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2013年广东(理科)试题+详细解答


2013 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(理科)
【详解人】佛山市南海区石门中学 黄伟亮 smzxhwl@126.com

参考公式:台体的体积公式 V ?

1 S1 ? S1S2 ? S2 h ,其中 S1 、 S2 分别表示台体的上、下底 3

?

?

面积, h 表示台体的高.

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设集合 M ? x x 2 ? 2x ? 0, x ? R , N ? x x 2 ? 2 x ? 0, x ?R ,则 M ? N ? A. ?0? B. ?0, 2? C. ??2,0? D. ??2, 2? 0,

?

?

?

?

【解析】D. M ? ?0, ?2? , N ? ?0,2? ,所以 M ? N ? ??2, 2? . 0, 2.定义域为 R 的四个函数 y ? x3 , y ? 2x , y ? x 2 ? 1 , y ? 2sin x 中,奇函数的个数是 A.4 B.3 C.2 D.1

【解析】C. y ? x3 和 y ? 2sin x 是奇函数. 3.若复数 z 满足 iz ? 2 ? 4i ,则在复平面内, z 对应的点的坐标是 A. ? 2, 4 ? 【解析】C. z ? B. ? 2, ?4? C. ? 4, ?2? D. ? 4, 2 ?

2 ? 4i ? 4 ? 2i . i

4.已知离散型随机变量 X 的分布列为

X
P
则 X 的数学期望 E ? X ? ? A.

1

2

3

3 5

3 10

1 10

3 2 3 5

B.2

C.

5 2

D.3

【解析】A. E ? X ? ? 1? ? 2 ?

3 1 3 ? 3? ? . 10 10 2

5.某四棱台的三视图如图 1 所示,则该四棱台的体积是

A.4

B.

14 3

C.

16 3

D.6

【解析】B. S1 ? 1 , S2 ? 4 , h ? 2 ,所以 V ?

1 14 ?1 ? 2 ? 4? ? 2 ? . 3 3
B.若 ? ∥ ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ∥ n D.若 m ? ? , m ∥ n , n ∥ ? ,则 ? ? ?

6.设 m 、 n 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面.下列命题中正确的是 A.若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n C.若 m ? n , m ? ? , n ? ? ,则 ? ? ? 【解析】D. 7.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F ? 3,0 ? ,离心率等于

3 ,则 C 的方程是 2
D.

A.

x2 y 2 ? ?1 4 5

B.

x2 y2 ? ?1 4 5

C.

x2 y2 ? ?1 2 5

x2 y2 ? ?1 2 5

【解析】B.由 c ? 3 ,

x2 y2 c 3 ? 1. ? ,解得 a ? 2 , b 2 ? c 2 ? a 2 ? 5 ,所以方程为 ? 4 5 a 2

8.设整数 n ? 4 ,集合 X ? ?1,2,3,?, n? .令集合

S?

?? x, y, z ? x, y, z ? X , 且三条件x ? y ? z, y ? z ? x, z ? x ? y恰有一个成立? .若 ? x, y, z ? 和
B. ? y, z, w? ? S , ? x, y, w? ? S D. ? y, z, w? ? S , ? x, y, w? ? S

? z, w, x ? 都在 S 中,则下列选项正确的是
A. ? y, z, w? ? S , ? x, y, w? ? S C. ? y, z, w? ? S , ? x, y, w? ? S

【解析】B.因为 ? x, y, z ? ? S , ? z, w, x ? ? S ,所以 x ? y ? z ?①, y ? z ? x ?②, z ? x ? y ? ③三个式子中恰有一个成立; z ? w ? x ?④, w ? x ? z ?⑤, x ? z ? w ?⑥三个式子中恰有 一个成立.配对后只有四种情况:第一种:①⑤成立,此时 w ? x ? y ? z ,于是 ? y, z, w? ? S ,

? x, y, w? ? S ;第二种:①⑥成立,此时 x ? y ? z ? w ,于是 ? y, z, w? ? S , ? x, y, w? ? S ;第三

种:②④成立,此时 y ? z ? w ? x ,于是 ? y, z, w? ? S , ? x, y, w? ? S ;第四种:③④成立,此 时 z ? w ? x ? y ,于是 ? y, z, w? ? S , ? x, y, w? ? S .综合上述四种情况,可得 ? y, z, w? ? S ,

? x, y, w? ? S .
备注: 作为小题小做, 只需解决其中一种情况, 就可得选项, 或者采用赋值法: x ? 2 ,y ? 3 , 令

z ? 4 , w ? 1 ,则 ? y, z, w? ? ? 3,4,1? ? S , ? x, y, w? ? ? 2,3,1? ? S .

