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2015届中考数学第一轮复习资料


中考数学第一轮复习资料(全套 37 页) 目 录
第一章 实数 课时 1.实数的有关概念????????????????( 1 ) 课时 2.实数的运算与大小比较???????????( 4 ) 第二章 代数式 课时 3.整式及运算 ?????????????????( 7 ) 课时 4.因式分解???????????????????( 10 ) 课时 5.分式 ???

?????????????????( 13 ) 课时 6.二次根式???????????????????( 16 ) 第三章 方程(组)与不等式 课时 7.一元一次方程及其应用 ???????????( 19 ) 课时 8.二元一次方程及其应用 ???????????( 22 ) 课时 9.一元二次方程及其应用????????????( 25 ) 课时 10.一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 ?( 28 ) 课时 11.分式方程及其应用??????????????( 31 ) 课时 12.一元一次不等式(组)????????????( 34 ) 课时 13.一元一次不等式(组)及其应用????????( 37 ) 第四章 函数 课时 14.平面直角坐标系与函数的概念????????( 40 ) 课时 15.一次函数???????????????????( 43 ) 课时 16.一次函数的应用 ???????????????( 46 ) 课时 17.反比例函数 ?????????????????( 49 ) 课时 18.二次函数及其图像 ?????????????( 52 ) 课时 19.二次函数的应用 ??????????????( 55 ) 课时 20.函数的综合应用(1) ????????????( 58 ) 课时 21.函数的综合应用(2) ????????????( 61 ) 第五章 统计与概率 课时 22.数据的收集与整理(统计 1) ????????( 64 ) 课时 23.数据的分析(统计 2)????????????( 67 ) 课时 24.概率的简要计算(概率 1)??????????( 70 ) 课时 25.频率与概率(概率 2)?????????????( 73 ) 第六章 三角形 课时 26.几何初步及平行线、相交线 ?????????( 76 ) 课时 27.三角形的有关概念 ?????????????( 79 ) 课时 28.等腰三角形与直角三角形 ??????????( 82 ) 课时 29.全等三角形 ?????????????????( 85 ) 课时 30.相似三角形 ?????????????????( 88 ) 课时 31.锐角三角函数 ????????????????( 91 ) 课时 32.解直角三角形及其应用 ???????????( 94 ) 第七章 四边形 课时 33.多边形与平面图形的镶嵌 ??????????( 97 )

课时 34.平行四边形 ?????????????????( 100 ) 课时 35.矩形、菱形、正方形?????????????(103) 课时 36.梯形 ????????????????????(106) 第八章 圆 课时 37.圆的有关概念与性质 ????????????(109) 课时 38.与圆有关的位置关系?????????????(112) 课时 39.与圆有关的计算???????????????(115) 第九章 图形与变换 课时 40.视图与投影 ?????????????????(118) 课时 41.轴对称与中心对称??????????????(121) 课时 42.平移与旋转 ?????????????????(124)

第一章

实数

课时 1.实数的有关概念
【课前热身】 1.(08 重庆)2 的倒数是 .

2.(08 白银)若向南走 2m 记作 ?2m ,则向北走 3m 记作 3.(08 乌鲁木齐) 2 的相反数是 4.(08 南京) ?3 的绝对值是( A. ?3 B. 3 ) C. ? .

m.

1 3

D.

1 3

5. (08 宜昌)随着电子制造技术的不断进步,电子元件的尺寸大幅度缩小,在芯片上某种 2 电子元件大约只占 0.000 000 7(毫米 ) ,这个数用科学记数法表示为( ) -6 -6 -7 -8 A.7?10 B. 0.7?10 C. 7?10 D. 70?10 【考点链接】 1.有理数的意义 ⑴ 数轴的三要素为 、 和 . 数轴上的点与 b ⑵ 实数 a 的相反数为________. 若 a , 互为相反数,则 a ? b = ⑶ 非零实数 a 的倒数为______. 若 a , b 互为倒数,则 ab = 构成一一对应. . .

? ? ⑷ 绝对值 a ? ? ? ?

( a ? 0) ( a ? 0) . ( a ? 0)
的形式,其中 1≤ a <10 的数,n 是整数.

⑸ 科学记数法:把一个数表示成

⑹ 一般地,一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.这时,从左 边第一个不是 的数起,到 止,所有的数字都叫做这个数的有效数字. 2.数的开方 ⑴ 任何正数 a 都有______个平方根,它们互为________.其中正的平方根 a 叫 _______________. 没有平方根,0 的算术平方根为______. ⑵ 任何一个实数 a 都有立方根,记为 . ⑶

? a2 ? a ? ? ?

(a ? 0) . (a ? 0)
和 统称实数.

3. 实数的分类 4.易错知识辨析

(1)近似数、有效数字 如 0.030 是 2 个有效数字(3,0)精确到千分位;3.14?10 是 3 个有效数字;精确到千位.3.14 万是 3 个有效数字(3,1,4)精确到百位.

5

(2)绝对值 x ? 2 的解为 x ? ?2 ;而 ? 2 ? 2 ,但少部分同学写成 ? 2 ? ?2 . (3)在已知中,以非负数 a 、|a|、 a (a≥0)之和为零作为条件,解决有关问题. 【典例精析】 例 1 在“
2

? 5 ? ,3.14 , ? 3 ? , ? 3 ?
0 3

?2

,cos 60

0

sin 45 ”这 6 个数中,无理数的个

0

数是( A.2 个

) B.3 个 C.4 个 ) C. ?
2

D.5 个

例 2 ⑴(06 成都) ? ?2 的倒数是( A.2 B.

1 2

1 2

D.-2 )

⑵(08 芜 湖 ) 若 m ? 3 ? (n ? 2) ? 0 ,则 m ? 2 n 的值为( A. ? 4 B. ?1 C.0 D.4 ⑶(07 扬州)如图,数轴上点 P 表示的数可能是( ) A. 7 B. ? 7 C. ?3.2 D. ? 10 P

?3 ? 2 ?1 O 1
例3 下列说法正确的是( ) 3 A.近似数 3.9?10 精确到十分位 5 B.按科学计数法表示的数 8.04?10 其原数是 80400 4. C.把数 50430 保留 2 个有效数字得 5.0?10 D.用四舍五入得到的近似数 8.1780 精确到 0.001

2 3

【中考演练】 1.(08 常州)-3 的相反数是______,-

1 -1 2008 的绝对值是_____,2 =______, (?1) ? 2



2. 某种零件,标明要求是φ 20±0.02 mm(φ 表示直径,单位:毫米) ,经检查,一个零件 的直径是 19.9 mm,该零件 .(填“合格” 或“不合格” ) 3. 下列各数中:-3,
0

22 1 3 3 ,0, , 64 ,0.31, ,2 ? ,2.161 161 161?, 7 2 4

(-2 005) 是无理数的是___________________________. 4. (08 湘潭)全世界人民踊跃为四川汶川灾区人民捐款, 到 6 月 3 日止各地共捐款约 423.64 亿元,用科学记数法表示捐款数约为__________元. (保留两个有效数字) 5. (06 北京)若 m ? 3 ? (n ? 1) 2 ? 0 ,则 m ? n 的值为 6. 2.40 万精确到__________位,有效数字有__________个. 7.(06 泸州) ? .

1 的倒数是 ( 5

)

A. ?

1 5

B.

1 5

C. ? 5

D.5

8. (06 荆门)点 A 在数轴上表示+2,从 A 点沿数轴向左平移 3 个单位到点 B,则点 B 所表示 的实数是( A.3 ) B.-1 C.5 D.-1 或 3 ) D.2 ) D. 2 和

9.(08 扬州)如果□+2=0,那么“□”内应填的实数是( A.

1 2 1 2

B. ?

1 2 1 2

C. ?

1 2

10. (08 梅州)下列各组数中,互为相反数的是( A.2 和 B.-2 和- C.-2 和|-2| ) C.±4

1 2

11. (08 无锡)16 的算术平方根是( A.4 B.-4

D.16 )

12.(08 郴州)实数 a、b 在数轴上的位置如图所示,则 a 与 b 的大小关系是( A.a > b B. a = b

a

C. a < b

o

b
D.不能判断 ) D.-8 或 2

13.若 x 的相反数是 3,│y│=5,则 x+y 的值为( A.-8 B.2 C.8 或-2

14.(08 湘潭) 如图,数轴上 A、B 两点所表示的两数的( ) A. 和为正数 B. 和为负数 C. 积为正数 D. 积为负数 A -3 O B

课时 2.

