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2016届广东省深圳市高考数学二模试卷(理科)(解析版)


2016 年广东省深圳市高考数学二模试卷(理科)
一、选择题 1.若复数 z 满足(1+i)z=1﹣i(i 为虚数单位) ,则|z|=( A. B. C.2 D.1 )



2.设 A,B 是两个集合,则“x∈A”是“x∈(A∩B)”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若 coa( A.﹣ ﹣α)= ,则 cos(π﹣2α)=( B. C.﹣ D. )

4.若实数 x,y 满足约束条件

则目标函数 z=

的最大值为(



A.

B.

C.

D.2 )

5.在如图所示的流程图中,若输入 a,b,c 的值分别为 2,4,5,则输出的 x=(

A.1 B.2 C.lg2 D.10 6.已知函数 f(x)的图象是由函数 g(x)=cosx 的图象经过如下变换得到:先将 g(x)的 图象向右平移 个单位长度, 再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半, 纵坐标不变, )

则函数 f(x)的图象的一条对称轴方程为( A.x= B.x= C.x= D.x=

7.以直线 y=± A.2 B.

x 为渐近线的双曲线的离心率为( C.2 或 D.



8.2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排,则 3 位女生中有且只有两位女生相邻的概率 是( A. ) B. C. D.
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9. M、 N 分别是 BC、 CD 的中点, 如图, 正方形 ABCD 中, 若





, 则 λ+μ= (



A.2

B.

C.

D.

10.已知 f(x)= ( )

,则关于 m 的不等式 f( )<ln

的解集为

A. (0, ) B. (0,2) C. (﹣ ,0)∪(0, )

D. (﹣2,0)∪(0,2)

11.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则它的体积为 ( )

A.48

B.16

C.32

D.16

12.设定义在(0,+∞)上的函数 f(x)满足 xf′(x)﹣f(x)=xlnx,f( )= ,则 f(x) ( ) A.有极大值,无极小值 B.有极小值,无极大值 C.既有极大值,又有极小值 D.既无极大值,也无极小值 二、填空题 13.高为 π,体积为 π2 的圆柱体的侧面展开图的周长为 . 2 2 14.过点 P(3,1)的直线 l 与圆 C: (x﹣2) +(y﹣2) =4 相交于 A,B 两点,当弦 AB 的长取最小值时,直线 l 的倾斜角等于 . 15.在(2+ ﹣ )10 的展开式中,x4 项的系数为 (结果用数值表示) .

16.如图,在凸四边形 ABCD 中,AB=1,BC= 对角线 BD 的最大值为 .

,AC⊥CD,AC=CD,当∠ABC 变化时,

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三、解答题 17.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,an 是 Sn 和 1 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{nan}的前 n 项和 Tn. 18.某市在对学生的综合素质评价中,将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级, 其中不小于 80 分为“优秀”,小于 60 分为“不合格”,其它为“合格”. (1)某校高一年级有男生 500 人,女生 400 人,为了解性别对该综合素质评价结果的影响, 采用分层抽样的方法从高一学生中抽取 45 名学生的综合素质评价结果,其各个等级的频数 统计如下表: 等级 优秀 合格 不合格 15 x 5 男生(人) 15 3 y 女生(人) 根据表中统计的数据填写下面 2×2 列联表, 并判断是否有 90%的把握认为“综合素质评价测 评结果为优秀与性别有关”? 优秀 男生 女生 总计 非优秀 总计 (2)以(1)中抽取的 45 名学生的综合素质评价等级的频率作为全市各个评价等级发生的 概率,且每名学生是否“优秀”相互独立,现从该市高一学生中随机抽取 3 人. ①求所选 3 人中恰有 2 人综合素质评价为“优秀”的概率; ②记 X 表示这 3 人中综合素质评价等级为“优秀”的个数,求 X 的数学期望. 参考公式:K2= ,其中 n=a+b+c+d.

临界值表: P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 19.在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,CA=CB,侧面 ABB1A1 是边长为 2 的正方形,点 E,F 分 别在线段 AA1、A1B1 上,且 AE= ,A1F= ,CE⊥EF. (Ⅰ)证明:平面 ABB1A1⊥平面 ABC; (Ⅱ)若 CA⊥CB,求直线 AC1 与平面 CEF 所成角的正弦值.