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9—13 题) 9.不等式 x 2 ? x ? 2 ? 0 的解集为__________________. 【解析】 ? ?2,1? . x2 ? x ? 2 ? 0 ? ? x ? 1?? x ? 2? ? 0 ? ?2 ? x ? 1 . 10.若曲线 y ? kx ? ln x 在点 ?1,k ? 处的切线平行于 x 轴,则 k ? _________. 【解析】 ?1. y? ? k ?

1 ,于是 k ? 1 ? 0 ,解得 k ? ?1 . x

11.执行如图 2 所示的程序框图,若输入 n 的值为 4,则输出 s 的值为_________.

【解析】7.第 1 次执行循环, s ? 1 ,i ? 2 ;第 2 次执行循环, s ? 2 ,i ? 3 ;第 3 次执行循环,
s ? 4 , i ? 4 ;第 4 次执行循环, s ? 7 , i ? 5 .此时退出循环,输出 s ? 7 .

12.在等差数列 ?an ? 中,已知 a3 ? a8 ? 10 ,则 3a5 ? a7 ? _____________. 【解析】20. 3a5 ? a7 ? 2 ? a3 ? a8 ? ? 20 .

?x ? 4 y ? 4 ? 13.给定区域 D : ? x ? y ? 4 .令点集 ?x ? 0 ?
T?

?? x , y ? ? D x , y
0 0 0

0

? Z, ? x0 , y0 ? 是z ? x ? y在D上取得最大值或最小值的点 ,则 T 中

?

的点共确定______条不同的直线. 【解析】6. T 中共有 6 个点,其中 5 个在直线 x ? y ? 4 上,另外一个在直线 x ? y ? 4 外(是 ,所以共确定 6 条不同的直线. ? 0,1? ) (二)选做题(14—15 题,考生只能从中选做一题)

? x ? 2 cos t ? 14.(坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C 的参数方程为 ? ( t 为参数) C 在点 , ? y ? 2 sin t ?

?1,1? 处的切线为 l ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则 l 的极坐
标方程为________.

?? ? 【解析】 ? sin ? ? ? ? ? 2 .该切线的直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 ,所以极坐标方程为 4? ? ?? ? ? cos? ? ? sin ? ? 2 ? 0 ,即 ? sin ? ? ? ? ? 2 . 4? ?
15.(几何证明选讲选做题)如图 3, AB 是圆 O 的直径,点 C 在 圆 O 上.延长 BC 到 D 使 BC ? CD ,过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E .若 AB ? 6 , ED ? 2 ,则 BC ? _________. 【解析】 2 3 .由弦切角定理可知 ?ACE ? ?ABC ,于是 ?ECD ? ?CAB ,而 ?B ? ?D ,所 以 ?CAB ∽ ?ECD ,于是

CB ED ,所以 BC 2 ? ED ? AB ? 2 ? 6 ? 12 , BC ? 2 3 . ? AB CD

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)

? ? ? 已知函数 f ? x ? ? 2 cos ? x ? ? , x? R . 12 ? ?
? ?? (Ⅰ)求 f ? ? ? 的值; ? 6?

3 ? 3? ? , 2? ? ,求 (Ⅱ)若 cos? ? , ? ? ? 2 5 ? ?

?? ? f ? 2? ? ? . 3? ?

