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浙江省杭州外国语学校2015届高三上学期期中考试数学文


浙江省杭州外国语学校 2015 届高三上学期期中考试 数学文科试卷
注意事项:1.本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟
2.整场考试不准使用计算器 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1. 若集合 A ? {x | 0 ? x ? 2}, B ? {x | x2 ?

1} ,则 A

B?(



A. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | x ? 0 或 x ? ?1} C. {x |1 ? x ? 2} D. {x | 0 ? x ? 2} 2. 已知向量 a ? (?1, 2) , b ? (3, m) , m ? R ,则“ m ? ?6 ” 是“ a //(a ? b) ”的( ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 100 3. 右图是一容量为 的样本的重量的频率分布直方图, 样本重量均在 [5, 20] 内,其分组为 [5,10) , [10,15) ,
0.1

频率 组距

0.06

[15, 20] ,则样本重量落在 [15, 20] 内的频数为(
A. 10 B. 20 C. 30 D. 40


O
5 10 15 20

重量

4. 执行右图所示的程序框图,则输出的结果是( A. 5 B. 7 C. 9 D. 11



开始

k ?1

5. 函数 y ? 2sin 2 x 图象的一条对称轴方程可以为( A. x ?



S ?1
S ? 20?

3 ? D. x ? ? 4 3 4 x 3 6. 函数 f ( x) ? 2 ? x ? 2 在区间 (0, 2) 内的零点个数是(
B. x ? C. x ? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

?

?







S ? S ? 2k

输出 k 结束

k ?k?2

7. 设 a , b 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则能得出

a ? b 的是(

) B. a ? ? , b ? ? , ? / / ? D. a ? ? , b / / ? , ? ? ?

A. a ? ? , b / / ? , ? ? ? C. a ? ? , b ? ? , ? / / ?

?x ? 2 ? 8.实数 x , y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,若 z ? kx ? y 的最大值为 13,则实数 k 的值为( ?2 x ? y ? 4 ? 0 ?



第 1 页 共 12 页

A. 2

B.

13 2

C.

9 4

D. 5

9. 已知双曲线 x ?
2

y2 ? 1,点 A(﹣1,0) ,在双曲线上任取两点 P,Q 满足 AP⊥AQ,则直 2
) B.(1,0) C.(﹣3,0) D.(4,0)

线 PQ 恒过定点( A.(3,0)

10. 在实数集 R 中定义一种运算“ ? ” ,对任意 a, b ? R , a ? b 为唯一确定的实数,且具有 性质: (1)对任意 a ? R , a ? 0 ? a ; (2)对任意 a, b ? R , a ? b ? ab ? (a ? 0) ? (b ? 0) . 则函数 f ( x ) ? (e ) ?
x

1 的最小值为 ( ex
C. 6

) D. 8

A. 2

B. 3

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11.已知 tan( ? ?

?

6 1 12. 复数 z ? (其中 i 为虚数单位)的虚部为 2?i

)?

1 ? 1 , tan( ? ? ) ? , 则 tan( ? ? ? ) ? 2 6 3

13. 从 3 男 2 女这 5 位舞蹈选手中,随机(等可能)抽出 2 人参加舞蹈比赛,恰有一名女选 手的概率是 14. 设 F1,F2 是椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 C 交于 A, a 2 b2

2
主视图 左视图

B 两点.若 AB⊥AF2,|AB|:|AF2|=3:4,则椭圆的离心率为 15. 如图所示是一个四棱锥的三视图, 则该几何体的体积为
2

2 2
俯视图

2

? ? x ? x, x ? 1 3 ? 2 16. 已知函数 f ( x ) ? ?log x, x ? 1 ,若对任意的 x ? R ,不等式 f ( x) ? m ? m 恒成 1 4 ? ? 3
立,则实数 m 的取值范围为 17.非零向量 a , b 夹角为 60 0 ,且 | a ? b |? 1 ,则 | a ? b | 的取值范围为

第 2 页 共 12 页

三、解答题:本大题共 5 题,共 72 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 18.(本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 2cos A cos C ? 1 ? 2sin A sin C . (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)若 a ? c ?

