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高一数学空间几何体体积面积计算检测试题


【空间几何体体积面积计算】
本卷共 100 分,考试时间 90 分钟 一、选择题 (每小题 4 分,共 40 分) 1. 已知球的半径为 2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为 2, 则两圆的圆心距等于( A.1 B. 2 ) C. 3 D.2

2. 体积为 4 3? 的球的内接正方体的棱长为 (A) 2 (B)2 (C)
3

(D) ) D.6,8

5

3. 三个平面可将空间分成 n 个部分,则 n 的最小最大值分别是( A.4,7 B.6,7 C.4,8

4. 三棱锥的底面是两条直角边长分别为 6cm 和 8cm 的直角三角形,各侧面与底面所成的角 都是 60°,则三棱锥的高为 B
2 3 3

( cm
5 3 3



A

5 3 cm

C

2 3 cm

D

cm

5. 在半径为 R 的球内放入大小相等的 4 个小球,则小球半径 r 的最大值为( (A) ?



6 ? 2 R

?

(B)

?

2 ?1 R

?

1

R

1

R

(C) 4

(D) 3

6. 以下四个命题: ① 正棱锥的所有侧棱相等; ② 直棱柱的侧面都是全等的矩形; ③ 圆柱的母线垂直于底面; ④ 用经过旋转轴的平面截圆锥,所得的截面一定是全等的等腰三角形. 其中,真命题的个数为 A.4 B.3 ( ) C.2 D.1

7. 8、△ABC 的边 BC 在平面 α 内, A 不在平面 α 内, △ABC 与α 所成的角为θ (锐角) , AA'⊥α ,则下列结论中成立的是: A. S ? ABC ? S ? A BC ? cos ?
'





B. S ? A ' BC ? S ? ABC ? cos ?

C. S ? A ' BC ? S ? ABC ? sin ?

D. S ? ABC ? S ? A ' BC ? sin ?

8. 如图,一个封闭的长方体,它的六个表面各标出 A、B、C、D、E、F 这六个字母,现放成 下面三种不同的位置,所看见的表面上的字母已表明,则字母 A、B、C 对面的字母依次分别 为 ( ) (B) F、D、E (C) E、F、D (D) E、D、F

(A) D、E、F

B C

D A

B E



9. 下列各图是正方体或正四面体,P,Q,R,S 分别是所在棱的中点,这四个点 中不共面的一个图是 ...
S P
P
P
P

A A A
S P
S
S P
P S





S
S

P
S

R

R
R
R
R P

P
P
P Q
Q P

Q
Q

R Q

Q
Q
Q

R

P
P

R

P
R

Q

Q
QQ S

S S

S
R

R R

R S
Q

S Q

S S
QQ

R

R

R

(A)

(B)

(C)

(D)

10. 如图几何体的主(正)视图和左(侧)视图都正确的是

二、填空题 (每小题 4 分,共 16 分) 11. 正四棱台上、下底面的边长为 b、a(a>b)且侧面积等于两底面面积之和,则棱台的 高是______. 12. 如图,△ABC 是直角三角形, ? ACB= 90 ? ,PA ? 平面 ABC,此图形中有 形 13. 从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形,其中直角三 角形的个数为_______。 A B C P 个直角三角

14. 已知正四面体(所有棱长都相等的三棱锥)的俯视图如下图所示,其四边形 ABCD 是边长

为 2 cm 的正方形,则这个正四面体的主视图的面积为_______cm2.

三、解答题 (共 44 分,写出必要的步骤) 15. (本小题满分 10 分)如图组合体中,三棱柱 A B C ? A1 B1 C 1 的侧面是圆柱的轴截面, C

是圆柱底面圆周上不与 A 、 B 重合一个点. (1)求证:无论点 C 如何运动,平面 A1 B C ? 平面 A1 A C ; (2)当点 C 是弧 AB 的中点时,求四棱锥 A1 ? B C C 1 B1 与圆柱的体积比. 16. (本小题满分 10 分)如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与 三视图的侧视图、俯视图.在直观图中, M 是 B D 的中点.侧视图是直角梯形,俯视图是等
D

M E 4 2

C A 直观图 2 18题图 2 俯视图 B 侧视图

腰直角三角形,有关数据如图所示.

(1)求证:EM∥平面 ABC;

(2)求出该几何体的体积; 17. (本小题满分 12 分)已知如图:平行四边形 ABCD 中, B C ? 6 ,正方形 ADEF
E F

H

G

D C B

A

所在平面与平面 ABCD 垂直,G,H 分别是 DF,BE 的中点. (1)求证:GH∥平面 CDE; (2)若 C D ? 2, D B ? 4 2 ,求四棱锥 F-ABCD 的体积. 18. (本小题满分 12 分)如图,在多面体 ABCD—A1B1C1D1 中,四边形 ABCD 为等腰梯形, 且 AB//CD,棱 AA1,BB1,CC1,DD1 垂直于面 ABCD,AB=4, CD=2,CC1=DD1=2,BB1=AA1=4,

