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3.3.2 函数的极值与导数


3.3.2 函数的极值与导数

1.求出函数 f(x)= x3 +3x2 - 24x - 20 的单调区间.
2 ? 解:f (x)= 3x +6x - 24 = 3(x + 4)(x - 2). 令 f?(x)= 0, 得临界点 x1 = -4, x2 = 2

区间 f ’(x) f(x)

(-∞,-4

)

-4 0

(-4,2)

2 0

(2,+∞)

+




+


f(x)在(-∞,-4), (2,+∞)内单调递增, ff(x) ′(x)>0 在(-4,(x+4)(x-2)>0 2)内单调递减. x<-4或x>2 f′(x)<0 (x+4)(x-2)<0 -4<x<2 求导数—求临界点—列表—写出单调性

还记得高台跳水的例子吗?

h

最高点

h(t)=-4.9t2+6.5t+10

o

a

t

2.跳水运动员在最高处附近的情况: 对于一般函数是否也有同样的性质呢? (1) 当t=a时,运动员距水面高度最大, (3) 当 t>a时, h(t) 的单调性是怎样的呢? 在 t=a 附近, h(t) 先增后减, h ′(t)先正后负, h(t) 在此点的导数是多少呢? 导数的符号有什么变化规律? h ′ (t)t<a 连续变化,于是有 h ′(a)=0.h(a)最大. (2) 当 时,h(t)的单调性是怎样的呢?

h

最高点
h(t)=-4.9t2+6.5t+10

h′(a)=0

o a

t

单调递增 h′(t)>0

单调递减 h′(t)<0

t<a t=a

t>a

1.探索并应用函数极值与导数的关系求函数 极值.(重点) 2.利用导数信息判断函数极值的情况.

(难点)

探究点 函数的极值与导数 如图 (1)和图 (2) , 函数 y = f ? x ? 在
a ,b ,c ,d ,e ,f ,g ,h, i,j 等点的函数值与这些点附近 的函数值有什么关系?y = f ? x ? 在这些点的导数 值是多少?在这些点附近,y = f ? x ?的导数的符号 有什么规律?
y

y ? f ?x ?

y

y ? f ?x ?

a o b
x

c d e

f g

o

h

i

j

x

图(1)

图 (2)

以a,b两点为例,我们可 以发现, 函数 y = f ? x ? 在 点x = a的函数值f ? a ?比 它在点 x = a 附近其他 点的函数值都小 ,f? ? a ? = 0;而且在点 x = a 附 近的左侧f? ? x ? < 0,右侧f? ? x ? > 0.
a

y

y ? f ?x ?

o b

x

类似地, 函数 y = f ? x ? 在点x = b的函数值f ? b ?比它 在点 x = b 附近 其他点的函数 值都大 ,f? ? b ? = 0; 而且在点 x = b 附近的左侧f? ? x ? > 0,右侧f? ? x ? < 0.

我们把点a叫做函数y = f ? x ?的极小值点 ,f ? a ? 叫做函数 y = f ? x ?的 极 小 值 ;

点b叫做函数y = f ? x ?的极大值点 ,f ? b ?叫做函数y = f ? x ?的

极大值 .
极小值点、极大值点统称为 极 值 点.极大值和 极小值统称为极 值 ? extreme value ? .
极值反映了函数在某一点附近的大小情况,刻画 的是函数的局部性质.

1 3 例 求函数 f ? x ? = x - 4x + 4 的极值. 3 1 3 解:因为f ? x ? = x - 4x + 4,所以 3 f' ? x ? = x2 - 4 = ? x - 2 ?? x + 2 ? .

令f ? x ? = 0,得x = 2或x = -2.
'

当f ? x ? > 0,即x > 2或x < -2时 ;
'

当f' ? x ? < 0,即 - 2 < x < 2时 .

当 x 变 化 时 ,f ? x ? ,f ? x ? 的 变 化 情 况 如 下 表 :
'

x f' ? x ?

? -∞,-2?
+

-2 0 28 3

? -2,2?
单调递减

2 0 4 3

?2,+∞?
+ 单调递增

f ? x ? 单调递增

因此,当x = -2时,f ? x ? 有极大 28 值,并且极大值为f ? -2? = ; 3 当x = 2时,f ? x ? 有极小值,并且

y

1 3 f ? x ? ? x ? 4x ? 4 3

o
?2

2

x

4 极小值为f ?2? = - . 3 1 3 函数f ? x ? = x - 4x + 4的图象如图所示. 3

极大值一定大于极小值吗?

