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福州市八县市一中2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题(含答案)


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2015-2016 学年度第一学期八县(市)一中期末联考

高中一年数学科试卷
4 3 圆锥侧面积公式: S ? ? rl ;球的表面积公式: S ? 4? R 2 1 3

参考公式: 锥体体积公式: V ? Sh ;

球的体积公式: V ? ? R3 ;

第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题意要求的. )
1.已知直线 l 的方程为 y=x+1,则直线 l 的倾斜角为( A.30° B.45° C.60° D.135° ) )

2.若 a , b 是异面直线,直线 c ∥ a ,则 c 与 b 的位置关系是( A. 相交 B. 异面 C.异面或相交 D.平行

3.如图,△O′A′B′是水平放置的△OAB 的直观图,则△OAB 的 面积是( A.12 ) B.6 2 C.6 D.3 2 )

4.若直线 l1:ax+2y+6=0 与直线 l2:x+(a-1)y-1=0 垂直,则实数 a=( 2 A. 3 B.-1 C.2 D.-1 或 2

5.已知 a,b 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,则下列说法正确的是( A.若 a∥α,b∥α,则 a∥b B.若 α⊥β,a?α,b?β,则 a⊥b C.若 a⊥b,b⊥α,则 a∥α D.若 α∥β,a?α,则 a∥β 6.若圆 x? ? y ? ? ?x ? ? y ? ? 关于直线 ?x ? y ? m ? ? 对称,则实数 m 的值为( A.-3 B.-1 C.1 D.3 )

)

7.如图,记长方体 ABCD-A1B1C1D1 被平行于棱 B1C1 的平面 EFGH 截 去右上部分后剩下的几何体为 Ω,则下列结论中不正确 的是( ... A.EH∥FG C.Ω 是棱柱 B.四边形 EFGH 是平行四边形 D.Ω 是棱台 )

8.某几何体的三视图如图所示,则它的表面积为(

)

2 2 “备课大师”全科【9 门】 :免注册,不收费! http://www.eywedu.cn/

1

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A.6π C.4π

B.5π D.3π

9.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,直线 B1C 与 平面 DD1B1B 所成角的大小为( A.30° B.45° C.60° ) D.90°

10.已知点 M(a,b)在圆 O:x2+y2=4 外,则直线 ax+by=4 与圆 O 的位置关系是( A.相离 B.相切 C.相交 ) D.不确定

11.已知两定点 A(-3,0),B(3,0),如果动点 P 满足|PA|=2|PB|,则点 P 的轨迹所包围的图形的面 积等于( A.π ) B.4π C.9π D.16π

12.已知两点 A(0,-3)、B(4,0),若点 P 是圆 C:x2+y2-2y=0 上的动点,则△ ABP 面积的最小 值为( A.6 ) 11 B. 2 C.8 21 D. 2

第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把答案填在答题卡相应位置. )
13.在如图所示的长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,|DA|=8,|DC|=6,|DD1|=3,则 D1B1 的中点 M 的坐标为__________,|DM|=_______. 14.两直线 3x+4y-9=0 和 6x+my+2=0 平行,则它们之间 的距离为 ___________. 15.若圆 C1:x2+y2=1 与圆 C2:x2+y2-6x-8y+m=0 外切,则 m 的值为__________. 16.已知一个空心密闭(表面厚度忽略不计)的正四面体工艺品的棱长为 3 6 ,若在该工艺品内嵌 入一个可以在其内部任意转动的正方体,则正方体棱长的最大值为____.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、推证过程或演算步骤. ) AC ? ABC ? 90 ? A 17 . (本小题满分 10 分)如图,在直三棱柱 ABC的中点, , 1 B 1C 1 中, D 为
AA1 ? AB ? 2 , BC ? 3 . (1)求证: AB1 ∥平面 BC1 D ; BC1C 的体积. (2)求三棱锥 DA1 A

D “备课大师”全科【9 门】 :免注册,不收费! http://www.eywedu.cn/ B1 B C

C1

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18. (本小题满分 12 分)已知直线 2 x ? y ? 8 ? 0 与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 交于点 P . (1)求过点 P 且平行于直线 4 x ? 3 y ? 7 ? 0 的直线 l1 的方程; (结果都写成一般方程形式) (2)求过点 P 的所有直线中使原点 O 到此直线的距离最大的直线 l2 的方程.