实数的运算与大小比较

【课前热身】 1.(08 大连)某天的最高气温为 6°C,最低气温为-2°C,同这天的最高气温比最低气温 高__________°C. 2.(07 晋江)计算: 3
?1

? _______.
3 .(填“ ? , ? 或 ? ”符号)

3.(07 贵阳)比较大小: ?2 4. 计算 ?3 的结果是(
2

) B. 9 C.-6 ) C. ?(?3) ? 3 D. (π ? 2) ? 0
0

A. -9

D.6

5.(08 巴中)下列各式正确的是( A. ? ?3 ? 3 B. 2
?3

? ?6

6.若“!”是一种数学运算符号,并且 1!=1,2!=2?1=2,3!=3?2?1=6,

4!=4?3?2?1,?,则 A.

100! 的值为( 98!

) C. 9900 D. 2!

50 49

B. 99!

【考点链接】 1. 数的乘方 2. a ?
0

an ?
(其中 a 0 且a是

,其中 a 叫做 )a
?p

,n 叫做

. 0)

?

(其中 a

3. 实数运算 先算 ,再算 ,最后算 ;如果有括号,先算 里面的,同一级运算按照从 到 的顺序依次进行. 4. 实数大小的比较 ⑴ 数轴上两个点表示的数, 的点表示的数总比 的点表示的数大. ⑵ 正数 0,负数 0,正数 负数;两个负数比较大小,绝对值大的 绝对值小的. 5.易错知识辨析 在较复杂的运算中,不注意运算顺序或者不合理使用运算律,从而使运算出现错误. 如 5÷

1 ?5. 5

【典例精析】 例 1 计算: ⑴(08 龙岩)20080+|-1|- 3 cos30° + ( ⑵

1 3 ); 2

3 ? 2 ? (?2) 2 ? 2sin 60 .

例2

计算: ( )

1 2

?1

? 23 ? 0.125 ? 20090 ? | ?1| .

﹡例 3

已知 a 、 b 互为相反数, c 、 d 互为倒数, m 的绝对值是 2,



|a?b| ? 4m ? 3cd 的值. 2m 2 ? 1

【中考演练】 1. (07 盐城)根据如图所示的程序计算,

输入 x 平方

若输入 x 的值为 1,则输出 y 的值为 2. 比较大小: ?

.

否则 若结果大于 0

乘以 2 减去 4 ) D. 12 D.(23)2=26 )

7 3 _____ ? . 10 10

3.(08 江西)计算(-2)2-(-2) 3 的结果是( A. -4 B. 2 C. 4 4. (08 宁夏)下列各式运算正确的是( ) A.2-1=-

输出 y

1 2

B.23=6

C.22?23=26

5. -2,3,-4,-5,6 这五个数中,任取两个数相乘,得的积最大的是( A. 10 B.20 C.-30 D.18 6. 计算: ⑴(08 南宁) (?1) ?
0

1 tan 45? ? 2 ?1 ? 4 ; 2

⑵(08 年郴州) ( )

1 2

?2

? ( 3 ? 2)0 ? 2sin 30? ? ?3 ;

⑶ (08 东莞) cos60 ? 2
?

?1

? (2008? ? ) 0 .

﹡7. 有规律排列的一列数:2,4,6,8,10,12,?它的每一项可用式子 2 n ( n 是正整 , ? 2, 3, ? 4, 5, ? 6, 7, ? 8 ,? 数)来表示.有规律排列的一列数: 1 (1)它的每一项你认为可用怎样的式子来表示? (2)它的第 100 个数是多少? (3)2006 是不是这列数中的数?如果是,是第几个数?

﹡8.有一种“二十四点”的游戏,其游戏规则是:任取 1 至 13 之间的自然数四个,将这个 四个数(每个数用且只用一次)进行加减乘除四则运算,使其结果等于 2 4.例如:对 1,2,3,4,可作运算: (1+2+3)?4=24. (注意上述运算与 4 ?(2+3+1)应视作 相同方法的运算.现“超级英雄”栏目中有下列问题:四个有理数 3,4,-6,10,运用 上述规则写出三种不同方法的运算,使其结果等于 24, (1)_______________________, (2)_______________________, (3)_______________________. 另有四个数 3,-5,7,-13,可通过运算式(4)_____________________ ,使其 结果等于 24.

第二章

代数式

课时 3.整式及其运算
【课前热身】 1. ?

1 2 x y 的系数是 3

,次数是 . )
10

.

2.(08 遵义)计算: (?2a)2 ? a ? 3.(08 双柏)下列计算正确的是( A. x ? x ? x
5 5 10

x ?x B. x ·
5 5

C. ( x ) ? x
5 5

10

D. x ? x ? x
20 2

10

4. (08 湖州)计算 (? x) x 所得的结果是(
2 3


6

A. x

5

B. ? x

5

C. x

D. ? x

6

5. a,b 两数的平方和用代数式表示为( A. a ? b
2 2

) C. a ? b
2

B. (a ? b)

2

D. a ? b
2

6.某工厂一月份产值为 a 万元,二月份比一月份增长 5%,则二月份产值为( A. (a ? 1) ?5%万元 B. 5% a 万元 C.(1+5%) a 万元 D.(1+5%) a
2



【考点链接】 1. 代数式:用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把 或表示 连接而成的式子叫做代数式. 2. 代数式的值:用 代替代数式里的字母,按照代数式里的运算关系,计算后所 得的 叫做代数式的值. 3. 整式 ( 1 )单项式:由数与字母的 组成的代数式叫做单项式(单独一个数或 也是单项式).单项式中的 叫做这个单项式的系数;单项式中的所有字母的 叫做这个单项式的次数.

(2) 多 项 式 : 几 个 单 项 式 的 叫做多项式.在多项式中,每个单项式叫 做多项式的 ,其中次数最高的项的 叫做这个多项式的次数.不含字母 的项叫做 . (3) 整式: 与 统称整式. 4. 同类项:在一个多项式中,所含 相同并且相同字母的 也分别相等的项叫 做同类项. 合并同类项的法则是 ___. m n m n m n n 5. 幂的运算性质: a ?a = ; (a ) = ; a ÷a =_____; (ab) = . 6. 乘法公式: (1) (a ? b)(c ? d ) ?
2

; (2) (a+b)(a-b)=
2



(3) (a+b) = ;(4)(a-b) = . 7. 整式的除法 ⑴ 单项式除以单项式的法则: 把 、 分别相除后, 作为商的因式; 对于只在被除武里含有的字母,则连同它的指数一起作为商的一个因式. ⑵ 多项式除以单项式的法则:先把这个多项式的每一项分别除以 ,再把 所得的商 . 【典例精析】
x y x? y 例 1 (08 乌鲁木齐)若 a ? 0 且 a ? 2 , a ? 3 ,则 a 的值为(



A. ?1

B.1

C.

2 3

D.

3 2

例 2 (06 广东)按下列程序计算,把答案写在表格内: n 平方 +n

?n
1 2

-n

答案

⑴ 填写表格: 输入n 输出答案 3 1 —2 —3 1 ? ?

⑵ 请将题中计算程序用代数式表达出来,并给予化简.

例3

先化简,再求值: (1) (08 江西)x (x+2)-(x+1)(x-1),其中 x=- (2)

1 ; 2

1 ( x ? 3)2 ? ( x ? 2)( x ? 2) ? 2 x2 ,其中 x ? ? . 3

【中考演练】 3 2 2 1. 计算(-3a ) ÷a 的结果是( ) 4 4 2 A. -9a B. 6a C. 9a 2.(06 泉州)下列运算中,结果正确的是( )

D. 9a

4

x ?x A. x ·
3 3

6

B. 3x ? 2 x ? 5 x
2 2

4

C. ( x 2 ) 3 ? x 5
2

D. ( x ? y)2 ? x2 ? y 2 )

2 ﹡3.(08 枣庄)已知代数式 3x ? 4 x ? 6 的值为 9,则 x ?

