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2014届高三数学(文科)练习(1)2.14


2014 届高三数学周练 2014.02.14
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........
,x ? R? , B ? ? x 0 ≤ x ≤ 2? ,则 A ? B = 1. 设集合 A ? ? x x 2 ? 1

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分

.请在答题卡指定区域 内作答. ....... 15.(本小题满分 14 分)





?? ? 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.设向量 m ? (a, c) , n ? (cos C ,cos A) .

2. 若 3. 4.

5. 6. 7.

8.

1 ? mi ? 1 ? ni ( m,n ? R ,i 为虚数单位),则 mn 的值为 ▲ . i x2 y 2 已知双曲线 2 ? ? 1(a ? 0) 的一条渐近线方程为 2 x ? y ? 0 ,则 a 的值为 ▲ . a 4 某学校选修羽毛球课程的学生中,高一,高二年级分别有 80 名,50 名.现用分层抽样的方法在 这 130 名学生中抽取一个样本,已知在高一年级学生中抽取了 24 名,则在高二年级学生中应抽 取的人数为 ▲ . 某市连续 5 天测得空气中 PM2.5(直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物)的数据(单位: mg / m3 ) 分别为 115,125,132,128,125,则该组数据的方差为 ▲ . 函数 y ? 2sin 2 x ? 3cos2 x ? 4 的最小正周期为 ▲ . 已知 5 瓶饮料中有且仅有 2 瓶是果汁类饮料.从这 5 瓶饮料中随机取 2 瓶,则所取 2 瓶中至少有 一瓶是果汁类饮料的概率为 ▲ . ? x ? y ≥3, ? 已知实数 x , y 满足约束条件 ? y ≤ 3, 则 z ? 5 ? x2 ? y 2 的最大值为 ▲ . ? x ≤ 3, ?

?? ? (1)若 m ∥ n , c ? 3a ,求角 A;

?? ? 4 (2)若 m ? n ? 3b sin B , cos A ? ,求 cos C 的值. 5

9. 若曲线 C1 : y ? 3x 4 ? ax3 ? 6 x 2 与曲线 C2 : y ? e x 在 x ? 1 处的切线互相垂直,则实数 a 的值为 ▲ . 10.给出下列命题: (1)若两个平面平行,那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面; (2)若两个平面平行,那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面; (3)若两个平面垂直,那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面; (4)若两个平面垂直,那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面. 则其中所有真命题的序号为 ▲ .
3 ? p p? 11.已知 q ? ? ? , ? ,等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a4 ? tan 3 3q ,若数列 ?an ? 的前 2014 项的和为 0, 6 6 9 ? ? 则 q 的值为 ▲ . ?? 1 ? x x ? 0, ?? ? , 12.已知函数 f(x)= ?? 若 f ( f (?2)) ? f (k ) ,则实数 k 的取值范围为 ▲ . 2? ? 2 ?( x ? 1) , x ≥ 0,

16.(本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中,AB⊥BC,E,F 分别是 A1 B , AC1 的中点. (1)求证:EF∥平面 ABC; (2)求证:平面 AEF ⊥平面 AA1 B1 B ; (3)若 A1 A ? 2 AB ? 2BC ? 2a ,求三棱锥 F ? ABC 的体积.
A?1

A E

F
B?1

B

a 2 ? b2 ▲ . ? 3 ,则 c ? c 2 2 14.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O: x ? y =25 ,点 P(1,2) ,M,N 为圆 O 上不同的两点,且 ??? ? ??? ? ???? ? ???? ???? ? ???? 满足 PM ? PN ? 0 .若 PQ ? PM ? PN ,则 PQ 的最小值为 ▲ .

13.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 tan A ?7tan B ,

C?1

C
(第 16 题)

17.(本小题满分 14 分) 如图所示,把一些长度均为 4 米(PA+PB=4 米)的铁管折弯后当作骨架制作“人字形”帐蓬, 根据人们的生活体验知道:人在帐蓬里“舒适感”k 与三角形的底边长和底边上的高度有关,设 AB 为 x,AB 边上的高 PH 为 y,则 k ?

