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1-2-2-2 分段函数与映射课件 新人教A版必修1


成才之路· 数学
人教A版 ·必修1

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第一章
集合与函数概念

第一章
1.2 函数及其表示

第一章
1.2.2 函数的表示法

第一章
第2课时 分段函数与映射

课前自主预习

名师辩误做答 方法警示探究

思路方法技巧

基础巩固训练

探索延拓创新

能力强化提升

课前自主预习

温故知新 1.函数图象的作法: 列表 、 描点 、 连线 成图.
?a ?a≥0? ? ? ?-a ?a<0? ?

2.实数的绝对值|a|=

.

3.如果二次函数的图象开口向上且关于直线 x=1 对称, 且过点(0,0),则此二次函数的解析式为( A.f(x)=x2-1 C.f(x)=(x-1)2+1 )

B.f(x)=-(x-1)2+1 D.f(x)=(x-1)2-1

[答案]

D

4.下列各图中,不能是函数 f(x)图象的是(

)

[答案]

C

5.已知 g(x+2)=2x+3,则 g(3)等于( A.2 C.4 B.3 D.5

)

[答案]

D

6.某班连续进行了 5 次数学测试,其中智方同学 成绩 如表所示,在这个函数中,定义域是 {1,2,3,4,5} {85,88,86,93,95} . 次数 1 2 88 3 93 4 86 5 95 ,值域是

分数 85

新课引入 某魔术师猜牌的表演过程是这样的,表演者手中持有六 张扑克牌,不含王牌和牌号数相同的牌,让 6 位观众每人从 他手里任摸一张,并嘱咐摸牌时看清和记住自己的牌号,牌 号数是这样规定的,A 为 1,J 为 11,Q 为 12,K 为 13,其余 的以牌上的数字为准,然后,表演者让他们按如下的方法进 行计算,将自己的牌号乘 2 加 3 后乘 5,再减去 25,把计算 结果告诉表演者(要求数值绝对准确), 表演者便能立即准确地 猜出谁拿的是什么牌,你能说出其中的道理吗?

自主预习 1.当自变量 x 在不同的取值区间(范围)内取值时,函数 的对应法则也不同的函数为 分段函数. 分段函数是一个函数,不是几个函数,只是在定义域的 不同范围上取值时对应法则不同,分段函数是普遍存在又比 较重要的一种函数.

2.设 A、B 是两个集合,如果按照某种对应关系 f,对于 集合 A 中的 任何 一个元素, 在集合 B 中有 唯一 确定的元素 和它对应, 那么这样的对应(包括 A、 以及对应关系 f)叫做集 B 合 A 到 B 的映射,记作 f:A→B .

映射是一种特殊的对应,它具有: ①方向性:映射是有次序的,一般地从 A 到 B 的映射与 从 B 到 A 的映射是不同的; ②任意性:集合 A 中的任意一个元素在 B 中都有元素和 它对应,但不要求 B 中的每一个元素在 A 中都有元素和它对 应;

③唯一性: 集合 A 中元素的在 B 中对应的元素是唯一的, 即不允许“一对多”但可以“多对一”. 通过以上所学,完成下列练习. x≤0 ?x ? (1)试画出函数 y=? 1 的图象. ??x x>0 ?

[答案]

(2)判断下列对应是否是从集合 A 到集合 B 的映射: ①A=R,B={x|x>0 且 x∈R},f:x→y,y=|x|; ②A=N,B=N*,f:x→y,y=|x-1|; ③A={x|x>0 且 x∈R},B=R,f:x→y,y=x2.

[解析]

对于①,∵0∈A,在对应关系 f 下 0→|0|=0?B,

∴该对应不是从集合 A 到集合 B 的映射. ②∵1∈A,在对应关系 f 下 1→|1-1|=0?B,∴该对应不 是从集合 A 到集合 B 的映射. ③对于任意 x∈A,依对应关系 f:x→x2∈R,∴该对应是 从集合 A 到集合 B 的映射.

思路方法技巧

1

分段函数及其应用

学法指导:分段函数的应用
?f ?x?,x∈I , ?1 1 ? 设分段函数f(x)= ?f2?x?,x∈I2. ?

(1)已知x0,求f(x0); ①判断x0的范围,即看x0∈I1,还是x0∈I2; ②代入相应解析式求解.

(2)已知f(x0)=a,求x0: ①当x0∈I1时,由f1(x0)=a,求x0; ②验证x0是否属于I1,若是则留下,反之则舍去; ③当x0∈I2时,由f2(x0)=a,求x,判断是否属于I2,方法 同上; ④写出结论.

