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2011-2013河南高考新课标卷l理科(带解析)


新课标卷 (黑龙江、吉林、河南、宁夏、新疆、山西、海南) 第I卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 (1)复数

2?i 的共轭复数是 1 ? 2i

(A) ? i

3 5

(B) i

3 5

>
(C) ?i

(D) i

(0, +?) (2)下列函数中,既是偶函数又在 单调递增的函数是
(A) y ? x
3

(B) y ? x ?1

(C) y ? ? x ? 1
2

(D) y ? 2

?x

(3)执行右面的程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输出的 p 是 (A)120 (C)1440 (B)720 (D)5040

(4)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的 可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 (A)

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4

(5)已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y ? 2 x 上,则

cos 2? =
(A) ?

4 5

(B) ?

3 5

(C)

3 5

(D)

4 5

(6)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示, 则相应的侧视图可以为

(7)设直线 L 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,L 与 C 交于 A ,B 两点,

AB 为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为
(A) 2 (B) 3 (C)2 (D)3

(8) ? x ?

? ?

a ?? 1? ?? 2 x ? ? 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为 x ?? x?
(B)-20 (C)20 (D)40

5

(A)-40 (9)由曲线 y ? (A)

x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为
(B)4 (C)

10 3

16 3

(D)6

(10)已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 ? ,有下列四个命题

? 2? ? P 1 : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, ? ? 3 ? ? ?? P3 : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, ? ? 3?
其中的真命题是 (A) P 1, P 4 (B) P 1, P 3

? 2? ? P2 : a ? b ? 1 ? ? ? ? ,? ? ? 3 ? ?? ? P4 : a ? b ? 1 ? ? ? ? , ? ? ?3 ?

(C) P2 , P 3

(D) P2 , P4

( 11 )设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ? 0, ? ?

?
2

) 的最小正周期为 ? ,且

f (? x) ? f ( x),则
(A) f ( x ) 在 ? 0,

? ? ? ?

?? ??

? 单调递减 2? ? 单调递增 2?

(B) f ( x ) 在 ?

? ? 3? , ?4 4 ? ? 3? , ?4 4

? ? 单调递减 ? ? ? 单调递增 ?

(C) f ( x ) 在 ? 0, (12)函数 y ? 于 (A)2

(D) f ( x ) 在 ?

1 的图像与函数 y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的图像所有交点的横坐标之和等 x ?1

(B) 4

(C) 6

(D)8

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须

做答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)若变量 x , y 满足约束条件 ?

?3 ? 2 x ? y ? 9, 则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ?6 ? x ? y ? 9,



(14)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1 , F2 在 x 轴上,离心率为

2 。过 F 1 的直线 L 交 C 于 A, B 两点,且 V ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为 2



(15)已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB ? 6, BC ? 2 3 ,则棱 锥 O ? ABCD 的体积为 。 。

(16)在 V ABC 中, B ? 60 , AC ? 3 ,则 AB ? 2 BC 的最大值为 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2 a6 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ...... ? log3 an , 求数列 ? (18)(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四 边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值。
A D P

?1? ? 的前 n 项和. ? bn ?

C B

(19) (本小题满分 12 分) 某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值 大于或等于 102 的产品为优质品,现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各 生产了 100 件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果: A 配方的频数分布表 指标值分 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110]

组 频数 8 20 42 22 8

B 配方的频数分布表 指标值分 [90,94) 组 频数 4 12 42 32 10 [94,98) [98,102) [102,106) [106,110]

(Ⅰ)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (Ⅱ)已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为

? ?2, t ? 94 ? y ? ? 2, 94 ? t ? 102 ? 4, t ? 102 ?
从用 B 配方生产的产品中任取一件,其利润记为 X(单位:元) ,求 X 的分布列及数学 期望.(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的 概率) (20) (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 A(0,-1), B 点在直线 y = -3 上, M 点满足 MB / /OA ,

uuu r

uur

uuu r uu u r uuu r uu r MA ? AB ? MB ? BA ,M 点的轨迹为曲线 C。
(Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处得切线,求 O 点到 l 距离的最小值。

(21) (本小题满分 12 分) 已 知 函 数 f ( x) ?

a ln x b ? , 曲 线 y ? f ( x) 在 点 ( 1 ,f ( 1 处 ) )的 切 线 方 程 为 x ?1 x

x ? 2y ? 3 ? 0 。
(Ⅰ)求 a 、 b 的值; (Ⅱ)如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ?

ln x k ? ,求 k 的取值范围。 x ?1 x

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做答 时请写清题号。

(22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, D , E 分别为 ?ABC 的边 AB , AC 上的点,且不与 ?ABC 的顶点重合。已 知 AE 的长为 n ,AD ,AB 的长是关于 x 的方程 x ? 14 x ? mn ? 0
2

C E A D B

的两个根。 (Ⅰ)证明: C , B , D , E 四点共圆; (Ⅱ)若 ?A ? 90? ,且 m ? 4, n ? 6 ,求 C , B , D , E 所在圆 的半径。

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为

? x ? 2cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? 2 ? 2sin ?
M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2 (Ⅰ)求 C2 的方程 (Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 的交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB .

uu u v

uuuv

?
3

与 C1 的异于极点

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ? a ? 3x ,其中 a ? 0 。 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ?x | x ? ?1

?

,求 a 的值。

2011 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 新课标卷 (黑龙江、吉林、河南、宁夏、新疆、山西)

参考答案 一、选择题 (1)C (7)B (2)B (8)D (3)B (9)C (4)A (10)A (5)B (11)A (6)D (12)D

(1)复数

2?i 的共轭复数是 1 ? 2i

(A) ? i

3 5

(B) i

3 5

(C) ?i

(D) i

解析:

2 ? i (2 ? i )(1 ? 2i ) ? i, 共轭复数为 C = 5 1 ? 2i

(0, +?) (2)下列函数中,既是偶函数又在 单调递增的函数是

(A) y ? x3

(B) y ? x ?1

(C) y ? ? x 2 ? 1

(D) y ? 2? x

解析:由图像知选 B (3)执行右面的程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输出的

p是
(A)120 (B)720 (C)1440 (D)5040 解析:框图表示 an ? n ? an?1 ,且 a1 ? 1 所求 a6 ? 720 选B (4)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加 各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 (A)
1 3

(B)

1 2 3 1 ? 选A 9 3

(C)

2 3

(D)

3 4

解析;每个同学参加的情形都有 3 种, 故两个同学参加一组的情形有 9 种, 而参加同一组 的情形只有 3 种,所求的概率为 p=

(5)已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y ? 2 x 上,则
cos 2? =

解析:由题知 tan ? ? 2 , cos 2? ?

cos2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan 2 ? 3 ? ?? 选B 2 2 2 cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 5
3 5

(A) ?

4 5

(B) ?