? ? ?? ? ? ? ? 【解析】 (Ⅰ) f ? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? ? 2 cos ? 1 . 4 ? 6? ? 6 12 ?
24 3 4 ? 3? ? , 2? ? ,所以 sin ? ? ? ,所以 sin 2? ? 2sin ? cos? ? ? , (Ⅱ)因为 cos ? ? ,? ? ? 25 5 5 ? 2 ? cos2? ? 2cos2 ? ? 1 ? ? 7 .于是 25

?? ?? ? ? ? 7 ? ? 24 ? 17 f ? 2? ? ? ? 2 cos ? 2? ? ? ? cos 2? ? sin 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 3? 4? ? ? ? 25 ? ? 25 ? 25

17.(本小题满分 12 分) 某车间共有 12 名工人,随机抽取 6 名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图 4 所示,其 中茎为十位数,叶为个位数. (Ⅰ)根据茎叶图计算样本均值; (Ⅱ)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该 车间 12 名工人中有几名优秀工人? (Ⅲ)从该车间 12 名工人中,任取 2 人,求恰有 1 名优秀工人的概率. 【解析】 (Ⅰ) x ? 20 ?

? ?3? ? ? ?1? ? 0 ? 1 ? 5 ? 10 ? 22
6

.

(Ⅱ)从茎叶图可知随机抽取的 6 名工人中有 2 人是优秀工人,所以推断该车间 12 名工 人中有 4 名优秀工人. (Ⅲ)记“恰有 1 名优秀工人”为事件 A ,则 P ? A? ?
1 1 C4C8 16 ? . 2 C12 33

18.(本小题满分 14 分) 如图 5,在等腰直角三角形 ABC 中, ?A ? 90? , BC ? 6 , D 、 E 分别是 AC 、 AB 上的 点, CD ? BE ? 2 , O 为 BC 的中点.将 ?ADE 沿 DE 折起,得到如图 6 所示的四棱锥

A? ? BCDE ,其中 A?O ? 3 .

(Ⅰ)证明: A?O ? 平面 BCDE ; (Ⅱ)求二面角 A? ? CD ? B 的平面角的余弦值. 【解析】 (Ⅰ)连接 OD ,则

OD2 ? OC 2 ? CD2 ? 2OC ? CD ? cos 45? ? 5 ,而 A?D 2 ? AD 2 ? 8 ? A?O 2 ? OD 2 ,所以 A?O ? OD .同理,
A?O ? OE .而 OD ? OE ? O , OD 、 OE ? 平面 BCDE ,所以 A?O ? 平面 BCDE .
(Ⅱ)法 1:取 DE 中点 F ,以 O 点为原点, OF 、 OB 、 OA? 为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立空间直角坐标系.则 A? 0,0, 3 、

?

?

???? ? ??? ? C ? 0, ?3,0? 、 D ?1, ?2,0? ,于是 A?C ? 0, ?3, ? 3 , CD ? ?1,1,0? .

?

?

???? ? ? n1 ? A?C ? 0 ??3 y ? 3z ? 0 ? ? 设平面 A?CD 的一个法向量为 n1 ? ? x, y, z ? ,则 ? ,从而 ? ,令 x ? 1 , ??? ? ?x ? y ? 0 ? n1 ? CD ? 0 ? ?
得 n1 ? 1, ?1, 3 .而平面 BCD 的一个法向量为 n2 ? ? 0,0,1? .所以二面角 A? ? CD ? B 的平面 角的余弦值为 cos ? n1 , n2 ? ?

?

?

n1 ? n2 n1 n2

=

3 15 . ? 5 5 ?1

法 2:过 O 点作 CD 的垂线,交 CD 延长线于 H ,连接 OH 、
A?H ,则 ?A?HO 就是二面角 A? ? CD ? B 的平面角.而 OH ?

3 2 , 2

?3 2 ? 所以 A?H ? ? ? 2 ? ? ? ? ?

2

? 3?

2

?

30 ,所以二面角 A? ? CD ? B 的 2

3 2 OH 15 平面角的余弦值为 . ? 2 ? A?H 5 30 2

19.(本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 1 , (Ⅰ)求 a2 的值; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ)证明:对一切正整数 n ,有