19.(本小题满分 16 分) 在正数数列 ?an ? (n ? N*) 中, S n 为 ? an ? 的前 n 项和,若点 ( an , S n ) 在函数 y ?

x? y x2 ? y 2

,若 k 越大,则“舒适感”越好。

c2 ? x 的图象上,其中 c ?1

c 为正常数,且 c ≠1。
(I)求数列 ? an ? 的通项公式; (II)是否存在正整数 M,使得当 n>M 时, a1 ? a3 ? a5 ????????? a2 n?1 成立的 c 的取值范围和相应的 M 的最小值。 (III)若存在一个等差数列 ?bn ? ,对任意 n ? N* ,都有 b1an ? b2 an ?1 ? b3an ?2 ? ??? ? bn a1 ? 3 ?
n

(I)求“舒适感” k 的取值范围; (II)已知 M 是线段 AB 的中点,H 在线段 AB 上,设 MH=t,当人在帐蓬里的“舒适感”k 达到 最大值时,求 y 关于自变量 t 的函数解析式;并求出 y 的最大值(请说明详细理由)。

? a101 恒成立?若存在,求出使结论
5 n ?1 3

成立,求 ?bn ? 的通项公式及 c 的值。

18.(本小题满分 16 分) 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 椭 圆 E:
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 右 准 线 为 直 线 l , 动 直 线 a 2 b2 y ? kx ? m (k ? 0,m ? 0) 交椭圆于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 M,射线 OM 分别交椭圆及直线

20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? x ?

1 l 于 P,Q 两点,如图.若 A,B 两点分别是椭圆 E 的右顶点,上顶点时,点 Q 的纵坐标为 (其 e
中 e 为椭圆的离心率),且 OQ ? 5OM . (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)如果 OP 是 OM,OQ 的等比中项,那么 理由.
m 是否为常数?若是,求出该常数;若不是,请说明 k y

a , a?R . x

(1)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的极大值; (2)求函数 f ( x) 的单调区间; (3)当 a ? 1 时,设函数 g ( x) ? f ( x ? 1) ? x ? 1 ?

a ,若实数 b 满足: b ? a 且 x ?1

l

B

M
O

P

Q

? b ? ? a?b? g? ? ? g (a) , g (b) ? 2 g ? ? ,求证: 4 ? b ? 5 . ? b ?1 ? ? 2 ?
x

A

(第 18 题)

2014 届高三数学周练(1)(附加题)
班级____________学号_________姓名_______________得分_______________
21.【选做题】每小题 10 分,共计 20 分. B.选修 4—2:矩阵与变换
?0 1 ? 已知直线 l : ax ? y ? 0 在矩阵 A ? ? ? 对应的变换作用下得到直线 l ? ,若直线 l ? 过点(1,1),求 ?1 2 ?

实数 a 的值.

23.(本小题满分 10 分) 设集合 A,B 是非空集合 M 的两个不同子集,满足:A 不是 B 的子集,且 B 也不是 A 的子集. (1)若 M= {a1 , a2 , a3 , a4 } ,直接写出所有不同的有序集合对(A,B)的个数; C.选修 4—4:坐标系与参数方程
p p 在极坐标系中,已知点 P(2 3, ) ,直线 l : r cos(q ? ) ? 2 2 ,求点 P 到直线 l 的距离. 6 4

(2)若 M= {a1 , a2 , a3 , ???, an } ,求所有不同的有序集合对(A,B)的个数.

P
【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22. (本小题满分 10 分) 如图,三棱锥 P-ABC 中,已知平面 PAB⊥平面 ABC,AC⊥BC, AC=BC=2a,点 O,D 分别是 AB,PB 的中点,PO⊥AB,连结 CD. A (1)若 PA ? 2a ,求异面直线 PA 与 CD 所成角的余弦值的大小; 5 (2)若二面角 A-PB-C 的余弦值的大小为 ,求 PA. 5

D
O

B

C
(第 22 题)

2014 届高三数学周练(1)参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 1. ? 0,1? 8.
1 2

17.解:

2. ?1 9.
1 3e

3. 1

4. 15

5.31.6(写成
p 9

158 也对) 5
2

6. p

7.

7 10

10.(1)(2) 11. ?