(C)

3 5

(D)

4 5

(6)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示, 则相应的侧视图可以为

解析: 条件对应的几何体是由底面棱长为 r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分 与底面为半径为 r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。故选 D (7) 设直线 L 过双曲线 C 的一个焦点, 且与 C 的一条对称轴垂直, L 与 C 交于 A ,B 两点, AB 为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为 (A) 2 解析:通径|AB|= (B) 3 (C)2 (D)3

2b2 ? 2a 得 b2 ? 2a 2 ? a 2 ? c 2 ? 2a 2 ,选 B a
5

a ?? 1? ? (8) ? x ? ?? 2 x ? ? 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为 x ?? x? ?
(A)-40 (B)-20 (C)20 (D)40
1 1 1 1 解析 1.令 x=1 得 a=1.故原式= ( x ? )(2 x ? )5 。 ( x ? )(2 x ? )5 的通项 x x x x

Tr?1 ? C5r (2 x)5?2r (? x ?1 )r ? C5r (?1)r 25?r x5?2r ,由 5-2r=1 得 r=2,对应的常数项=80,
由 5-2r=-1 得 r=3,对应的常数项=-40,故所求的常数项为 40 ,选 D 解析 2.用组合提取法,把原式看做 6 个因式相乘, 若第 1 个括号提出 x,从余 下的 5 个括号中选 2 个提出 x,选 3 个提出 括号中选 2 个提出
1 1 ;若第 1 个括号提出 ,从余下的 x x

1 ,选 3 个提出 x. x 1 1 1 3 3 ( ? )3 ? ? C52 ( ? ) 2 ? C3 (2 X )3 =-40+80=40 故常数项= X ? C52 (2 X ) 2 ? C3 X X X

(9)由曲线 y ? x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为

(A)

10 3

(B)4
4

(C)

16 3

(D)6

2 3 1 16 4 解析;用定积分求解 s ? ? ( x ? x ? 2)dx ? ( x 2 ? x 2 ? 2 x ) |0 ? ,选 C 3 2 3 0
(10)已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 ? ,有下列四个命题

? 2? ? P 1 : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, ? ? 3 ? ? ?? P3 : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, ? ? 3?
其中的真命题是 (A) P 1, P 4 (B) P 1, P 3

? 2? ? P2 : a ? b ? 1 ? ? ? ? ,? ? ? 3 ? ?? ? P4 : a ? b ? 1 ? ? ? ? , ? ? ?3 ?

(C) P2 , P3

(D) P2 , P4

1 解析: a ? b ? a 2 ? b2 ? 2ab cos ? ? 2 ? 2 cos ? ? 1 得, cos ? ? ? , 2

? 2? ? ? ? ?0, ? 3

1 ? 2 2 ? 。由 a ? b ? a ? b ? 2ab cos ? ? 2 ? 2 cos ? ? 1 得 cos ? ? 2 ?

?? ? ? ? ? ? ,? ? 。 选 A ?3 ?

? x ? ? )( ? ? 0,? ? (11 )设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(
且 f (? x) ? f ( x) ,则

?
2

) 的最小正周期为 ? ,

? ?? (A) f ( x) 在 ? 0, ? 单调递减 ? 2? ? ?? (C) f ( x) 在 ? 0, ? 单调递增 ? 2?
解 析 : f ( x )?
?? ?

? ? 3? (B) f ( x) 在 ? , ?4 4 ? ? 3? (D) f ( x) 在 ? , ?4 4

? ? 单调递减 ?

? ? 单调递增 ?

2 s? i n? x(? ?

?
4

) 以 ? ? 2 , 又 f(x) 为 偶 函 数 , ,所

?
4

?

?
2

? k? ? ? ?

?
4

? k? , k ? z ,? f ( x ) ? 2 sin(2 x ?

?
2

) ? 2 cos 2 x ,选 A

(12)函数 y ? 之和等于 (A)2

1 的图像与函数 y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的图像所有交点的横坐标 1? x

(B) 4

(C) 6

(D)8

解析:图像法求解。 y ?

1 的对称中心是(1,0)也是 y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的 x ?1

中心, ?2 ? x ? 4 他们的图像在 x=1 的左侧有 4 个交点,则 x=1 右侧必有 4 个交 点 。 不 妨 把 他 们 的 横 坐 标 由 小 到 大 设 为 x1 , x,2 x, 3 x,4 x,5 x,6 x, , 则 7 x 8 ,所以选 D x1 ? x8 ? x2 ? x7 ? x3 ? x6 ? x4 ? 2x 5 ?
二、填空题 (13)-6

x2 y 2 ? ?1 (14) 16 8

(15) 8 3

(16) 2 7

?3 ? 2 x ? y ? 9, (13)若变量 x, y 满足约束条件 ? 则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ?6 ? x ? y ? 9,
解析:画出区域图知,



?2 x ? y ? 3 当直线 z ? x ? 2 y 过 ? 的交点(4,-5)时, zmin ? ?6 x ? y ? 9 ?
(14)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 轴上,离心率为 那么 C 的方程为

F1 , F2 在 x

2 。过 F1 的直线 L 交 C 于 A, B 两点,且 V ABF2 的周长为 16, 2


?c 2 x2 y2 ? ? ? 1 为所求。 解析:由 ? a 2 得 a=4.c= 2 2 ,从而 b=8,? ? 16 8 ?4a ? 16 ?
(15) 已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上, 且 AB ? 6, BC ? 2 3 , 则棱锥 O ? ABCD 的体积为 。
1 (2 3) 2 ? 62 ? 2 3 , 2

解析:设 ABCD 所在的截面圆的圆心为 M,则 AM=

1 OM= 42 ? (2 3 ) 2 ? 2 , VO ? ABCD ? ? 6 ? 2 3 ? 2 ? 8 3 . 3

(16)在 V ABC 中, B ? 60 , AC ? 3 ,则 AB ? 2 BC 的最大值为 解析: A ? C ? 1200 ? C ? 1200 ? A , A ? (0,1200 ) ,



BC AC ? ? 2 ? BC ? 2sin A sin A sin B

AB AC ? ? 2 ? AB ? 2sin C ? 2sin(1200 ? A) ? 3 cos A ? sin A ; sin C sin B

? AB ? 2 BC ?
三、解答题 (17)解:

3cos A ? 5sin A ? 28 sin( A ? ? ) ? 2 7 sin( A ? ? ) ,故最大值是 2 7

2 3 2 (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a3 所以 q ? ? 9a2a6 得 a3 ? 9a4
2

1 。 9

由条件可知 a>0,故 q ?