4 x ? 6 的值为( 3

A.18

B.12

C.9

D.7

4. 若 2x3 y m与 ? 3xn y 2 是同类项,则 m + n =____________. 5.观察下面的单项式:x,-2x,4x ,-8x ,??.根据你发现的规律,写出第 7 个式子 是 6. 先化简,再求值: ⑴ (a ? 2b)(a ? 2b) ? ab3 ? (?ab) ,其中 a ? .
3 4

2 , b ? ?1 ;

⑵ ( x ? y) ? 2 y( x ? y) ,其中 x ? 1, y ?
2

2.

﹡7. (08 巴中)大家一定熟知杨辉三角(Ⅰ) ,观察下列等式(Ⅱ) 1 1 1 1 3 2 3 1 1 1

(a ? b)1 ? a ? b (a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 (a ? b)3 ? a 3 ? 3a 2b ? 3ab 2 ? b3

1 4 6 4 1 (a ? b) 4 ? a 4 ? 4a 3b ? 6a 2b 2 ? 4ab3 ? b 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ⅰ 根据前面各式规律,则 (a ? b) ?
5

Ⅱ .

课时 4.因式分解

【课前热身】 1.(06 温州)若 x-y=3,则 2x-2y= 2.(08 茂名)分解因式:3 x -27= 3.若 x 2 ? ax ? b ? ( x ? 3)(x ? 4),则a ? 4. 简便计算: 2008 ? 2009 ? 2008 =
2

. .

2

,b ?
. )
2 2



5. (08 东莞) 下列式子中是完全平方式的是( A. a ? ab ? b
2 2

B. a ? 2a ? 2
2

C. a ? 2b ? b

D. a ? 2a ? 1
2

【考点链接】 1. 因式分解: 就是把一个多项式化为几个整式的 的形式. 分解因式要进行到每一个因 式都不能再分解为止. 2. 因式分解的方法:⑴ ,⑵ , ⑶ ,⑷ . 3. 提公因式法: ma ? mb ? mc ? __________ _________. 4. 公式法: ⑴ a ? b ?
2 2

⑵ a ? 2ab ? b ?
2 2



⑶ a ? 2ab ? b ?
2 2

. .

5. 十字相乘法: x 2 ? ? p ? q ?x ? pq ?

6.因式分解的一般步骤:一“提” (取公因式) ,二“用” (公式) . 7.易错知识辨析 (1)注意因式分解与整式乘法的区别; (2)完全平方公式、平方差公式中字母,不仅表示一个数,还可以表示单项式、多项 式. 【典例精析】 例 1 分解因式: ⑴(08 聊城) ax y ? axy ? 2ax y ? __________________. 2 ⑵(08 宜宾)3y -27=___________________.
3 3 2 2

⑶(08 福州) x ? 4 x ? 4 ? _________________.
2

⑷ (08 宁波) 2 x ? 12 x ? 18 ?
2


3 2 2 3

例2

已知 a ? b ? 5, ab ? 3 ,求代数式 a b ? 2a b ? ab 的值.

【中考演练】 1.简便计算: 7.292 -2.712 ? 2.分解因式: 2 x ? 4 x ? ____________________.
2

.

3.分解因式: 4 x ? 9 ? ____________________.
2

4.分解因式: x ? 4 x ? 4 ? ____________________.
2

5.(08 凉山)分解因式 ab ? 2a b ? a ?
2 2 3

. . _____; ) 2 2 D.x +y

6. (08 泰安)将

1 x ? x 3 ? x 2 分解因式的结果是 4

7.(08 中山)分解因式 am ? an ? bm ? bn =_____ 8.(08 安徽) 下列多项式中,能用公式法分解因式的是( 2 2 2 2 A.x -xy B.x +xy C.x -y 9.下列各式从左到右的变形中,是因式分解的为( A. x(a ? b) ? ax ? bx C. x 2 ? 1 ? ( x ? 1)(x ? 1) )

B. x 2 ? 1 ? y 2 ? ( x ? 1)(x ? 1) ? y 2 D. ax ? bx ? c ? x(a ? b) ? c
2 2

﹡10. 如图所示,边长为 a , b 的矩形,它的周长为 14,面积为 10,求 a b ? ab 的值.

b

a
11.计算: (1) 99 ;
2

(2) (1 ?

1 1 1 )(1 ? 2 )(1 ? 2 ) 2 2 3 4

(1 ?

1 1 )(1 ? 2 ) . 2 9 10

﹡12.已知 a 、 b 、 c 是△ABC 的三边,且满足 a ? b c ? b ? a c ,试判断△ABC 的
4 2 2 4 2 2

形状.阅读下面解题过程: 解:由 a ? b c ? b ? a c 得:
4 2 2 4 2 2

a 4 ? b4 ? a 2c 2 ? b2c 2



?a

2

? b2 a 2 ? b2 ? c2 a 2 ? b2
2 2 2

??

?

?

?

② ③

即a ?b ? c

∴△ABC 为 Rt△。 ④ 试问:以上解题过程是否正确: ; 若不正确,请指出错在哪一步?(填代号) 错误原因是 ; 本题的结论应为

; .

课时 5.分式
【课前热身】

x ?1 x2 ? x 1.当 x=______时,分式 有意义;当 x=______时,分式 的值为 0. x ?1 x
2.填写出未知的分子或分母: (1)

3x ( ) y ?1 1 . ? 2 , (2) 2 ? 2 x? y x ? y y ? 2 y ?1 ( )

3.计算:

x y + =________. x? y y?x
) D.4

x 1 x2 a , x, , 4.代数式 中,分式的个数是( x ?1 3 x ?
A.1 B.2 C.3

5.(08 无锡)计算 A. b 【考点链接】

(ab)2 的结果为( ab 2
B. a

) C. 1

D.

1 b
,那么 ,

1. 分式:整式 A 除以整式 B,可以表示成 称 则 A 为分式.若 B A =0. B ,则

A 的形式,如果除式 B 中含有 B ,则 A 无意义;若 B

A 有意义;若 B

2 .分式的基本性质:分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式 的 .用式子表示为 . 3. 约分:把一个分式的分子和分母的 约去,这种变形称为分式的约分. 4.通分:根据分式的基本性质,把异分母的分式化为 的分式,这一过程称为分 式的通分. 5.分式的运算 ⑴ 加减法法则:① 同分母的分式相加减: . ② 异分母的分式相加减: . ⑵ 乘法法则: .乘方法则: . ⑶ 除法法则: . 【典例精析】 例 1 (1) 当 x (2)当 x 时,分式

3 无意义; 1? x

2 时,分式 x ? 9 的值为零. x?3

例 2 ⑴ 已知 x ?

1 1 ? 3 ,则 x 2 ? 2 = x x

.

⑵(0 8 芜 湖 ) 已知

1 1 ? ? 3 ,则代数式 2 x ? 14 xy ? 2 y 的值为 x y x ? 2 xy ? y

.

例 3 先化简,再求值: (1)(08 资阳) (

1 1 2 - 2 )÷ 2 ,其中 x=1. x2 ? 2 x x ? 4x ? 4 x ? 2x

⑵(08 乌鲁木齐)

1 1 x ?1 ? 2 ? 2 ,其中 x ? 3 ? 1. x ?1 x ?1 x ? 2x ?1

【中考演练】

5ab x2 ? 4 x ? 4 ? ______, 1.化简分式: =________. 20a 2b x?2
x-1 1 2.计算: + = x-2 2-x 3.分式 .

1 1 1 , , 的最简公分母是_______. 2 2 3 3x y 4 xy ?2 x

4. 把分式

x 分母的 x 、y 同时扩大 2 倍, 那么分式的值 ( ( x ? 0, y ? 0) 中的分子、 x? y
B. 缩小 2 倍 C. 改变原来的



A. 扩大 2 倍

1 4

D. 不改变

5.如果

x x? y =3,则 =( y y
2



A.