3 3 , b ? 3 ,求 ?ABC 的面积. 2

19.(本小题满分 14 分) 如图, 四棱锥 P﹣ABCD, PA⊥ 底面 ABCD, AB∥ CD, AB⊥ AD, AB=AD= CD=2, PA=2, E,F 分别是 PC,PD 的中点. (Ⅰ) 证明:EF∥ 平面 PAB; (Ⅱ) 求直线 AC 与平面 ABEF 所成角的正弦值.

20.(本题满分 14 分) 已 知 {an } 是 等 差 数 列 , 公 差 为 d , 首 项 a1 ? 3 , 前 n 项 和 为 S n . 令

cn ? (?1)n Sn (n ? N? ) , {cn } 的 前 20 项 和 T20 ? 330 . 数 列 {bn } 满 足

bn ? 2(a ? 2)d n?2 ? 2n?1 , a ? R .
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn?1 ? bn , n ? N ,求 a 的取值范围.
?

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21.(本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ?

2 3 x ? 2ax 2 ? 3x . 3

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (3, f (3)) 的切线方程; (Ⅱ)对一切 x ? ?0,??? , af ?( x) ? 4a2 x ? ln x ? 3a ?1 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)当 a ? 0 时,试讨论 f ( x ) 在 (?1,1) 内的极值点的个数.

22.(本小题满分 15 分) 已知圆 C 过定点 A(0, 1) ,圆心 C 在抛物线 x 2 ? 2 y 上, M 、 N 为圆 C 与 x 轴的交 点. (Ⅰ)当圆心 C 是抛物线的顶点时,求抛物线准线被该圆截得的弦长. (Ⅱ)当圆心 C 在抛物线上运动时, MN 是否为一定值?请证明你的结论. (Ⅲ)当圆心 C 在抛物线上运动时,记 AM ? m , AN ? n ,求 出此时圆 C 的方程.

m n ? 的最大值,并求 n m

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浙江省杭州外国语学校 2015 届高三上学期期中考试 数学文科试卷答卷
一、选择题: 1 题号 答案 二、填空题: 11. 14. 17. 考场: 三、解答题: 18.(本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 2cos A cos C ? 1 ? 2sin A sin C . (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)若 a ? c ? 考号: 12. 15. 13. 16.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

3 3 , b ? 3 ,求 ?ABC 的面积. 2

班级:

姓名:

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19. (本小题满分 14 分) 如图, 四棱锥 P﹣ABCD, PA⊥ 底面 ABCD, AB∥ CD, AB⊥ AD, AB=AD= CD=2, PA=2, E,F 分别是 PC,PD 的中点. (Ⅰ) 证明:EF∥ 平面 PAB; (Ⅱ) 求直线 AC 与平面 ABEF 所成角的正弦值.

20.(本小题满分 14 分) 已 知 {an } 是 等 差 数 列 , 公 差 为 d , 首 项 a1 ? 3 , 前 n 项 和 为 S n . 令

cn ? (?1)n Sn (n ? N? ) , {cn } 的 前 20 项 和 T20 ? 330 . 数 列 {bn } 满 足

bn ? 2(a ? 2)d n?2 ? 2n?1 , a ? R .
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn?1 ? bn , n ? N ,求 a 的取值范围.
?

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21.(本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ?

2 3 x ? 2ax 2 ? 3x . 3

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (3, f (3)) 的切线方程; (Ⅱ)对一切 x ? ?0,??? , af ?( x) ? 4a2 x ? ln x ? 3a ?1 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)当 a ? 0 时,试讨论 f ( x ) 在 (?1,1) 内的极值点的个数.

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22. (本小题满分 15 分) 已知圆 C 过定点 A(0, 1) ,圆心 C 在抛物线 x 2 ? 2 y 上, M 、 N 为圆 C 与 x 轴的交 点. (Ⅰ)当圆心 C 是抛物线的顶点时,求抛物线准线被该圆截得的弦长. (Ⅱ)当圆心 C 在抛物线上运动时, MN 是否为一定值?请证明你的结论. (Ⅲ)当圆心 C 在抛物线上运动时,记 AM ? m , AN ? n ,求 出此时圆 C 的方程.

m n ? 的最大值,并求 n m

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浙江省杭州外国语学校 2015 届高三上学期期中考试 数学文科试卷答案
一.选择题:每小题 5 分,共 50 分 题号 答案 1 C 2 A 3 B 4 C 5 D 6 B 7 C 8 C 9 A 10 B

二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11. 1 15. 12. 16.