E 为 AB 的中点。 (1)求证:C1E//面 AA1D1D; (2)求证:直线 A1D1,B1C1,AD, BC 相交于同一个点。 (3)当 BC=2 时,求多面体 ABCD—A1B1C1D1 的体积。

答案 一、选择题 1. C2. B3. C4. C5. A

当三个小球在下、第四个小球在上相切时,小球的半径最大.设小球的最大半径为 r ,四个 小球的球心分别为 A,B,C,D,大球半径为 R .则四面体 A-BCD 是棱长为 2 r 的正四面体,将正 四面体 A-BCD 补形成正方体,则正方体棱长为 2 r ,大球球心 O 为体对角线中点,易求
OA ? 1 2
r ? ( 6 ? 2)R

(

2r ) ? (
2

2r ) ? (
2

2r )

2

?

6 2

r

R ? r ? OA ?

6 2

r

, 所 以

, 解 得

6. B7. B8. D9. D10. C 二、填空题 11.
ab a ?b

12. 4

13. 4 8 解析: 每个表面有 4 个,共 6 ? 4 个;每个对角面有 4 个,共 6 ? 4 个 14. 2 2 三、解答题 15. 解: (Ⅰ)E,F 分别为棱 BC,AD 的中点,ABCD 是边长为 2 的正方形 ? DF ∥ BE 且 DF = BE ? DFBE 为平行四边形 ? DE ∥ BF ? ? PBF 是 PB 与 DE 的所成角.
2 5 5
2 5 5

? PBF 中,BF=

5

,PF= 2 ,PB=3? cos ? PBF ?

? 异面直线 PB 和 DE 所成角的余弦为

(Ⅱ)以 D 为原点,射线 DA,DC,DP 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系.设 PD=a, 可得如下点的坐标: P(0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0),则有: P F 因为 PD⊥底面 ABCD,所以平面 ABCD 的一个法向量为 m 设平面 PFB 的一个法向量为 n
1 a

??? ?

??? ? ? (1, 0, ? a ), F B ? (1, 2, 0 ),

? (0, 0,1)


? x ? az ? 0 ? ?x + 2y = 0

? ( x , y , z ) ,则可得

???? ?PF ? n ? 0 ? ? ? ??? ? FB ? n = 0 ?
1 1 , ) 2 a



令 x=1,得 z

?

,y ? ?

1 2

, 所以 n

? (1, ?

. 由已知, 二面角 P-BF-C 的余弦

1

值为

6 6

,所以得: c o s < m , n > ?

m ?n | m || n |

? 5 4

a ? 1 a
2

?

6 6

, 解得 a ? 2

因为 PD 是四棱锥 P-ABCD 的高,所以,其体积为 V P ? A B C D 16. 略

?

1 3

?2?4 ?

8 3



17. (1)证法1:∵ E F // A D , A D // B C ∴ E F // B C 且 E F ? A D ? B C ∴四边形 EFBC 是平行四边形 ∴H 为 FC 的中点 又∵G 是 FD 的中点 ∴ H G // C D ∵ H G ? 平面 CDE, C D ? 平面 CDE ∴GH∥平面 CDE
H G E F

证法2:连结 EA,∵ADEF 是正方形

∴G 是 AE 的中点
D C B A

∴在⊿EAB 中, G H // A B 又∵AB∥CD,∴GH∥CD, ∵ H G ? 平面 CDE, C D ? 平面 CDE ∴GH∥平面 CDE (2)∵平面 ADEF⊥平面 ABCD,交线为 AD 且 FA⊥AD, ∴FA⊥平面 ABCD.

2 2 2 ∵ B C ? 6 , ∴ F A ? 6 又∵ C D ? 2, D B ? 4 2 , C D ? D B ? B C

∴BD⊥CD ∴ S ? ABCD ? C D ? B D = 8 2 ∴ V F ? ABCD ?
1 3 S?
ABCD

? FA =

1 3

?8

2 ? 6 ? 16

2

18. (1)证明:连结 AD1,∵C1C⊥面 ABCD,D1D⊥面 ABCD,∴C1C//D1D, 又 C1C=D1D=2, ∴四边形 C1CDD1 为矩形, ∴C1D1 ? CD, E 为 AB 的中点, 又 CD//AB, ? AE, CD1 ∴四边形 C1D1AE 为平行四边形,∴EG1//AD1, 又 AD1 面 AA1D1D,∴EC1//面 AA1D1D (4 分) (2)略(4 分) (3)连结 PE 交 CD 于点 G,则 GE 为四棱台 AA1B1B—DD1C1C 的高,
// //

GE ?

1 2

PE ?

1 2

?

3 2

?4 ?



3 , 又 S 矩 形 CC

1 D1 D

? 2?2 ? 4

S 矩 形 A A B B ? 4 ? 4 ? 1 6 ,? V 四 棱 台 A A B B ? D D C C ?
1 1 1 1 1 1

1 3

(4 ? 16 ?

4 ? 16 ) ?

3 ?

28 3 2


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