4 3

B.xy

C.4

D.

x y

6. (08 苏州)若 x ? x ? 2 ? 0 ,则

x2 ? x ? 2 3 的值等于( ( x 2 ? x) 2 ? 1 ? 3
D. 3 或



A.

2 3 3

B.

3 3
2

C. 3

3 3

7. 已知两个分式:A=

4 1 1 ? ,B= ,其中 x≠±2.下面有三个结论: x?2 2? x x ?4

①A=B; ②A、B 互为倒数; ③A、B 互为相反数. 请问哪个正确?为什么?

? x2 ? 2x ? 1 1 ? 1 ? ?? 8. 先化简 ? ,再取一个你认为合理的 x 值,代入求原式的值. 2 x ? x ?1 ? x ?1

课时 6.二次根式
【课前热身】 1.(07 福州)当 x ___________时,二次根式 x ? 3 在实数范围内有意义. 2.(07 上海)计算: ( 3)2 ? __________. 3. 若无理数 a 满足不等式 1 ? a ? 4 ,请写出两个符合条件的无理数_____________. 4.(06 长春)计算: 4 ? 5 = _____________. 5.下面与 2 是同类二次根式的是( A. 3 B. 12 ) C. 8 D. 2 ? 1

【考点链接】 1.二次根式的有关概念 ⑴ 式子 a (a ? 0) 叫做二次根式.注意被开方数 a 只能是 ,不含能 .并且根式.

⑵ 简二次根式 被开方数所含因数是 ,因式是 简二次根式. (3) 同类二次根式 化成最简二次根式后,被开方数 2.二次根式的性质 ⑴ ⑵ ⑶

的二次根式,叫做最

几个二次根式,叫做同类二次根式.

a

0;

? a?

2

?

( a ≥0) ⑶

a2 ?



ab ?
a ? b

( a ? 0, b ? 0 ) ; ( a ? 0, b ? 0 ).



3.二次根式的运算

(1) 二次根式的加减: ①先把各个二次根式化成 ②再把 不变. 【典例精析】 例1

; 分别合并,合并时,仅合并



⑴ 二次根式 1 ? a 中,字母 a 的取值范围是( A. a ? 1 B.a≤1 C.a≥1

) D. a ? 1 ) D.9 到 10 之间

⑵(08 芜 湖 ) 估计 32 ?

1 ? 20 的运算结果应在( 2

A.6 到 7 之间 B.7 到 8 之间 C.8 到 9 之间 例 2 (08 荆州)下列根式中属最简二次根式的是( ) A. a2 ?1 B.

1 2
0

C. 8

D. 27

例3

计算:⑴( 07 台州) ( π ? 1) ? 12 ? ? 3 ;

⑵(07 嘉兴)

8+ ?? 1? -2?
3

2 . 2

【中考演练】 1. (06 南昌)计算: 12 ? 3 3 ? 2.(06 南通)式子 .

x 有意义的 x 取值范围是________. 2? x 3.(06 海淀)下列根式中能与 3 合并的二次根式为( )
A.

3 2

B. 24

C. 12

D. 18

﹡4. 数轴上的点并不都表示有理数,如图中数轴上的点 P 所表示的数是 2 ” ,这种说明问

题的方式体现的数学思想方法叫做( A.代人法 B.换元法 C.数形结合 D.分类讨论 5. (08 大连)若 x ? A. 2 a



a ? b , y ? a ? b ,则 xy 的值为 (
B. 2 b C. a ? b D. a ? b

)

6.在数轴上与表示 3 的点的距离最近的整数点所表示的数是 7. (1) (06 无锡)计算: ? 3 ? (? ? 2) ? tan 45 ?;
0



(2) (08 宜宾)计算: 4 ? ( )

1 3

?1

? ( 10 ? 5 ) 0 ? 2 tan 45? .

﹡8. (08 广州)如图,实数 a 、 b 在数轴上的位置,化简

a 2 ? b 2 ? (a ? b) 2 .

第三章

方程(组)和不等式

课时 7.一元一次方程及其应用
【课前热身】 1.在等式 3 y ? 6 ? 7 的两边同时 ,得到 3 y ? 13 .

2.方程 ?5 x ? 3 ? 8 的根是 . 3. x 的 5 倍比 x 的 2 倍大 12 可列方程为 4.写一个以 x ? ?2 为解的方程 . 5.如果 x ? ?1 是方程 2 x ? 3m ? 4 的根,则 m 的值是 6.如果方程 x 【考点链接】 1.等式及其性质 ⑴ 等式:用等号“=”来表示 ⑵ 性质:① 如果 a ? b ,那么 a ? c ? ② 如果 a ? b ,那么 ac ? ;
2 m ?1

. . .

? 3 ? 0 是一元一次方程,则 m ?

关系的式子叫等式.

;如果 a ? b ?c ? 0? ,那么

a ? c

.

2. 方程、一元一次方程的概念 ⑴ 方程:含有未知数的 叫做方程;使方程左右两边值相等的 ,叫做方程 的解;求方程解的 叫做解方程. 方程的解与解方程不同. ⑵ 一元一次方程:在整式方程中,只含有 个未知数,并且未知数的次数是 ,系 数不等于 0 的方程叫做一元一次方程;它的一般形式为 3. 解一元一次方程的步骤: ①去 ;②去 ;③移 ;④合并 ;⑤系数化为 1.

?a ? 0? .

4.易错知识辨析: (1)判断一个方程是不是一元一次方程,首先在整式方程前提下,化简后满足只含有一 个未知数, 并且未知数的次数是 1, 系数不等于 0 的方程, 像 等不是一元一次方程. (2)解方程的基本思想就是应用等式的基本性质进行转化,要注意:①方程两边不能乘 以(或除以)含有未知数的整式,否则所得方程与原方程不同解;②去分母时,不 要漏乘没有分母的项;③解方程时一定要注意“移项”要变号. 【典例精析】 例 1 解方程 (1) 3? x ?1? ? 7 ? x ? 5? ? 30 ? x ?1? ; (2)

1 ?2, 2x ? 2 ? 2?x ? 1? x

2 x ? 1 10 x ? 1 ? ? 1. 3 6

例2

当 m 取什么整数时,关于 x 的方程

1 5 1 4 mx ? ? ( x ? ) 的解是正整数? 2 3 2 3

例 3 (08 福州)今年 5 月 12 日,四川汶川发生了里氏 8.0 级大地震,给当地人民造成了巨 大的损失. “一方有难,八方支援” ,我市锦华中学全体师生积极捐款,其中九年级的 3 个班学生的捐款金额如下表: 班级 金额(元) (1)班 2000 (2)班 (3)班

吴老师统计时不小心把墨水滴到了其中两个班级的捐款金额上, 但他知道下面三条 信息: 信息一:这三个班的捐款总金额是 7700 元; 信息二: (2)班的捐款金额比(3)班的捐款金额多 300 元; 信息三: (1)班学生平均每人捐款的金额大于 ..48 元,小于 ..51 元. 请根据以上信息,帮助吴老师解决下列问题: (1)求出(2)班与(3)班的捐款金额各是多少元; (2)求出(1)班的学生人数.

【中考演练】 1.若 5x-5 的值与 2x-9 的值互为相反数,则 x=_____.
2. 关于 x 的方程 2( x ? 1) ? a

? 0 的解是 3,则 a 的值为________________.

3. 某商店销售一批服装,每件售价 150 元,可获利 25%,求这种服装的成本价.设这种服装 的成本价为 x 元,则得到方程( ) A. x ? 150 ? 25% 4.解方程 B. 25% ? x ? 150 C.

150 ? x ? 25% x

D. 150 ? x ? 25% )

2 x ? 1 10 x ? 1 ? ? 1 时,去分母、去括号后,正确结果是( 3 6 A. 4 x ? 1 ? 10 x ? 1 ? 1 B. 4 x ? 2 ? 10 x ? 1 ? 1 C. 4 x ? 2 ? 10 x ? 1 ? 6 D. 4 x ? 2 ? 10 x ? 1 ? 6

5.解下列方程:

(1) 3? x ?1? ? 7 ? x ? 5? ? 30 ? x ?1? ;

(2)

x ?1 x ? 2 x ? ? ?1 . 2 5 3

6. 某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共 480 台.改进生产技术后,计划第二季度生产这 两种机器共 554 台,其中甲种机器产量要比第一季度增产 10 % ,乙种机器产量要比第 一季度增产 20 %.该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台?

