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2010年高考广东省文科数学试题


2010 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填 写在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡 右上角“条形码粘贴处” . 2.选择题每小题选出答案后,

用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不 按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号(或题组号)对应的信息点,再作答.漏 涂、错涂、多涂的,答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:如果事件 A,B 互斥,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) . 已知 n 是正整数,则 a ? b ? (a ? b)(a ? a b ? ? ? ab ? b ) . 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.若集合 A={0,1,2,3} ,B={1,2,4} ,则集合 A ? B= A. {0,1,2,3,4} B. {1,2,3,4} C. {1,2} D. {0} 2.函数 f ( x) ? lg( x ? 1) 的定义域是 A.(2, ?? ) B.(1, ?? ) C.[1, ?? ) D.[2, ?? )
n n n ?1 n?2 n?2 n ?1

3.若函数 f ( x) ? 3 ? 3 与 g ( x) ? 3 ? 3 的定义域均为 R ,则
x x

?x

?x

A. f ( x) 与 g ( x) 均为偶函数 C. f ( x) 与 g ( x) 均为奇函数

B. f ( x) 为奇函数, g ( x) 为偶函数 D. f ( x) 为偶函数, g ( x) 为奇函数

a3 =2a1,且 a4 与 2a7 的等差中项为 4.已知数列{ an }为等比数列, S n 是它的前 n 项和,若 a2·

5 ,则 S5= 4

w_w

? ? ? ? ? ? 5.若向量 a =(1,1) , b =(2,5) , c =(3,x)满足条件 (8 a - b )· c =30,则 x =
w. k#s5_ u.c o* m

A.35 A.6

B.33 B.5
2

C.31

D.29

C.4
2

D.3
w_w w. k#s5_u.c o*m

6.若圆心在 x 轴上、半径为 5 的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x ? 2 y ? 0 相切,则圆 O 的方程是 A. ( x ? 5) ? y ? 5
2 2

B. ( x ? 5) ? y ? 5
2 2

w_w*w.k _s_5 u .c*o*m

C. ( x ? 5) ? y ? 5 D. ( x ? 5) ? y ? 5 7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是
2 2

w_w w. k#s5_u.c o*m

4 A. 5
3

3 B. 5
2

2 C. 5

1 D. 5
w_w*w.k_s_5 u.c *o*m

8. “ x >0”是“ x >0”成立的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.非充分非必要条件

D.充要条件

3 ' ' ' 9.如图 1, ?ABC 为正三角形, AA / / BB / /CC , CC ' ? 平面ABC且3AA ' ? BB' ? CC ' ? AB ,则多面 2 ' ' ' 体 ABC ? A B C 的正视图(也称主视图)是
w_w*w.k_s_5 u.c*o* m

-1-

10.在集合{a,b,c,d}上定义两种运算 ? 和 ? 如下:

w_w w. k#s5_u. c

o*m

那么 d ? (a ? c) ? A.a B.b C.c D.d 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.某城市缺水问题比较突出,为了制定节水管理办法,对全市居民某 年的月均用水量进行了抽样调查,其中 4 位居民的月均用水量分别为 x1 ,?, x4 (单位:吨).根据图 2 所示的程序框图,若 x1 , x2 , x3 ,

x4 ,分别为 1, 1.5 , 1.5 , 2 ,则输出的结果 s 为
w_w*w.k_ s_5 u. c*o*m

.

12.某市居民 2005~2009 年家庭年平均收入 x(单位:万元)与年平均 支出 Y(单位:万元)的统计资料如下表所示: 年份 2005 2006 2007 2008 2009
w_w w. k#s5_u. c o*m

收入 x 支出 Y

11.5 6.8

12.1 8.8

13 9.8

13.3 10

15 12 ,家庭年平均收

根据统计资料,居民家庭年平均收入的中位数是 入与年平均支出有 线性相关关系.
w_w w. k #s5_u. c o*m

13. 已知 a, b, c 分别是△ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边, 若 a=1, b= 3 , A+C=2B, 则 sinA= (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题) 如图 3, 在直角梯形 ABCD 中, DC∥AB, CB⊥AB, AB=AD=a, CD=

.

15. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(ρ , ? ) ( 0 ? ?<2? )中,曲线

a ,点 E,F 分别为线段 AB,AD 的中点,则 EF= 2

.