(3)解不等式f(x)>a:
?x∈I , ? 1 ? f(x)>a? ?f1?x?>a, ? ?x∈I , ? 2 ? 或 ?f2?x?>a. ?

[例1]

(2012~2013山东潍坊一中高一月考试题)已知函

?x+1,x≤-2, ? 2 数f(x)=?x +2x,-2<x<2, ?2x-1,x≥2. ? 5 (1)求f(-5),f(- 3),f(f(-2))的值; (2)若f(a)=3,求实数a的值; (3)若f(m)>m(m≤-2,或m≥2),求实数m的取值范围.

[分析] 分类 ―→ 求值 讨论

判断自变量 分段函数 确定适宜 字母变量 ――→ ――→ 满足的范围 的函数式

[解析]

5 (1)由-5∈(-∞,-2],- 3∈(-2,2),- ∈ 2

(-∞,-2],知f(-5)=-5+1=-4, f(- 3)=(- 3)2+2(- 3)=3-2 3. 5 5 3 3 ∵f(-2)=-2+1=-2,而-2<-2<2, 5 3 32 3 9 3 ∴f(f(- ))=f(- )=(- ) +2×(- )= -3=- . 2 2 2 2 4 4

(2)当a≤-2时,a+1=3,即a=2>-2,不合题意,舍 去.当-2<a<2时,a2+2a=3,即a2+2a-3=0. 所以(a-1)(a+3)=0,得a=1,或a=-3. ∵1∈(-2,2),-3?(-2,2),∴a=1符合题意. 当a≥2时,2a-1=3,即a=2符合题意. 综上可得,当f(a)=3时,a=1,或a=2.

(3)f(m)>m?
?m≥2, ? ? ?m>1 ?

?m≤-2, ? ? ?m+1>m, ?



?m≥2, ? ? ?2m-1>m ?

?m≤-2,或

?m≤-2,或m≥2.

所以,所求m的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞).

?x+1 ?x>0? ? ?x=0? 已知f(x)=?π ?0 ?x<0? ? [分析]

,求f(f(f(-3))).

由题目可获取以下主要信息:

①函数f(x)是分段函数;②本例是求值问题. 解答本题需确定f(f(-3))的范围,为此又需确定f(-3)的 范围,然后根据所在定义域代入相应解析式逐步求解.

[解析]

∵-3<0,

∴f(-3)=0, ∴f(f(-3))=f(0)=π, 又π>0,∴f(f(f(-3)))=f(π)=π+1, 即f(f(f(-3)))=π+1.

规律总结:(1)分段函数求值,一定要注意所给自变量 的值所在的范围,代入相应的解析式求得. (2)像本题中含有多层“f”的问题,要按照“由里到外”的 顺序,层层处理.

2

映射的概念

学法指导:(1)给定两集合A,B及对应关系f,判断是 否从集合A到集合B的映射,主要利用映射的定义.用通俗 的语言讲:A→B的对应有“多对一”、“一对一”、“一 对多”,前两种对应是A到B的映射,而最后一种不是A到B 的映射.

(2)理解映射这个概念,应注意以下几点: ①集合A到B的映射,A、B必须是非空集合(可以是数 集,也可以是其他集合); ②对应关系有“方向性”即强调从集合A到集合B的对 应,它与从B到A的对应关系一般是不同的; ③与A中元素对应的元素构成的集合是集合B的子集.

[例2]

判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射:

(1)A=N*,B=N*,对应关系f:x→|x-3|; (2)A={平面内的圆},B={平面内的矩形},对应关系 f:作圆的内接矩形; (3)A={北京奥运会火炬手},B={火炬手的体重},对应 关系f:每个火炬手对应自己的体重;

(4)A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤6},对应关系f:x→y 1 =2x. [分析] 由题目可获取以下主要信息:

本例为判断一个对应是否为映射问题,且对应关系明 确. 解答本题可由映射定义出发,观察A中任何一个元素在B 中是否都有唯一元素与之对应.

[解析]

(1)由于在对应关系f作用下A中元素3与3的差的

绝对值为0,而0?B,故不是映射. (2)因为一个圆有无数个内接矩形,即集合A中任何一个 元素在集合B中有无数个元素与之对应,故不是映射. (3)对A中任何一个元素,按照对应关系f,在B中都有唯 一一个元素与之对应,符合映射定义,是映射. 1 (4)是映射,因为A中每一个元素在f:x→y= x作用下对 2 应的元素构成的集合C={y|0≤y≤1}?B,符合映射定义.