1 。 3

由 2a1 ? 3a2 ? 1得 2a1 ? 3a2 q ? 1 ,所以 a1 ? 故数列{an}的通项式为 an=

1 。 3

1 。 3n

(Ⅱ ) bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log3 an

? ?(1 ? 2 ? ... ? n) ?? n(n ? 1) 2



1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1
所以数列 { (18)解: (Ⅰ)因为 ?DAB ? 60?, AB ? 2 AD , 由余弦定理得 BD ? 3 AD 从而 BD +AD = AB ,故 BD ? AD
2 2 2

2n 1 } 的前 n 项和为 ? n ?1 bn

又 PD ? 底面 ABCD,可得 BD ? PD,所以 BD ? 平面 PAD. 故 PA ? BD (Ⅱ)如图,以 D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直 角坐标系 D- xyz ,则 A ?1,0,0 ? , B 0,3, 0 , C ?1, 3, 0 , P ? 0,0,1? 。

?

? ?

?

uu u v uuv uuu v AB ? (?1, 3,0), PB ? (0, 3, ?1), BC ? (?1,0,0)
uu u r 设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z) ,则 {n?PB ? 0, uuu r n? AB ? 0,

z
P

D A x C B y



?x ? 3y ? 0 3y ? z ? 0

因此可取 n= ( 3,1, 3)
r 设平面 PBC 的法向量为 m,则 {m?uuu BC ? 0, uu u r m? PB ? 0,

可取 m=(0,-1, ? 3 )

cos m, n ?

?4 2 7 ?? 7 2 7
? 2 7 7
22 ? 8 =0.3 ,所以用 100

故二面角 A-PB-C 的余弦值为

(19)解(Ⅰ)由试验结果知,用 A 配方生产的产品中优质的平率为 A 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3。 由试验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 方生产的产品的优质品率的估计值为 0.42 (Ⅱ)用 B 配方生产的 100 件产品中,其质量指标值落入区间

32 ? 10 ? 0.42 ,所以用 B 配 100

?90,94? , ?94,102? , ?102,110? 的频率分别为 0.04,,054,0.42,因此
P(X=-2)=0.04, 即 X 的分布列为 X P -2 0.04 2 0.54 4 0.42 P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42,

X 的数学期望值 EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 (20)解:(Ⅰ)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1). 所以 MA =(-x,-1-y), MB =(0,-3-y), AB =(x,-2). 再由题意可知( MA + MB )? AB =0, 即(-x,-4-2y)? (x,-2)=0.

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r uuu r

uuu r

1 2 x -2. 4 1 2 1 ' 1 (Ⅱ)设 P(x 0 ,y 0 )为曲线 C:y= x -2 上一点,因为 y = x,所以 l 的斜率为 x 0 4 2 2 1 2 因此直线 l 的方程为 y ? y0 ? x0 ( x ? x0 ) ,即 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? x0 ? 0 。 2
所以曲线 C 的方程式为 y=

则 O 点到 l 的距离 d ?

2 | 2 y0 ? x0 |

x ?4
2 0

.又 y0 ?

1 2 x0 ? 2 ,所以 4

1 2 x0 ? 4 1 4 2 2 d? ? ( x0 ?4? ) ? 2, 2 2 x0 ? 4 2 x0 ? 4
2 当 x0 =0 时取等号,所以 O 点到 l 距离的最小值为 2.

(21)解: (Ⅰ) f '( x) ?

?(

x ?1 ? ln x) b x ? 2 2 ( x ? 1) x
1 ,且过点 (1,1) , 2

由于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率为 ?

? f (1) ? 1, ?b ? 1, ? ? 故? 1 即 ?a 1 f '(1) ? ? , ? ? b ? ? , ? ? 2 ?2 2
解得 a ? 1 , b ? 1 。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ?

ln x 1 ? ,所以 x ?1 x

f ( x) ? (

ln x k 1 (k ? 1)( x 2 ? 1) ? )? (2ln x ? )。 x ?1 x 1 ? x2 x
(k ? 1)( x 2 ? 1) ( x ? 0) ,则 x

考虑函数 h( x) ? 2ln x ?

(k ? 1)( x 2 ? 1) ? 2 x h '( x) ? 。 x2
(i)设 k ? 0 ,由 h '( x) ?

k ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1)2 知,当 x ? 1 时, h '( x) ? 0 。而 h(1) ? 0 ,故 x2

1 h( x) ? 0 ; 1 ? x2 1 当 x ? (1,+ ? )时,h(x)<0,可得 h(x)>0 1? x2 ln x k ln x k 从而当 x>0,且 x ? 1 时,f(x)-( + )>0,即 f(x)> + . x ?1 x x ?1 x 1 2 ' (ii)设 0<k<1.由于当 x ? (1, )时, (k-1) (x +1)+2x>0,故 h (x)>0,而 1? k 1 1 h(1)=0,故当 x ? (1, )时,h(x)>0,可得 h(x)<0,与题设矛盾。 1? k 1? x2
当 x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,可得

(iii)设 k ? 1.此时 h (x)>0,而 h(1)=0,故当 x ? (1,+ ? )时,h(x)>0,可得
'

1 h(x)<0,与题设矛盾。 1? x2
综合得,k 的取值范围为(- ? ,0]

分析: 新课标数学全国卷的 21 考察函数与导数,是近几年高考难度较大的一道, 考察考生函数与导数的有关知识,考察考生的转化能力、分类讨论思想、数型结 合思想及其二次函数的有关问题,考察考生综合处理问题的能力,对高考的选拔 性功能起到了很好的体现。 另法: (Ⅰ)略 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ?
ln x 1 ? ,所以 x2 ? 1 x

? k ? 1? ? x2 ? 1? ? 1 ? ? ln x k ? ? ? f ( x) ? ? ? ?? 2ln x ? 2 ? x ? x ?1 x ? 1 ? x ? ? ?
考虑函数 h( x) ? 2ln x ?

? k ?1? ? x2 ?1?
x

( x ? 0) ,

则 h?( x) ? 向分类)

? k ?1? ? x2 ? 1? ? 2 x ? k ?1? x2 ? 2x ? ? k ?1? (考察分子二次函数的开口方 ?
x x

h( x ) ? 0 , (ⅰ) 设k ?1 (开口向上) .此时 h?( x) ? 0 ,而 h(1) ? 0 , 故当 x ? (1, ??) 时,

可得

1 h( x) ? 0 ,与题设矛盾。 1 ? x2

(ⅱ)设 k ? 1 (开口向下) ① 当 ? ? 22 ? 4(k ?1)2 ? 0 (即 k ? 0 )
x ? 1 时, h '( x) ? 0 。而 h(1) ? 0 ,故

当 x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,可得

1 h( x) ? 0 ; 1 ? x2 1 当 x ? (1,+ ? )时,h(x)<0,可得 h(x)>0 1? x2 ln x k ln x k 从而当 x>0,且 x ? 1 时,f(x)-( + )>0,即 f(x)> + . x ?1 x x ?1 x

②当 ? ? 22 ? 4(k ?1)2 ? 0 (即 0 ? k ? 1 )

? k ?1? x

2

? 2x ? ? k ?1? ? 0 , x1 ?

1 ? 1 ? ?1 ? k ? 1? k

2

, x2 ?

