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2016-2017学年高中数学苏教版选修2-1学业分层测评3.2.2 空间线面关系的判定 Word版含解析


学业分层测评
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、填空题 4? ? 2 1.若两平面 α,β 的法向量分别为 u=(2,-3,4),ν=?-3,1,-3?,则 α ? ? 与 β 的位置关系是________. 【解析】 【答案】 ∵u=-3ν,∴u∥ν,∴α∥β. 平行

2.若平面 α,β 的法向量分别为(-1,2,4),(x,-1,-2),并且 α⊥β,则 x 的值为________. 【解析】 【答案】 ∵α⊥β,∴-x-2-8=0,∴x=-10. -10

3.在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,O 是 B1D1 的中点,则 B1C 与平面 ODC1 的关系是________. 【导学号:09390084】 → → → → → → → → → → 【解析】 ∵B1C=B1C1+B1B=B1O+OC1+D1O+OD=OC1+OD, ∴B1C, → → OC1,OD共面.又∵B1C 不在平面 ODC1 内,∴B1C∥平面 ODC1. 【答案】 平行

→ → → 4.若AB=λCD + μCE(λ, μ∈ R),则直线 AB 与平面 CDE 的位置关系是 ________. 【解析】 → → → → → → ∵AB=λCD+μCE(λ,μ∈R),∴AB与CD,CE共面,∴AB∥平

面 CDE 或 AB?平面 CDE. 【答案】 AB∥平面 CDE 或 AB?平面 CDE

→ → → → → 5.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC,BP=(x-1,y,-3), 且 BP⊥平面 ABC,则(x,y,z)等于________. → → → → → → 【解析】 AB· BC=3+5-2z=0, 故 z=4.BP· AB=x-1+5y+6=0, 且BP· BC 40 15 =3(x-1)+y-12=0,得 x= 7 ,y=- 7 .

【答案】

15 ? ?40 ? 7 ,- 7 ,4? ? ?

6.如图 3213,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,P 为 A1B1 上任意一点,则 DP 与 BC1 始终________(填“垂直”或“平行”).

图 3213 【解析】 → → → → → → → → → → 因为 DP · C1B= ( DA1 + A1P )· C1B = ( CB1 + A1P )· C1B= CB1 · C1 B +

→ → → → → → → → → → → A1P· C1B=A1P· C1B=A1P· (C1C+CB)=A1P· C1C+A1P· CB=0, → → 所以DP⊥C1B,即 DP 与 BC1 始终垂直. 【答案】 垂直

7.已知点 A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC 的形状是________ 三角形. → → → → → 【解析】 求得AC=(5,1,-7),BC=(2,-3,1),因为AC· BC=0,所以AC → ⊥BC,所以△ABC 是直角三角形. 【答案】 直角

8.如图 3214 所示,在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,AB=2,AA1= 3,AD =2 2, P 为 C1D1 的中点, M 为 BC 的中点, 则 AM 与 PM 的位置关系为________.

图 3214 【解析】 以 D 点为原点,分别以 DA,DC,DD1 所在直线为 x 轴,y 轴,

z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz, 依题意, 可得 D(0,0,0), P(0,1, 3), C(0,2,0),A(2 2,0,0),M( 2,2,0).

→ → ∴PM=( 2,2,0)-(0,1, 3)=( 2,1,- 3),AM=( 2,2,0)-(2 2,0,0) → → → → =(- 2,2,0),∴PM· AM=( 2,1,- 3)· (- 2,2,0)=0,即PM⊥AM,∴AM ⊥PM. 【答案】 二、解答题 9.已知四棱锥 PABCD 的底面是直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90° ,PD⊥ 底面 ABCD, 垂直

图 3215 且 PD=DA=CD=2AB=2,M 点为 PC 的中点. (1)求证:BM∥平面 PAD; (2)在平面 PAD 内找一点 N,使 MN⊥平面 PBD. 【解】 (1)证明:因为 PD⊥底面 ABCD,CD∥AB, CD⊥AD. 所以以 D 为坐标原点,建立空间直角坐标系 Dxyz(如图所示). 由于 PD=CD=DA=2AB=2,所以 D(0,0,0), → → A(2,0,0), B(2,1,0), C(0,2,0), P(0,0,2), M(0,1,1), 所以BM=(-2,0,1), DC=(0,2,0), → → → 因为 DC⊥平面 PAD,所以DC是平面 PAD 的法向量,又因为BM· DC=0,且 BM ?平面 PAD,所以 BM∥平面 PAD.

→ → (2)设 N(x,0,z)是平面 PAD 内一点,则MN=(x,-1,z-1),DP=(0,0,2), 1 ? ?x= , ?2?z-1?=0, → DB=(2,1,0), 若 MN⊥平面 PBD, 则? 即? 2 2 x - 1 = 0 , ? ? ?z=1, ?1 ? 内存在点 N?2,0,1?,使 MN⊥平面 PBD. ? ? 10.如图 3216 所示,在四棱锥 PABCD 中,PC⊥平面 ABCD,PC=2, 在四边形 ABCD 中, ∠B=∠C=90° , AB=4, CD=1, 点 M 在 PB 上, PB=4PM, PB 与平面 ABCD 成 30° 的角.求证:

所以在平面 PAD

图 3216 (1)CM∥平面 PAD; (2)平面 PAB⊥平面 PAD. 【证明】 以 C 为坐标原点,CB 所在直线为 x 轴,

CD 所在直线为 y 轴,CP 所在直线为 z 轴,建立如图所 示的空间直角坐标系 Cxyz. ∵PC⊥平面 ABCD, ∴∠PBC 为 PB 与平面 ABCD 所成的角, ∴∠PBC=30° . ∵PC=2,∴BC=2 3,PB=4, ? 3 3? ∴D(0,1,0),B(2 3,0,0),A(2 3,4,0),P(0,0,2),M? ,0, ?, 2? ?2 → → → ? 3 3? ∴DP=(0,-1,2),DA=(2 3,3,0),CM=? ,0, ?, 2? ?2 (1)法一:令 n=(x,y,z)为平面 PAD 的一个法向量, → ?DP · n=0, 则? → ?DA · n=0,

?-y+2z=0, 即? ?2 3x+3y=0, 1 z=2y, ? ? ∴? 3 ? ?x=- 2 y, 令 y=2,得 n=(- 3,2,1). 3 3 → ∵n· CM=- 3× 2 +2×0+1×2=0, → ∴n⊥CM,又 CM?平面 PAD,∴CM∥平面 PAD. → → 法二:∵PD=(0,1,-2),PA=(2 3,4,-2), → → → 令CM=xPD+yPA, =2 3y, ? ?2 则?0=x+4y, 3 ? ?2=-2x-2y, 3

x=-1, ? ? 方程组有解为? 1 y= , ? ? 4

→ → 1→ → → → ∴CM=-PD+4PA,由共面向量定理知CM与PD,PA共面.又∵CM?平面 PAD,∴CM∥平面 PAD. (2)取 AP 的中点 E,连结 BE,则 E( 3,2,1), → BE=(- 3,2,1), ∵PB=AB,∴BE⊥PA. → → 又∵BE· DA=(- 3,2,1)· (2 3,3,0)=0, → → ∴BE⊥DA,∴BE⊥DA,又 PA∩DA=A, ∴BE⊥平面 PAD.又∵BE?平面 PAB, ∴平面 PAB⊥平面 PAD. [能力提升] 1.空间直角坐标系中,A(1,2,3),B(-2,-1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直 线 AB 与 CD 的位置关系是________________.

【导学号:09390085】 → → → → 【解析】 由题意得,AB=(-3,-3,3),CD=(1,1,-1),∴AB=-3CD, → → → → ∴AB与CD共线.又AB与CD没有公共点.∴AB∥CD. 【答案】 平行

2.如图 3217,四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,PD⊥ 底面 ABCD,且 PD=1,若 E,F 分别为 PB,AD 中点,则直线 EF 与平面 PBC 的位置关系________.

图 3217 【解析】 以 D 为原点,DA,DC,DP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空 1 1? → ? ?1 1 1? ?1 ? 间直角坐标系,则 E?2,2,2?,F?2,0,0?,∴EF=?0,-2,-2?,平面 PBC ? ? ? ? ? ? 1 → → 的一个法向量 n=(0,1,1).∵EF=-2n,∴EF∥n, ∴EF⊥平面 PBC. 【答案】 垂直

3.已知空间两点 A(-1,1,2),B(-3,0,4),直线 l 的方向向量为 a,若|a|=3, 且直线 l 与直线 AB 平行,则 a=________. → → 【解析】 设 a=(x, y, z), ∵AB=(-2, -1,2), 且 l 与 AB 平行, ∴a∥AB, ∴ x y z = =2,∴x=2y,z=-2y. -2 -1

又∵|a|=3,∴|a|2=x2+y2+z2=4y2+y2+4y2=9,∴y=± 1,∴a=(2,1,- 2)或(-2,-1,2). 【答案】 (2,1,-2)或(-2,-1,2)

4. 如图 3218 所示, 在梯形 ABCD 中, AB∥CD, AD=DC=CB=a, ∠ABC =60° ,平面 ACFE⊥平面 ABCD,四边形 ACFE 是矩形,AE=a,点 M 在线段 EF 上.当 EM 为何值时,AM∥平面 BDF?证明你的结论.

图 3218 3 【解】 法一:当 EM= 3 a 时,AM∥平面 BDF,以点 C 为原点,CA,CB, CF 所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系, ? 3a ? 1 则 C(0,0,0),B(0,a,0),A( 3a,0,0),D? ,- a,0?,F(0,0,a),E( 3a,0, 2 ? 2 ? → → → a),因为 AM?平面 BDF,所以 AM∥平面 BDF?AM与FB,FD共面,所以存在实 → → → → → → → 数 m,n,使AM=mFB+nFD,设EM=tEF.因为EF=(- 3a,0,0),EM=(- 3 → → → at,0,0),所以AM=AE+EM=(- 3at,0,a), → ? 3 ? → 1 又FD=? a,- a,-a?,FB=(0,a,-a),从而(- 3at,0,a)=m(0,a, 2 ?2 ? ? 3 ? 1 -a)+n? a,- a,-a? 2 ?2 ? 成立, - 3at= 2 an, ? ? 1 需? 0=ma-2an, ? ?a=-am-an, 3 1 解得 t=3, 3 所以当 EM= 3 a 时,AM∥平面 BDF. 3 法二:当 EM= 3 a 时,AM∥平面 BDF,在梯形 ABCD 中, 设 AC∩BD=N,连结 FN, 则 CN∶NA=1∶2,

3 因为 EM= 3 a, 而 EF=AC= 3a, 所以 EM∶MF=1∶2, 所以 MF 綊 AN,所以四边形 ANFM 是平行四边形,所以 AM∥NF,又因为 NF?平面 BDF,AM?平面 BDF,所以 AM∥平面 BDF.


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