判断下列对应是否构成映射. (1)A={1,2,3},B={7,8,9},f(1)=f(2)=7,f(3)=8; (2)A=Z,B={-1,1},n为奇数时,f(n)=-1,n为偶数 时,f(n)=1; (3)A=B={1,2,3},f(x)=2x-1; (4)A=B={x|x≥-1},f(x)=2x+1.

[分析]

判断一个对应f是否为从A到B的映射,主要从映

射的定义入手,看集合A中的任意一个元素,在对应关系f下 在集合B中是否有唯一的对应元素.

[解析]

对于(1),集合A中的元素在集合B中都有唯一的

对应元素,因而能构成映射;对于(2),集合A中的任一元素x 在对应关系f下在B中都有唯一元素与之对应,因而能构成映 射;对于(3),由于当x=3时,f(3)=2×3-1=5,在集合B中 无对应元素,因而不满足映射的定义,从而不能构成映射; 对于(4),满足映射的定义,能构成映射.

[规律总结] 要判断两个集合能否构成映射,一般从映 射的定义入手.若满足映射定义就能构成映射;若不满足映 射定义,只要举一反例,即说明集合A中的某一元素在B中无 对应元素即可.

探索延拓创新

3

分段函数的应用

学法指导:实际问题应首先读懂题意,抽象出数学模 型,将实际问题转化为相应的数学问题求解. [例3] 上因特网的费用由两部分组成:电话费和上网

费.以前某“热线”上因特网的费用为电话费0.12元/3分 钟,上网费0.12元/分钟.根据信息产业部调整因特网资费的 要求,自1999年3月1日起,该地区上因特网的费用调整为电 话费0.16元/3分钟,上网费每月不超过60小时,以4元/时计 算,超过60小时部分,以8元/时计算.

(1)根据调整后的规定,将每月上因特网的费用表示为时 间(小时)的函数(每月按30天计算); (2)某网民在其家庭经济预算中一直有一笔上网60小时的 费用开支,因特网资费调整后,若要不超过其家庭经济预算 中上网费支出,则该网民现在每月可上网多少小时,从涨价 和降价的角度分析该地区调整前后上因特网的费用情况.

[解析]

设调整后上网x小时的费用为f(x)元.

(1)当0<x≤60时,f(x)=0.16×20x+4x=7.2x; 当x>60时,f(x)=4×60+0.16×20x+(x-60)×8=11.2x -240.
?7.2x 0<x≤60; ? ∴f(x)=? ?11.2x-240, x>60. ?

(2)设调整前上网x小时的费用为g(x)元,则g(x)= 0.12×20x+0.12×60x=9.6x. 原上网60小时预算费用为9.6×60=576(元),由576= 11.2x-240得x≈72.85(时),故该网民现在每月可上网72.85小 时. 当0<x≤60时,f(x)<g(x); 当x>60时,由f(x)=g(x),可得x=150. 所以,上网小于150小时时,f(x)<g(x);上网大于150小 时时,f(x)>g(x).

如图,在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P,沿折 线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动,设点P运动的路程为 x,△APB的面积为y. (1)求y关于x的函数关系式y=f(x); (2)画出y=f(x)的图象; (3)若△APB的面积不小于2,求x的取值范围.

[解析]

?0≤x≤4? ?2x ? (1)y=?8 ?4<x≤8? ?2?12-x? ?8<x≤12? ?

.

(2)y=f(x)的图象如图所示.

(3)即f(x)≥2,当0≤x≤4时,2x≥2,∴x≥1, 当8<x≤12时,2(12-x)≥2, ∴x≤11,∴x的取值范围是1≤x≤11.

[点评]

(3)可以作直线y=2与函数y=f(x)的图象交于点

A(1,2),B(11,2),要使y≥2,应有1≤x≤11.

名师辩误做答

1.映射概念的理解错误 [例4] 设集合A={1,2,3,k},B={4,7,a4,a2+3a},

其中a,k∈N,映射f:A→B使B中的元素y=3x+1与A中的元 素x对应,求a及k的值.

[错解]

∵B中的元素y=3x+1与A中元素x对应,∴A中

元素1,2分别对应B中的元素4,7.
?a4=3×3+1=10, ? ∴? 2 ?a +3a=3k+1. ?

∵a,k∈N,∴a不存在,∴k不

存在. [错因分析] 以上解法的错误之处在于误解了映射的定 义.a4=10或a2+3a=10都有可能,因而要分类讨论.