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20.过抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,且 A,B 两点的 纵坐标之积为﹣4. (1)求抛物线 C 的方程; (2)已知点 D 的坐标为(4,0) ,若过 D 和 B 两点的直线交抛物线 C 的准线于 P 点,求证: 直线 AP 与 x 轴交于一定点. 21.已知函数 f(x)= (1)求实数 a 的值; (2)用 min{m,n}表示 m,n 中的最小值,设函数 g(x)=min{f(x) ,x﹣ }(x>0) ,若 函数 h(x)=g(x)﹣cx2 为增函数,求实数 c 的取值范围. [选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,AB 为圆 O 的直径,C 在圆 O 上,CF⊥AB 于 F,点 D 为线段 CF 上任意一点, 延长 AD 交圆 O 于 E,∠AEC=30°. (1)求证:AF=FO; (2)若 CF= ,求 AD?AE 的值. ,直线 y= x 为曲线 y=f(x)的切线(e 为自然对数的底数) .

[选修 4-4:坐标系与参数方程选讲] 23. 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合, 极轴与直角坐标系中 x 轴的正半轴重合, 若曲线 C 的参数方程为 (α 是参数) , 直线 l 的极坐标方程为 ρsin (θ﹣ )

=1. (1)将曲线 C 的参数方程化为极坐标方程; (2)由直线 l 上一点向曲线 C 引切线,求切线长的最小值.

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[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知关于 x 的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解,记实数 m 的最大值为 M. (1)求 M 的值; (2)正数 a,b,c 满足 a+2b+c=M,求证: + ≥1.

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2016 年广东省深圳市高考数学二模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题 1.若复数 z 满足(1+i)z=1﹣i(i 为虚数单位) ,则|z|=( A. B. C.2 D.1



【考点】复数求模. 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出. 【解答】解:∵(1+i)z=1﹣i(i 为虚数单位) , ∴(1﹣i) (1+i)z=(1﹣i) (1﹣i) , ∴2z=﹣2i,即 z=﹣i. 则|z|=1. 故选:D. 2.设 A,B 是两个集合,则“x∈A”是“x∈(A∩B)”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 )

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】x∈(A∩B) ,可得 x∈A,则反之不一定成立,即可判断出关系. 【解答】解:x∈(A∩B)? x∈A,则反之不一定成立. ∴“x∈A”是“x∈(A∩B)”的必要不充分条件. 故选:B.

3.若 coa( A.﹣

﹣α)= ,则 cos(π﹣2α)=( B. C.﹣ D.



【考点】三角函数中的恒等变换应用. 【分析】直接利用二倍角的余弦得答案. 【解答】 解: 由 cos ( = 故选:C. = , =cos2 ﹣α) 得 cos (π﹣2α) ( . = )

4.若实数 x,y 满足约束条件

则目标函数 z=

的最大值为(



A.

B.

C.

D.2
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【考点】简单线性规划. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用斜率的几何意义,进行求解即可. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域, z= 的几何意义是区域内的点到点 D(﹣3,﹣1)的斜率,

由图象知 AD 的斜率最大, 由 ,得 ,即 A(1,5) ,

则 z=

的最大值 z=

= = ,

故选:C.

5.在如图所示的流程图中,若输入 a,b,c 的值分别为 2,4,5,则输出的 x=(



A.1

B.2

C.lg2

D.10

【考点】程序框图. 【分析】根据已知及程序框图,判断执行语句 x=lga+lgc,从而计算求值得解. 【解答】解:模拟执行程序框图,可得程序框图的功能是计算并输出 x 的值, 由题意,a=2,b=4,c=5, 不满足条件 a>b 且 a>c,不满足条件 b>c,执行 x=lg2+lg5=lg10=1. 故选:A.
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6.已知函数 f(x)的图象是由函数 g(x)=cosx 的图象经过如下变换得到:先将 g(x)的 图象向右平移 个单位长度, 再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半, 纵坐标不变, )

则函数 f(x)的图象的一条对称轴方程为( A.x= B.x= C.x= D.x=

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,余弦函数的图象的对称性,可得结论. 【解答】解:已知函数 f(x)的图象是由函数 g(x)=cosx 的图象经过如下变换得到:先将 g(x)的图象向右平移 个单位长度,可得 y=cos(x﹣ )的图象, )