12. (log 1 9, 4)

13.4

14. 2 5

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ?? ? 15.解:(1)∵ m ∥ n ,∴ a cos A ? c cos C .由正弦定理,得 sin Acos A ? sin C cos C . 化简,得 sin 2 A ? sin 2C . ??????????????????2 分 p p ∵ A, C ? (0, p ) ,∴ 2 A ? 2C 或 2 A ? 2C ? p ,从而 A ? C (舍)或 A ? C ? .∴ B ? .???4 分 2 2 a 3 p 在 Rt△ABC 中, tan A ? ? ,A? . ?????????????6 分 c 3 6 ?? ? (2)∵ m ? n ? 3b cos B ,∴ a cos C ? c cos A ? 3b sin B . 由正弦定理,得 sin A cos C ? sin C cos A ? 3sin 2 B ,从而 sin( A ? C ) ? 3sin 2 B . 1 ∵ A ? B ? C ? p ,∴ sin( A ? C) ? sin B . 从而 sin B ? . ?????8 分 3 4 p 3 ∵ cos A ? ? 0 , A ? (0, p ) ,∴ A ? (0, ) , sin A ? . ????????10 分 5 2 5 2 2 ∵ sin A ? sin B ,∴ a ? b ,从而 A ? B ,B 为锐角, cos B ? . ???12 分 3 4 2 2 3 1 3?8 2 ∴ cos C ? ? cos( A ? B) ? ? cos A cos B ? sin A sin B = ? ? .?????14 分 ? ? ? 5 3 5 3 15 16.证明:(1)连结 A1C .∵直三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, AAC 1 1C 是矩形,
A1C 的中点.

∴点 F 在 A1C 上,且为

在△ A1 BC 中,∵E,F 分别是 A1 B , A1C 的中点,

∴EF∥BC. ?????2 分 ??????4 分

又∵BC ? 平面 ABC, EF ? 平面 ABC,所以 EF∥平面 ABC. (2)∵直三棱柱 A1 B1C1 ? ABC 中, B1 B ? 平面 ABC,∴ B1 B ? BC.

∵EF∥BC,AB⊥BC,∴AB⊥EF, B1 B ? EF. ????????????6 分 ∵ B1 B ? AB ? B ,∴EF⊥平面 ABB1 A1 . ∵EF ? 平面 AEF,∴平面 AEF⊥平面 ABB1 A1 .
1 1 1 (3) VF ? ABC ? VA1 ? ABC ? ? ? S?ABC ? AA1 2 2 3
1 1 1 a3 = ? ? a 2 ? 2a ? . 2 3 2 6

????????????8 分 ????????????10 分 ????????????12 分 ????????????14 分

a b 18. 解:当 A,B 两点分别是椭圆 E 的右顶点和上顶点时,则 A(a,0) , B(0, b) , M ( , ) . 2 2 1 b a2 1 ∵ Q( , ) ,∴由 O,M,Q 三点共线,得 ? e2 ,化简,得 b ? 1 .???2 分 a a c e c 2 a ?a 2 ? b 2 ? c 2, ?a 2 ? 5, ? ? ∵ OQ ? 5OM ,∴ c ? 5 ,化简,得 2a ? 5c .由 ?b ? 1, 解得 ? 2 ??4 分 a ? ? ?c ? 4. ?2a ? 5c, 2 2 x (1)椭圆 E 的标准方程为 ? y 2 ? 1 . ????????????????6 分 5 x2 (2)把 y ? kx ? m(k ? 0, m ? 0) ,代入 ? y 2 ? 1 ,得 (5k 2 ? 1) x2 ? 10mkx ? 5m2 ? 5 ? 0 .??8 分 5 5mk m 5mk m 2 2 当△ ? 0 , 5k ? m ? 1 ? 0 时, xM ? ? 2 , yM ? 2 ,从而点 M (? 2 , 2 ) .?10 分 5k ? 1 5k ? 1 5k ? 1 5k ? 1 1 ? y ? ? x, ? 25k 2 1 ? 5k 所以直线 OM 的方程 y ? ? x .由 ? 2 得 xP 2 ? 2 . ?????12 分 5k ? 1 5k ? x ? y 2 ? 1, ? ?5

∵OP 是 OM,OQ 的等比中项,∴ OP 2 ? OM ? OQ ,从而 xP 2 ? xM xQ ? ?
2

25mk .???14 分 2(5k 2 ? 1)

20.解:函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) . ( 1 )当 a ? 0 时, f ( x) ? ln x ? x , f ?( x) ? ???1 分 x ? 1. 由表得: f ( x) 的极大值为 f (1) ? ?1 .?3 分
1 ? 1 ,令 f ?( x ) ? 0 得 x

25k 25mk m m 由 2 ,得 m ? ?2k ,从而 ? ?2 ,满足△ ? 0 .?15 分∴ 为常数 ?2 ?16 分 ?? 2 5k ? 1 2(5k ? 1) k k

x f ?( x)
f ( x) ↗

(0,1)

1
0
?