[思路分析] 对于A映射f:A→B,A中的元素x的象可能 是B中的任意一个元素,故在解此类题时要将问题考虑全 面.

[正解]

∵B中的元素y=3x+1与A中的元素x对应,∴A
?a4=10, ? ? ?3k+1=a2+3a ?

中的元素1,2,3,对应B中的元素4,7,10.∴
?a2+3a=10. ? ? ?3k+1=a4. ? ?a=2, ? ? ?k=5. ?



∵a,k∈N,∴

这就是所求a,k的

值.

2.作图时忘记去掉不在函数定义域内的点 [例5] 数的值域. [错解]
?x,-1≤x≤1, ? 由题意,得y=? ?-x,x<-1或x>1. ?

x|1-x2| 画出函数y= 的图象,并根据图象指出函 1-x2

作出图象如图所示.

根据图象可知函数的值域为R.

[错因分析] 由原函数可知,定义域为(-∞,-1)∪(- 1,1)∪(1,+∞),上述解法将原函数改写为分段的形式时, 人为地扩大了定义域的取值范围从而产生了错误.

[思路分析] 作出函数图象时,一般先对所给解析式变 形,研究函数性质,再进行作图.要注意变形过程中定义域 的等价性.

[正解]

由题意,得
?x,-1<x<1, ? y=? ?-x,x<-1或x>1. ?

作出图象如图所示. 根据图象可知函数的值域为{y∈R|y≠1且y≠-1}.

基础巩固训练

1.在如图的对应关系中,哪些对应不是集合A到集合B 的映射( )

A.①、② C.②、⑤

B.①、④ D.①、②、③

[答案] D

[解析]

由图知①②中元素a1在B中对应元素不唯一,③

中元素a2在B中无象,都不是映射,④⑤是映射,故选D.

2.设f:M→N是集合M到集合N的映射,下列说法中正 确的是( )

A.M中每一个元素在N中必有元素与之对应 B.N中每一个元素在M中必有元素与之对应 C.M中的元素在N中可以有不同元素与之对应 D.N中的元素在M中若有原象,则原象必是唯一的

[答案] A

[分析] [解析]

根据映射的定义判断. 在映射中允许集合N中的某些元素在集合M中没

有元素对应,所以B是错误的;又因为映射中允许集合M中 不同元素对应集合N中相同的元素,就是说可以“多对 一”,因此D也是错误的.M中元素的象是唯一的,故C错, ∴选A.

3.设集合A={a,b},B={0,1},则从A到B的映射共有 ( ) A.2个 C.4个 B.3个 D.5个

[答案] C

[解析]

如图所示.

4.已知集合A中元素(x,y)在映射f下对应B中元素(x+ y,x-y),则B中元素(4,-2)在A中对应的元素为( A.(1,3) C.(2,4) B.(1,6) D.(2,6) )

[答案] A

[解析]

?x+y=4, ? 由题意知? ?x-y=-2, ?

?x=1, ? 解得? ?y=3, ?

5.(山东冠县武的高2012~2013月考试题)已知函数f(x)
?x+1?x≥0? ? =? ?f?x+2??x<0? ?

则f(-3)的值为( B.-1 D.2

)

A.5 C.-7

[答案] D

[解析] f(-3)=f(-3+2)=f(-1)=f(-1+2) =f(1)=2,故选D.

6.(2012· 全国高考数学文科试题江西卷)设函数f(x)= ?x2+1 x≤1 ? ?2 ,则f(f(3))=( ?x x>1 ? 1 A.5 2 C. 3 B.3 13 D. 9

)

[答案] D

[解析]

2 2 13 考查分段函数,f(3)= ,f(f(3))=f( )= . 3 3 9

7.已知函数f(x)=

?x2-4,0≤x≤2, ? ? ?2x,x>2, ?

,则f(2)=

________;若f(x0)=8,则x0=________.

[答案] 0

4

[解析]

?x2-4,0≤x≤2, ? f(x)= ? ?2x,x>2, ?

则f(2)=22-4=0.又∵

f(x0)=8,当0≤x0≤2时,x 2 -4=8,解得x0=± 3 ,不符合 2 0 题意(舍去);当x0>2时,2x0=8,解得x0=4.

?2x+3,x≤0, ? 8.函数y=?x+3,0<x<1, ?-x+5,x≥1 ?

的最大值是________.

[答案] 4

[解析] 示.

作出分段函数的图象即可得解.图象如图所


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