=cos 再将其图象上所有点的横坐标变为原来的一半, 纵坐标不变, 可得函数 f (x) (2x﹣ 的图象, 令 2x﹣ 故选:A. 7.以直线 y=± A.2 B. x 为渐近线的双曲线的离心率为( C.2 或 D. ) =kπ,可得 f(x)的图象的对称轴方程为 x= +

,k∈Z,结合所给的选项,

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】讨论双曲线的焦点在 x 轴或 y 轴上,设出双曲线的标准方程,求得渐近线方程,运 用双曲线的基本量的关系,由离心率公式计算即可得到所求值. 【解答】解:当双曲线的焦点在 x 轴上时, 设方程为 ﹣ =1(a,b>0) ,

可得渐近线方程为 y=± x, 由题意可得 = 即有 b= a,c= , =2a,

离心率为 e= =2; 当双曲线的焦点在 y 轴上时, 设方程为 ﹣ =1(a',b'>0) ,

可得渐近线方程为 y=±

x,

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由题意可得 即有 a'=

=

, = . . a',

b',c'= =

离心率为 e=

综上可得离心率为 2 或 故选:C.

8.2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排,则 3 位女生中有且只有两位女生相邻的概率 是( A. ) B. C. D.

【考点】古典概型及其概率计算公式. 【分析】 先求出基本事件总数, 再求出 3 位女生中有且只有两位女生相邻包含的基本事件个 数,由此能求出 3 位女生中有且只有两位女生相邻的概率. 【解答】解:2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排, 基本事件总数 n= =120, =72,

3 位女生中有且只有两位女生相邻包含的基本事件个数 m= ∴3 位女生中有且只有两位女生相邻的概率 p= = . 故选:B. 9. M、 N 分别是 BC、 CD 的中点, 如图, 正方形 ABCD 中, 若 =λ



, 则 λ+μ= (



A.2

B.

C.

D.

【考点】向量的线性运算性质及几何意义. 【分析】建立平面直角坐标系,使用坐标进行计算,列方程组解出 λ,μ. 【解答】解:以 AB,AD 为坐标轴建立平面直角坐标系,如图: 设正方形边长为 1,则 ∵ =λ +μ , =(1, ) , =(﹣ ,1) , =(1,1) .



,解得



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∴λ+μ= . 故选:D.

10.已知 f(x)= ( )

,则关于 m 的不等式 f( )<ln

的解集为

A. (0, ) B. (0,2) C. (﹣ ,0)∪(0, )

D. (﹣2,0)∪(0,2)

【考点】分段函数的应用. 【分析】可判断 f(x)是(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,再由函数的单调性解不等 式. 【解答】解:当 x>0 时,f(﹣x)=﹣ln(﹣(﹣x) )﹣x=﹣lnx﹣x=f(x) , 故 f(x)是(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数; 当 x>0 时,f(x)=﹣lnx﹣x 为减函数, 而 ln =﹣ln2﹣2=f(2) , =f(2) ,

故 f( )<ln 故 >2, 故 0<m< ;

由 f(x)是(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数知, ﹣ <m<0; 综上所述,m∈(﹣ ,0)∪(0, ) , 故选 C. 11.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则它的体积为 ( )

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A.48

B.16

C.32

D.16

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】根据三视图画出此几何体:镶嵌在正方体中的四棱锥,由正方体的位置关系判断底 面是矩形,做出四棱锥的高后,利用线面垂直的判定定理进行证明,由等面积法求出四棱锥 的高,利用椎体的体积公式求出答案. 【解答】解:根据三视图得出:该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥 O﹣ABCD, 正方体的棱长为 4,O、A、D 分别为棱的中点, ∴OD=2 ,AB=DC=OC=2 , 做 OE⊥CD,垂足是 E, ∵BC⊥平面 ODC,∴BC⊥OE、BC⊥CD,则四边形 ABCD 是矩形, ∵CD∩BC=C,∴OE⊥平面 ABCD, ∵△ODC 的面积 S= ∴6= = ,得 OE= , = =16, =6,

∴此四棱锥 O﹣ABCD 的体积 V= 故选:B.

12.设定义在(0,+∞)上的函数 f(x)满足 xf′(x)﹣f(x)=xlnx,f( )= ,则 f(x) ( ) A.有极大值,无极小值 B.有极小值,无极大值 C.既有极大值,又有极小值 D.既无极大值,也无极小值 【考点】利用导数研究函数的极值.