(1, ??)

+

极 ↘ 1 a ? x2 ? x ? a 大值 (2) f ?( x) ? ? 1 ? 2 ? . 令 f ?( x ) , 得 ? 0 2 x x x ,记 ? ? 1 ? 4a . ? x2 ? x ? a 0 ? 1 (ⅰ)当 a ≤ ? 时, f ?( x) ≤ 0 ,所以 f ( x) 单调减区间为 (0, ??) ; ????5 分 4 1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a 1 1 (ⅱ) 当 a ? ? 时, 由 f ?( x) ? 0 得 x1 ? , ①若 ? ? a ? 0 , 则 x1 ? x2 ? 0 , , x2 ? 2 2 4 4 由 f ?( x) ? 0 , 得 0 ? x ? x2 , x ? x1 ; 由 f ?( x ) ? 0 , 得 x2 ? x ? x1 . 所 以 , f ( x) 的 单 调 减 区 间 为
1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a , ??) ,单调增区间为 ( , ) ; ?????7 分 ) ,( 2 2 2 2 ②若 a ? 0 ,由(1)知 f ( x) 单调增区间为 (0,1) ,单调减区间为 (1, ??) ; ③若 a ? 0 ,则 x1 ? 0 ? x2 , 由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? x1 ;由 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? x1 . (0,
1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a f ( x) 的单调减区间为 ( , ??) ,单调增区间为 (0, ) . ??9 分 2 2 1 1 综上所述:当 a ≤ ? 时, f ( x) 的单调减区间为 (0, ??) ;当 ? ? a ? 0 时, f ( x) 的单调减区间为 4 4 1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a , ??) ,单调增区间为 ( , ); (0, ) ,( 2 2 2 2 1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a 当 a ≥ 0 时, f ( x) 单调减区间为 ( , ??) ,单调增区间为 (0, ) . ???10 分 2 2 1 b (3) g ( x) ? ln( x ? 1) ( x ? 1 ). 由 g ( ? ln(a ? 1) .∵ 1 ? a ? b , ) ? g (a) 得 ln b ?1 b ?1

∴ b ? 1 ? a ? 1 (舍),或 (a ? 1)(b ?1) ? 1 . ∵ 1 ? (a ? 1)(b ? 1) ? (b ? 1)2 ,∴ b ? 2 .??????12 分
a?b 1 a?b ? 1) ? 2 ln [(a ? 1) ? (b ? 1)] , ? ? ? (*) ) 得, ln(b ? 1) ? 2 ln( 2 2 2 a ?1 ? b ?1 1 因为 ≥ (a ? 1)(b ? 1)=1 ,所以(*)式可化为 ln(b ? 1) ? 2ln [(a ? 1) ? (b ? 1)] ,??14 分 2 2 1 1 1 1 即 b ?1 ? [ ( ? b ?1 ) ]2 .令 b ? 1 ? t (t ? 1) ,则 t ? [ (t ? )]2 ,得 t 4 ? 4t 3 ? 2t 2 ? 1 ? 0 , 2 b ?1 2 t 3 2 3 2 从而 (t ? 1)(t ? 3t ? t ? 1) ? 0 ,即 t ? 3t ? t ? 1 ? 0 .

由 g (b) ? 2 g (

记 h(t ) ? t 3 ? 3t 2 ? t ? 1, t ? 1 . h?(t ) ? 3t 2 ? 6t ? 1 , 令 h?(t )? 0得
2 3 2 3 (舍), t ? 1 ? ,列表: 3 3 2 3 2 3 所以, h(t ) 在 (1,1 ? ) 单调减,在 (1 ? , ??) 单调增,又因 3 3 为 h(3) ? 0, h(4) ? 0 , 所 以 , 从 而 3?t ? 4 ??????????????????16 分 4 ? b ? 5. t ?1?

t
h?(t ) h(t ) ↘

(1,1 ?

