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复旦大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练:三角函数


单元训练:三角函数 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 1.已知角 ? 的终边上一点的坐标为 (sin A. 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

2? 3

B.

5? 6

2? 2? ,cos ), 则角 ? 的最小正值为( 3 3 5? 11? C. D. 3 6
)

)

2.在锐角三角形 ABC中,下列式子成立的是(

sin A cos A A. logcosC B. logsin C ?0 ?0 cos B cos B sin A cos A C. logsin C D. logsin C ?0 ?0 sinB sin B 3.在 ?ABC 中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是( )
A. b=10, A=45 , C=60 C. a=7, b=5, A=60
0 0

B. a=6, D. a=14,

c=5,

B=60

0 0

0

b=16, A=45

4.将函数 y ? sin( x ?

?
3

) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不

变) ,再将所得图象向左平移 A. y ? sin( x ?

?
3

个单位,则所得函数图象对应的解析式为(

)

1

?
3

2

) B. y ? sin(2 x ?
) C. 3 2

?
6

) C. y ? sin

1 2

x

D. y ? sin( x ?

1

?
6

2

)

23 5.sin(- π )的值是( 6 A. 1 2 B.- 1 2

D.-

3 2

6.为了得到函数 y ? sin(2 x ?

?

) 的图像,只需把函数 y ? sin(2 x ? ) 的图像( 3 6

?

)

? A.向左平移 4 个长度单位 ? C.向左平移 2 个长度单位
7.已知 ? ? ( , ?) , tan(? ?

? B.向右平移 4 个长度单位 ? D.向右平移 2 个长度单位

? 1 ) ) ? ,那么 sin? ? cos? 的值为( 4 7 1 7 3 7 A. ? B. C. ? D. 5 5 5 4 ? 8.已知 ?ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为 a, b, c, 且A ? , a ? 3 , b ? 1 ,则角B等于 3
( )

? 2

? A. 2

? B. 6

5? C. 6
1

?
D. 6



5? 6

9.锐角△ABC 中,tanA·tanB 的值( A.不小于 1 B.小于 1 10.若 tan ? ? 2 ,则 cos2θ =( ) A.

) C.等于 1 D.大于 1

4 5

B.-

11.已知 tan? ? 2, 那么 A.-2 12. 若 ? ? (0,

sin? ? cos? 的值为( 3 sin? ? 5 cos?
2 C.

4 5

C.

3 5
) 1 )

D.-

3 5

B.

D.

?

1 11

1 )且 sin 2 ? ? cos 2? ? , 则 tan ? ? ( 2 4
B.

A.

2 2

3 3

C. 第Ⅱ卷(非选择题

2
共 90 分)

D.

3

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.如图,函数

?? ? y ? 2 sin ??x ? ? ?, x ? R, ? 其中0 ? ? ? ? 的图像与y轴交于点(0,1). 设 2? ?

P是图像上的最高点,M、N是图像与 x 轴的交点,则 PM与 PN 的夹角的余弦值 为 .

14.如果 sin ??

? A? =

1 ?3 ? ,那么 cos ? ? ? A ? 的值是 2 ?2 ?


.

15.已知 sin( ? x) ? 16.设 sin ?

? 4

3 ,则 sin2 x 的值为_____ 5

?

3 ? 1 ( ? ? ? ? ), tan(? ? ? ) ? , 则 tan(? ? 2? ) 的值等于 5 2 2
3 、圆心角为 60? 的扇形的弧上任取一点 P ,作扇形的内接矩形 PNMQ ,

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.如图,在半径为

使点 Q 在 OA 上,点 N , M 在 OB 上,设矩形 PNMQ 的面积为 y ,

2

(1)按下列要求写出函数的关系式:

? x ,将 y 表示成 x 的函数关系式; ②设 ?POB ? ? ,将 y 表示成 ? 的函数关系式,
①设 PN (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,求出 y 的最大值. 18.如图,某观测站 C 在城 A 的南偏西 20? 的方向,从城 A 出发有一条走向为南偏东 40? 的公 路,在 C 处观测到距离 C 处 31km 的公路上的 B 处有一辆汽车正沿公路向 A 城驶去,行驶了 20km 后到达 D 处,测得 C,D 两处的距离为 21km,这时此车距离 A 城多少千米?

19.已知函数

f ( x) ? sin( ?x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 为偶函数,其图象上相邻的两个最高点之

间的距离为 2 ? 。

2 sin( ? ? ) ? 1 2 2 4 (1)求 f(x)的解析式; (2)若 sin? ? f (? ) ? ,求 的值。 3 1 ? tan?
20.一缉私艇 A 发现在北偏东 45 方向,距离 12 nmile 的海面上有一走私船 C 正以 10 nmile/h 的速度沿东偏南 15 方向逃窜.缉私艇的速度为 14 nmile/h, 若要在最短的时间内追上该走私 船,缉私艇应沿北偏东 45 ? ? 的方向去追,.求追及所需的时间和 ? 角的正弦值.
? ? ?

?

3

21.2011 年航空航天技术展览会在上海国际展览中心举行,一次飞行表演中,一架直升飞机在 海拔 800m 的高度飞行, 从空中 A 处测出前下方海岛两侧海岸 P、 处的俯角分别是 45 和 30 Q (如右图所示). (Ⅰ)试计算这个海岛的宽度 PQ . (Ⅱ)若两观测者甲、乙分别在海岛两侧海岸 P、Q 处同时测得飞机的仰角为 45 和 30 ,他们估 计 P、Q 两处距离大约为 600m,由此试估算出观测者甲(在 P 处)到飞机的直线距离. 22. ?ABC 中,内角 A B、C 的对边分别是 a、b、c ,已知 a、b、c 成等比数列,且 、
? ?