?

1 5

13.

3 5

14.

5 3

4

1 m? ? or 4

m? 1

17. 1, 3 ?

?

?

三.解答题: 18.解: (Ⅰ)由 2cos A cos C ? 1 ? 2sin A sin C 得:

? 2(cos A cos C ? sin A sin C) ? ?1
1 ? cos( A ? C ) ? ? ,………………………………………………………………………4 分 2 1 ? cos B ? ,又 0 ? B ? ? 2 ? ? B ? ………………………………………………………………………………………7 分 3

a 2 ? c ? b2 1 (Ⅱ)由余弦定理得: cos B ? ? 2ac 2
?
分 又a?c ?

2

(a ? c) 2 ? 2ac ? b 2 1 ? ,………………………………………………………………… 10 2ac 2

3 3 ,b ? 3 2

?

5 27 ? 2ac ? 3 ? ac , ac ? ……………………………………………………………12 分 4 4

1 1 5 3 5 3 ? S?ABC ? ac sin B ? ? ? ? . ……………………………………………14 分 2 2 4 2 16
19.解: 证明: (I)∵ E,F 分别是 PC,PD 的中点 ∴ EF∥ CD 又∵ AB∥ CD, ∴ AB∥ EF, 又∵ EF?平面 PAB,AB?平面 PAB;
第 9 页 共 12 页

∴ EF∥ 平面 PAB; 解: (Ⅱ )取线段 PA 中点 M,连接 EM,则 EM∥ AC 故 AC 与平面 ABEF 所成角等于 ME 与平面 ABEF 所成角的大小 作 MH⊥ AF,垂足为 H,连接 EH ∵ PA⊥ 底面 ABCD, ∴ PA⊥ AB 又∵ AB⊥ AD,PA∩ AD=A ∴ AB⊥ 平面 PAD ∴ EF⊥ 平面 PAD ∵ MH?平面 PAD ∴ EF⊥ MH ∴ MH⊥ 平面 ABEF ∴ ∠ MEH 是 ME 与平面 ABEF 所成角 在 Rt△ EHM 中,EM= AC= ∴ sin∠ MEH= = ,MH=

∴ AC 与平面 ABEF 所成角的正弦为

20. 解: (Ⅰ)设等差数列的公差为 d ,因为 cn ? (?1)n Sn 所以 T20 ? ?S1 ? S2 ? S3 ? S4 ? 则 a2 ? a4 ? a6 ? 则 10(3 ? d ) ?

? S20 ? 330

? a20 ? 330 ……………………………………………………………3 分
解得 d ? 3

10 ? 9 ? 2d ? 330 2

所以 an ? 3 ? 3(n ?1) ? 3n (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 bn ? 2(a ? 2)3

………………………………………………………………7 分
n?2

? 2n?1

bn?1 ? bn ? 2(a ? 2)3n?1 ? 2n ? [2(a ? 2)3n?2 ? 2n?1 ] ? 4(a ? 2)3n?2 ? 2n?1
1 2 ? 4 ? 3n ? 2 [( a ? 2) ? ( ) n ? 2 ] 2 3 1 2 n?2 1 2 ? 0 ? a ? 2 ? ( )n?2 由 bn?1 ? bn ? (a ? 2) ? ( ) 2 3 2 3
第 10 页 共 12 页

…………………………11 分

5 1 2 n?2 1 2 ( ) 随着 n 的增大而增大,所以 n ? 1 时, 2 ? ( ) n ? 2 最小值为 4 2 3 2 3 5 所以 a ? …………………………………………………………………………………14 分 4 2 3 21.解:(Ⅰ) 由题意知 f ( x) ? x ? 3x ,所以 f ?( x) ? 2 x2 ? 3 3
因为 2 ? 又 f (3) ? 9 , f ?(3) ? 15 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (3, f (3)) 的切线方程为 15 x ? y ? 36 ? 0 ………………………5 分

ln x ? 1 2 x2 ln x ? 1 3 ? 2 ln x 设 g ( x) ? ,则 g ?( x ) ? 2 2x 2x3
(Ⅱ)由题意:

2ax 2 ? 1 ? ln x ,即 a ?

