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高一期中卷复旦大学附属中学2014-2015


复旦大学附属中学 2014-2015 学年第一学期 高一年级数学期中考试试卷
(时间 90 分钟,满分 120 分) 一、填空题(每小题 4 分,共 44 分)
? 6 ? 1、用列举法表示集合 A ? ?a ? N* , a ? Z? ? ___ ? 5?a ?

____. .

2、命题“若 x 2 ? 1 ,则

x ? 1 ”的否命题是_______ 3、函数 y ?
2? x x ?1

的定义域为_______.

4、已知集合 A ? ?1, 2,3, 4? , B ? ?1, 2? 则满足 A ? C ? B ? C 的集合 C 有_______个. 5、已知 x, y ? R ? ,且 x ? 4 y ? 1 ,则 xy 的最大值为_______. 6、已知集合 P ? x x 3 ? x ? x ? 1 , Q ? x ? x ? 1?? 2x ? 3?? x ? 4? ? 0 ,则 P ? Q ? _______. 7、不等式 ? a ? 2? x2 ? 2 ? a ? 2? x ? 4 ? 0 对 x ? R 恒成立,则实数 a 的取值范围为_______.
? 1 ? 8、若关于 x 不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0 的解集为 ? ??, ?2 ? ? ? ? , ?? ? ,则关于 x 不等式 cx 2 ? bx ? a ? 0 的 ? 2 ? 解集为_______.

?

?

?

?

9、 在整数集 Z 中, 被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个 “类” , 记为 ? k ? , 即 ? k ? ? ?5n ? k n ? Z? ,
k ? 0,1, 2,3, 4 .给出下列四个结论:

① 2015 ??0? ; ② ?3 ? ?3? ; ③ Z ? ?0? ? ?1? ? ? 2? ? ?3? ? ?4? ; ④“整数 a , b 属于同一‘类’ ”的充要条件是“ a ? b ? ? 0? ”.其中,正确结论的个数 是_______. .. 10、某物流公司计划在其停车库附近租地建仓库,已知每月土地占用费 p (万元)与仓库到停车库 的距离 x (公里)成反比,而每月库存货物的运费 k (万元)与仓库到停车库的距离 x (公里)成正 比.如果在距离停车库 18 公里处建仓库,这两项费用 p 和 k 分别为 4 万元和 144 万元,那么要使这 两项费用之和最小,仓库到停车库的距离 x ? ___ ____公里.

1

二、选择题(每题 4 分,共 16 分) 12、三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示,我们教 材中利用该图作为“ ( ) ”的几何解释. A.如果 a ? b , b ? c ,那么 a ? c B. 如果 a ? b ? 0 ,那么 a 2 ? b 2 C.对任意实数 a 和 b ,有 a 2 ? b 2 ? 2ab ,当且仅当 a ? b 时等号成立 D. 如果 a ? b , c ? 0 那么 ac ? bc 13、设 x 取实数,则 f ? x ? 与 g ? x ? 表示同一个函数的是( A. f ? x ? ? x , g ? x ? ? x2 C. f ? x ? ? 1 , g ? x ? ? ? x ? 1?
0



B.

? x? f ? x? ?
x

2

, g ? x? ?

? x?

x

2

D. f ? x ? ?

x2 ? 9 , g ? x? ? x ? 3 x?3

?x ? 3 ?x ? y ? 6 14、 ? 是? 成立的( ?y ? 3 ? x ? y ? 9

) C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

15、在关于 x 的方程 x 2 ? ax ? 4 ? 0 , x2 ? ? a ? 1? x ? 16 ? 0 , x 2 ? 2ax ? 3a ? 10 ? 0 中,已知至少有一 个方程有实数根,则实数 a 的取值范围为( ) A. ?4 ? a ? 4 B. a ? 9 或 a ? ?7 C. a ? ?2 或 a ? 4 三、解答题(共 6 大题,满分 60 分) 16、 (本题满分 8 分)
1 解关于 x 的方程: x2 ? 2 x ? 3 ? 2 . 4

D. ?2 ? a ? 4

2

17、 (本题满分 8 分,每小题 4 分) 设关于 x 的不等式: (1)解此不等式;
? x ?1 2x ? 4 ? (2)若 2 ? ? x ?1? ? ,求实数 k 的取值范围. k k2 ? ?

x ?1 2x ? 4 . ?1? k k2

18、 (本题满分 10 分)
? ? x ?1 已知 P ? ? x 1 ? ? 2? , Q ? x x 2 ? 2 x ? ?1 ? m2 ? ? 0 ,其中 m ? 0 ,全集 U ? R .若“ x ? ? U P ”是 3 ? ?

?

?

“ x ? ?U Q ”的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围.

3

19、 (本题满分 10 分) 现有 A, B, C , D 四个长方体容器, A, B 的底面积均为 x 2 ,高分别为 x, y ; C , D 的底面积均为 y 2 ,高 分别为 x, y (其中 x ? y ).现规定一种两人的游戏规则:每人从四种容器中取两个盛水,盛水多者为 胜.问先取者在未能确定 x 与 y 大小的情况下有没有必胜的方案?若有的话,有几种?

20、 (本题满分 12 分,第一小题 3 分,第二小题 4 分,第三小题 5 分)
? a, a ? b 定义实数 a , b 间的计算法则如下: a?b ? ? 2 . ?b , a ? b

(1)计算 2? ? 3?1? ; (2)对 x ? z ? y 的任意实数 x, y, z ,判断等式 x? ? y?z ? ? ? x?y ? ?z 是否恒成立,并说明理由; (3)写出函数 y ? ?1?x ? ?x ? ? 2?x ? 的解析式,其中 ?2 ? x ? 2 ,并求函数的值域.

4

21、 (本题满分共 12 分,每小题 4 分) 已知实数 a , b, c 满足 a ? b ? c . (1)求证:
1 1 1 ? ? ?0; a ?b b?c c ?a

(2)现推广如下:把

1 1 1 p 的分子改为一个大于 1 的正整数 p ,使得 ? ? ? 0 对任意 c?a a ?b b?c c ?a a ? b ? c 都成立,试写出一个 p 并证明之;

(3)现换个角度推广如下:正整数 m, n, p 满足什么条件时, 都成立,请写出条件并证明之.

m n p ? ? ? 0 对任意 a ? b ? c a ?b b?c c ?a

5


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