2Sn 1 2 ? an?1 ? n2 ? n ? , n ? N* . n 3 3

1 1 1 7 ? ?? ? ? . a1 a2 an 4

2S1 1 2 ? a2 ? ?12 ? 1 ? ,解得 a2 ? 4 . 1 3 3 2S 1 2 1 (Ⅱ)法 1:由 n ? an?1 ? n2 ? n ? 可得 2Sn ? nan?1 ? n ? n ? 1?? n ? 2? ,于是 n 3 3 3 1 .两式相减, 可得 2an ? nan?1 ? ? n ? 1? an ? n ? n ? 1? , 2Sn?1 ? ? n ? 1? an ? ? n ? 1? n ? n ? 1?( n ? 2 ) 3 a a a a 即 ? n ? 1? an ? nan?1 ? n ? n ? 1? ,两边除以 n ? n ? 1? ,可得 n ? n?1 ? 1 ,而 1 ? 2 ? 1 也成立, n n ?1 1 2
【解析】 (Ⅰ)由

a ?a ? 所以数列 ? n ? 是首项为 1,公差为 1 的等差数列,所以 n ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n ,所以 an ? n2 . n ?n? 2Sn 2S 1 2 1 2 ? an?1 ? n2 ? n ? 可得 n ? Sn?1 ? Sn ? n2 ? n ? ,于是 n 3 3 n 3 3 n?2 1 Sn ? Sn?1 ? ? n ? 1?? n ? 2? ,两边同时除以 ? n ? 1?? n ? 2? ,可得 n 3
法 2:由

? Sn ? Sn Sn ?1 Sn ?1 Sn 1 1 ? ? ? ? ,即 ? ? ,于是数列 ? ? 是首项为 ? n ? 1? n ? n ? 2 ?? n ? 1? 3 ? n ? 2 ?? n ? 1? ? n ? 1? n 3 ? n ? 1? n ? ? ? ?

? 2n ? 1?? n ? 1? n Sn 1 1 2n ? 1 1 1 ? ? ? n ? 1? ? ,公差为 的等差数列,于是 ,于是 S n ? . 6 6 2 3 ? n ? 1? n 2 3
所以当 n ? 2 时 an ? Sn ? Sn ?1 ?

? 2n ? 1?? n ? 1? n ? ? 2n ? 1? n ? n ? 1? ? n2
6 6

,当 n ? 1 时, a1 ? 1 也满

足该式子,所以数列 ?an ? 的通项公式是 an ? n2 . (Ⅲ)当 n ? 3 时,

1 1 1 1 ? ? ? ,于是 2 n n ? n ? 1? n ? 1 n

1 1 1 1 ?1 1? ?1 1? 1? 7 1 7 ? 1 ? ??? ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? . a1 a2 an 4 ? 2 3? ? 3 4? ? n ?1 n ? 4 n 4
当 n ? 2 时,

1 1 1 5 7 1 7 ? ? 1 ? ? ? ;当 n ? 1 时, ? 1 ? . a1 a2 4 4 4 a1 4 1 1 1 7 ? ?? ? ? . a1 a2 an 4

综上所述,对一切正整数 n ,有

20.(本小题满分 14 分)

x 已知抛物线 C 的顶点为原点, 其焦点 F ? 0, c ? c ? 0 ) ( 到直线 l : ? y ? 2 ? 0 的距离为
设 P 为直线 l 上的点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA 、 PB ,其中 A 、 B 为切点. (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)当点 P ? x0 , y0 ? 为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (Ⅲ)当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值.

3 2 . 2

【解析】 (Ⅰ)由

0?c?2 2

?

3 2 可得 c ? 1 或 c ? ?5 (舍去) ,所以抛物线 C 的方程为 2

x2 ? 4 y .
(Ⅱ)设 A? x1 , y1 ? ,则有

y1 ? y0 1 ? x1 ,即 2 y1 ? 2 y0 ? x12 ? x0 x1 ,因为 x12 ? 4 y1 ,所以 x1 ? x0 2

2 y1 ? 2 y0 ? 4 y1 ? x0 x1 ,化简可得 x0 x1 ? 2 y1 ? 2 y0 ? 0 ?①.同理,设 B ? x2 , y2 ? ,可得
x0 x2 ? 2 y2 ? 2 y0 ? 0 ?②.由①②可得直线 AB 的方程为 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 .

? x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 ? 2 2 (Ⅲ)联立 ? 2 ,消去 x 可得 y 2 ? 2 y0 ? x0 y ? y0 ? 0 ,于是 x ? 4y ? ?

?

?