? ? cos ? ? sin ? ? ? 1 与 ? ? sin ? ? cos ? ? ? 1 的交点的极坐标为

.

w_w*w.k_s_5 u .c*o*m

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16. (本小题满分 14 分)

.k_s_5 u .c*o*m

? , ?>0 , x ? ? ??, ?? ? ,且以 为最小正周期. 6? 2 ?? ? ? 9 (1)求 f ? 0 ? ; (2)求 f ? x ? 的解析式; (3)已知 f ? ? ? ? ,求 sin ? 的值. ? 4 12 ? 5
设函数 f ? x ? ? 3sin ? ? x ?
w_w

? ?

??

?

w_w*w

-2-

17. (本小题满分 12 分) 某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了 100 名电视观众,相关的 数据如下表所示:
w_w*w.k_s_5 u. c*o*m

(1)由表中数据直观分析,收看新闻节目的观众是否与年龄有关? (2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名,大于 40 岁的观众应该抽取几名? (3)在上述抽取的 5 名观众中任取 2 名,求恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁的概率.
w. k#s5_u.c o*m w_w*w

.k_s_5 u

18.(本小题满分 14 分) w_w w. k#s5_u.c o*m 如图 4,弧 AEC 是半径为 a 的半圆, AC 为直径,点 E 为弧 AC 的中点,点 B 和点 C 为线段 AD 的三等 分点,平面 AEC 外一点 F 满足 FC ? 平面 BED , FB = 5a . (1)证明: EB ? FD ; (2)求点 B 到平面 FED 的距离. w_w*w.k_s_5 u.c*o*m

w19.(本小题满分 12 分) 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物,6 个单位的 蛋白质和 6 个单位的维生素 C ; 一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物, 6 个单位的蛋白质和 10 个单位 的维生素 C .另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物,42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C . 如果一个单位的午餐、 晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元, 那么要满足上述的营养要求, 并且花费最少, 应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐? w_w*w.k_s_5 u.c*o*m

-3-

20.(本小题满分 14 分)

已知函数 f ( x) 对任意实数 x 均有 f ( x) ? kf ( x ? 2) ,其中常数 k 为负数,且 f ( x) 在区间 ? 0, 2 ? 上有表达 式 f ( x) ? x( x ? 2) .w_w w. k#s5_u.c o*m (1)求 f (?1) , f (2.5) 的值; (2)写出 f ( x) 在 ? ?3,3? 上的表达式,并讨论函数 f ( x) 在 ? ?3,3? 上的单调性; (3)求出 f ( x) 在 ? ?3,3? 上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的取值. w_w*w.k_s_5 u.c*o*m

-4-

21.(本小题满分 14 分)w_w w. k#s5_u.c o*m 已知曲线 Cn:y ? nx ,点 Pn ( xn , yn )( xn ? 0, yn ? 0) 是曲线 Cn 上的点(n=1,2,?).
2

(1)试写出曲线 Cn 在点 Pn 处的切线 ln 的方程,并求出 ln 与 y 轴的交点 Qn 的坐标; (2)若原点 O(0,0) 到 ln 的距离与线段 Pn Qn 的长度之比取得最大值,试求试点 Pn 的坐标 ( xn , yn ); (3)设

m 与 k 为两个给定的不同的正整数, xn 与 yn 是满足(2)中条件的点 Pn 的坐标,
证明:

?
n ?1

s

( m ? 1) xn ? ( k ? 1) yn ? 2

ms ? ks ( s ? 1, 2,…) w.w.ww.w.^w.k.s.5*w_w w. k#s

-5-

2010 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(文科) 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 选项 11. 1.5 A B D C C 13. D B 14. A D 15. (1,

10 A

12. 13;正(或正的)

16.解: (1)由已知可得: f (0) ? 3 sin (2)∵ f ( x) 的周期为

?
6

1 2

a 2

?
2

)

?

2? ? ? ? ,即 ∴? ? 4 故 f ( x) ? 3 sin(4 x ? ) ? ? 2 6 2 a ? a ? ? ? (3)∵ f ( ? ) ? 3 sin[4 ? ( ? ) ? ] ? 3 sin(a ? ) ? 3 cos a 4 12 4 12 6 2 9 3 ∴由已知得: 3 cos a ? 即 cos a ? 5 5 3 2 4 4 4 2 ∴ sin a ? ? 1 ? cos a ? ? 1 ? ( ) ? ? 故 sin a 的值为 或 ? 5 5 5 5
17.解: (1)画出二维条形图,通过分析数据的图形,或者联列表的对角线的乘积的差的绝对值来分析, 得到的直观印象是收看新闻节目的观众与年龄有关; (2)在 100 名电视观众中,收看新闻的观众共有 45 人,其中 20 至 40 岁的观众有 18 人,大于 40 岁 的观众共有 27 人。 故按分层抽样方法,在应在大于 40 岁的观众中中抽取