1 ? 1 ? ?1 ? k ? 1? k

2

又 0 ? x1 ? 1 ? x2 ,所以 x ? (1, x2 )时, (k-1) (x2 +1)+2x>0,故 h?( x) ? 0 ,而 h (1)=0,故当 x ? (1, x2 )时,h(x)>0,可得
1 h(x)<0,与题设矛盾。 1? x2

【或所以 x ? ( x1 ,1)时, (k-1) (x2 +1)+2x >0,故 h?( x) ? 0 ,而 h(1)=0,故 当 x ? ( x1 ,1)时,h(x)<0,可得
1 h(x)<0,与题设矛盾】 。 1? x2

【或又 0 ? x1 ? 1 ? x2 ,所以 x ? (1, x2 )时, (k-1) (x2 +1)+2x>0,故 h?( x) ? 0 , 而 h(1)=0,取 x ? x2 , h( x2 ) ? h(1) ? 0 ,可得 综合得,k 的取值范围为(- ? ,0]
(22)解: (I)连接 DE,根据题意在△ADE 和△ACB 中, AD×AB=mn=AE×AC, 即

1 。 h( x2 ) ? 0 ,与题设矛盾】 2 1 ? x2

C G E A D F

H

AD AE ? .又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB AC AB
因此∠ADE=∠ACB 所以 C,B,D,E 四点共圆。

B

(Ⅱ)m=4, n=6 时,方程 x -14x+mn=0 的两根为 x1=2,x2=12. 故 AD=2,AB=12.

2

取 CE 的中点 G,DB 的中点 F,分别过 G,F 作 AC,AB 的垂线,两垂线相交于 H 点,连接 DH.因为 C,B,D,E 四点共圆,所以 C,B,D,E 四点所在圆的圆心为 H,半径为 DH. 由于∠A=90 ,故 GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5,DF= 故 C,B,D,E 四点所在圆的半径为 5 2 (23)解: (I)设 P(x,y),则由条件知 M(
0

1 (12-2)=5. 2

X Y , ).由于 M 点在 C1 上,所以 2 2

? x ? 2 cos ? ? ? 2 ? ? y ? 2 ? 2sin ? ? ?2
从而 C 2 的参数方程为



? x ? 4cos ? ? ? y ? 4 ? 4sin ?

? x ? 4cos ? ( ? 为参数) ? y ? 4 ? 4sin ? ?
(Ⅱ)曲线 C 1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? 。 射线 ? ? 射线 ? ?

? ?
3 3

与 C 1 的交点 A 的极径为 ? 1 ? 4sin 与 C 2 的交点 B 的极径为 ? 2 ? 8sin

?
3

, 。

?
3

所以 | AB |?| ? 2 ? ?1 |? 2 3 . (24)解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 2 可化为

| x ?1|? 2 。
由此可得

x ? 3 或 x ? ?1 。

故不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集为

{x | x ? 3 或 x ? ?1} 。
( Ⅱ) 由 f ( x) ? 0 得 x ? a ? 3x ? 0 此不等式化为不等式组

?x ? a ? ? x ? a ? 3x ? 0
?x ? a ? 即 ? a x? ? ? 4

或?

?x ? a ?a ? x ? 3 x ? 0

?x ? a ? 或? a a?? ? ? 2
a 2

因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ? x | x ? ? 由题设可得 ?

?

a = ?1 ,故 a ? 2 2

绝密*启用前

2012 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标) 理科数学
第一卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给同的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 (1)已知集合 A ? {1, 2,3, 4,5} , B ? {( x, y) x ? A, y ? A, x ? y ? A} ;,则 B 中所含元素 的个数为( )

( A) 3

( B) 6

(C ) ?

( D) ??

(2)将 2 名教师, 4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动, 每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有( )

( A) 12 种

( B ) 10 种

(C ) ? 种

( D) ? 种

(3)下面是关于复数 z ?

2 的四个命题:其中的真命题为( ?1 ? i



p1 : z ? 2
( A) p2 , p3

p2 : z 2 ? 2i
( B ) p1 , p2

p3 : z 的共轭复数为 1 ? i
(C ) p? , p?

p4 : z 的虚部为 ?1
( D) p? , p?

(4)设 F1F2 是椭圆 E :

x2 y 2 3a ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为直线 x ? 上一点, 2 2 a b


? F2 PF1 是底角为 30 的等腰三角形,则 E 的离心率为(

( A)

1 2

( B)

2 3

(C )

? ?

( D)

? ?


(5)已知 ?an 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? (

?

( A) 7

( B) 5

(C ) ??

( D) ??

(6)如果执行右边的程序框图,输入正整数 N ( N ? 2) 和 实数 a1 , a2 ,..., an ,输出 A, B ,则( )

( A) A ? B 为 a1 , a2 ,..., an 的和

( B)

A? B 为 a1 , a2 ,..., an 的算术平均数 2

(C ) A 和 B 分别是 a1 , a2 ,..., an 中最大的数和最小的数 ( D) A 和 B 分别是 a1 , a2 ,..., an 中最小的数和最大的数

(7)如图,网格纸上小正方形的边长为 1 ,粗线画出的 是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )

( A) 6

( B) 9

(C ) ??

( D) ??

(8)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y ? 16x 的准线交于 A, B
2

两点, AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为(



( A) 2

( B) 2 2

(C ) ?

( D) ?

(9) 已知 ? ? 0 , 函数 f ( x) ? sin(? x ?

1 5 ( A) [ , ] 2 4
(10)

) 在 ( , ? ) 上单调递减。 则 ? 的取值范围是 ( 2 4 1 1 3 ( B) [ , ] (C ) (0, ] ( D) (0, 2] 2 2 4
已 知 函 数 f ( x) ?

?

?



1 ;则 ln( x ? 1) ? x


y ? f ( x) 的图像大致为(

(11)已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上,?ABC 是边长为 1 的正三角形, SC 为球 O 的直径,且 SC ? 2 ;则此棱锥的体积为( )

( A)

2 6

( B)

3 6

(C )

2 3

( D)

2 2


(12)设点 P 在曲线 y ?

1 x e 上,点 Q 在曲线 y ? ln(2 x) 上,则 PQ 最小值为( 2

( A) 1 ? ln 2

( B)

2(1 ? ln 2)

(C ) 1 ? ln 2

( D) 2(1 ? ln 2)

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 作答,第 22-第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)已知向量 a, b 夹角为 45 ,且 a ? 1, 2a ? b ? 10 ;则 b ? _____
?

? x, y ? 0 ? (14) 设 x , y 满足约束条件: ? x ? y ? ?1 ;则 z ? x ? 2 y 的取值范围为 ? x? y ?3 ?
(15)某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,且元件 3 正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从 正态分布 N (1000,50 ) ,且各个元件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命 超过 1000 小时的概率为
2

(16)数列 {a n } 满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 ,则 {a n } 的前 60 项和为 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 (1)求 A (2)若 a ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ;求 b, c 。

(18) (本小题满分 12 分) 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售, 如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理。 (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y (单位:元)关于当天需求量 n (单位:枝, n ? N )的函数解析式。 (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表:

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。 (i)若花店一天购进 16 枝玫瑰花, X 表示当天的利润(单位:元) ,求 X 的分布列, 数学期望及方差; (ii)若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝? 请说明理由。

(19) (本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, AC ? BC ?

