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等比数列的前项和


等比数列的前n项和
泾川一中 袁海军

授课班级:高二(19)班

教学目标:
?(1)理解等比数列求和公式的

推导方法,并能用之解决简单的问 题。 ?(2)通过对公式的推导,对学生 渗透方程思想、分类讨论思想以 及等价转化思想。

复习旧知,铺垫新知 :
?(1)等比数列定义及通项公式; ?(2)如何用递推公式表示等比数列

的定义

问题情境,引出课题:
从前,一个穷人到富人那里去借钱,原以 为富人不愿意,哪知富人一口答应了下来, 但提出了如下条件:在30天中,富人第一天 借给穷人1万元,第二天借给穷人2万元,以 后每天所借的钱数都比上一天多一万;但借 钱第一天,穷人还1分钱,第二天还2分钱, 以后每天所还的钱数都是上一天的两倍,30 天后互不相欠。穷人听后觉得挺划算,但怕 上当受骗,所以很为难。请在座的同学思考 一下,帮穷人出个主意.

S30 ? 1 ? 2 ? 3 ? … ? 30
T30 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? …? 2 ? 2
2 3 28 29

师生互动,新课探究:
问题1:设T30 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? … ? 2 ? 2 ,
2 3 28 29

那么2T30的表达式如何?

2T30 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? …? 2 ? 2
2 3 4 29

30

思考:T30与2T30的表达式中有许多相同项,你有 什么办法消去这些相同项?所得结论如何?

T30 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? …? 2 ? 2
2 3 28
2 3 4 29

29
30

① ②

2T30 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? …? 2 ? 2
② ﹣ ① 得:T30 ? 2
30

? 1 ? 1073741824分

=1073.741824万
上述算法叫做错位相减法.一般地,设等比数列?an ?? 的公比为 q, 前n项和为Sn,利用错位相减法如何求Sn 所得结果如何?

问题2:如何求等比数列 ?an ? 的前项和Sn

Sn ? a1 ? a1q ? a1q ? …? a1q
2
2

n?1
n

qSn ? a1q ? a1q ? a1q3 ? …? a1q
(1 ? q)S n ? a1 (1 ? q )
n

a1 (1 ? q ) Sn ? 1? q
n

公式的应用
(1) S9 ? 3 ? 3 ? 3 ? … ? 3
2 3 9

练习1. 用等比数列求和公式求和:

(2) S100 ? 5 ? 5 ? … ? 5(100个5相加)
?na1 (q ? 1) ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1 ? q (q ? 1) ?

1 ? ? 1? ?1 ? 20 ? 1 1 1 ? 2 ? 1. 1 ? ? 2 ? … ? 19 ? 1 2 2 2 1? 2

练习2.求和:

2.等比数列{an }中, a1 ? 6, q ? 2, an ? 192, 求{an }前n项和Sn .

Sn ? 378

?na1 (q ? 1) ? S n ? ? a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q ? 1 ? q ? 1 ? q (q ? 1) ?

典例分析
3 1 已知等比数列 ?an ? 中, a3 ? , S3 ? 4 , 求a1. 2 2
解:当q ? 1时候,a1 ? a2 ? a3 , 此时正好有
? 2 3 a1q ? ? 2 ? 当q ? 1时,依题意有 解之, ? 3 ? a1 (1 ? q ) ? 4 1 , ? 2 ? 1? q 3 得a1 ? 6,综上得a1 ? 或a1 ? 6. 2

1 S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? 4 , 适合题意。 2

课堂小结
特殊数列求和 一般情况下等比数列求和
29

T30 ? 1 ? 2 ? … ? 2

Sn ? a1 ? a1q ? a1q 2 ? … ? a1q n?1

公式 应用

错位相减法

方程(组)思想: 知三求二

作业:第 61 页 第 1,2,3 题


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