7. 苏州地处太湖之滨,有丰富的水产养殖资源,水产养殖户李大爷准备进行大闸蟹与河虾 的混合养殖,他了解到如下信息: ①每亩水面的年租金为 500 元,水面需按整数亩出租; ②每亩水面可在年初混合投放 4 公斤蟹苗和 20 公斤虾苗; ③每公斤蟹苗的价格为 75 元,其饲养费用为 525 元,当年可获 1400 元收益; ④每公斤虾苗的价格为 15 元,其饲养费用为 85 元,当年可获 160 元收益; (1) 若租用水面 亩,则年租金共需__________元; (2) 水产养殖的成本包括水面年租金、 苗种费用和饲养费用, 求每亩水面蟹虾混合养殖 的年利润(利润=收益-成本); (3) 李大爷现在奖金 25000 元, 他准备再向银行贷不超过 25000 元的款, 用于蟹虾混合 养殖.已知银行贷款的年利率为 8%,试问李大爷应该租多少亩水面,并向银行贷款 多少元,可使年利润超过 35000 元?

课时 8.二元一次方程及其应用
【课前热身】 1. 在方程 3 x ?

1 =5 中,用含 的代数式表示 y 为 y = x y 4

;当 x =3 时, y = . . . )

2.如果 x =3, y =2 是方程 6 x ? by ? 32 的解,则 b = 3. 请写出一个适合方程 3x ? y ? 1 的一组解:

4. 如果 3a 7 x b y ?7 和 ? 7a 2?4 y b 2 x 是同类项,则 x 、 y 的值是( A. x =-3, y =2 C. x =-2, y =3 【考点链接】 1.二元一次方程:含有 未知数(元)并且未知数的次数是 B. x =2, y =-3 D. x =3, y =-2

的整式方程.

2. 二元一次方程组:由 2 个或 2 个以上的 组成的方程组叫二元一次方程组. 3.二元一次方程的解: 适合一个二元一次方程的 未知数的值叫做这个二元一次方程 的一个解,一个二元一次方程有 个解. 4.二元一次方程组的解: 使二元一次方程组的 ,叫做二元一次方程组的解. 5. 解二元一次方程的方法步骤: 二元一次方程组 消元 转化 方程.

消元是解二元一次方程组的基本思路,方法有 消元和 消元法两种. 6.易错知识辨析: (1)二元一次方程有无数个解,它的解是一组未知数的值; (2)二元一次方程组的解是两个二元一次方程的公共解,是一对确定的数值; (3)利用加减法消元时,一定注意要各项系数的符号. 【典例精析】 例 1 解下列方程组: (1)

?

4a ? 5b ? ?19 3a ? 2b ? 3

(2)

?

x ? 2y ? 2 ? 0 7 x ? 4 y ? ?41

例 2 (08 泰安)某厂工人小王某月工作的部分信息如下: 信息一:工作时间:每天上午 8∶20~12∶00,下午 14∶00~16∶00,每月 25 元; 信息二:生产甲、乙两种产品,并且按规定每月生产甲产品的件数不少于 60 件. 生产产品件数与所用时间之间的关系见下表: 生产甲产品件数(件) 10 30 生产乙产品件数(件) 10 20 所用总时间(分) 350 850

信息三:按件计酬,每生产一件甲产品可得 1.50 元,每生产一件乙产品可得 2.80 元.根 据以上信息,回答下列问题: (1)小王每生产一件甲种产品,每生产一件乙种产品分别需要多少分? (2)小王该月最多能得多少元?此时生产甲、乙两种产品分别多少件?

例 3 若方程组

?

x? y ?3 mx ? ny ? 8 与方程组 的解相同,求 m 、 n 的值. x ? y ?1 mx ? ny ? 4

?

【中考演练】 1. 若 ?
?x ? 1 ?ax ? 2 y ? b ?a ? _______ 是方程组 ? 的解,则 ? . y ? ? 1 4 x ? y ? 2 a ? 1 ? ? ?b ? _______

2. 在方程 3x+4y=16 中,当 x=3 时,y=___;若 x、y 都是正整数,这个方程的解为_____. 3. 下列方程组中,是二元一次方程组的是( ) x ? y ? 4 ? ?x ? y ? 5 ?x ? 1 ? x ? y ? xy ? A. ? 1 1 B. ? C. ? D. ? ?y ? z ? 7 ?3x ? 2 y ? 6 ?x ? y ? 1 ?x ? y ? 9 ? 4. 关于 x、y 的方程组 ?
? x ? 2 y ? 3m 的解是方程 3x+2y=34 的一组解,那么 m=( ? x ? y ? 9m



A.2 B.-1 C.1 D.-2 5.某校初三(2)班 40 名同学为“希望工程”捐款,共捐款 100 元.捐款情况如下表: 捐款(元) 人 数 1 6 2 3 4 7

表格中捐款 2 元和 3 元的人数不小心被墨水污染已看不清楚. 若设捐款 2 元的有 x 名同学,捐款 3 元的有 y 名同学,根据题意,可得方程组 A. ?

? x ? y ? 27 ? x ? y ? 27 ? x ? y ? 27 ? x ? y ? 27 B. ? C. ? D. ? ?2 x ? 3 y ? 66 ?2 x ? 3 y ? 100 ?3x ? 2 y ? 66 ?3x ? 2 y ? 100
? x ? 4 y ? 14 ②? ?x ?3 y ?3 1 ? ? ? 3 12 ? 4

6.解方程组:

?x ? 2 y ? 9 ①? ? y ? 3x ? 1

7. 夏季,为了节约用电,常对空调采取调高设定温度和清洗设备两种措施.某宾馆先把甲、 乙两种空调的设定温度都调高 1℃, 结果甲种空调比乙种空调每天多节电 27 度; 再对乙 种空调清洗设备,使得乙种空调每天的总节电量是只将温度调高 1℃后的节电量的 1.1 倍, 而甲种空调节电量不变, 这样两种空调每天共节电 405 度.求只将温度调高 1℃后两 种空调每天各节电多少度?

8. 某同学在 A、B 两家超市发现他看中的随身听的单价相同,书包单价也相同,随身听和 书包单价之和是 452 元,且随身听的单价比书包单价的 4 倍少 8 元. ① 求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元? ② 某一天该同学上街,恰好赶上商家促销,超市 A 所有商品打八折销售,超市 B 全场 购物满 100 元返购物券 30 元销售(不足 100 元不返券,购物券全场通用) ,但他只 带了 400 元钱,如果他只在一家超市购买看中的这两样物品,你能说明他可以选择 哪一家购买吗?若两家都可以选择,在哪一家购买更省钱?

课时 9.一元二次方程及其应用
【课前热身】 1.方程 3x( x ? 1) ? 0 的二次项系数是 2.关于 x 的一元二次方程 (n ? 3) x
2

,一次项系数是

,常数项是

. .

n ?1

? (n ?1) x ? 3n ? 0 中,则一次项系数是
.

3.一元二次方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 的根是

4.某地 2005 年外贸收入为 2.5 亿元,2007 年外贸收入达到了 4 亿元,若平均每年的增长率 为 x,则可以列出方程为 .
2 2 5. 关于 x 的一元二次方程 x ? 5x ? p ? 2 p ? 5 ? 0 的一个根为 1,则实数 p =( )

A. 4 B. 0 或 2 C. 1 D. ? 1 【考点链接】 1.一元二次方程:在整式方程中,只含 个未知数,并且未知数的最高次数是 的方程 叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项, 叫做一次项, 叫做常数项; 叫做二次项的 系数, 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法: (1)直接开平方法:形如 x ? a(a ? 0) 或 ( x ? b) ? a(a ? 0) 的一元二次方程,就可用
2 2

直接开平方的方法. (2)配方法:用配方法解一元二次方程 ax ? bx ? c ? o?a ? 0? 的一般步骤是:①化二
2

次项系数为 1,即方程两边同时除以二次项系数;②移项,使方程左边为二次项和 一次项,右边为常数项,③配方,即方程两边都加上一次项系数一半的平方,④化 原方程为 ( x ? m) ? n 的形式,⑤如果是非负数,即 n ? 0 ,就可以用直接开平方
2

求出方程的解.如果 n<0,则原方程无解. (3)公式法:一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的求根公式是
2

x1,2 ?