思 考 导 数 值 为 0的 点 一 定 是 函 数 的 极 值 点 吗 ?

导数值为 0 的点不一定是函数的极值点 .例如,
2 ? 对于函数 f ? x ? = x ,我们有 f ? x ? = 3x .虽然 f? ? 0 ? = 0, 3

但由于无论 x > 0 ,还是 x < 0 ,恒有 f? ? x ? > 0 , 即函数 f ? x ? = x 3是单调递增的,所以x = 0不是函数f ? x ? = x 3的 极值点. 也就是说, 函数 y = f ? x ? 在一点的导数值为 0是 函数 y = f ? x ? 在这点取极值的必要条件,而非充分条件.

【提升总结】
求可导函数f(x)极值的步骤:

(1)确定函数的定义域. (2)求导数f′(x).
(3)求方程f′(x) =0的根. (4)把定义域划分为部分区间,并列成表格.

检查f′(x)在方程根左右的符号 ?如果左正右负, 那么f(x)在这个根处取得极大值;
?如果左负右正, 那么f(x)在这个根处取得极小值.

一般地,求函数y = f ? x ?的极值的方法是 : 解方程f? ? x ? = 0.当f? ? x 0 ? = 0 时 :

?1? 如果在x0附近的左侧f? ? x ? > 0,右侧f? ? x ? < 0, 那么f ? x 0 ? 是极大值. ? 2 ? 如果在x0附近的左侧f? ? x ? < 0,右侧f? ? x ? > 0, 那么f ? x 0 ? 是极小值 .

1.下面正确的是 B . A.可导函数必有极值 B.可导函数在极值点的导数一定等于零 C.函数的极小值一定小于极大值 (设极小值、极大值都存在) D.函数的极小值(或极大值)不会多于一个

注意:
函数极值是在某一点附近的小区间内定义的,是

局部性质.因此一个函数在其整个定义区间上可能
有多个极大值或极小值,并对同一个函数来说,在

某一点的极大值也可能小于另一点的极小值.

2.函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系
为 ( D ) A.导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值 B.导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值 C.导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值 D.导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值

3 2 2 函数 在 x ? 1 时有极值10,则 f ( x ) ? x ? ax ? bx ? a 3.

a,b的值为( C ) A. a ? 3, b ? ?3 或 a ? ?4, b ? 11 B. a ? ?4, b ? 1 或 a ? ?4, b ? 11 C. a ? ?4, b ? 11 D.以上都不对

解:由题设条件得

? f (1) ? 10, ?1 ? a ? b ? a ? 10, ?? ? / ? f (1) ? 0, ? 3 ? 2a ? b ? 0,
2

? a ? 3, ? a ? ?4, 注意代 或? 解之得 ? ? b ? ?3, ? b ? 11, 入检验 ? a ? 3, 经验证,当 ? 时, ? b ? ?3 f′(x)=3(x-1)2≥0恒成立,不存在极值点,故应选择C.

注意:f′(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件

4.已知函数f(x)= ax 3 + bx 2 + cx在点x 0处取得 极大值5,其导函数y = f? (x)的图象(如图)过点 (1,0)( , 2,0). 求:(1)x 0的值.(2)a,b,c的值.
解:(1)由图象可知: x0 ? 1. (2) f / ( x )=3ax 2 ? 2bx ? c    (a ? 0),

f (1) ? a ? b ? c ? 5,
? 2b - ? 3, ? ? 3a 或 ? ? c ? 2, ? ? 3a
/ ? f ? (1) ? 3a ? 2b ? c ? 0 , ? / ? ? f ( 2 ) ? 12a ? 4b ? c=0 ,

解得 a ? 2, b ? ?9, c ? 12.

注意数 形结合

极值定义 两个关键 (1)可导函数y=f(x)在极值点处的f′(x)=0. (2)极值点左右两边的导数必须异号. 三个步骤 (1)确定定义域.

(2)求f′(x)=0的根. (3)列成表格. 用方程f′(x)=0的根,顺次将函数的定义域 分成若干个开区间,并列成表格,由f′(x)在方程 f′(x)=0的根左右的符号,来判断f(x)在这个根处 取极值的情况.


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