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[套卷]陕西省长安一中2013--2014年度高一年级第一学期期中考试试题(数学)


陕西省长安一中 2013--2014 年度高一年级第一 学期期中考试 高一数学试题
说明:本卷分第一卷和第二卷两部分.第一卷为选择题,第二卷为非选择题.考试 时间:100 分钟.全卷满分 150 分.

第一部分(共 60 分)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 P ? {x | x ? 1} , M ? {a} ,若 P ? M ? P ,则 a 的取值范围是( )
2

A. (??, ?1]

B. [1, ??)

C. [?1,1]

D.

(??, ?1] ? [1, ??)
2.已知函数 f ? x ? 的定义域为 ? ?1, 0 ? ,则函数 f ? 2 x ? 1? 的定义域为( ) A. ? ?1,1? B. ? 0, ?

? ?

1? 2?

C. ? -1,0 ?

D. ?

?1 ? ,1? ?2 ?

?x 2 x?0 f ?x ? ? ? ? f ( x ? 1), x ? 0 ,则 f ?2? ? f ?? 2? 的值为( ) 3.已知
A.6 B.5 C.4 D.2

4.定义集合运算:A⊙B={z︳z = xy(x+y),x∈A,y∈B} ,设集合 A={0,1} ,B= {2,3} ,则集合 A⊙B 的所有元素之和为( ) A.0 B.6 C.12 D.18

5.设 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x) ,当 0≤x≤1 时,f (x)=x,则 f(11.5)等于( ) A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5

6.用长度为 24 的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则 隔墙的长度为( ) A.3 B.4 C.6 D.12

7 .设函数 f ( x)( x ? R) 为奇函数, f (1) ? ( ) A.0
x
2

1 , f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2), 则 f (5) ? 2 5 2

B.1

C.

D.5

8.函数 y=2 -x 的图象大致是 ( )

9.若 a ?

ln 2 ln 3 ln 5 ,则 ( ,b ? ,c ? 2 3 5
B.c<b<a
2

) C.c<a<b D.b<a<c

A.a<b<c

10.已知函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? 4(0 ? a ? 3), 若 x1 ? x2 , x1 ? x2 ? 1 ? a, 则( ) A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) D. f ( x1 ) 与 f ( x2 ) 的大小不能确定

11.定义在 R 上的奇函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数,又 f(-3)=0,则不等 式 xf(x)<0 的解集为( ) A.(-3,0)∪(0,3) C.(-3,0)∪(3,+∞) 12.已知函数 f ( x) ? ? B.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3) 在(-∞,+∞)上单调递减,那么实

?(3a ? 2) x ? 6a ? 1( x ? 1)
x ?a ( x ? 1)

数 a 的取值范围是( ) A.(0,1) 2 B.(0, ) 3 3 2 C.[ , ) 8 3 3 D.[ ,1) 8

第二部分(共 90 分)

二、填空题:把答案填写在答题 卡相应的题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小 题 5 分,共 25 分) 13. 函数 f ( x ) ? x ? 1 ? x 的单调递减区间为________.
2

?2 ? x ? 1, x ? 0, ? 14.设函数 f ( x) ? ? 1 若 f ( x0 ) ? 1 ,则 x0 的取值范围是________. , 2 ? x?0 ?x
15.(1)计算: lg 2 ? lg 2 lg 5 ? lg 5 ? ________.
2

(2)化简

a 3 b 2 3 ab 2
1 1 (a 4 b 2 ) 4

b ?3 a

(a>0,b>0)的结果是__________.

16. 若函数 y=x + (a+2) x+3, x∈ [a, b] 的图象关于直线 x=1 对称, 则 b=__________. 17 . 若 集 合

2

M ? ?0, 1, 2?



N ? ?( x,y ) x ? 2 y ? 1≥ 0且x ? 2 y ? 1 ≤ 0,x,y ? M ? ,则 N 中元素的个数为
________. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 5 小题,每小 题 13 分,共 65 分) 18. 已知 f(x)=x(

1 1 + ). 2 ?1 2
x

(1)判断 f(x)的奇偶性; (2)证明 f(x)>0.

x2+a 19.已知函数 f(x)= (a>0)在(2,+∞)上递增,求实数 a 的取值范围. x
20.设函数 f(x)=x的取值范围。

1 ,对任意 x ?[1, ??),f(mx)+mf(x)<0 恒成立,求实数 m x

21.已知函数 f ( x) ? ?

?cx ? 1 ? ? ?2
? x c2

(0<x<c) (c ? x<1)

?1

,且 f (c 2 ) ?