?b ? b2 ? 4ac 2 (b ? 4ac ? 0) . 2a

(4)因式分解法:因式分解法的一般步骤是:①将方程的右边化为 ;②将方程 的左边化成两个一次因式的乘积;③令每个因式都等于 0,得到两个一元一次方程, 解这两个一元一次方程,它们的解就是原一元二次方程的解. 3.易错知识辨析:

(1) 判断一个方程是不是一元二次方程, 应把它进行整理, 化成一般形式后再进行判断, 注意一元二次方程一般形式中 a ? 0 . (2)用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. (3)用配方法时二次项系数要化 1. (4)用直接开平方的方法时要记得取正、负. 【典例精析】 例 1 选用合适的方法解下列方程: (1) ( x ? 4) 2 ? 5( x ? 4) ; (3) ( x ? 3) 2 ? (1 ? 2 x) 2 ; (2) ( x ? 1) 2 ? 4x ; (4) 2 x ? 10x ? 3 .
2

(m ? 1 )x 2 ? 7mx ? m 2 ? 3m ? 4 ? 0 有一个根为零,求 m 的值. 例 2 已知一元二次方程

例3

用 22 长的铁丝,折成一个面积是 30 ㎝ 2 的矩形,求这个矩形的长和宽.又问:能否折 成面积是 32 ㎝ 2 的矩形呢?为什么?

【中考演练】 1.方程 (5x-2) (x-7)=9 (x-7)的解是_________. 2.已知 2 是关于 x 的方程

3 2 x -2 a=0 的一个解,则 2a-1 的值是_________. 2

2 2 3.关于 y 的方程 2 y ? 3 py ? 2 p ? 0 有一个根是 y ? 2 ,则关于 x 的方程 x ? 3 ? p 的解为

_____. 4.下列方程中是一元二次方程的有( )

①9 x2=7 x



y2 =8 3

③ 3y(y-1)=y(3y+1) ④ x2-2y+6=0



2 ( x2+1)= 10



4 -x-1=0 x2
C. ①②⑤ D. ⑥①⑤

A. ①②③

B. ①③⑤

5. 一元二次方程(4x+1)(2x-3)=5x2+1 化成一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0)后 a,b,c 的值为 ( ) A.3,-10,-4 C. 8,-10,-2 B. 3,-12,-2 D. 8,-12,4

6.一元二次方程 2x2-(m+1)x+1=x (x-1) 化成一般形式后二次项的系数为 1,一次项的 系数为-1,则 m 的值为( A. -1 B. 1 ) C. -2
2

D. 2

7.解方程 2 (1) x -5x-6=0 ;

(2) 3x -4x-1=0(用公式法) ;

(3) 4x -8x+1=0(用配方法) ;

2

(4)x ?2 2 x+1=0.
2

8.某商店 4 月份销售额为 50 万元,第二季度的总销售额为 182 万元,若 5、6 两个月的月 增长率相同,求月增长率.

﹡课时 10.一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
【课前热身】 1. (07 巴中)一元二次方程 x ? 2 x ? 1 ? 0 的根的情况为(
2



A.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根

B.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 .

2. 若方程 kx2-6x+1=0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是

3.设 x1、x2 是方程 3x2+4x-5=0 的两根,则

1 1 ? ? x1 x 2

,.x12+x22= 时,两根互为倒数;

.

4.关于 x 的方程 2x2+(m2-9)x+m+1=0,当 m= 当 m= 时,两根互为相反数.

5.若 x1 = 3 ? 2 是二次方程 x2+ax+1=0 的一个根,则 a= = .

,该方程的另一个根 x2

【考点链接】 1. 一元二次方程根的判别式: 关于 x 的一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的根的判别式为 ( 1 ) b ? 4ac >0 ? 一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0? 有两个
2

. 实数根,即

x1,2 ?
2

. 相等的实数根,即 x1 ? x2 ? 实数根. .

(2) b ? 4ac =0 ? 一元二次方程有
2

(3) b ? 4ac <0 ? 一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0?a ? 0? 2. 一元二次方程根与系数的关系

若 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 ax ? bx? c?0( a? 0)有 两 根 分 别 为 x1 , x2 , 那 么
2

x1 ? x2 ?

, x1 ? x2 ?

.

3.易错知识辨析: (1)在使用根的判别式解决问题时,如果二次项系数中含有字母,要加上二次项系数不 为零这个限制条件. (2)应用一元二次方程根与系数的关系时,应注意: ① 根的判别式 b ? 4ac ? 0 ;
2

② 二次项系数 a ? 0 ,即只有在一元二次方程有根的前提下,才能应用根与系数的 关系. 【典例精析】 例1 当 k 为何值时,方程 x ? 6 x ? k ? 1 ? 0 ,
2

(1)两根相等; (2)有一根为 0; (3)两根为倒数.

例 2 (08 武汉)下列命题: ① 若 a ? b ? c ? 0 ,则 b ? 4ac ? 0 ;
2

② 若 b ? a ? c ,则一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 有两个不相等的实数根;
2

③ 若 b ? 2a ? 3c ,则一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 有两个不相等的实数根;
2

④ 若 b ? 4ac ? 0 ,则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是 2 或 3.
2

其中正确的是( ) A.只有①②③ B.只有①③④

C.只有①④

D.只有②③④.
2

例 3 (06 泉州)菱形 ABCD 的一条对角线长为 6,边 AB 的长是方程 x ? 7 x ? 12 ? 0 的一 个根,则菱形 ABCD 的周长为 .

【中考演练】 1.设 x1,x2 是方程 2x2+4x-3=0 的两个根,则(x1+1)(x2+1)= __________,x12+x22= _________,

1 1 ? =__________,(x1-x2)2=_______. x1 x2
2

2.当 c ? __________时,关于 x 的方程 2 x ? 8 x ? c ? 0 有实数根. (填一个符合要求的数 即可) 3. 已知关于 x 的方程 x ? (a ? 2) x ? a ? 2b ? 0 的判别式等于 0,且 x ?
2

1 是方程的根,则 2
2 2

a ? b 的值为



2 4. 已知 a,b 是关于 x 的方程 x ? (2k ? 1) x ? k (k ? 1) ? 0 的两个实数根, 则 a ? b 的最小

值是


2 2

5.已知 ? , ? 是关于 x 的一元二次方程 x ? (2m ? 3) x ? m ? 0 的两个不相等的实数根, 且满足

1

?

?

1

?

? ?1 ,则 m 的值是(
B.3

) C.1 D. ?3 或 1

A.3 或 ?1

6.一元二次方程 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 的两个根分别是 x1,x2 ,则 x12 x2 ? x1 x22 的值是( A.3 B. ?3 C.
2.



1 3

D. ?

1 3

7. (07 泸州)若关于 x 的一元二次方程 x ? 2 x ? m ? 0 没有实数根,则实数 m 的取值范 围是( A.m<l ) B.m>-1
2

C.m>l

D.m<-1

8.设关于 x 的方程 kx -(2k+1)x+k=0 的两实数根为 x1、x2, ,若 求 k 的值.

x1 x2 17 ? ? , x2 x1 4

9.已知关于 x 的一元二次方程 x ? ? m ?1? x ? m ? 2 ? 0 .
2

(1)若方程有两个相等的实数根,求 m 的值; (2)若方程的两实数根之积等于 m ? 9m ? 2 ,求 m ? 6 的值.
2

课时 11.分式方程及其应用
【课前热身】

x?3 1 ? ? 2 的解是 x= . x?2 2? x a b 4x 2. 已知 与 的和等于 2 ,则 a ? ,b ? . x?2 x?2 x ?4 1 2 ? 2 3.解方程 会出现的增根是( ) x ?1 x ?1 A. x ? 1 B. x ? ?1 C. x ? 1 或 x ? ?1 D. x ? 2 2 3 4. (06 泸州)如果分式 与 的值相等,则 x 的值是( ) x ?1 x ? 3
1. (08 泰州)方程 A.9 B.7 C.5 D.3 ) 5. (06 临沂)如果 x : y ? 2 : 3 ,则下列各式不成立的是(

A.

x? y 5 ? y 3

B.

y?x 1 ? y 3

C.

x 1 ? 2y 3


D.

x ?1 3 ? y ?1 4

6. (08 宜宾)若分式 A. 1 【考点链接】

x?2 的值为 0,则 x 的值为( x2 ?1
B. -1 C. ±1

D.2

1.分式方程:分母中含有 2.解分式方程的一般步骤:

的方程叫分式方程.