?

2 3 ) 3

(1 ?

2 3 , ??) 3

+ ↗

2014 届高三数学周练(1)(附加题) 参考答案
21、【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题 ,每小题 10 分,共计 20 分. ...... B.选修 4—2:矩阵与变换 解:设 P( x, y) 为直线 l 上任意一点,在矩阵 A 对应的变换下变为直线 l ? 上点 P?( x?, y?) ,则
? x ? ?2 x? ? y ?, ? x? ? ? 0 1 ? ? x ? ? y ?? ? ?1 2? ? y ? ,化简,得 ? y ? x?. ?? ? ? ? ? ?

? 2a 2a 不妨令 x=1,则 y=1, z ? ,则 n ? (1,1, ?????????8 分 ). h h ???? ? 5 OC ? n 2a 2 ? ???? ? ? 由已知,得 ,化简,得 h 2 ? a 2 . 2 5 3 OC n 2a 2a 2 ? 2 h 2 2 2 6 ∴ PA ? PO2 ? OA2 ? ?????????????10 分 a ? 2a 2 ? a. 3 3 23.解:(1)110; ????????????????????????3 分

????????4 分 ???????????8 分 ???????????10 分

(2)集合 M 有 2 n 个子集,不同的有序集合对(A,B)有 2 (2 ? 1) 个.
n n
* 若A? ? B ,并设 B 中含有 k (1 ≤ k ≤ n, k ? N ) 个元素,则满足 A ? ? B 的有序

代入 ax ? y ? 0 ,整理,得 ?(2a ? 1) x? ? ay? ? 0 . 将点(1,1)代入上述方程,解得 a=-1. C.选修 4—4:坐标系与参数方程 解:点 P 的直角坐标为 (3, 3) ,

集合对 (A,B) 有

? Cnk (2k ? 1) ? ? Cnk 2k ? ? Cnk ? 3n ? 2n 个 . ???????6 分
k ?1 k ?0 k ?0

n

n

n

???????????????????4 分 ???????????????8 分
? 2? 6 . 2

n n 同理,满足 B ? ? A 的有序集合对(A,B)有 3 ? 2 个.
n n n

???????8 分
n n n n

直线 l 的普通方程为 x ? y ? 4 ? 0 , 从而点 P 到直线 l 的距离为
3? 3 ?4 2

故满足条件的有序集合对(A,B)的个数为 2 (2 ? 1) ? 2(3 ? 2 ) ? 4 ? 2 ? 2 ? 3

??10 分

??????????10 分

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22.解:连结 OC. ∵平面 PAB⊥平面 ABC,PO⊥AB,∴PO⊥平面 ABC.从而 PO⊥AB,PO⊥OC. ∵ AC=BC , 点 O 是 AB 的 中 点 , ∴ OC⊥AB . 且
O A? O B ? O? C 2 . a?????2 分
A

z P D O B y C x

如图,建立空间直角坐标系 O ? xyz . ( 1 ) PA ? 2a , PO ? 2a . A(0, ? 2a,0) , B(0, 2a, 0) ,
2a 2a , ) . ????4 分 2 2 ??? ? ??? ? 2 2 ? 2a, ? 2a) , CD ? (? 2a, a, 从而 PA ? (0, a) . 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? PA ? CD ?2a 2 3 ?? ∵ cos ? PA, CD ?? ??? , ? ??? ? ? 3 PA CD 2a ? 3a
C ( 2a, 0, 0) , P(0, 0, 2a) , D(0,

3 . ???????????6 分 3 (2)设 PO ? h ,则 P(0,0, h) .∵ PO⊥OC,OC⊥AB,∴OC⊥平面 PAB. ???? ? 从而 OC ? ( 2a,0,0) 是平面 PAB 的一个法向量.不妨设平面 PBC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) , ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ? 2ay ? hz , ? n ? PB ? 0, ? ? 2a,0) , ? ? ??? ∵ PB ? (0,2a, ?h) , BC ? ( 2a, ∴? ? ? ? ? x ? y. ? n ? BC ? 0.

∴异面直线 PA 与 CD 所成角的余弦值的大小为


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