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【分析】由 xf′(x)﹣f(x)=xlnx,得到 =

=

,求出

的原函数,得到 f(x) + x,通过求导

+cx,由 f( )= ,解出 c 的值,从而得到 f(x)=

判断函数 f(x)的单调性,进而判断函数的极值即可. 【解答】解:∵xf′(x)﹣f(x)=xlnx, ∴ = ,



=





=





=

+c, +cx,

∴f(x)=

由 f( )= ,解得 c= , ∴f(x)= + x,

∴f′(x)= (1+lnx)2≥0, f(x)在(0,+∞)单调递增, 故函数 f(x)无极值, 故选:D. 二、填空题 13.高为 π,体积为 π2 的圆柱体的侧面展开图的周长为 6π . 【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 【分析】根据棱柱的体积计算底面半径,则侧面展开图矩形的边长为圆柱的底面周长和高. 【解答】解:设圆柱的底面半径为 r, 则圆柱的体积 V=πr2?π=π2,∴r=1. ∴圆柱的底面周长为 2πr=2π. ∴侧面展开图的周长为 2π×2+π×2=6π. 故答案为:6π. 14.过点 P(3,1)的直线 l 与圆 C: (x﹣2)2+(y﹣2)2=4 相交于 A,B 两点,当弦 AB 的长取最小值时,直线 l 的倾斜角等于 45° . 【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】由题意结合图象可得当弦 AB 的长取最小值时,直线 l 过 P 且与 PC 垂直,由斜率 公式和直线的垂直关系可得. 【解答】解:∵(3﹣2)2+(1﹣2)2=2<4,∴点 P 在圆 C 内部,
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当弦 AB 的长取最小值时,直线 l 过 P 且与 PC 垂直, 由斜率公式可得 kPC= =﹣1,

故直线 l 的斜率为 1,倾斜角为 45°, 故答案为:45° )10 的展开式中,x4 项的系数为 180 (结果用数值表示) .

15.在(2+



【考点】二项式定理的应用. 【分析】 通过分析只需考虑 (2+ 的展开式中通项 Tk+1= 【解答】 解: (2+ 210﹣k?
10 = )



10 ) 展开式中的第二项, 进而只需考查

中含 x4 的项,比较可得 k=8,进而计算可得结论.



= 中 x4 项的系数, 210﹣k? ,



依题意,只需考虑 r=0 时,即只需 ∵ 令 的展开式中通项 Tk+1= =x4,可得 k=8, 210﹣8=180,

∴所求系数为 故答案为:180.

16.如图,在凸四边形 ABCD 中,AB=1,BC= +1 . 对角线 BD 的最大值为

,AC⊥CD,AC=CD,当∠ABC 变化时,

【考点】解三角形的实际应用. 【分析】设∠ABC=α,∠ACB=β,求出 AC,sinβ,利用余弦定理,即可求出对角线 BD 的 最大值. 【解答】解:设∠ABC=α,∠ACB=β,则 AC2=4﹣2 cosα, 由正弦定理可得 sinβ= ∴BD2=3+4﹣2 cosα﹣2× × , ×cos(90°+β)=7﹣2 cosα+2

sinα=7+2 sin(α﹣45°) , ∴α=135°时,BD 取得最大值 故答案为: +1.

+1.

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三、解答题 17.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,an 是 Sn 和 1 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{nan}的前 n 项和 Tn. 【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (1)通过等差中项的性质可知 2an=Sn+1,并与 2an﹣1=Sn﹣1+1(n≥2)作差,进而 整理可知数列{an}是首项为 1、公比为 2 的等比数列,计算即得结论; (2)通过(1)可知 Tn=1?20+2?21+3?22+…+n?2n﹣1,进而利用错位相减法计算即得结论. 【解答】解: (1)∵an 是 Sn 和 1 的等差中项, ∴2an=Sn+1,2an﹣1=Sn﹣1+1(n≥2) , 两式相减得:2an﹣2an﹣1=an,即 an=2an﹣1, 又∵2a1=S1+1,即 a1=1, ∴数列{an}是首项为 1、公比为 2 的等比数列, ∴an=2n﹣1; (2)由(1)可知 Tn=1?20+2?21+3?22+…+n?2n﹣1, 2Tn=1?21+2?22+…+(n﹣1)?2n﹣1+n?2n, 两式相减得:﹣Tn=1+21+22+…+2n﹣1﹣n?2n = ﹣n?2n

