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1.3.3二次函数求最值(动轴定区间、动区间定轴)


二次函数在闭区间上的最值问题 动轴定区间、动区间定轴

练习:已知函数f(x)= x2 –2x – 3
(1)若x∈[–2,0],求函数f(x)的最值; (2)若x∈[ 2,4 ],求函数f(x)的最值;

1 5 (3)若x∈[ , ],求函数f(x)的最值; 2 2

1 3 , ],求函数f(x)的最值

; (4)若x∈[ ? 2 2

y = x2 y = x2

2?x 2?x

3 3

练习:已知函数f(x)= –3. (1)若x∈[ –2,0 ], 求函数f(x)的最值;
10 8

x2–2x

解:画出函数在定义域内的图像如图 对称轴为直线x=1 由图知,y=f(x)在[ –2,0 ]上为减函数 故x=-2时有最大值f(-2)=5 x=0时有最小值f(0)=-3
15 10 5

6

4

x=1
2

0 -2
2 5

4

6

2 –2x – 3. 例1、已知函数 f(x)= x y = x 2?x 3 y =[ x – 22 ?x , 3 0 ],求函数f(x)的最值; (1)若x∈ (2)若x∈[ 2,4 ],求函数f(x)的最值;
2 2
10

解:画出函数在定义域内的图像如图 对称轴为直线x=1

8

6

由图知,y=f(x)在[ 2,4 ]上为增函数
故x=4时有最大值f(4)=5 x=2时有最小值f(2)=-3
10 5

4

2

x=1 2 4
5

2

4

y = x2 y = x2

2?x 2?x

3 3
10

例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.

1 5 (3)若x∈[ , ],求函数f(x)的最值; 2 2
解:画出函数在定义域内的图像如图 对称轴为直线x=1,由图知,
10 5

(1)若x∈[ –2,0],求函数f(x)的最值; (2)若x∈[ 2,4],求函数f(x)的最值;

8

6

4

2

x=1 1 2 5 2
5

5 5 3 x= 时有最大值 f ( ) ? ?1 2 2 4
x=1时有最小值f(1)=-4

2

4

6

2 –2x – 3 例1、已知函数 f(x)= x y = x 2?x 3
2 2

(1)若x∈ –22, y[ =x ?x 0] 3 ,求函数f(x)的最值; (2)若x∈[ 2,4 ],求函数f(x)的最值;

10

1 5 (3)若x∈[ , ],求函数f(x)的最值; 2 2

8

1 3 , ],求函数f(x)的最值; (4)若x∈[ ? 2 2
6 4

解:画出函数在定义域内的图像如图
2

x=1 1 2 3 2

对称轴为直线x=1,由图知,

1 1 3 x= ? 时有最大值 f (? ) ? ?1 2 2 4
x=1时有最小值f(1)=-4

15

10

5

2

4

y = x2 2?x 3 y = x2 2?x 3
3 3

y = x2 y = x2

2?x 2?x

3 3

10

2?x

2?x

例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3
10

10

10

8

1 5 1 3 (1)x∈[–2,0](2)x∈[ 2,4 ( ] 3)x∈[ , ] (4)x∈[ ? , ] 2 2 2 2
8

8

8

6

6

6

6

4
4

4

4

2

x=1 1 2 5 2
5

x=1
2

x=1
2

2

x=1 2
10

5
15

1 2

3 2
10

0 -2
10 5
5

10 15

5

10

4

15 5

10

2
2

2

2

4

4
4

4

6

思考:通过以上几题,你发现二次函数在区间[m,n] 上的最值通常在哪里取到?
6

6

6

8

8

8

8

10
10

10

10

总结:求二次函数f(x)=ax2+bx+c在[m,n]上 上的最值或值域的一般方法是:
b (1)检查x0= ? 是否属于 [ m,n]; 2a

(2)当x0∈[m,n]时,f(m)、f(n)、f(x0) 中的较大者是最大值,较小者是最小值; (3)当x0 ? [m,n]时,f(m)、f(n)中的较大 者是最大值,较小者是最小值.

