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学军中学11-12学年高二上学期期中试题数学


杭州学军中学 2011 学年第一学期期中考试 高二数学试卷
一、选择题(本题 10 小题,每小题 3 分,共 30 分,每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.下列命题中正确的是 ( ) A. 一直线与一平面平行,这个平面内有无数条直线与它平行 B.平行于同一直线的两个平面平行 C.与两相交平面的交线平行的直线必平行于这两个相交平面 D.两条平行直线中

的一条与一个平面平行,则另一条也与该平面平行 2. A 是二面角 ? ? l ? ? 的 ? 内一点, AB ? ? 于点 B, AB ? 的平面角大小为
0 A. 30

3, A 到 l 的距离为 2 ,则二面角 ? ? l ? ?

(
0 B. 60

)
0 0 C. 60 或 120 0 0 D. 30 或 150

3.己知平面 ? 内有一个以 AB 为直径的圆, PA ? ? , 点 C 在圆周上(不同于 A, B 两点),点 D, E 分别是点 A 在 PC, PB 上的射影,则 ( A. PC ? 平面ADE C. )

B. ?ACB 是二面角 A ? PC ? B 的平面角 D. PB ? 平面ADE
20 20
正视图 侧视图

BC // 平面ADE

4.已知某个几何体的三视图如图,根据图中的尺寸, 可得这个几何体的体积是( A. )

20

4000 3 cm 3

B.

8000 3 cm 3
20
俯视图

10 10

C. 2000cm3

D. 4000cm3

5.已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等, A1 在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点, 则异面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为 A. ( )

3 4

B.

5 4

C.

7 4

D.

3 4


6.已知点 A(1,3) ,B(-2,-1).若直线 7kx-7y-2+16k=0 与线段 AB 相交,则 k 的取值范围( A. ?

5 ? k ?1 2

B. ?1 ? k ?

5 2

C. ?

5 ? k ?1且k ? 0 2

D. k ? ?

5 或k ? 1 2


7.直线 l 过 P(1,2),且 A(2,3),B(4,-5)到 l 的距离相等,则直线 l 的方程是 (

B .x+4y-6=0 2 D.2x+3y-7=0 或 x+4y-6=0 0 8 从 x 轴上动点 P 向圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 24 ? 0 作切线,切点为 T,则切线长|PT|的最小值是( 0 9 A. 4 B. 15 C. 2 6 2 D. 5 0 0 4 9.若 P ( 2, 1) 为圆 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是 ( ) 0 2 9 8 A. x ? y ? 3 ? 0 B. x ? y ? 3 ? 0 C. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0 0 4 10.已知圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 0 .设该圆过点(3,5)的两条弦分别为 AC 和 BD,且 2 8 AC ? BD .则四边形 ABCD 的面积最大值为( ) A.20 6 B.30 6 C.49
N

A.4x+y-6=0 C.3x+2y-7=0 或 4x+y-6=0



D.50
B A
N

二、填空题(本题 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11.下列四个正方体图形中, A, B 为 正方体的两个顶点, M , N , P 分别为 其所在棱的中点,能得出 AB // 面MNP
M B A M P A
M P B
N

A

N

P

P







B


D1 C1 B1 G C F B

M

的图形的序号是_______. 12.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、G 分别是 DD1、AB、CC1 的 中点,则异面直线 A1E 与 GF 所成角的余弦值是____________. 13 点 P(?1,3) 关于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的对称点 Q 的坐标为________.

A1

E D

A

14.如图,点 P( 3,1) 为圆 x2 ? y 2 ? 4 上的一点,点 E , F 为 y 轴上的两点, ?PEF 是以点 P 为顶点的等腰三角形,直线 P E, P F 交圆于 D, C 两点,直线 CD 交 y 轴于点 A ,则 ?DAO 的 值为 ____________. 15. (理科 学生做)如图,在三棱锥 A ? BCD 中, AB, AC, AD .. 两两互相垂直, AB ? AC ? AD ? 4 .点 P , Q 分别 在侧面 ABC 、 棱 AD 上运动,PQ ? 2 ,M 为线段 PQ 中点, 当 P , Q 运动时,点 M 的轨迹把三棱锥 A ? BCD 分成 上、下两部分的体积之比等于 _________ . (文科 学生做)如图,已知球面上四点 A,B,C,D , ..
C
D

y A

E F

P
x

O

D A C B 过程。 )

DA ? 平面 ABC , AB ? BC , DA ? AB ? BC ? 3 ,
则此球的表面积等于 . 三、解答题(本题 5 小题,共 50 分,解答应写出文字说明、演算步骤或证明 16.(本小题满分 10 分) 已知△ABC 中,A(4,2),B(1,8),C(-1,8).

(1)求 AB 边上的高所在的直线方程; (2)直线 l //AB,与 AC,BC 依次交于 E,F, S?CEF : S?ABC ? 1 : 4 .求 l 所在的直线方程。 17. (本题满分 10 分) 四棱锥 P—ABCD 的底面为菱形, 且 ?ABC ? 120?, PA ? 底面 ABCD, AB=1, PA ?