1 AA1 , 2

D 是棱 AA1 的中点, DC1 ? BD

(1)证明: DC1 ? BC (2)求二面角 A1 ? BD ? C1 的大小。

(20) (本小题满分 12 分) 设抛物线 C : x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l , A ? C ,已知以 F 为圆心,

FA 为半径的圆 F 交 l 于 B, D 两点;
0 (1)若 ?BFD ? 90 , ?ABD 的面积为 4 2 ;求 p 的值及圆 F 的方程;

(2)若 A, B, F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点, 求坐标原点到 m, n 距离的比值。

(21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) 满足满足 f ( x) ? f ?(1)e (1)求 f ( x ) 的解析式及单调区间; (2)若 f ( x) ?
x ?1

? f (0) x ?

1 2 x ; 2

1 2 x ? ax ? b ,求 (a ? 1)b 的最大值。 2

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写 清题号。 (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, D, E 分别为 ?ABC 边 AB, AC 的中点,直线 DE 交

?ABC 的外接圆于 F , G 两点,若 CF / / AB ,证明:
(1) CD ? BC ; (2) ?BCD ?GBD

(23)本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程是 ?

?x ? 2cos? (?为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴 ?y ? 3sin?

为极轴建立坐标系,曲线 C 2 的坐标系方程是 ? ? 2 ,正方形 ABCD 的顶点都在 C 2 上, 且 A, B, C , D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 (2, (1)求点 A, B, C , D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求 PA ? PB ? PC ? PD 的取值范围。
2 2 2 2

?
3

)

(24) (本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 (1)当 a ? ?3 时,求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (2)若 f ( x) ? x ? 4 的解集包含 [1, 2] ,求 a 的取值范围。

一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给同的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 (1)已知集合 A ? {1, 2,3, 4,5} , B ? {( x, y) x ? A, y ? A, x ? y ? A} ;,则 B 中所含元素 的个数为( )

( A) 3
【解析】选 D

( B) 6

(C ) ?

( D) ??

x ? 5, y ? 1, 2,3, 4 , x ? 4, y ? 1, 2,3 , x ? 3, y ? 1, 2 , x ? 2, y ? 1共 10 个
(2)将 2 名教师, 4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动, 每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有( )

( A) 12 种
【解析】选 A

( B ) 10 种

(C ) ? 种

( D) ? 种

1 2 甲地由 1 名教师和 2 名学生: C2 C4 ? 12 种

(3)下面是关于复数 z ?

2 的四个命题:其中的真命题为( ?1 ? i



p1 : z ? 2
( A) p2 , p3
【解析】选 C

p2 : z 2 ? 2i
( B ) p1 , p2

p3 : z 的共轭复数为 1 ? i
(C ) p? , p?

p4 : z 的虚部为 ?1
( D) p? , p?

z?

2 2(?1 ? i) ? ? ?1 ? i ?1 ? i (?1 ? i)(?1 ? i)

p1 : z ? 2 , p2 : z 2 ? 2i , p3 : z 的共轭复数为 ?1 ? i , p4 : z 的虚部为 ?1

(4)设 F1F2 是椭圆 E :

x2 y 2 3a ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为直线 x ? 上一点, 2 2 a b


? F2 PF1 是底角为 30 的等腰三角形,则 E 的离心率为(

( A)

1 2

( B)

2 3

(C )

? ?

( D)

? ?

【解析】选 C

3 c 3 ? F2 PF1 是底角为 30 的等腰三角形 ? PF2 ? F2 F1 ? 2( a ? c) ? 2c ? e ? ? 2 a 4
(5)已知 ?an 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? (

?



( A) 7
【解析】选 D

( B) 5

(C ) ??

( D) ??

a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? a4a7 ? ?8 ? a4 ? 4, a7 ? ?2 或 a4 ? ?2, a7 ? 4 a4 ? 4, a7 ? ?2 ? a1 ? ?8, a10 ? 1 ? a1 ? a10 ? ?7 a4 ? ?2, a7 ? 4 ? a10 ? ?8, a1 ? 1 ? a1 ? a10 ? ?7
(6)如果执行右边的程序框图,输入正整数 N ( N ? 2) 和 实数 a1 , a2 ,..., an ,输出 A, B ,则( )

( A) A ? B 为 a1 , a2 ,..., an 的和

( B)

A? B 为 a1 , a2 ,..., an 的算术平均数 2

(C ) A 和 B 分别是 a1 , a2 ,..., an 中最大的数和最小的数 ( D) A 和 B 分别是 a1 , a2 ,..., an 中最小的数和最大的数
【解析】选 C

(7)如图,网格纸上小正方形的边长为 1 ,粗线画出的 是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )

( A) 6

( B) 9

(C ) ??

( D) ??

【解析】选 B 该几何体是三棱锥,底面是俯视图,高为 3 此几何体的体积为 V ?

1 1 ? ? 6 ? 3? 3 ? 9 3 2

(8)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y 2 ? 16x 的准线交于 A, B 两点, AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为( )

( A) 2
【解析】选 C

( B) 2 2

(C ) ?

( D) ?

设 C : x2 ? y 2 ? a2 (a ? 0) 交 y 2 ? 16x 的准线 l : x ? ?4 于 A(?4, 2 3) B(?4, ?2 3) 得: a2 ? (?4)2 ? (2 3)2 ? 4 ? a ? 2 ? 2a ? 4

(9) 已知 ? ? 0 , 函数 f ( x) ? sin(? x ?

1 5 ( A) [ , ] 2 4 【解析】选 A 4

) 在 ( , ? ) 上单调递减。 则 ? 的取值范围是 ( 2 4 1 1 3 ( B) [ , ] (C ) (0, ] ( D) (0, 2] 2 2 4

?

?



? 5? 9? ? ? 2 ? (? x ? ) ? [ , ] 不合题意 排除 ( D)

4 4 3? 5? ? ? 1 ? (? x ? ) ? [ , ] 合题意 排除 ( B)(C ) 4 4 4

?

另: ? (? ?

? ? ? ? ? 3? ) ? ? ? ? ? 2 , (? x ? ) ? [ ? ? , ?? ? ] ? [ , ] 2 4 2 4 4 2 2 ? ? ? ? 3? 1 5 ? ?? ? 得: ? ? ? , ?? ? ? 2 4 2 4 2 2 4
?

(10) 已知函数 f ( x) ?