思考:如何 求函数y=x2-2x-3在 x∈[k,k+2]时的最值?
解析:

因为函数 y=x2-2x-3=(x-1)2-4的对称 轴为 x=1 固定不变,要求函数的最值,
即要看区间[k,k+2]与对称轴 x=1的位

置,则从以下几个方面解决如图:

y 10 = x2 y=x
8
2

2?x 2?x

3 3

10

y = x2 y = x2
8

2?x 2?x

3 3

10
10

例: 的最值
6 4 2

求函数y=x2-2x-3在x∈[k,k+2]时
8
8

6
6
6

4
4

x=1

4

x=1 k+2
5
10

2

x=1
2
2

k
5
15

k+2
5

k
10
10

k+2
15
5

x=1 k
10 15

k

15

5

10 5

k+2
2

2

2

2

4

4

4

4

6

6

6

6

8
8

8

8
10

6

4

当k+2≤1即k ≤-1时
2

x=1 k+2

f(x)max=f(k)=k2-2k-3
5 10 15

k
2

f(x)min=f(k+2)=(k+2)2-2(k+2)-3 =k2+2k-3

4

6

8

4

x=1
2

当 k <1 < k+2 时 即-1 <k <1时 f(x)min=f(1)=- 4 当f(k)>f(k+2)时,
5 10 15

k
10

k+2

8 2

即k2-2k-3 > k2+2k-3 即-1<k<0时

6

4

f(x)max=f(k)=k2-2k-3
x=1

4

6

当f(k) ≤f(k+2)时,
k+2
5

2

8

k
10
2

即k2-2k-3 ≤ k2+2k-3 即0≤ k<1时
f(x)max=f(k+2)=(k+2)2-2(k+2)-3 =k2+2k-3
10 15

4

8

6

4

2

x=1 k k+2
5

当k ≥1 时 f(x) max=f(k+2)=k2+2k-3
10 15

2

f(x) min=f(k)=k2-2k-3

4

6

8

10

8
8

例:

6

6 2 求函数y=x -2x-3在x∈[k,k+2]时的最值
6

6

4

4
4
4

x=1
2

x=1 k+2
5

2

x=1
2
2

k
10

k+2
5

k
10
10

k+2
10
5

x=1
15

15

k
2

5
15

5

15

5

k

10

k+2
2

5

2

2

4

4

4
4

当k ≤-1时 f(x)max=f(k)=k2-2k-3
6
6

6

f(x)min=f(k+2)=k2+2k-3
6

当-1<k <0时 f(x)max=f(k)=k2-2k-3
8
8

8

f(x)min=f(1)=- 4
8

当0≤ k<1时 f(x)max=f(k+2)=k2+2k-3
10

10

10

f(x)min=f(1)=- 4
10

当k ≥1

时 f(x) max=f(k+2)=k2+2k-3

f(x) min=f(k)=k2-2k-3

例:

6

6 2 求函数y=x -2x-3在x∈[k,k+2]时的最值
6

6

4

4
4
4

x=1
2

x=1 k+2
5

2

x=1
2
2

k
10

k+2
5

k
10
10

k+2
10
5

x=1
15

15

k
2

5
15

5

15

5

k

10

k+2
2

5

2

2

4

4

4
4

评注:例1属于“轴定区间动”的问题,看作动区 间沿x轴移动的过程中,函数最值的变化,即动区 间在定轴的左、右两侧及包含定轴的变化,要注 意开口方向及端点情况。
6
6
6

6

8

8

8

8

10

10

10

10

例2:若x∈ ?x ? 1 ? x ? 1?,求函数
y =x2+ax+3的最小值:
y

-1

O
1

x

例2:若x∈ ?x ? 1 ? x ? 1?,求函数

y =x2+ax+3的最小值:
y

-1

O
1

x

例2:若x∈ ?x ? 1 ? x ? 1?,求函数

y =x2+ax+3的最小值:
y

-1

O
1

x

例2:若x∈ ?x ? 1 ? x ? 1?,求函数
y =x2+ax+3的最小值:
a ? ?1 y 解: ⑴当 ? 即 a ≥ 2时 2

-1

O

y的最小值为f(-1) =4-a
1 x

例3:若x∈ ?x ? 1 ? x ? 1?,求函数

y =x2+ax+3的最小值:
(2)当 ? 1 < ?
y

a
2

? 1

即-2≤ a<2时

y的最小值为
-1
O 1

x

a f( ? )= 2

a2 3? 4

例2:若x∈ ?x ? 1 ? x ? 1?,求函数
y =x2+ax+3的最小值:
y

a (3)当 ? ? 1 即a<-2时 2 函数在[-1,1]上是减函数

-1

O

1

x

y的最小值为f(1) =4+a

例2:若x∈ ?x ? 1 ? x ? 1?,求函数 y =x2+ax+3的最小值:
y y y

-1

O
1

x

-1

O 1

x

-1

O 1

x

当a<-2时

f(x)min=f(1)=4+a

当-2≤a<2时 当a≥2时

f min

? a? a2 ? f ?? ? ? 3? 4 ? 2?

f(x)min=f(-1)=4-a

例2:若x∈ ?x ? 1 ? x ? 1?,求函数
y =x2+ax+3的最小值:
y y y

-1

O

1

x

-1

O 1

x

-1

O

1

x

评注:例2属于“轴动区间定”的问题,看作对 称轴沿x轴移动的过程中,函数最值的变化,即对 称轴在定区间的左、右两侧及对称轴在定区间上 变化情况,要注意开口方向及端点情况。