6 ,E 为 PC 的中点。

P

(1)求证: 平面PAC ? 平面PBD
u u (2)求二面角 E—AD—C 的正切值;kkkss5 s5 5 u

E

C D A B

18.(本小题满分 10 分) 如图,在直角梯形 ABEF 中, 将四边形 DCEF 沿 CD 折起, 使 ?FDA ? 60 ? ,得到一个空间几何体。 (1)在线段 DF 上找点 G,使得 AG//平面 BEF; (2) 作出直线 EF 与平面 ABCD 所成角, 并求该角的正切值。

19.如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,点 O、D 分别是 AC、PC 的中点,OP⊥底面 ABC. ⑴ (文科 学生做)求证:OD∥平面 PAB; .. ⑵当 k=
1 时,求直线 PA 与平面 BC 所成角的余弦值; 2
A O P D

C B

⑶(理科 学生做)当 k 取何值时,O 在平面 PBC 内 .. 的射影恰好为△PBC 的重心? 20. 已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 4 x ?14y ? 45 ? 0 及点 Q(6,3) . (1)若 M ( x, y ) 为圆 C 上任一点,求 K ?

y ?3 的最大值和最小值; x?6

(2)已知点 N (?6,3) ,直线 kx ? y ? 6k ? 3 ? 0 与圆 C 交于点 A、B. 当 k 为何值时 NA ? NB 取到最小值。

杭州学军中学 2011 学年第一学期期中考试 高二数学答卷
一、选择题(本题 10 小题,每小题 3 分,共 30 分,每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 二、填空题(本题 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11. 13. 12. 14. 15.

三、解答题(本题 5 小题,共 50 分,解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 ) 16.(10 分)

17.(10 分)

P

E

C D A B

18.(10 分)

P D O

19.(10 分)

A

C B

20.(10 分)

杭州学军中学 2011 学年第一学期期中考试 高二数学答案
一、 选择题:ACDAD DCBBC 二、 填空题: 11.① 三、 解答:
u u 16.(1) x ? 2 y ? 17 ? 0 ;kkkss5 s5 5 u

③ ;12.

64 ? 30 3 1 ? 1) ;文: 9? ;13. ( ,? ) ;14. ;15.理: 1 : ( ? 6 10 5 5
P

(2) 2 x ? y ? 8 ? 0 . 17.(1)略 (2)记 AC ? BD ? O , 由(1)知 PA ? 平面ABCD ,而 OE//PA, 所以 EO ? 平面ABCD .在平面 ABCD 内 作 OF ? AD 交 AD 于 F.连 EF,则 EF ? AD . 所以 ?EFO 就是二面角 E—AD—C 的平面角。 ...求得 tan?FEO ? 2 2

E

F

C D
O

A

B

18. (1)取 FD 中点为 G,连接 GE,则 GE//DC//AB 且 GE=DC=AB,所以四边形 ABEG 为平行四边形。 …所以 AG//BE,得 AG//平面 BEF。 (2) 延长 FE 与 DC 延长线交于点 N,连接 AN 交 BC 于点 O. ?FNA 就是 EF 与平面 ABCD 所成的 角。 由题知 EC 是△FDN 的中位线,即 C 为 DN 的 G 中点。 M 而 BC//AD,所以 O 为 AN 中点。 取 FA 中点为 M,则 ?MOA ? ?FNA 。…易求 O 得 tan ?MOA ?

N

15 . 5

19.(1)余弦值为

1 . 4

(2) 作 OF ? 平面PBC , ∴F 是 O 在平面 PBC 内的射影 ∵D 是 PC 的中点, 若点 F 是 ?PBC 的重心,
u u 则 B,F,D 三点共线,kkkss5 s5 5 u

∴直线 OB 在平面 PBC 内的射影为直线 BD,

OB ? PC,? PC ? BD,? PB ? PC ,即 k ? 1
反之,当 k ? 1 时,三棱锥 O ? PBC 为正三棱锥, ∴O 在平面 PBC 内的射影为 ?PBC 的重心

20. ⊙ C : ( x ? 2)2 ? ( y ? 7)2 ? (2 2 )2 (1)⊙C 与直线 kx ? y ? 6k ? 3 ? 0 有公共点。

d?

| 2 k ? 7 ? 6k ? 3 | k 2 ?1

? r ? 2 2 解得 ? 2 ? 3 ? k ? ?2 ? 3 .

所以 Kmax ? ?2 ? 3 ; Kmin ? ?2 ? 3 . (2)记 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 将直线方程代入圆方程得:

(k 2 ? 1) x 2 ? 4(3k 2 ? 2k ? 1) x ? 12(3k 2 ? 4k ? 1) ? 0
由 ? ? 0 得 ? 2 ? 3 ? k ? ?2 ? 3

x1 ? x2 ?

4(3k 2 ? 2k ? 1) k 2 ?1

x1 x2 ?

12(3k 2 ? 4k ? 1) k 2 ?1

NA ? NB ? ( x1 ? 6)(x2 ? 6) ? ( y1 ? 3)( y2 ? 3)
? (k 2 ? 1) x1 x2 ? (6 ? 6k 2 )(x1 ? x2 ) ? 36(k 2 ? 1)
? 24[7 ? 4 k ?1 ] ? 24[7 ? 4 k 2 ?1

1 2 (k ? 1) ? ?2 k ?1

]

u u k ? 1 ? 2 时 NA ? NB 取到最小值。kkkss5 s5 5 u


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