9 . 8

(1)求实数 c 的值; (2)解不等式 f ( x)>

2 ?1. 8
x x

22.已知函数 f ( x) ? a ? 2 ? b ? 3 ,其中常数 a, b 满足 a ? b ? 0 (1)若 a ? b ? 0 ,判断函数 f ( x) 的单调性; (2)若 a ? b ? 0 ,求 f ( x ? 1) ? f ( x) 时的 x 的取值范围.

长安一中高一级期中质量检测数学试题答案
一、选择题: CBBDBA 二、填空题: 13. (??, ?1],[ ,1] . 14. (-∞,-1)∪(1,+∞) . 15. (1) 。1 CACBAC

1 2

(2) 。 16.6 17.4

a b

三、解答题:

2x ?1 2?x ? 1 18. 解: (1) ( f x) =x· x , 其定义域为 x≠0 的实数.又 (- f x) =-x· ? x 2( 2 ? 1) 2(2 ? 1)
=-x·

1? 2x 2x ?1 = x · =f(x) ,∴f(x)为偶函数.。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 ( 6) 2(1 ? 2 x ) 2( 2 x ? 1)

(2)证明:由解析式易见,当 x>0 时,有 f(x)>0.又 f(x)是偶函数,且 当 x<0 时-x>0,∴当 x<0 时 f(x)=f(-x)>0,即对于 x≠0 的任何实数 x, 均有 f(x)>0. .。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 (7) 19.解:解法一:设 2<x1<x2,由已知条件 f(x1)-f(x2)=

x2 x2 1+a 2+a - =(x1-x2)+ x1 x2

x2-x1 a = x1x2
(x1-x2)

x1x2-a <0 恒成立.即当 2<x1<x2 时,x1x2>a 恒成立.又 x1x2>4,则 0<a≤4. x1x2 x2+a (a>0)的递增区间是(-∞,- a),( a,+∞),根 x

解法二:可证明 f(x)=

据已知条件 a≤2,解得 0<a≤4.

20.解:已知 f(x)为增函数且 m≠0 若 m>0,由复合函数的单调性可知 f(mx)和 mf(x)均为增函数,此时不符合题意。 m<0 ,时有 mx ?

1 m 1 1 1 ? mx ? ?0 ?2 mx ?( m ? ) ? ?0 ? 1 ? 2 ?2 2 x因为 mx x m x m 1 y ? 2 x 2 在 x ?[1, ??) 上的最小值为 2,所以 1+ 2 ? 2 即 m2 >1,解得 m<-1. m
2

21. 解: (1)因为 0 ? c ? 1,所以 c ? c , 由 f (c ) ?
2

9 9 1 3 ,即 c ? 1 ? , c ? . 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 (6) 8 8 2
1? ? ?0 ? x ? ? 2? ? ?1 ? ? ≤ x ? 1? ?2 ?

?1 ? 2 x ?1 ? (2)由(1)得: f ( x ) ? ? ?2?4 x ? 1 ? ?
由 f ( x) ?

2 2 1 1 ?x? . ? 1 得,当 0 ? x ? 时,解得 4 2 8 2



1 1 5 ≤ x ? 1 时,解得 ≤ x ? , 2 2 8
? ? 2 5? 2 ? ? x? ?. 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 (7) ? 1 的解集为 ? x 8? 8 ? 4 ? ?

所以 f ( x) ?

22. 解:⑴ 当 a ? 0, b ? 0 时,任意 x1 , x2 ? R, x1 ? x2 ,则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a(2 x1 ? 2 x2 ) ? b(3x1 ? 3x2 )
∵ 2 1 ? 2 2 , a ? 0 ? a(2 1 ? 2 2 ) ? 0 , 3 1 ? 3 2 , b ? 0 ? b(3 1 ? 3 2 ) ? 0 ,
x x x x x x x x

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,函数 f ( x) 在 R 上是增函数。 当 a ? 0, b ? 0 时,同理函数 f ( x) 在 R 上是减函数。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 (6) ⑵ f ( x ? 1) ? f ( x) ? a ? 2 ? 2b ? 3 ? 0 ,
x x

3 x a a ,则 ? x | x ? log1.5 ( ? )} ; 2 2b 2b 3 x a a 当 a ? 0, b ? 0 时, ( ) ? ? ,则 ? x | x ? log1.5 (? )} 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 (7) 2 2b 2b
当 a ? 0, b ? 0 时, ( ) ? ?


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