1 ;则 y ? f ( x) 的图像大致为( ln( x ? 1) ? x



【解析】选 B

x g ( x)? l n (? 1 x ?) x ? ? g x ( ? )? 1? x ? g ?( x)? 0 ?? ? 1 x ? 0 ?g , x ( ? ) ?0 ?x ? 0 g ?x( ) g ? (0)
得: x ? 0 或 ?1 ? x ? 0 均有 f ( x) ? 0 排除 A, C , D

0

(11)已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上,?ABC 是边长为 1 的正三角形, SC 为球 O 的直径,且 SC ? 2 ;则此棱锥的体积为( )

( A)

2 6

( B)

3 6

(C )

2 3

( D)

2 2

【解析】选 A

?ABC 的外接圆的半径 r ?

3 6 2 2 ,点 O 到面 ABC 的距离 d ? R ? r ? 3 3 2 6 3

SC 为球 O 的直径 ? 点 S 到面 ABC 的距离为 2d ?

此棱锥的体积为 V ?

1 1 3 2 6 2 S?ABC ? 2d ? ? ? ? 3 3 4 3 6

另: V ?

1 3 S?ABC ? 2 R ? 排除 B, C , D 3 6

(12)设点 P 在曲线 y ?

1 x e 上,点 Q 在曲线 y ? ln(2 x) 上,则 PQ 最小值为( 2



( A) 1 ? ln 2
【解析】选 A 函数 y ?

( B)

2(1 ? ln 2)

(C ) 1 ? ln 2

( D) 2(1 ? ln 2)

1 x e 与函数 y ? ln(2 x) 互为反函数,图象关于 y ? x 对称 2

1 x e ?x 1 x 1 x 2 函数 y ? e 上的点 P ( x, e ) 到直线 y ? x 的距离为 d ? 2 2 2
设函数 g ( x) ?

1 x 1 1 ? ln 2 e ? x ? g ?( x) ? e x ? 1 ? g ( x) min ? 1 ? ln 2 ? d min ? 2 2 2

由图象关于 y ? x 对称得: PQ 最小值为 2dmin ? 2(1 ? ln 2)

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答, 第 22-第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)已知向量 a, b 夹角为 45 ,且 a ? 1, 2a ? b ? 10 ;则 b ? _____ 【解析】 b ? _____ 3 2
?

2a ? b ? 10 ? (2a ? b)2 ? 10 ? 4 ? b ? 4 b cos 45? ? 10 ? b ? 3 2
? x, y ? 0 ? (14) 设 x , y 满足约束条件: ? x ? y ? ?1 ;则 z ? x ? 2 y 的取值范围为 ? x? y ?3 ?
【解析】 z ? x ? 2 y 的取值范围为

2

[?3,3]

约束条件对应四边形 OABC 边际及内的区域: O(0,0), A(0,1), B(1, 2), C (3,0) 则 z ? x ? 2 y ?[?3,3]

(15)某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,且元件 3 正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从 正态分布 N (1000,502 ) ,且各个元件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命 超过 1000 小时的概率为

【解析】使用寿命超过 1000 小时的概率为

3 8

三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 N (1000,502 ) 得:三个电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 p ?

1 2
2

超过 1000 小时时元件 1 或元件 2 正常工作的概率 P 1 ? 1 ? (1 ? p ) ? 那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 p2 ? p1 ? p ? (16)数列 {a n } 满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 ,则 {a n } 的前 60 项和为 【解析】 {a n } 的前 60 项和为

3 4

3 8

1830

可证明: bn?1 ? a4n?1 ? a4n?2 ? a4n?3 ? a4n?4 ? a4n?3 ? a4n?2 ? a4n?2 ? a4n ? 16 ? bn ? 16

b1 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 1 ?0

1 5? 1 4 ? S1 5 1 ?0 1 ?5 ? 2

1 ?6 ? 1830

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 (1)求 A (2)若 a ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ;求 b, c 。

【解析】 (1)由正弦定理得:

a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 ? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin B ? sin C
? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin(a ? C ) ? sin C ? 3 sin A ? cos A ? 1 ? sin( A ? 30? ) ? ? A ? 30? ? 30? ? A ? 60? 1 2

(2) S ?

1 bc sin A ? 3 ? bc ? 4 2

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? b ? c ? 4
解得: b ? c ? 2 (l fx lby) 18.(本小题满分 12 分) 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售, 如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理。 (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y (单位:元)关于当天需求量 n (单位:枝, n ? N )的函数解析式。 (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表:

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。 (i)若花店一天购进 16 枝玫瑰花, X 表示当天的利润(单位:元) ,求 X 的分布列, 数学期望及方差; (ii)若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝? 请说明理由。 【解析】 (1)当 n ? 16 时, y ? 16 ? (10 ? 5) ? 80 当 n ? 15 时, y ? 5n ? 5(16 ? n) ? 10n ? 80 得: y ? ?

?10n ? 80( n ? 15) (n ? N ) (n ? 16) ?80

(2) (i) X 可取 60 , 70 , 80

P( X ? 60) ? 0.1, P( X ? 70) ? 0.2, P( X ? 80) ? 0.7
X 的分布列为

X
P

60

70

80

0.1

0.2

0.7

EX ? 60 ? 0.1 ? 70 ? 0.2 ? 80 ? 0.7 ? 76

DX ? 162 ? 0.1 ? 62 ? 0.2 ? 42 ? 0.7 ? 44
(ii)购进 17 枝时,当天的利润为

y ? (14 ? 5 ? 3 ? 5) ? 0.1 ? (15 ? 5 ? 2 ? 5) ? 0.2 ? (16 ? 5 ?1? 5) ? 0.16 ? 17 ? 5 ? 0.54 ? 76.4
76.4 ? 76 得:应购进 17 枝

(19) (本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, AC ? BC ?

1 AA1 , 2

D 是棱 AA1 的中点, DC1 ? BD
(1)证明: DC1 ? BC (2)求二面角 A1 ? BD ? C1 的大小。 【解析】 (1)在 Rt ?DAC 中, AD ? AC 得: ?ADC ? 45
?

? ? 同理: ?A 1DC1 ? 45 ? ?CDC 1 ? 90

得: DC1 ? DC , DC1 ? BD ? DC1 ? 面 BCD ? DC1 ? BC (2) DC1 ? BC, CC1 ? BC ? BC ? 面 ACC1 A 1 ? BC ? AC 取 A1B1 的中点 O ,过点 O 作 OH ? BD 于点 H ,连接 C1O, C1H

A1 C1 ? B1 C1? C1 O ? O H? B D ? 1C H ?

,面 A B 1 1 A 1B 1C1 ? 面 A 1BD ? C1O ? 面 A 1BD

H 与点 D 重合 B得:点 D

且 ?C1DO 是二面角 A1 ? BD ? C1 的平面角 设 AC ? a ,则 C1O ?

2a , C1D ? 2a ? 2C1O ? ?C1DO ? 30? 2
?