(1)去分母,在方程的两边都乘以 (2)解这个整式方程; (3)验根,把整式方程的根代入 原方程的增根,必须舍去.

,约去分母,化成整式方程;

,看结果是不是零,使最简公分母为零的根是

3. 用换元法解分式方程的一般步骤: ① 设辅助未知数,并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式;② 解所得 到的关于辅助未知数的新方程, 求出辅助未知数的值; ③ 把辅助未知数的值代入原设中, 求出原未知数的值;④ 检验作答. 4.分式方程的应用: 分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似,不同的是要注意检验: (1)检验所求的解是否是所列 5.易错知识辨析: (1) 去分母时,不要漏乘没有分母的项. (2) 解分式方程的重要步骤是检验,检验的方法是可代入最简公分母, 使最简公分母 为 0 的值是原分式方程的增根,应舍去,也可直接代入原方程验根. (3) 如何由增根求参数的值:①将原方程化为整式方程;②将增根代入变形后的整式 方程,求出参数的值. 【典例精析】 例 1 (08 沈阳)解分式方程: ; (2)检验所求的解是否 .

1 x ? 2? . x?3 3? x

例 2 (08 东莞)在 2008 年春运期间,我国南方出现大范围冰雪灾害,导致某地电路断电. 该地供电局组织电工进行抢修.供电局距离抢修工地 15 千米.抢修车装载着所需材料 先从供电局出发,15 分钟后,电工乘吉昔车从同一地点出发,结果他们同时到达抢修 工地.已知吉普车速度是抢修车速度的 1.5 倍,求这两种车的速度.

例3

某中学库存 960 套旧桌凳,修理后捐助贫困山区学校.现有甲、乙两个木工小组都想 承揽这项业务.经协商后得知:甲小组单独修理这批桌凳比 乙小组多用 20 天;乙小

组每天比甲小组多修 8 套;学校每天需付甲小组修理费 80 元,付乙小组 120 元. (1)求甲、乙两个木工小组每天各修桌凳多少套.

(2)在修理桌凳过程中,学校要委派一名维修工进行质量监督,并由学校负担他每天 10 元的生活补助.现有以下三种修理方案供选择: ① 由甲单独修理;② 由乙单独修理;③ 由甲、乙共同合作修理. 你认为哪种方案既省时又省钱?试比较说明.

【中考演练】

2 1 ? ? 0 的解是 . x ?1 x x?2 m ? ? 2 无解,则 m 的值是 2.(08 福建)若关于 x 方程 x?3 x?3 2 1 1 ? ? 的解是 3. (08 黄冈)分式方程 2 . x ?1 x ?1 3 1 1? x ? 1 去分母、去括号后的结果,其中正确的是( 4. 以下是方程 ? x 2x
1. (07 江西)方程 A. 2 ? 1 ? x ? 1 5. (08 泰安)分式方程 B. 2 ? 1 ? x ? 1 C. 2 ? 1 ? x ? 2 x





D. 2 ? 1 ? x ? 2 x

x 1 ? 2 ? 1 的解是( ) x?2 x ?4 3 5 A. ? B. ?2 C. ? 2 2 x ?1 4 ? 6. (06 重庆)分式方程 的解是( ) x ? 2 x ?1
A. x1 ? 7 ,

D.

3 2

x2 ? 1

B. x1 ? 7 , x2 ? ?1 D. x1 ? ?7 x2 ? 1

C. x1 ? ?7 , x2 ? ?1

7.(08 内江) 今年以来受各种因素的影响,猪肉的市场价格仍在不断上升.据调查,今年 5 月份一级猪肉的价格是 1 月份猪肉价格的 1.25 倍.小英同学的妈妈同样用 20 元钱在 5 月份购得一级猪肉比在 1 月份购得的一级猪肉少 0.4 斤,那么今年 1 月份的一级猪肉每 斤是多少元?

8.(07 玉林)今年五月,某工程队(有甲、乙两组)承包人民路中段的路基改造工程,规定若 干天内完成. (1) 已知甲组单独完成这项工程所需时间比规定时间的 2 倍多 4 天,乙组单独完成这 项工程所需时间比规定时间的 2 倍少 16 天.如果甲、乙两组合做 24 天完成,那 么甲、乙两组合做能否在规定时间内完成? (2) 在实际工作中,甲、乙两组合做完成这项工程的

5 后,工程队又承包了东段的改 6

造工程,需抽调一组过去,从按时完成中段任务考虑,你认为抽调哪一组最好? 请说明理由.

课时 12.一元一次不等式(组)
【课前热身】 1. a 的 3 倍与 2 的差不小于 5,用不等式表示为 2.不等式 x ? 1 ? 0 的解集是 . 3.代数式

.

m ?1 ? 1 值为正数, m 的范围是 3
B. 2a ? 2b C. ? a ? ?b )

. ) D. a ? b ? 0

4.(06 肇庆) 已知 a ? b ,则下列不等式一定成立的是( A. a ? 3 ? b ? 3 5. 不等式组 ? A. x ? 1 6.不等式组 ? A.1 个 【考点链接】 1 .不等式的有关概念:用 的值叫做不等式的解;一个含有 个不等式的

? x ?1 ? 0 的解集为( ?3x ? 6 ? 0
B. x ? ?2

C. ?2 ? x ? 1 )

D.无解

?2 x ? 1 ? 5 的整数解的个数为( ? x ? 1 ? ?1
B.2 个

C.3 个

D.4 个

连接起来的式子叫不等式;使不等式成立的 的不等式的解的 叫做不等式的解集.求一

的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式.

2.不等式的基本性质: (1)若 a < b ,则 a + c (2)若 a > b , c >0 则 ac (3)若 a > b , c <0 则 ac 3. 一元一次不等式: 只含有

b ? c;

a c a bc (或 c
bc (或

b ) ; c b ). c
且系数 的不等式, 或 ax ? b ;解一元一次 、系数化为 1.

未知数, 且未知数的次数是

称为一元一次不等式;一元一次不等式的一般形式为 不等式的一般步骤:去分母、 4.一元一次不等式组:几个 一般地,几个不等式的解集的 、移项、

合在一起就组成一个一元一次不等式组. ,叫做由它们组成的不等式组的解集.

5.由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况: (已知 a ? b )

?x ? a ?x ? a 的解集是 x ? a ,即“小小取小” ;? 的解集是 x ? b ,即“大大取大” ; ? ?x ? b ?x ? b ?x ? a 的解集是 a ? x ? b ,即“大小小大中间找” ; ? ?x ? b ?x ? a 的解集是空集,即“大大小小取不了”. ? ?x ? b
6.易错知识辨析: (1)不等式的解集用数轴来表示时,注意“空心圆圈”和“实心点”的不同含义. (2)解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况. 如不等式 ax ? b (或 ax ? b ) ( a ? 0 )的形式的解集:

b b (或 x ? ) a a b b 当 a ? 0 时, x ? (或 x ? ) a a b b 当 a ? 0 时, x ? (或 x ? ) a a
当 a ? 0 时, x ? 【典例精析】 例1 (07 德宁)解不等式

x ?1 ≤ 5 ? x ,并把它的解集在数轴上表示出来. 3

?5 x ? 2 ? 3?x ? 1? ? 例 2 (06 荆门) 解不等式组 ? 1 3 , 并将它的解集在数轴上表示出来. x ?1 ? 7 ? x ? 2 ?2

y

y ? kx ? b
例 3 (08 乌鲁木齐)一次函数 y ? kx ? b ( k, b 是常 数, k ? 0 )的图象如图所示,则不等式 kx ? b ? 0 的解集是( ) A. x ? ?2 B. x ? 0 C. x ? ?2 D. x ? 0 【中考演练】 1.不等式 3x ? 1 ? 9 ? x 的解集是
2 2

2

?2

0

x



2.(08 荆州)关于的方程 x ? 2(k ? 1) x ? k ? 0 两实根之和为 m, m ? ?2(k ? 1) ,关于 y

的不等于组 ?