=﹣1﹣(n﹣1)?2n, ∴Tn=1+(n﹣1)?2n. 18.某市在对学生的综合素质评价中,将其测评结果分为“优秀、合格、不合格”三个等级, 其中不小于 80 分为“优秀”,小于 60 分为“不合格”,其它为“合格”. (1)某校高一年级有男生 500 人,女生 400 人,为了解性别对该综合素质评价结果的影响, 采用分层抽样的方法从高一学生中抽取 45 名学生的综合素质评价结果,其各个等级的频数 统计如下表: 等级 优秀 合格 不合格 15 x 5 男生(人) 15 3 y 女生(人) 根据表中统计的数据填写下面 2×2 列联表, 并判断是否有 90%的把握认为“综合素质评价测 评结果为优秀与性别有关”? 优秀 男生 女生 总计 非优秀 总计 (2)以(1)中抽取的 45 名学生的综合素质评价等级的频率作为全市各个评价等级发生的 概率,且每名学生是否“优秀”相互独立,现从该市高一学生中随机抽取 3 人. ①求所选 3 人中恰有 2 人综合素质评价为“优秀”的概率; ②记 X 表示这 3 人中综合素质评价等级为“优秀”的个数,求 X 的数学期望. 参考公式:K2= ,其中 n=a+b+c+d.

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临界值表: P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 【考点】独立性检验的应用. 【分析】 (1)先求出从高一年级男生中抽出人数及 x,y,作出 2×2 列联表,求出 K2=1.125 <2.706,从而得到没有 90%的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”. (2)①由(1)知等级为“优秀”的学生的频率为 ,从该市高一学生中随机抽取一名学生, 该生为“优秀”的概率为 .由此能求出所选 3 名学生中恰有 2 人综合素质评价为‘优秀’学生 的概率. ②X 表示这 3 个人中综合速度评价等级为“优秀”的个数,由题意,随机变量 X~B(3, ) , 由此能求出 X 的数学期望. 【解答】解: (1)设从高一年级男生中抽出 m 人,则 解得 m=25. ∴x=25﹣20=5,y=20﹣18=2. ∴2×2 列联表为: 优秀 非优秀 总计 ∴K2= 45(15×5﹣10×15)2 30×15×25×20 =1.125<2.706, ∴没有 90%的把握认为“综合素质评价测评结果为优秀与性别有关”. (2)①由(1)知等级为“优秀”的学生的频率为 = , 男生 15 10 25 女生 15 5 20 总计 30 15 45 ,

∴从该市高一学生中随机抽取一名学生,该生为“优秀”的概率为 . 记“所选 3 名学生中恰有 2 人综合素质评价为‘优秀’学生”为事件 A, 则事件 A 发生的概率为:P(A)= ②X 表示这 3 个人中综合速度评价等级为“优秀”的个数, 由题意,随机变量 X~B(3, ) , ∴X 的数学期望 E(X)=3× =2. = .

19.在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,CA=CB,侧面 ABB1A1 是边长为 2 的正方形,点 E,F 分 别在线段 AA1、A1B1 上,且 AE= ,A1F= ,CE⊥EF.
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(Ⅰ)证明:平面 ABB1A1⊥平面 ABC; (Ⅱ)若 CA⊥CB,求直线 AC1 与平面 CEF 所成角的正弦值.

【考点】直线与平面所成的角;平面与平面垂直的判定. 【分析】 (I)取 AB 的中点 D,连结 CD,DF.设 AC=a,计算 CE,EF,CF,CD,DF,利 用勾股定理的逆定理得出 CD⊥DF,由三线合一得 CD⊥AB,故而 CD⊥平面 ABB1A1,从 而平面 ABB1A1⊥平面 ABC; (II)以 C 为原点建立空间直角坐标系,求出 平面 CEF 所成角的正弦值等于|cos< 和平面 CEF 的法向量 ,则直线 AC1 与 >|.

【解答】证明: (I)取 AB 的中点 D,连结 CD,DF. ∵AC=BC,D 是 AB 的中点,∴CD⊥AB. ∵侧面 ABB1A1 是边长为 2 的正方形,AE= ,A1F= . ∴AE= ,EF= 设 AC=a,则 CE= = ,CD= ,DF= . =a2+ . = .

∵CE⊥EF,∴CF2=CE2+EF2=a2+ + ∵CD2+DF2=a2﹣1+ =a2+ .