2 2 y1 ? y2 ? x0 ? 2 y0 , y1 y2 ? y0 .由抛物线的定义可知 AF ? y1 ? 1 , BF ? y2 ? 1 ,所以

2 2 AF ? BF ? ? y1 ? 1?? y2 ? 1? ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ? 1 ? y0 ? x0 ? 2 y0 ? 1 .因为点 P 在直线 l 上移动,

2 2 2 所以 x0 ? y0 ? 2 ? 0 ,于是 y0 ? x0 ? 2 y0 ? 1 ? 2 y0 ? 2 y0 ? 5 ,所以当 y0 ? ?

1 时, AF ? BF 有 2

最小值,且最小值为

9 . 2

21.(本小题满分 14 分) 设函数 f ? x ? ? ? x ? 1? e x ? kx2 ( k ? R ). (Ⅰ)当 k ? 1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间;

?1 ? (Ⅱ)当 k ? ? ,1? 时,求函数 f ? x ? 在 ?0,k ? 上的最大值 M . ?2 ?
【解析】 (Ⅰ)当 k ? 1 时, f ? x ? ? ? x ? 1? e x ? x2 ,此时 f ? ? x ? ? x e x ? 2 .令 f ? ? x ? ? 0 解 得 x ? 0 或 x ? ln 2 ;令 f ? ? x ? ? 0 解得 0 ? x ? ln 2 .所以 f ? x ? 的单调递增区间为 ? ??,0 ? 、

?

?

? ln 2, ?? ? ,单调递减区间为 ? 0,ln 2 ? .
?1 ? (Ⅱ) f ? ? x ? ? x e x ? 2k ,因为 k ? ? ,1? ,所以 ln 2k ? 0 .令 f ? ? x ? ? 0 解得 x ? 0 或 ?2 ?

?

?

x ? ln 2 k ;令 f ? ? x ? ? 0 解得 0 ? x ? ln 2k .所以 f ? x ? 的单调增区间为 ? ??,0 ? 、 ? ln 2k , ?? ? ,

单调减区间为 ? 0,ln 2k ? .

1 ?1 ? ?1 ? 令 g ? k ? ? ln 2k ? k , k ? ? ,1? ,则 g ? ? k ? ? ? 1 ? 0 ,所以 g ? k ? 在 ? ,1? 上单调递增, k ?2 ? ?2 ?
而 g ?1? ? ln 2 ? 1 ? ln

2 所以 g ? k ? ? 0 , 所以 ln 2k ? k , 于是 f ? x ? 在 ? 0,ln 2k ? 上单调递减, ?0, e

在 ? ln 2k , k ? 上单调递增,所以 M ? max? f ? 0? , f ? k ?? .

f ? 0? ? ?1 , f ? k ? ? ? k ? 1? ek ? k 3 ,令 h ? k ? ? f ? k ? ? f ? 0? ? ? k ? 1? ek ? k 3 ? 1 ,则
?1 ? h? ? k ? ? k ? ek ? 3k ? .令 ? ? k ? ? ek ? 3k ,则 ? ? ? k ? ? ek ? 3 ? 0 ,所以 ? ? k ? 在 ? ,1? 上单调递减, ?2 ?

3 ?1 ? ?1 ? ?1? 而 ? ? ? ? e 2 ? ? 0 , ?1? ? e ? 3 ? 0 , 所以存在 k0 ? ? ,1? 使得 ? ? x0 ? ? 0 , ? ? k ? 在 ? , k0 ? 且 ? 2 ?2 ? ?2 ? ?2?
1

?1 ? 上大于 0,在 ? k0 ,1? 上小于 0.于是 h ? k ? 在 ? , k0 ? 上单调递增,在 ? k0 ,1? 上单调递减.因为 ?2 ?

1 1 7 ?1 ? ?1? h ? ? ? ? e 2 ? ? 0 , h ?1? ? 0 ,所以 h ? k ? ? 0 在 ? ,1? 上恒成立,于是 f ? k ? ? f ? 0? . 2 8 ?2 ? ?2?
综上所述,函数 f ? x ? 在 ?0,k ? 上的最大值 M ? f ? k ? ? ? k ? 1? ek ? k 3 .


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