? y ? ?4 有实数解,则 k 的取值范围是_________________. ?y ? m


3.(06 岳阳) 不等式 3 ( x-1 ) + 4≥2x 的解集在数轴上表示为(

4.(06 益阳) 不等式组的解集在数轴上表示出来如图所示, 则这个不等式组为( A. ? )

?x ? 2 ? x ? ?1

B. ?

?x ? 2 ? x ? ?1

C. ?

?x ? 2 ? x ? ?1

D. ?

?x ? 2 ? x ? ?1


5. (08 义乌)不等式组 ?

?3x ? 1 ? 2, 的解集在数轴上表示为( ?8 ? 4 x ≤ 0
1 B. 2 0 1 C. 2 0

0

1 A.

2

0

1 D.

2

?3( x ? 2) ≥ x ? 4, ? 6.(08 宁波)解不等式组 ? x ? 1 ? 1. ? ? 2

7.(08 安徽)解不等式组 ?

?3x ? 1 ? 4, ,并把它的解集表示在数轴上. 2 x ? x ? 2. ?

课时 13.一元一次不等 及其应用

式(组)

【课前热身】 1. (07 乐山)某商贩去菜摊买黄瓜,他上午买了 30 斤,价格为每斤 x 元;下午,他又买了

20 斤,价格为每斤 y 元.后来他以每斤
其原因是( A. x ? y ) B. x ? y

x? y 元的价格卖完后,结果发现自己赔了钱, 2
D. x ? y

C. x ? y

2.某电脑用户计划使用不超过 530 元的资金购买单价为 70 元的单片软件和 80 元的盒装磁

盘,根据需要,软件至少买 3 片,磁盘至少买 2 盒,不相同的选购方式共存( A.4 种 B.5 种 C.6 种 D.7 种

)

3. 已知一个矩形的相邻两边长分别是 3cm 和 xcm , 若它的周长小于 14 cm , 面积大于 6cm , 则 x 的取值范围在数轴上表示正确的是( )

2

4. 若方程组 ?

? x ? y ? ?3 的解是负数,那么 a 的取值范围是 x ? 2 y ? a ? 3 ?



【考点链接】 1.求不等式(组)的特殊解: 不等式(组)的解往往有无数多个,但其特殊解在某些范围内是有限的,如整数解,非 负整数解,求这些特殊解应先确定不等式(组)的解集,然后再找到相应答案. 2.列不等式(组)解应用题的一般步骤: ①审:审题,分析题中已知什么、求什么,明确各数量之间的关系;②找:找出能够表 示应用题全部含义的一个不等关系;③设:设未知数(一般求什么,就设什么为 x ;④ 列:根据这个不等关系列出需要的代数式,从而列出不等式(组) ;⑤解:解所列出的 不等式(组) ,写出未知数的值或范围;⑥答:检验所求解是否符合题意,写出答案(包 括单位). 3.易错知识辨析: 判断不等式是否成立,关键是分析不等号的变化,其根据是不等式的性质. 【典例精析】 y l1 l 2 例 1 (08 咸宁)直线 l1 : y ? k1 x ? b 与直线 l 2 : y ? k 2 x 在 3 同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于 x 的 不等式 k2 x ? k1 x ? b 的解集为 .
-1 O x

(第12题图) 例 2(07 绵阳)绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷 20 吨,桃子 12 吨.现 计划租用甲、乙两种货车共 8 辆将这批水果全部运往外地销售,已知一辆甲种货车可 装枇杷 4 吨和桃子 1 吨,一辆乙种货车可装枇杷和桃子各 2 吨. (1)王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地?有几种方案? (2)若甲种货车每辆要付运输费 300 元,乙种货车每辆要付运输费 240 元,则果农 王灿应选择哪种方案,使运输费最少?最少运费是多少?

例 3 (07 南充)某商店需要购进一批电视机和洗衣机,根据市场调查,决定电视机进货量 不少于洗衣机的进货量的一半.电视机与洗衣机的进价和售价如下表:





电视机 1800 2000

洗衣机 1500 1600

进价(元/台) 售价(元/台)

计划购进电视机和洗衣机共 100 台,商店最多可筹集资金 161 800 元. (1)请你帮助商店算一算有多少种进货方案?(不考虑除进价之外的其它费用) (2)哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多?并求出 最多利润. (利润=售价-进价)

【中考演练】 1. (08 泰州)用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块,随着铁钉的 深入, 铁钉所受的阻力也越来越大. 当未进入木块的钉子长度足够 时,每次钉入木块的钉子长度是前一次的

1 .已知这个铁钉被敲 2

击 3 次后全部进入木块(木块足够厚) ,且第一次敲击后铁钉进入 木块的长度是 2cm,若铁钉总长度为 acm,则 a 的取值范围是 . 2 .海门市三星镇的叠石桥国际家纺城是全国最大的家纺专业市场,年销售额突破百亿 元.2005 年 5 月 20 日,该家纺城的羽绒被和羊毛被这两种产品的销售价如下表: 品 名 规格(米) 2× 2.3 2× 2.3 销售价(元/条) 415 150 羽绒被 羊毛被

现购买这两种产品共 80 条,付款总额不超过 2 万元.问最多可购买羽绒被____条. 3. (08 苏州)6 月 1 日起,某超市开始有偿 提供可重复使用的三种环保购物袋,每只售价 .. 分别为 1 元、2 元和 3 元,这三种环保购物袋每只最多分别能装大米 3 公斤、5 公斤和 8 6 月 7 日, 公斤. 小星和爸爸在该超市选购了 3 只环保购物袋用来装刚买的 20 公斤散装 大米,他们选购的 3 只环保购物袋至少 应付给超市 元. .. 4. (08 福州)已知三角形的两边长分别为 4cm 和 9cm,则下列长度的四条线段中能作为第 三边的是( ) A.13cm B.6cm C.5cm D.4cm 5. 若 a>0,b<-2,则点(a,b+2)应在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6. (07 成都) 某校九年级三班为开展“迎 2008 年北京奥运会”的主题班会活动,派了小 林和小明两位同学去学校附近的超市购买钢笔作为奖品,已知该超市的锦江牌钢笔每支 8 元,红梅牌钢笔每支 4.8 元,他们要购买这两种笔共 40 支. (1)如果他们一共带了 240 元,全部用于购买奖品,那么能买这两种笔各多少支? (2)小林和小明根据主题班会活动的设奖情况,决定所购买的锦江牌钢笔数量要少于

1 1 ,但又不少于红梅牌钢笔的数量的 .如果他们买了锦江 2 4 牌钢笔 x 支,买这两种笔共花了 y 元, ① 请写出 y (元)关于 x (支)的函数关系式,并求出自变量 x 的取值范围;
红梅牌钢笔的数量的 ② 请帮他们计算一下, 这两种笔各购买多少支时, 所花的钱最少, 此时花了多少元?

8. (06 贵阳)某汽车租赁公司要购买轿车和面包车共 10 辆,其中轿车至少要购买 3 辆, 轿车每辆 7 万元,面包车每辆 4 万元,公司可投入的购车款不超过 55 万元; (1)符合公司要求的购买方案有几种?请说明理由; (2)如果每辆轿车的日租金为 200 元,每辆面包车的日租金为 110 元,假设新购买的 这 10 辆车每日都可租出,要使这 10 辆车的日租金不低于 1500 元,那么应选择以 上那种购买方案?


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