∴CD2+DF2=CF2,∴CD⊥DF. 又 AB? 平面 ABB1A1,DF? 平面 ABB1A1,AB∩DF=D, ∴CD⊥平面 ABB1A1,又 CD? ABC, ∴平面 ABB1A1⊥平面 ABC. (II)∵平面 ABB1A1⊥平面 ABC, ∴三棱柱 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱,∴CC1⊥平面 ABC. ∵CA⊥CB,AB=2,∴AC=BC= . 以 C 为原点,以 CA,CB,CC1 为坐标轴建立空间直角坐标系,如图所示: 则 A( ,0,0) ,C(0,0,0) ,C1(0,0,2) ,E(
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,0, ) ,F(



,2) .



=(﹣

,0,2) ,

=(

,0, ) ,

=(



,2) .

设平面 CEF 的法向量为 =(x,y,z) ,则





,令 z=4,得 =(﹣

,﹣9

,4) .



=10,| |=6

,|

|=



∴cos<

>=

=



∴直线 AC1 与平面 CEF 所成角的正弦值为



20.过抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,且 A,B 两点的 纵坐标之积为﹣4. (1)求抛物线 C 的方程; (2)已知点 D 的坐标为(4,0) ,若过 D 和 B 两点的直线交抛物线 C 的准线于 P 点,求证: 直线 AP 与 x 轴交于一定点. 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】 (1)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,设直线 AB 的方程为 x=my+ ,联立方程组, 根据 A,B 两点的纵坐标之积为﹣4,即可求出 p 的值, (2)表示出直线 BD 的方程可表示为,y= (x﹣4)①,抛物线 C 的准线方程为,

x=﹣1②,构成方程组,解得 P 的坐标,求出直线 AP 的斜率,得到直线 AP 的方程,求出 交点坐标即可. 【解答】解: (1)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,
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设直线 AB 的方程为 x=my+

与抛物线的方程联立



得 y2﹣2mpy﹣p2=0, ∴y1?y2=﹣p2=﹣4, 解得 p=±2, ∵p>0, ∴p=2, (2)依题意,直线 BD 与 x 轴不垂直,∴x2=4. ∴直线 BD 的方程可表示为,y= ∵抛物线 C 的准线方程为,x=﹣1② 由①,②联立方程组可求得 P 的坐标为(﹣1,﹣ 由(1)可得 y1y2=4, ∴P 的坐标可化为(﹣1, ) , ) (x﹣4)①

∴kAP=

=



∴直线 AP 的方程为 y﹣y1=

(x﹣x1) ,

令 y=0,可得 x=x1﹣

=



=

∴直线 AP 与 x 轴交于定点( ,0) .

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21.已知函数 f(x)= (1)求实数 a 的值;

,直线 y= x 为曲线 y=f(x)的切线(e 为自然对数的底数) .

(2)用 min{m,n}表示 m,n 中的最小值,设函数 g(x)=min{f(x) ,x﹣ }(x>0) ,若 函数 h(x)=g(x)﹣cx2 为增函数,求实数 c 的取值范围. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 (1)求出 f(x)的导数,设出切点(m,n) ,可得切线的斜率,由切线方程可得 a, m 的方程,解方程可得 a=1; (2)y=f(x)和 y=x﹣ 的交点为(x0,y0) ,分别画出 y=f(x)和 y=x﹣ 在 x>0 的图象, 可得 1<x0<2,再由新定义求得最小值,求得 h(x)的解析式,由题意可得 h′(x)≥0 在 0<x<x0 时恒成立,运用参数分离和函数的单调性,即可得到所求 c 的范围. 【解答】解: (1)函数 f(x)= 的导数为 f′(x)= ,

设切点为(m,n) ,即有 n= 可得 ame=em,①

,n= m,

由直线 y= x 为曲线 y=f(x)的切线,可得

= ,② 由①②解得 m=1,a=1; (2)函数 g(x)=min{f(x) ,x﹣ }(x>0) ,

由 f(x)=

的导数为 f′(x)=



当 0<x<2 时,f(x)递增,x>2 时,f(x)递减. 对 x﹣ 在 x>0 递增,设 y=f(x)和 y=x﹣ 的交点为(x0,y0) , 由 f(1)﹣(1﹣1)= >0,f(2)﹣(2﹣ )= 当 0<x<x0 时,g(x)=x﹣ , h(x)=g(x)﹣cx2=x﹣ ﹣cx2,h′(x)=1+ 由题意可得 h′(x)≥0 在 0<x<x0 时恒成立, 即有 2c≤ + ,由 y= + 在(0,x0)递减,
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﹣ <0,即有 1<x0<2,

