得p=2或p=-14(舍),所以准线方程为
2 2

x=-1. 答案:x=-1

(2)①抛物线 y ? 1 x 2 的标准形式为x2=4y,
4

所以p=2,

所以焦点坐标是(0,1),准线方程是y=-1.
②抛物线x=ay2(a≠0)的标准形式为 y 2 ? 1 x,
a

所以 2p ? 1 .
a

当a>0时,p ? 1 , 抛物线开口向右,
1 所以焦点坐标是 ( 1 ,0),准线方程是 x ? ? ; 4a 4a 2 4a

当a<0时, p ? ? 1 ,抛物线开口向左,
2 4a

所以焦点坐标是 ( 1 ,0),准线方程是 x ? ? 1 .
4a 4a

综上所述,当a≠0时,抛物线x=ay2的焦点坐标为 ( 方程为 x ? ? 1 .
4a

1 ,0),准线 4a

【延伸探究】题(2)②中,把方程改为x2=ay(a≠0),结果如 何? 【解析】方程x2=ay是抛物线的标准形式,由方程知,其焦点 在y轴上,其焦点坐标为 (0, a ),准线方程为 y ? ? a .
4 4

【方法技巧】求焦点坐标和准线方程的步骤

【变式训练】(2014·安徽高考)抛物线y= 1 x2的准线方程是
4

( A.y=-1 B.y=-2 C.x=-1 D.x=-2

)

【解题指南】将抛物线化为标准形式即可得出. 【解析】选A.y= x2?x2=4y, 所以抛物线的准线方程是y=-1.
1 4

【补偿训练】抛物线 y ? ? 1 x 2 的准线方程是(
8 A.x ? 1 32 B.x ? 1 2 8 C.y ? 2

)

D.y ? 4

【解析】选C.由 y ? ? 1 x 2,得x2=-8y, 所以准线方程为 y ? p ? 2.
2

类型三

抛物线的实际应用

【典例3】
(1)汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分,灯口所

在的圆面与反射镜的轴垂直,灯泡位于抛物线焦点处,已知灯口
的直径是24cm,灯深10cm,那么灯泡与反射镜顶点(即截得抛物 线顶点)间的距离是 .

(2)某抛物线形拱桥跨度是20米,拱桥高度是4米,在建桥时,每4 米需用一根支柱支撑,求其中最长支柱的长.

【解题探究】1.题(1)中应如何建系求解较简单? 2.题(2)中最长支柱应在什么位置? 【探究提示】1.以反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴,抛物线 的顶点为坐标原点建立坐标系. 2.最长支柱应是离拱高4米的位置2米处的支柱.

【自主解答】(1)取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴,抛物
线的顶点为坐标原点,建立直角坐标系xOy,如图所示.

因灯口直径|AB|=24,灯深|OP|=10,
所以点A的坐标是(10,12).

设抛物线的方程为y2=2px(p>0),
由点A(10,12)在抛物线上,得122=2p×10,所以p=7.2.

所以抛物线的焦点F的坐标为(3.6,0).因此灯泡与反射镜顶点
间的距离是3.6cm. 答案:3.6cm

(2)如图,建立直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p>0).依题
意知,点P(10,-4)在抛物线上,

所以100=-2p×(-4),2p=25.
即抛物线方程为x2=-25y. 因为每4米需用一根支柱支撑, 所以支柱横坐标分别为-6,-2,2,6. 由图知,AB是最长的支柱之一.

设点B的坐标为(2,yB), 代入x2=-25y,得 y B ? ? 4 . 所以 AB ? 4 ? 4 ? 3.84 ? 米 ? ,
25 25

即最长支柱的长为3.84米.

【方法技巧】求解抛物线实际应用题的五个步骤

【变式训练】如图是一种加热水和食物
的太阳灶,上面装有可旋转的抛物面形

的反光镜,镜的轴截面是抛物线的一部
分,盛水和食物的容器放在抛物线的焦

点处,容器由若干根等长的铁筋焊接在
一起的架子支撑.已知镜口圆的直径为12米,镜深2米,若把盛水 和食物的容器近似地看作点,则每根铁筋的长度为 米.