既二面角 A1 ? BD ? C1 的大小为 30 (20) (本小题满分 12 分)

设抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l , A ? C ,已知以 F 为圆心,
2

FA 为半径的圆 F 交 l 于 B, D 两点;
0 (1)若 ?BFD ? 90 , ?ABD 的面积为 4 2 ;求 p 的值及圆 F 的方程;

(2)若 A, B, F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点, 求坐标原点到 m, n 距离的比值。

【解析】 (1)由对称性知: ?BFD 是等腰直角 ? ,斜边 BD ? 2 p

点 A 到准线 l 的距离 d ? FA ? FB ? 2 p
S?ABD ? 4 2 ? 1 ? BD ? d ? 4 2 ? p ? 2 2

圆 F 的方程为 x2 ? ( y ? 1)2 ? 8 (2)由对称性设 A( x0 ,
2 p x0 )( x0 ? 0) ,则 F (0, ) 2 2p 2 x0 x2 p 2 ) ? p ? 0 ? ? ? x0 ? 3 p2 2p 2p 2

点 A, B 关于点 F 对称得: B(? x0 , p ?

3p p ? p 3p 3p ?0 ) ,直线 m : y ? 2 2 x ? ? x ? 3 y ? 得: A( 3 p, 2 2 2 3p

3p p x2 x 3 3 , ) x ? 2 py ? y ? ? y? ? ? ?x? p ? 切点 P( 3 6 2p p 3 3
2

直线 n : y ?

p 3 3p 3 ? (x ? ) ? x ? 3y ? p?0 6 3 3 6 3p 3p : ? 3 。(lfx lby) 2 6

坐标原点到 m, n 距离的比值为

(21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) 满足满足 f ( x) ? f ?(1)e (1)求 f ( x ) 的解析式及单调区间;
x ?1

? f (0) x ?

1 2 x ; 2

1 2 x ? ax ? b ,求 (a ? 1)b 的最大值。 2 1 2 x ?1 x ?1 【解析】 (1) f ( x) ? f ?(1)e ? f (0) x ? x ? f ?( x) ? f ?(1)e ? f (0) ? x 2
(2)若 f ( x) ? 令 x ? 1 得: f (0) ? 1

f ( x) ? f ?(1)e x ?1 ? x ?
得: f ( x) ? e ? x ?
x

1 2 x ? f (0) ? f ?(1)e ?1 ? 1 ? f ?(1) ? e 2

1 2 x ? g ( x) ? f ?( x) ? e x ?1 ? x 2

g?( x) ? ex ? 1 ? 0 ? y ? g ( x) 在 x ? R 上单调递增
f ?( x) ? 0 ? f ?(0) ? x ? 0, f ?( x) ? 0 ? f ?(0) ? x ? 0
得: f ( x ) 的解析式为 f ( x ) ? e ? x ?
x

1 2 x 2

且单调递增区间为 (0, ??) ,单调递减区间为 ( ??, 0) (2) f ( x) ?

1 2 x ? ax ? b ? h( x) ? e x ? (a ? 1) x ? b ? 0 得 h?( x) ? ex ? (a ? 1) 2

①当 a ? 1 ? 0 时, h?( x) ? 0 ? y ? h( x) 在 x ? R 上单调递增

x ??? 时, h( x) ? ?? 与 h( x) ? 0 矛盾
②当 a ? 1 ? 0 时, h?( x) ? 0 ? x ? ln(a ? 1), h?( x) ? 0 ? x ? ln(a ? 1) 得:当 x ? ln(a ? 1) 时, h( x)min ? (a ? 1) ? (a ? 1)ln(a ? 1) ? b ? 0

(a ? 1)b ? (a ? 1)2 ? (a ? 1)2 ln(a ?1)(a ?1 ? 0)
令 F ( x) ? x2 ? x2 ln x( x ? 0) ;则 F ?( x) ? x(1 ? 2ln x)

F ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? e , F ?( x) ? 0 ? x ? e
当x?

e 时, F ( x ) max ?

e 2
e 2

当 a ? e ?1, b ? e 时, (a ? 1)b 的最大值为

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分, 做答时请写清题号。 (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, D, E 分别为 ?ABC 边 AB, AC 的中点,直线 DE 交

?ABC 的外接圆于 F , G 两点,若 CF / / AB ,证明:
(1) CD ? BC ; (2) ?BCD ?GBD 【解析】 (1) CF / / AB , DF / / BC ? CF / /BD/ / AD ? CD ? BF

CF / / AB ? AF ? BC ? BC ? CD (2) BC / /GF ? BG ? FC ? BD BC / /GF ? ?GDE ? ?BGD ? ?DBC ? ?BDC ? ?BCD

?GBD

(23)本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程是 ?

?x ? 2cos? (?为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴 ?y ? 3sin?

为极轴建立坐标系,曲线 C 2 的坐标系方程是 ? ? 2 ,正方形 ABCD 的顶点都在 C 2 上, 且 A, B, C , D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 (2, (1)求点 A, B, C , D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求 PA ? PB ? PC ? PD 的取值范围。 【解析】 (1)点 A, B, C , D 的极坐标为 (2,
2 2 2 2

?
3

)

?
3

), (2,

5? 4? 11? ), (2, ), (2, ) 6 3 6

点 A, B, C , D 的直角坐标为 (1, 3),(? 3,1),(?1, ? 3),( 3, ?1) (2)设 P( x0 , y0 ) ;则 ?
2 2

? x0 ? 2cos? (?为参数) ? y0 ? 3sin?
2 2

t ? PA ? PB ? PC ? PD ? 4 x 2 ? 4 y 2 ? 40

? 56 ? 20sin 2 ? ?[56,76] (lfxlby)
(24) (本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 (1)当 a ? ?3 时,求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (2)若 f ( x) ? x ? 4 的解集包含 [1, 2] ,求 a 的取值范围。 【解析】 (1)当 a ? ?3 时, f ( x) ? 3 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3

x?2 x?3 ? ? 2? x?3 ? 或? ? 或? ? ?? ?3 ? x ? 2 ? x ? 3 ?3 ? x ? x ? 2 ? 3 ?x ? 3 ? x ? 2 ? 3
? x ? 1或 x ? 4
(2)原命题 ? f ( x) ? x ? 4 在 [1, 2] 上恒成立

? x ? a ? 2 ? x ? 4 ? x 在 [1, 2] 上恒成立
? ?2 ? x ? a ? 2 ? x 在 [1, 2] 上恒成立
? ?3 ? a ? 0

2013 年普通高等学校招生全国统一考试

理 科 数 学
(新课标 I 卷)使用省份:河北、河南、山西、陕西
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己 的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符 合题目要求的.
2 (1)已知集合 A ? ?x x ? 2 x ? 0? , B ? ?x ? 5 ? x ? 5 ,则

?

(A) A ? B ? ?

(B) A ? B ? R

(C) B ? A

(D) A ? B

(2)若复数 z 满足 ?3 ? 4i?z ? 4 ? 3i (A) ? 4 (B) ?