﹣2cx,

可得 2c≤

+



当 x≥x0 时,g(x)=



h(x)=g(x)﹣cx2=

﹣cx2,h′(x)=

﹣2cx,

由题意可得 h′(x)≥0 在 x≥x0 时恒成立, 即有 2c≤ ,由 y= ,可得 y′= ,

可得函数 y 在(3,+∞)递增;在(x0,3)递减, 即有 x=3 处取得极小值,且为最小值﹣ 可得 2c≤﹣ ②, ,解得 c≤﹣ . .

由①②可得 2c≤﹣

[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,AB 为圆 O 的直径,C 在圆 O 上,CF⊥AB 于 F,点 D 为线段 CF 上任意一点, 延长 AD 交圆 O 于 E,∠AEC=30°. (1)求证:AF=FO; (2)若 CF= ,求 AD?AE 的值.

【考点】与圆有关的比例线段;弦切角. 【分析】 (1)连接 OC,AC,证明△AOC 为等边三角形,利用 CF⊥AB,得出 CF 为△AOC 中 AO 边上的中线,即可证明结论; (2)证明 B,E,D,F 四点共圆,利用割线定理,求 AD?AE 的值.
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【解答】 (1)证明:连接 OC,AC, ∵∠AEC=30°, ∴∠AOC=60°. ∵OA=OC, ∴△AOC 为等边三角形. ∵CF⊥AB, ∴CF 为△AOC 中 AO 边上的中线,即 AF=FO. (2)解:连接 BE, ∵CF= ,△AOC 为等边三角形,∴AF=1,AB=4. ∵AB 是圆 O 的直径,∴∠AEB=90°,∴∠AEB=∠AFD. ∴B,E,D,F 四点共圆 ∴AD?AE=AB?AF=4.

[选修 4-4:坐标系与参数方程选讲] 23. 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合, 极轴与直角坐标系中 x 轴的正半轴重合, 若曲线 C 的参数方程为 (α 是参数) , 直线 l 的极坐标方程为 ρsin (θ﹣ )

=1. (1)将曲线 C 的参数方程化为极坐标方程; (2)由直线 l 上一点向曲线 C 引切线,求切线长的最小值. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (1)曲线 C 的参数方程为 角坐标方程,把 (α 是参数) ,利用 cos2α+sin2α=1 可得直

代入即可得出直角坐标方程.

(2)把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程,利用点到直线的距离公式可得圆心 C(3, 0)到直线 l 的距离 d,即可得出切线长的最小值= 【解答】解: (1)曲线 C 的参数方程为 . (α 是参数) ,利用 cos2α+sin2α=1 可

得: (x﹣3)2+y2=4,展开可得:x2+y2﹣6x+5=0,∴极坐标方程为 ρ2﹣6ρcosθ+5=0. (2)直线 l 的极坐标方程为 可得 y﹣x=1. 圆心 C(3,0)到直线 l 的距离 d= ∴切线长的最小值= = =2 . =2.
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ρsin(θ﹣

)=1,展开为:

(ρsinθ﹣ρcosθ)=1,

[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知关于 x 的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解,记实数 m 的最大值为 M. (1)求 M 的值; (2)正数 a,b,c 满足 a+2b+c=M,求证: + ≥1.

【考点】绝对值三角不等式;绝对值不等式的解法. 【分析】 (1)根据绝对值不等式的性质进行转化求解. (2)利用 1 的代换,结合基本不等式的性质进行证明即可. 【解答】解: (1)由绝对值不等式得|x﹣2|﹣|x+3|≥≤|x﹣2﹣(x+3)|=5, 若不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解, 则满足|m+1|≤5,解得﹣6≤m≤4. ∴M=4. (2)由(1)知正数 a,b,c 满足足 a+2b+c=4,即 ∴ + = [ (a+b) + (b+c) ] ( + [(a+b)+(b+c)]=1 + ) ≥ (2+2 )

= (1+1+ )

≥ ×4=1, 当且仅当 ∴ + = 即 a+b=b+c=2,即 a=c,a+b=2 时,取等号.

≥1 成立.

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2016 年 8 月 24 日

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