3 2

5 ? 27 ? 3 人. 45

(3)法一:由(2)可知,抽取的 5 人中,年龄大于 40 岁的有 3 人,分别记作 1,2,3;20 岁至 40 岁的观众有 2 人,分别高为 a, b ,若从 5 人中任取 2 名观众记作 ( x, y ) ,则包含的总的基本事件有:

(1,2), (1,3), (1, a), (1, b), (2,3), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (a, b) 共 10 个。其中恰有 1 名观众的年龄为 20 岁至 40 岁包含的基本事件有: (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) 共 6 个. 6 3 故 P (“恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁”)= ? ; 10 5
18.法一: (1)证明:∵点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点, ∴点 B 为圆的圆心 又∵E 是弧 AC 的中点,AC 为直径, ∴ BC ? EB 即 BD ? EB ∵ FC ? 平面 BDE , EB ? 平面 BDE , ∴ FC ? EB 又 BD ? 平面 FBD , FC ? 平面 FBD 且 BD ? FC ? C ∴ EB ? 平面 FBD 又∵ FD ? 平面 FBD , ∴ EB ? FD (2)解:设点 B 到平面 FED 的距离(即三棱锥 B ? FED 的高)为 h . ∵ FC ? 平面 BDE , ∴FC 是三棱锥 F-BDE 的高,且三角形 FBC 为直角三角形 由已知可得 BC ? a ,又 FB ?

5a

∴ FC ?

( 5a ) 2 ? a 2 ? 2 a

在 Rt?BDE 中, BD ? 2a, BE ? a ,故 S ?BDE ? ∴ VF ? BDE ?

1 ? 2a ? a ? a 2 , 2

1 1 2 S ?BDE ? FC ? ? a 2 ? 2a ? a 3 , 3 3 3 又∵ EB ? 平面 FBD , 故三角形 EFB 和三角形 BDE 为直角三角形, ∴ EF ? 6a, DE ? 5a ,在 Rt?FCD 中, FD ? 5a ,
∴ S ?FED ?

21 2 a , 2

-6-

1 21 2 2 4 21 ? a ? h ? a 3 ,故 h ? a, 3 2 3 21 4 21 即点 B 到平面 FED 的距离为 h ? a. 21 19.解:设应当为该儿童分别预订 x 个单位的午餐, y 个单位的晚餐,所花的费用为 z ,则依题意得: ?12 x ? 8 y ? 64 ? 3 x ? 2 y ? 16 ? 0 ? 6 x ? 6 y ? 42 ? x ? y ? 7 ? 0 ? ? ? ? x, y 满足条件 ?6 x ? 10 y ? 54 即 ?3 x ? 5 y ? 27 ? 0 , ? ? x? N x? N ? ? y?N y?N ? ? ? ? 目标函数为 z ? 2.5 x ? 4 y , 5 z 作出二元一次不等式组所表示的平面区域(图略) ,把 z ? 2.5 x ? 4 y 变形为 y ? ? x ? ,得到 8 4 5 z 斜率为 ? ,在 y 轴上的截距为 ,随 z 变化的一族平行直线. 8 4 5 z 由图可知,当直线 y ? ? x ? 经过可行域上的点 M (即直线x ? y ? 7 ? 0与直线3x+5y-27=0的交点)时截距最 8 4 小,即 z 最小. ? x? y?7 ? 0 解方程组: ? , 得点 M 的坐标为 x ? 4, y ? 3 所以, z min ? 22 ?3 x ? 5 y ? 27 ? 0
∵ VF ? BDE ? VB ? FED 即 答:要满足营养要求,并花费最少,应当为该儿童分别预订 4 个单位的午餐,3 个单位的晚餐,此花的费 用最少为 22 元. 20.解: (1)∵ f ( x) ? kf ( x ? 2) ,且 f ( x) 在区间[0,2]时 f ( x) ? x( x ? 2) ∴ f (?1) ? kf (?1 ? 2) ? kf (1) ? k ? 1 ? (1 ? 2) ? ?k

