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广西柳州铁一中2016年5月月考数学理科试卷


柳州铁一中学 2016 届高三 5 月月考试卷 数学理科
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.如果复数 于( A. 2 ) B.

2 ? bi (其中 i 为虚数单位, b 为实数)的实部和虚部互为相反数,那么 b 等 1 ?

2i

2 2 C. ? D.2 3 3 2.已知集合 M ? ?2,3, 4,5? , N ? ? x | sin x ? 0? ,则 M ? N 为(
A. ?2,3, 4,5? B. ?2,3, 4? C. ?3, 4,5? D. ?2,3?



3.已知随机变量 X 服从正态分布 N ? a, 4 ? ,且 P ? X ? 1? ? 0.5 ,则实数 a 的值为( A.1 B. 3 C.2 D.4



4. 设 a, b 为实数,则“ ab ? 1 ”是“ b ? A.充分不必要条件

1 ”的( a

) D.既不充分也不必要条件 )

B.必要不充分条件

C.充要条件

? ??? ? ??? ? ? ? ???? 5.若向量 AB ? ? 3, ?1? , n ? ? 2,1? ,且 n ? AC ? 7, 那么 n ? BC 等于(
A.-1 B.1 C.-2 D.2 6.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( A. ) D.

?8 ? ? ?
6

3

B.

?8 ? 2? ?
6

3

C.

?6 ? ? ?
6

3

? 9 ? 2? ?
6

3

7.如图是一个算法的程序框图,当输入的 x 的值为 7 时,输出的 y 值恰好是-1,则“?” 处应填的关系式可能是( ) A. y ? 2 x ? 1 B. y ? 3
?x

C. y ? x

D. y ? log 1 x
3

8.数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 1, an ?1 ? 3S n ? n ? 1? ,则 a6 ? ( A. 3 ? 4
4



B. 3 ? 4 ? 1
4

C. 4

4

D. 4 ? 1
4

1

9.若 tan ? ? lg ?10a ? , tan ? ? lg a ,且 ? ? ? ? A.1 B.

?
4

,则实数 a 的值为(



1 10

C.1 或

1 10

D.1 或 10

10. 球面上有三点 A, B, C 组成这个球的一个截面的内接三角形的三个顶点,其中

AB ? 6 , BC ? 8, AC ? 10 ,球心到这个截面的距离为球半径的一半,则球的表面积
为( A. ) B. 150 ?
x ?1

400? 3

C.

500? 3

D.

600? 7

11.已知函数 f ? x ? ? 2

? a, g ? x ? ? bf ?1 ? x ? , 其中 a, b ? R .若满足不等 f ? x ? ? g ? x ?


的解的最小值为 2,则实数 a 的取值范围是( A. a ? 0 B. a ? ?

1 1 C. a ? ?2 D. a ? ? 或 a ? ?2 4 4 2 12. 抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F,已知点 A 和 B 分别为抛物线上的两个动点,且满 MN ? 足 ?AFB ? 120 ,过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN,垂足为 N,则 的最大 AB
值为( A. ) B.

6 4

6 3

C.

3 2

D.

3 3

第Ⅱ卷 二.填空题:本大题共4小题,每小题5分。

1 ? ? 13. 二项式 ? x ? ____. ? 的展开式中常数项为____ 3 x? ? x ? 1 ?2 ? 1? x ? 1? 14. 定义在 R 上的函数 f ? x ? ? ? ,则不等式 f ? x ? ? ? 的解集 2 ? ? x ? 3 ? 1? x ? 1?
为 .
2 2

4

15.已知圆 O : x ? y ? 1 与 x 轴负半轴的交点为 A, P 为直线 3 x ? 4 y ? a ? 0 上一点,过 . P 作圆 O 的切线,切点为 T ,若 PA ? 2 PT ,则 a 的最大值为 16.定义在 ? 0, ?? ? 上的单调函数 f ? x ? , ?x ? ? 0, ?? ? , f ? ? f ? x ? ? ln x ? ? ? 1 ,则方程

f ? x ? ? f ' ? x ? ? 1 的解所在区间正确的序号是
① ? 0,

. ④

? ?

1? ? , 2?

② ?

?1 ? ,1? ?2 ?

③ ?1, 2 ?
2

? 2,3?

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a, b, c ,满足 b2 ? c 2 ? bc ? a 2 . (1)求角 A 的大小;(2)已知等差数列 {an } 的公差不为零,若 a1 cos A ? 1 ,且 a2 , a4 , a8 成 等比数列,求 {

4 } 的前 n 项和 Sn . an an ?1

18. (本小题满分 12 分)

某班同学利用国庆节进行社会实践,对 ? 25,55? 岁的人群随机抽取 n 人进行了一次生活习 惯是否符合低碳观念的的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族” ,否则称为“非 低碳族” ,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:

(1)补全频率分布直方图并求 n, a, p 的值;

(2)从 ? 40,50 ? 岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 18 人参加户外低碳体验活 动,其中选取 3 人作为领队,记选取的 3 名领队中年龄在 40, 45 岁的人数为 X ,求 X 的 分布列和期望 E ? X ? .

?

?

3

19. (本小题满分 12 分) 如图长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的 AA1 ? 1 ,底面 ABCD 的周长为 4, E 为 BA1 的中点. (1)判断两直线 EC1 与 AD 的位置关系,并给予证明; (2)当长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的体积最大时,求直线 BA1 与平面 ACD 所成角 ? . 1

20. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 x2 和椭圆 离心率相同, 且点 ( 2,1) 在 ? ? 1( a ? b ? 0) C : ? y2 ? 1 , 2 a 2 b2 2 椭圆 C1 上. (1)求椭圆 C1 的方程;
已知椭圆 C1 : (2)设 P 为椭圆 C2 上一点,过点 P 作直线交椭圆 C1 于 A, C 两点,且 P 恰为弦 AC 的中 点.则当点 P 变化时,试问 ?AOC 的面积是否为常数,若是,请求出此常数,若不是, 请说明理由.

4

21. (本小题满分 12 分)

ex ,其中 a, b, c ? R . ax 2 ? bx ? c (1)若 a ? 1, b ? 1, c ? 1 ,求 f ? x ? 的单调区间;
已知函数 f ? x ? ? (2)若 b ? c ? 1 ,且当 x ? 0 时, f ? x ? ? 1 总成立,求实数 a 的取值范围; (3)若 a ? 0, b ? 0, c ? 1 ,若 f ? x ? 存在两个极值点 x1 , x2 ,求证:

e

1 e2 ? 1 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? . a 2

5

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是圆 O 的一条切线,切点为 B ,直线 ADE , CFD, CGE 都是圆 O 的割线,已知

AC ? AB .
(1)若 CG ? 1, CD ? 4 ,求

DE 的值; (2)求证: FG // AC . GF

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? x ? 1 ? t cos ? ( t 为参数) ,在极坐标系(与 ? y ? 2 ? t sin ? 直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ? ? 6sin ? . (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)若点 P ?1, 2 ? ,设圆 C 与直线 l 交于点 A, B ,求 PA ? PB 的最小值.
在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ? 2 x ? 2 ? x ? 2 . (1)求不等式 f ? x ? ? 2 的解集; (2)若 ?x ? R, f ? x ? ? t 2 ?

7 t 恒成立,求实数 t 的取值范围. 2

6


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