4 5

(C)4

(D)

4 5

(3) 为了解某地区中小学生的视力情况, 拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查, 事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男 女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 (A)简单的随机抽样 (C)按学段分层抽样 (4)已知双曲线 C : (A) y ? ? (B)按性别分层抽样 (D)系统抽样

x2 y2 5 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为 2 a b 2
(B) y ? ?

1 x 4

1 x 3

(C) y ? ?

1 x 2

(D) y ? ? x

(5)执行右面的程序框图,如果输入的 t ? ?? 1 , 3? ,则输出的

s 属于
(A) ?? 3, 4? (B) ?? 5, 2? (C) ?? 4, 3? (D) ?? 2, 5?

(6) 如图, 有一个水平放置的透明无盖的正方体容器, 容器高 8 cm, 将一个球放在容器口,再向容器注水,当球面恰好接触水面时 测得水深为 6 cm,如不计容器的厚度,则球的体积为

500 π 3 cm 3 1372 π cm 3 (C) 3
(A)

866 π 3 cm 3 2048 π 3 cm (D) 3
(B)

(7)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 Sm?1 ? ?2 , S m ? 0 , Sm?1 ? 3 ,则 m ? (A)3 (B)4 (C)5 (D)6

(8)某几何体的三视图如图所示,则该几 何体的体积为 (A) 16 ? 8π (B) 8 ? 8π (C) 16 ? 16 π (D) 8 ? 16 π

(9)设 m 为正整数, ?x ? y ? 展开式的二项式系数的最大值为 a , ?x ? y ?
2m

2 m?1

展开式的二

项式系数的最大值为 b ,若 13a ? 7b ,则 m = (A)5 (B)6 (C)7 (D)8

x2 y 2 (10)已知椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (3,0) , 过点 F 的直线交椭圆 E 于 a b

A 、 B 两点。若 AB 的中点坐标为 (1, ? 1) ,则 E 的方程为
(A)

x2 y2 ? ?1 45 36

(B)

x2 y2 ? ?1 36 27 x2 y2 ? ?1 18 9

(C)

x2 y2 ? ?1 27 18

(D)

(11)已知函数 f ( x) ? ?

?? x 2 ? 2 x,? 0 ?ln( x ? 1), x>0

,若 f ( x) ? ax ,则 a 的取值范围是

(A) ?? ?, 0?

(B) ?? ?, 1?

(C) ?? 2, 1?

(D) ?? 2, 0?

(12)设 △ An BnCn 的三边长分别为 an , bn , cn , △ An BnCn 的面积为 Sn , n ? 1,2,3 …… 若 b1 > c1 , b1 ? c1 ? 2a1 , an?1 ? an , bn ?1 ? (A) ?Sn ? 为递减数列 (B) ?Sn ? 为递增数列 (C) ?S2 n?1? 为递增数列, ?S 2 n ? 为递减数列 (D) ?S2 n?1? 为递减数列, ?S 2 n ? 为递增数列

cn ? a n b ? an , cn ?1 ? n ,则 2 2

第Ⅱ 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作 答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生依据要求作答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)已知两个单位向量 a , b 的夹角为 60° , c ? ta ? (1 ? t )b .若 b ? c =0,则

t =____________.
( 14 ) 若 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 S n ?

2 1 an ? , 则 数 列 ?an ? 的 通 项 公 式 是 3 3

an =____________.
(15)设当 x ? θ 时,函数 f ( x) ? sin x ? 2 cos x 取得最大值,则 cos ? =____________. (16)若函数 f ( x) ? (1 ? x 2 )(x 2 ? ax ? b) 的图像关于直线 x ? ?2 对称,则 f ( x) 的最大值 为____________.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 如图,在 △ ABC 中, ?ABC =90° , AB ? 3 , BC ? 1 ,

P 为 △ ABC 内一点, ?BPC =90°
(Ⅰ)若 PB ?

C

1 ,求 PA ; 2

P A B

(Ⅱ)若 ?APB =150° ,求 tan ?PBA .

(18) (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, CA ? CB , AB ? AA . 1 , ?BAA 1 =60° (Ⅰ)证明 AB ⊥ A1C ;

C

C1

B A
A1

B1

(Ⅱ)若平面 ABC ⊥平面 AA 1C 与平面 BB 1B 1 B , AB ? CB ,求直线 A 1C1C 所成角的正 弦值。

(19) (本小题满分 12 分) 一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取 4 件作检验,这 4 件产 品中优质品的件数记为 n .如果 n ? 3 ,再从这批产品中任取 4 件作检验,若都为优质品,则 这批产品通过检验;如果 n ? 4 ,再从这批产品中任取 1 件作检验,若为优质品,则这批产 品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验. 假设这批产品的优质品率为 50%,即取出的产品是优质品的概率都为 是否为优质品相互独立. (Ⅰ)求这批产品通过检验的概率; (Ⅱ)已知每件产品检验费用为 100 元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作 质量检验所需的费用记为 X (单位:元) ,求 X 的分布列及数学期望。

1 ,且各件产品 2

(20) (本小题满分 12 分) 已知圆 M :( x ? 1) ? y ? 1 , 圆 N :( x ? 1) ? y ? 9 , 动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N
2 2 2 2

内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C . (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ) l 是与圆 P ,圆 M 都相切的一条直线, l 与曲线 C 交于 A , B 两点,当圆 P 的 半径最长时,求 AB .

(21) (本小题满分 12 分)
2 x 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? b , g ( x) ? e (cx ? d ) 若曲线 y ? f ( x) 和曲线 y ? g ( x) 都

过点 P(0,2) ,且在点 P 处有相同的切线 y ? 4 x ? 2 . (Ⅰ)求 a , b , c , d 的值; (Ⅱ)若 x ? -2 时, f ( x) ? kg( x) ,求 k 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 题中任选一道作答,并用 2B 铅笔将答题卡上所选的题目对应的题 号右侧方框涂黑,按所涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分,不涂,按本 选考题的首题进行评分. (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B ,点 C 在圆上, ∠ ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E , DB 垂直 BE 交圆于

D

B

D.
(Ⅰ)证明: DB ? DC ; (Ⅱ)设圆的半径为 1, BC ? 3 ,延长 CE 交 AB 于 点 F ,求 △BCF 外接圆的半径.

E
C

A

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程式 ?

? x ? 4 ? 5 cost ( t 为参数) ,以坐标原点为极点,以坐标原 ? y ? 5 ? 5 sin t

点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2 sin ? . (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标( ? ? 0 , 0 ? ? ? 2 π )

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2x ?1 ? 2x ? a , g ( x) ? x ? 3 . (Ⅰ)当 a ? ?2 时,求不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集; (Ⅱ)设 a ? ?1 ,且当 x ? [ ?

a 1 , ) 时, f ( x) ? g ( x) ,求 a 的取值范围. 2 2


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