当 0 ? x ? e 2 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? e 2 时, g ?( x) ? 0 所以当 x ? e 2 时, g ( x) 取得最大值 g ( x ) max ? 故实数 a 的取值范围为 [
3

3

3

1 4e 3

1 , ??) . 4e 3

……………………………………………………10 分

(Ⅲ) f ?( x) ? 2 x2 ? 4ax ? 3 , f ?( ?1) ? 4( a ? ) , f ?(1) ? ?4( a ?

1 4

1 ) 4

1 ? ? f (?1) ? 4( a ? ) ? 0 ? 1 ? 4 ①当 a ? 时, ∵ ? 4 ? f ' (1) ? ?4(a ? 1 ) ? 0 ? ? 4

∴存在 x0 ? (?1,1), 使得 f ?( x0 ) ? 0

因 为 f ?( x) ? 2x 2 ? 4ax ? 3 开 口 向 上 , 所 以 在 (?1, x0 ) 内 f ?( x) ? 0 , 在 ( x0 ,1) 内

f ?( x) ? 0
故a ?

即 f ( x ) 在 (?1, x0 ) 内是增函数, f ( x ) 在 ( x0 ,1) 内是减函数

1 时, f ( x ) 在 (?1,1) 内有且只有一个极值点, 且是极大值点. ………………12 分 4 1 ? ? f (?1) ? 4( a ? ) ? 0 ? 1 ? 4 ②当 0 ? a ? 时,因 ? 4 ? f ' (1) ? ?4(a ? 1 ) ? 0 ? ? 4
又因为 f ?( x) ? 2x ? 4ax ? 3 开口向上
2

所以在 (?1,1) 内 f ?( x) ? 0, 则 f ( x ) 在 (?1,1) 内为减函数,故没有极值点…………14 分 综上可知:当 a ?

(?1,1) 内的极值点的个数为 0. …………………………………………………………15 分

1 1 , f ( x ) 在 (?1,1) 内的极值点的个数为 1;当 0 ? a ? 时, f ( x ) 在 4 4

第 11 页 共 12 页

22.解: (1)抛物线 x 2 ? 2 y 的顶点为 (0,

1 0) ,准线方程为 y ? ? ,圆的半径等于 1, 2
2

圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1 .弦长 2 1 ? ( ) ? 2 ?

1 2

3 ? 3 ?????????4 分 2

(2)设圆心 C ( a ,

1 2 1 a ) ,则圆 C 的半径 r ? a 2 ? ( a 2 ? 1) 2 , 2 2
2

圆 C 的方程是为: ( x ? a ) ? ( y ?
2 2

1 2 2 1 a ) ? a 2 ? ( a 2 ? 1) 2 ????6 分 2 2

令 y ? 0 ,得 x ? 2ax ? a ? 1 ? 0 ,得 x1 ? a ? 1 , x2 ? a ? 1 ,

? MN ? x2 ? x1 ? 2 是定值.??????8 分
( 3 ) 由 ( 2 ) 知 , 不 妨 设

M (a ? 1, 0)



N (a ? 1, 0)



2 m ? x12 ? 1 ? (a ? 1) 2 ? 1 ? a 2 ? 2 ? 2a , m ? x 2 ? 1 ? (a ? 1) 2 ? 1 ? a 2 ? 2 ? 2a .

m n m2 ? n2 2a 2 ? 4 4a 2 ? ? ? ? 2 1? 4 .??????11 分 n m mn a ?4 a4 ? 4
当 a ? 0 时, 当 a ? 0 时,

m n ? ? 2 .??????12 分 n m

m n m 2 ? n 2 2a 2 ? 4 4a 2 4 ? ? ? ? 2 1? 4 ? 2 1? ?2 2. 4 n m mn a ?4 2 a4 ? 4 a ? 2 a

当且仅当 a ? ? 2 时,等号成立??????????14 分 所 以 当 a?? 2 时 ,

m n ? 取 得 最 大 值 2 2 , 此 时 圆 C 的 方 程 为 n m

( x ? 2 ) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 .????????????15 分

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