练习:已知x2+2x+a≥4在x∈ [0,2]上 y 恒成立,求a的值。 解:令f(x)=x2+2x+a 它的对称轴为x=-1, ∴f(x)在[0,2]上单 调递增, ∴f(x)的最小值为 f(0)=a,即a≥ 4
-1 O

2

x

练一练
1.已知y=-x2+ax+3 ,x∈[-1,1], 求y的最大值
y

O
-1 1

x

课堂小结
1.闭区间上的二次函数的最值问题求 法 2. 含参数的二次函数最值问题: 轴动区间定 轴定区间动 核心 : 区间与对称轴的相对位置
注意数形结合和分类讨论

变式:已知函数y=x2+2x+2,

?1, 5?

x ? ? ?3, m? , m ? ?3 ,函数的值域为

,求m的范围。

已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? a ? 2 练习: 当 x ? ?1,3? 时,求函数的最大值.
2 2

1、当a ? 1时. f ( x ) max ? f (3) ? a 2 ? 6a ? 11 2、当1 < a ? 2时. f ( x ) max ? f (3) ? a 2 ? 6a ? 11
0

y

X=a

0

1 2 3 x
X=a

y

3、当2 < a < 3时, f ( x) max ? f (1) ? a ? 2a ? 3
2

1 2 3 x
y
X=a

0

4、当a ? 3时, f ( x ) max ? f (1) ? a ? 2a ? 3
2

1 2 3 x
X=a

y

0

1 2 3 x

综上可知:
f ( x) max ? a ? 6a ? 11
2

y

X=a

(a < 2)
(a ? 2)

0

1 2 3 x
X=a

a 2 ? 2a ? 3

y

0

1 2 3 x

问题三: 设函数 f(x) =x2-2x+2在区间[t,t+1]上的最 小值为g(t),求g(t)的解析式。 解:f(x)=(x-1)2+1,对称轴为x=1

(1)当t>1时,则g(t)=f(t)=t2-2t+1;
(2)当0≤t ≤1时,则g(t)=f(1)=1; (3)当t+1<1,即t<0时,则g(t)=f(t+1)=t2+1; t2+1; 1; t2-2t+2; (t<0) (0≤t ≤1) (t>1)

g(t)=

思考:二次函数f(x)=x2-2x-3在[-3,a] (a>-3)上的最值是多少?

y

(1)当 ? 3 ? a < 1时
fmin=f(a)=a2-2a-3 -3
oa1 x

fmax=f(-3)=12

f(x)=x2-2x-3,x∈[-3,a] (a>-3)
y

y

-3 o

1

a5

x

-3 o

1

5a

x

(2)当 1 ? a < 5时

(3)当a ? 5时

fmin=f(1)=-4

fmin=f(1)=-4 fmax=f(a)= a2-2a-3

fmax=f(-3)=12

例题讲解:
例1 设函数 f(x) =x2-2x-3.3在区间[t,t+1]上的最小值 为g(t),求g(t)的解析式。 分析 解:f(x)=(x-1)2-4.3,对称轴为x=1

(1)当t>1时,则g(t)=f(t)=t2-2t-3.3;
(2)当0≤t ≤1时,则g(t)=f(1)=-4.3; (3)当t+1<1,即t<0时,则g(t)=f(t+1)=t2-4.3; t2-4.3; -4.3; t2-2t-3.3; (t<0) (0≤t ≤1) (t>1)

g(t)=

(1)若 a ? ?1 ,即a≤-2时, f(x)min=f(-1)=1+2a,f(x)max=f(1)=1;
2

例2 求 f(x) =x2-ax+a在区间[-1,1]上的最值。 分析 a 2 a a2 解:f(x)=(x- ) +a,对称轴为x= 2 2 4

(2)若-1<

a a <0 ,即-2<a<0时,f(x)min=f( )=a-a2/4,f(x)max=f(1)=1; 2 2

a a (3)若0 ≤ <1 ,即0≤a<2时,f(x)min=f( )= a-a2/4, f(x)max=f(-1)=1+2a; 2 2 a (4)若 ?1 , 2
即a≥2时, f(x)min=f(1)=1, f(x)max=f(-1)=1+2a;

例3:求函数y=x2+2ax+3在x?[-2,2]时的 最值? 解析: 因为函数y=x2+2ax+3 =(x+a)2+3-a2
的对称轴为x=-a。要求最值则要看x=-a 是否在区间[-2,2]之内,则从以下几个 方面解决如图:


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