?

?

4 cos B ? . 5 1 1 (1)求 的值; ? tan A tan C

(2)设 BA ? BC ?

??? ??? ? ?

8 2 2 ,求 a ? c 的值. 5

4

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

【答案】D 【答案】D 【答案】C 【答案】D 【答案】A 【答案】B 【答案】A

8. 【答案】B 9. 【答案】D 10. 【答案】D 11. 【答案】D 12. 【答案】D

15 17 1 14. 【答案】 2 7 15. 【答案】 25 7 16. 【答案】 24
13. 【答案】 17. 【答案】 (1)①因为 ON

? 3 ? x 2 , OM ?
3 x, 3

3 x, 3

所以 MN ?

3 ? x2 ?

所以 y ? x( 3 ? x ?
2

3 3 x), x ? (0, ) . 3 2 3 ? 3 sin ? ? sin ? , 3

②因为 PN

? 3sin? , ON ? 3 cos? , OM ?

所以 MN 所以 y ?

? ON ? OM ? 3cos? ? sin?
3 sin ? ( 3 cos ? ? sin ? ) ,
2

即 y ? 3sin ? cos ? ? 3 sin

? ? , (? ? (0, )) 3
2

(2)选择 y ? 3sin ? cos ? ? 3 sin

? 3 , ? ? 3 sin(2? ? ) ?
6 2

Q ? ? (0, ) 3

?

? 2? ?

?

? 5? ?( , ) 6 6 6

5

所以 ymax ?

3 . 2

18. 【答案】在 ?BCD中, BC ? 31, BD ? 20, CD ? 21 ,由余弦定理

cos ?BDC ?

DB 2 ? DC 2 ? BC 2 20 2 ? 212 ? 312 1 ? ?? , 2 DB ? DC 2 ? 20 ? 21 7

所以 cos ?ADC ?

1 4 3 , , sin ?ADC ? 7 7

在 ?ACD中,由条件知 CD ? 21, A ? 60? ,

所以 sin ?ACD ? sin( 60? ? ?ADC ) ?

3 1 1 4 3 5 3 ? ? ? ? 2 7 2 7 14

由正弦定理

AD CD ? sin?ACD sin A

所以 AD ?

21 5 3 ? ? 15 3 14 2

故这时此车距离 A 城 15 千米 19. 【答案】 (1)由已知得: T

? 2?

?? ? 1



f ( x) ? sin( ?x ? ? ) 为偶函数,即 ? ?

?
2

? k? (k ? Z )

∵0 ??

??

∴?

?

?
2



f ( x) ? sin(x ? ) ? cos 2
2 2 5 得 sin? ? cos? ? ,则有 2 sin? cos? ? ? 3 3 9

?

(2)由 sin? ? f (? ) ?

2 sin( 2? ?

?
4

) ?1

1 ? tan ?

?

2 (sin 2? cos

?

cos ? ? sin ? cos ?

4

? cos 2? sin

?

4

?1

?

sin 2? ? cos 2? ? 1 cos ? ? sin ? cos ?

?

2 sin ? (cos ? ? sin ? ) 5 ? 2 sin ? cos ? ? ? cos ? ? sin ? 9 cos ?

6

20. 【答案】设 A,C 分别表示缉私艇,走私船的位置,设经过

x

小时后在 B 处追上,

则有

AB ? 14x, BC ? 10x, ?ACB ? 120?.?(14x) 2 ? 122 ? (10x) 2 ? 240x cos120? ,
? x ? 2, AB ? 28, BC ? 20, sin ? ? 5 3 . 14
PC ? tan ?CAP , AC

20 sin 120 ? 5 3 ? . 28 14

所以所需时间 2 小时, sin ? ?

21. 【答案】 (1)在 Rt ?ACP 中, 则 PC ? 800 ? tan 45? ? 800 . 在 Rt?ACQ 中,

QC ? tan ?CAQ , AC 则 QC ? 800 ? tan60? ? 800 3 .
所以, PQ ? QC ? PC ? 800 3 ? 800 (m). (2)在 ?APQ 中, PQ ? 600 , ?AQP ? 30? , ?PAQ ? 45? ? 30? ? 15? .

PA 600 , ? sin 30? sin15? 600? 30? sin 600? 30? sin 则 PA ? ? ? sin(45? ? 30?) sin 45? cos30? ? cos 45? sin 30?
根据正弦定理,得

300 6? 2 4

? 300( 6 ? 2)

22. 【答案】 (1)由 cos B ?

4 2 3 4 ,得 sin B ? 1 ? ( ) ? 5 5 5
2

由 b ? ac 及正弦定理得 sin B ? sin A sin C
2

于是

1 1 cos A cos C ? ? ? tan A tan C sin A sin C

? ?

cos A sin C ? cos C sin A sin ? A ? C ? ? sin 2 B sin A sin C

sin B sin 2 B 1 ? sin B 5 ? 3 ??? ??? 8 ? ? 8 (2)由 BA ? BC ? 得 ca ? cos B ? 5 5 4 2 由 cos B ? 可得 ca ? 2 ,即 b ? 2 5
由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac ? cos B
2 2 2

7

a2 ? c2 ? b2 ? 2ac ? cos B ?

26 5

8


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