19. (本小题满分 12 分)如图为一简单组合体,其底面 ABCD 为正方形,棱 PD 与 EC 均垂直于底面 ABCD , PD ? 2 EC , N 为 PB 的中点,求证: (1)平面 EBC ∥平面 PDA ; P (2) NE ⊥平面 PDB.
E N D C

A

B

20. (本小题满分 12 分)已知圆心为 C 的圆经过点 A(0, 2) 和 B(1,1) ,且圆心 C 在直线 l : x ? y ? 5 ? 0 上. (1)求圆 C 的标准方程; (2)若 P ( x, y ) 是圆 C 上的动点,求 3 x ? 4 y 的最大值与最小值.

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21. (本小题满分 12 分)如图, AB 是圆 O 的直径, C 是圆 O 上不同于 A, B 的一点,

PA ⊥平面 ABC , E 是 PC 的中点, AB ? 3 , PA ? AC ? 1 . (1)求证: AE ⊥ PB ;
(2)求二面角 A ? PB ? C 的正弦值.
P E C A O

B

22. (本小题满分 12 分)已知圆 C : x2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 5t ? 0 ,直线 l : x ? 3 y ? 15 ? 0 . (1)若直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2 10 ,求实数 t 的值; (2)当 t ? 1时,由直线 l 上的动点 P 引圆 C 的两条切线,若切点分别为 A, B ,则在直线 AB 上是否 存在一个定点?若存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由.

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2015-2016 学年度第一学期八县(市)一中期末联考

高中一年数学科试卷参考答案
一、选择题 二、填空题 B C AA D C D B A C D B 13.(4,3,3) , 34 14. 2 15. 9 16、 3

(注:13 题两个空格中答对一个得 3 分,全对得 5 分) 三、解答题 17.解:(1) 证明:设 B1C 与 BC1 相交于点 O,连接 OD ∵四边形 BCC1B1 是平行四边形 ∴点 O 为 B1C 的中点 又 D 为 AC 的中点 ∴OD∥AB1 ∴AB1∥平面 BC1D ???????3 分 ???????5 分
C1 D B1 O C B

A1

A

∵OD?平面 BC1D,AB1?平面 BC1D

(2)在直三棱柱 ABCA1B1C1 中,侧棱 CC1⊥平面 ABC 故 CC1 为三棱锥 C1BCD 的高,CC1=A1A=2 ∵D 为 AC 的中点, ?ABC ? 90?

1 1 1 3 S△ABC= ( BC· AB)= 2 2 2 2 1 1 3 ∴VD-B C1C=VC1-BCD= S△BCD·CC1= × ×2=1 ??????10 分 3 3 2
∴S△BCD=

?2 x ? y ? 8 ? 0 18.解:(1)由 ? 得 P(3, 2) ?x ? 2 y ? 1 ? 0
由已知得直线 l1 的斜率为 k1 ?

???????3 分

4 3

故直线 l1 的方程为 y ? 2 ? ( x ? 3) 即 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 ?????6 分 (2)当 OP ? l2 时,原点 O 到此直线的距离最大 又 kOP ? ??????8 分

4 3

2 3 ,则直线 l2 的斜率为 k2 ? ? 3 2 3 故直线 l2 的方程为 y ? 2 ? ? ( x ? 3) 即 3x ? 2 y ? 13 ? 0 ????12 分 2
19.证明:(1) ∵ PD⊥平面 ABCD,CE⊥平面 ABCD ∴EC∥PD 又 PD?平面 PDA,EC?平面 PDA ∴EC∥平面 PDA ??????2 分 ∵四边形 ABCD 为正方形
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∴BC∥AD,又 AD?平面 PDA,BC?平面 PDA ∴BC∥平面 PDA ??????4 分 ∵EC?平面 EBC,BC?平面 EBC,EC∩BC=C ∴平面 EBC∥平面 PDA ??????6 分 (2) 设 AC 与 BD 相交于点 O,连接 NO P ∵四边形 ABCD 为正方形 E ∴O 为 BD 的中点,又 N 为 PB 的中点 ∴NO∥PD 且 NO=

1 PD 2
A

N D O B C

1 又由(1)得 EC∥PD,且 EC ? PD 2

∴NO∥EC 且 NO=EC ∴四边形 NOCE 为平行四边形 ∴NE∥OC,即 NE∥AC ??????9 分 ∵PD⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD ∴AC⊥PD 又 DB⊥AC,PD∩BD=D ∴AC⊥平面 PBD,又 NE∥AC ∴NE⊥平面 PDB ??????12 分 20.解:(1)线段 AB 的中点为 ( , ) ,又 k AB ? ?1 故线段 AB 的垂直平分线方程为 y ?