1 f ( x) k 1 1 3 ∴ f (2.5) ? f (0.5 ? 2) ? f (0.5) ? ? 0.5 ? (0.5 ? 2) ? ? k k 4k 1 1 1 (2)若 x ? [0,2] ,则 x ? 2 ? [2,4] f ( x ? 2) ? f ( x) ? x( x ? 2) ? [( x ? 2) ? 2][( x ? 2) ? 4] k k k 1 ∴当 x ? [2,4] 时, f ( x) ? ( x ? 2)( x ? 4) k 若 x ? [?2,0) ,则 x ? 2 ? [0,2) ∴ f ( x ? 2) ? ( x ? 2)[( x ? 2) ? 2] ? x( x ? 2) ∴ f ( x) ? kf ( x ? 2) ? kx( x ? 2) 若 x ? [?4,?2) ,则 x ? 2 ? [?2,0) ∴ f ( x ? 2) ? k ( x ? 2)[( x ? 2) ? 2] ? k ( x ? 2)( x ? 4)
由 f ( x) ? kf ( x ? 2) 得 f ( x ? 2) ? ∴ f ( x) ? kf ( x ? 2) ? k ( x ? 2)( x ? 4)
2

∵ (2,3] ? [2,4], [?3,?2) ? [?4,?2)

?k 2 ( x ? 2)( x ? 4), x ? [?3,?2) ? k x( x ? 2), x ? [?2,0) ? ∴当 x ? [?3,3] 时, f ( x) ? ? x( x ? 2), x ? [0,2] ? 1 ? ( x ? 2)( x ? 4), x ? (2,3] ? k 2 ∵ k ? 0 ,∴当 x ? [?3,?2) 时, f ( x) ? k ( x ? 2)( x ? 4) ,由二次函数的图象可知, f ( x) 为增函数; 当 x ? [?2,0) 时, f ( x) ? kx( x ? 2) ,由二次函数的图象可知,当 x ? [?2,?1) 时, f ( x) 为增函数,
-7-

当 x ? [?1,0) 时, f ( x) 为减函数; 当 x ? [0,2] 时,f ( x) ? x( x ? 2) , 由二次函数的图象可知, 当 x ? [0,1) 时,f ( x) 为减函数; 当 x ? [1,2] 时, f ( x) 为增函数;

1 ( x ? 2)( x ? 4) ,由二次函数的图象可知, f ( x) 为增函数。 k (3)由(2)可知,当 x ? [?3,3] 时,最大值和最小值必在 x ? ?3 或 ? 1,1,3 处取得。 (可画图分析) 1 2 ∵ f (?3) ? ?k , f (?1) ? ?k , f (1) ? ?1 , f (3) ? ? k 1 ∴当 ? 1 ? k ? 0 时, y max ? f (3) ? ? , y min ? f (1) ? ?1; k 当 k ? ?1时, y max ? f (?1) ? f (3) ? 1, y min ? f (?3) ? f (1) ? ?1;
当 x ? (2,3] 时, f ( x) ? 当 k ? ?1 时, y max ? f (?1) ? ?k , y min ? f (?3) ? ?k .
2

21.解: (1) y ? ? 2nx ,设切线 l n 的斜率为 k ,则 k ? y ? | x ? x n ? 2nxn ∴曲线 C n 在点 Pn 处的切线 l n 的方程为: y ? y n ? 2nxn ( x ? xn ) 又∵点 Pn 在曲线 C n 上, ∴ y n ? nxn
2
2

∴曲线 C n 在点 Pn 处的切线 l n 的方程为: y ? nxn ? 2nxn ( x ? x n ) 即 2nxn x ? y ? nxn ? 0 令 x ? 0 得 y ? ?nxn ,∴曲线 C n 在 y 轴上的交点 Qn 的坐标为 (0,?nxn ) (2)原点 O(0,0) 到直线 l n 的距离与线段 Pn Qn 的长度之比为:
2

2

2

| ?nxn | 4n 2 x n ? 1 x n ? (nxn ? nxn )
当且仅当
2 2 2 2 2

2

?

nxn 1 ? 4n x n
2 2

?

1 1 ? 4nxn nxn

?

1 4

1 1 1 2 时,取等号。此时, y n ? nxn ? ? 4nxn 即 x n ? nxn 2n 4n 1 1 故点 Pn 的坐标为 ( , ) 2n 4n s (m ? 1) x n ? (k ? 1) y n | ?| ms ? ks | (s ? 1,2, ?) (3)证法一:要证 ? | 2 n ?1
只要证
s

m ?1 ? k ?1 ?
n ?1

s

1 2 n

? s | m ? k | (s ? 1,2,?)
(s ? 1,2,?) m ?1 ? k ?1 m? k
m? k

只要证

?2
n ?1

1 n

? s?

m ?1 ? k ?1 m? k

?

1 2 n
s

?

1 n? n

?

1 n ? n ?1

? n ? n ? 1 ,又?

?1
(s ? 1,2,?)

所以: ?
n ?1

1 2 n

? 1 ? ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ( s ? s ? 1) ? s (s ? 1,2,?) ? s ?

m ?1 ? k ?1

-8-


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