【解题指南】先建立直角坐标系,然后设出抛物线的标准方程 结合已知条件进而可得到p的值,从而可确定抛物线的方程和焦 点的位置.根据盛水的容器在焦点处,结合两点间的距离公式可 得到每根铁筋的长度.

【解析】如图,在反光镜的轴截面内建立 直角坐标系,使反光镜的顶点(即抛物线 的顶点)与原点重合,x轴垂直于镜口直径. 由已知,得A点坐标是(2,6), 设抛物线方程为y2=2px(p>0), 则36=2p×2,p=9.

所以所求抛物线的标准方程是y2=18x, 焦点坐标是 F( 9 , 0).
2

因为盛水和食物的容器在焦点处, 所以A,F两点间的距离即为每根铁筋长.
9 AF ? (2 ? ) 2 ? 62 ? 6.5. 2

故每根铁筋的长度是6.5米. 答案:6.5

【补偿训练】河上有一抛物线形拱桥,当水面距拱顶5 m时, 水面宽为8 m,一小船宽4 m,高2 m,载货后船露出水面上的 部分高 3 m, 问水面上涨到与抛物线拱顶相距______ m时,小
4

船不能通航.

【解题指南】先建立直角坐标系,设抛物线的标准方程,将点 (4,-5)代入求得p,得到抛物线方程,再把点(2,y1)代入, 求得y1,进而求得 3 ? | y1 | 得到答案.
4

【解析】建立直角坐标系, 设抛物线方程为x2=-2py(p>0). 将点(4,-5)代入求得 p ? .
8 5

所以 x 2 ? ? 16 y.
5

将点(2,y1)代入方程求得 y1 ? ? .

所以 3 ? y1 ? 3 ? 5 ? 2 ? m ? .
4 4 4

5 4

答案:2

【巧思妙解】巧用抛物线的定义解题 【典例】已知抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上的 点M(-3,m)到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和m的值.

【教你审题】

【常规解法】设抛物线方程为y2=-2px(p>0),则焦点 F( ? p ,0),
2

?m 2 ? 6p, ?m ? 2 6, 或 ?m ? ?2 6, 由题意可得 ? 解得 ? ? ? p 2 2 p ? 4 m ? (3 ? ) ? 5 , ? ? ?p ? 4, 2 ?

故所求的抛物线方程为y2=-8x.所以m的值为 ?2 6.

【巧妙解法】 设抛物线的方程为y2=-2px(p>0), 则 p ? 3 ? 5, 故p=4.
2

所以抛物线的方程为y2=-8x.将点(-3,m)代入抛物线方程得
m ? ?2 6.

【方法对比】

常规解法思路易得出,但需要解二元二次方程组,稍有疏
忽,则会解出错误的结果.而巧妙解法则是利用抛物线的定义,

得出简单一元一次方程,不易出错,解法简单 .

【教你一招】 巧用定义解与抛物线有关的问题 由抛物线的定义,可将两点间的距离转化为点到直线的距离, 将二次问题转化为一次问题,凡涉及焦点距离问题可转化为到 准线的距离求解.如本例即可转化为点M到准线的距离为5求解.

【类题试解】已知抛物线y=4x2上一点M到焦点的距离为1,求 点M的坐标. 【常规解法】将抛物线y=4x2化为标准形式为 x 2 ? 1 y,故焦点 坐标为 (0, 1 ),设M(x0,y0),
16 4

? 15 ? y0 ? 4x 0 2 , x ? ? , ? 0 ? ? 则? 解得 8 所以 M(? 15 , 15 ). ? 1 2 2 8 16 x ? (y ? ) ? 1, 15 ? 0 0 ? y0 ? , 16 ? ? 16 ?

【巧妙解法】将抛物线y=4x2化为标准形式为 x 2 ? 1 y, 故焦点 坐标为 (0, 1 ), 设M(x0,y0),
16 16 16 4

15 1 15 则 y0 ? 1 ? 1,所以 y 0 ? , 代入抛物线方程得 x 0 2 ? ? , 4 16

所以 x 0 ? ? 15 .
8

故点M坐标为 (? 15 , 15 ).
8 16


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