1 3 2 2

3 1 ? 1? ( x ? ) 即 x ? y ? 1 ? 0 ??2 分 2 2
??????4 分

?x ? y ?1 ? 0 由? 得圆心 C ( ?3, ?2) ?x ? y ? 5 ? 0
圆 C 的半径长 r ?| AC |? (0 ? 3)2 ? (2 ? 2)2 ? 5 故圆 C 的标准方程为 ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? 25

??????6 分

(2)令 z ? 3x ? 4 y ,即 3x ? 4 y ? z ? 0 当直线 3x ? 4 y ? z ? 0 与圆 C 相切于点 P 时, z 取得最值????8 分 则圆心 C ( ?3, ?2) 到直线 3x ? 4 y ? z ? 0 的距离为

d?

| ?9 ? 8 ? z | 32 ? (?4)2

? 5 ,解得 z ? ?26 或 z ? 24
??????12 分

故 3 x ? 4 y 的最小值为 ?26 ,最大值为 24 21.解:(1)证明:∵PA⊥平面 ABC,BC?平面 ABC ∴PA⊥BC

又 AB 是圆 O 的直径, C 是圆 O 上不同于 A, B 的一点 ∴ ?ACB ? 90? ,即 AC⊥BC,又 PA∩AC=A ∴BC⊥平面 PAC,又 AE?平面 PAC ∴BC⊥AE ??????3 分
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∵PA=AC,E 是 PC 的中点 ∴AE⊥PC,又 BC∩PC=C ∴AE ⊥平面 PBC,又 PB?平面 PBC ∴AE ⊥PB ??????6 分
A P F E C O

(2)过 A 作 AF⊥PB 交 PB 于 F,连接 EF 又由(1)得 AE ⊥PB,AE∩AF=A ∴ PB⊥平面 AEF,又 EF?平面 AEF ∴ PB⊥EF,又 AF⊥PB ∴ ?AFE 是二面角 A ? PB ? C 的平面角

B

??????9 分

∵在 Rt?PAC 中, PA ? AC ? 1 ,则 PC ? 2 , AE ?

PA ? AC 2 ? PC 2 3 在 Rt?PAB 中, PA ?1 , AB ? 3 ,同理得 AF ? 2

2 AE 6 ∴在 Rt?AEF 中, sin ?AFE ? ? 2 ? AF 3 3 2 6 故二面角 A ? PB ? C 的正弦值为 ??????12 分 3

22.解:(1)圆 C 的方程可化为 ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 25 ? 5t 故圆心为 C (3, 4) ,半径 r ? 25 ? 5t 则圆心 C 到直线 l 的距离为 d ?

| 3 ? 12 ? 15 | 12 ? 32

? 3 10

又弦长为 2 10 ,则 r ? (3 10) 2 ? ( 10) 2 ? 10 即 25 ? 5t ? 10 ,解得 t ? 15

[:]

??????4 分

(2)当 t ? 1时,圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 5 ? 0 ① 则圆心为 C (3, 4) ,半径 r ? 30 ? 3 10 ,圆 C 与直线 l 相离 假设在直线 AB 上存在一个定点满足条件,设动点 P ( m, n)
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由已知得 PA⊥AC,PB⊥BC 则 A, B 在以 CP 为直径的圆 ( x ? 3)( x ? m) ? ( y ? 4)( y ? n) ? 0 即 x2 ? y 2 ? (3 ? m) x ? (4 ? n) y ? 3m ? 4n ? 0 上 ② ??????7 分

①—②得,直线 AB 的方程为 (m ? 3) x ? (n ? 4) y ? 3m ? 4n ? 5 ? 0 ③ 又点 P ( m, n) 在直线 l 上,则 m ? 3n ? 15 ? 0 ,即 m ? ?3n ? 15 ,代入③式 得 (?3n ? 18) x ? (n ? 4) y ? 9n ? 45 ? 4n ? 5 ? 0 即直线 AB 的方程为 18 x ? 4 y ? 40 ? n(3x ? y ? 5) ? 0 ?????10 分

?3x ? y ? 5 ? 0 ?x ? 2 因为上式对任意 n 都成立,故 ? ,得 ? ?18 x ? 4 y ? 40 ? 0 ?y ?1
故在直线 AB 上存在一个定点,定点坐标为 (2,1) ??????12 分 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org

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