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三角公式汇总


三角公式汇总
一、任意角的三角函数
在角 ? 的终边上任取 一点 P( x, y ) ,记: r ? .. 正弦: sin ? ? 正切: tan ? ? 正割: sec ? ?
y r y x r x
x2 ? y2 ,

余弦: cos ? ? 余切: cot? ? 余割: csc? ?

x r

x y

r y

注:我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数:如图,与单 位圆有关的有向 线段 MP 、OM 、AT 分别叫做角 ? 的正弦线、 余弦线、 正切线。 ..

二、同角三角函数的基本关系式
倒数关系: sin ? ? csc ? ? 1 , cos ? ? sec ? ? 1 , tan ? ? cot ? ? 1 。 商数关系: tan ? ?
sin ? cos ? , cot ? ? 。 cos ? sin ?

平方关系: sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 , 1 ? tan2 ? ? sec2 ? , 1 ? cot2 ? ? csc2 ? 。

三、诱导公式
⑴ ? ? 2k? (k ? Z ) 、 ? ? 、 ? ?? 、 ? ?? 、 2? ? ? 的三角函数值,等于 ? 的 同名函数值,前面加上一个把 ? 看成 锐角时原函数值的符号。 (口诀:函数名不 .. 变,符号看象限) ⑵

?
2

?? 、

?
2

?? 、

3? 3? ?? 、 ? ? 的三角函数值,等于 ? 的异名函数值, 2 2

前面加上一个把 ? 看成 锐角时原函数值的符号。 (口诀:函数名改变,符号看象 .. 限)

四、和角公式和差角公式
sin(? ? ? ) ? sin ? ? cos ? ? cos? ? sin ?
sin(? ? ? ) ? sin ? ? cos ? ? cos? ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? ? cos ? ? sin ? ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? ? cos ? ? sin ? ? sin ?

tan( ? ? ?) ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? ? tan ?

tan( ? ? ?) ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? ? tan ?

五、二倍角公式
sin 2? ? 2 sin ? cos ?
cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? … (?)

tan 2? ?

2 tan ? 1 ? tan 2 ?

二倍角的余弦公式 (?) 有以下常用变形: (规律:降幂扩角,升幂缩角)
1 ? cos2? ? 2 cos2 ? 1 ? cos2? ? 2 sin 2 ?

1 ? sin 2? ? (sin? ? cos? )2
cos 2 ? ?

1 ? sin 2? ? (sin? ? cos? )2

1 ? cos 2? 1 ? sin 2? 1 ? cos 2? sin 2? ? , sin 2 ? ? , tan ? ? 。 2 2 sin 2? 1 ? cos 2?

六、万能公式(可以理解为二倍角公式的另一种形式)
sin 2? ?

1 ? tan2 ? 2 tan ? 2 tan ? cos 2 ? ? , , tan 2? ? 。 2 2 1 ? tan ? 1 ? tan 2 ? 1 ? tan ?

万能公式告诉我们,单角的三角函数都可以用半角的正切 来表示。 ..

七、和差化积公式
sin ? ? sin ? ? 2 sin
sin ? ? sin ? ? 2 cos

???
2

cos
sin

???
2

…⑴ …⑵ …⑶ …⑷

???
2 2

???
2

cos ? ? cos ? ? 2 cos

???

cos

???
2

cos ? ? cos ? ? ?2 sin

???
2

sin

???
2

了解和差化积公式的推导,有助于我们理解并掌握好公式:

??? ??? ??? ??? ?? ? ? ? ? ? ? sin ? ? sin? ? cos ? cos sin ? ? sin 2 ? 2 2 2 2 ? 2

??? ??? ??? ??? ?? ? ? ? ? ? ? sin ? ? sin? ? cos ? cos sin ? ? sin 2 ? 2 2 2 2 ? 2

两式相加可得公式⑴,两式相减可得公式⑵。

? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? cos? ? cos? ? cos ? sin sin ? ? cos 2 ? 2 2 2 2 ? 2

? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? cos? ? cos? ? cos ? sin sin ? ? cos 2 ? 2 2 2 2 ? 2
两式相加可得公式⑶,两式相减可得公式⑷。

八、积化和差公式
sin ? ? cos ? ? cos ? ? sin ? ? 1 ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )? 2 1 ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )? 2

cos ? ? cos ? ?

1 ?cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )? 2
1 ?cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )? 2

sin ? ? sin ? ? ?

我们可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用。

九、辅助角公式
a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 sin(x ? ? ) ()
其中:角 ? 的终边所在的象限与点 (a, b) 所在的象限相同,

sin ? ?

b a2 ? b2

, cos? ?

a a2 ? b2

, tan ? ?

b 。 a

十、正弦定理
a b c ? ? ? 2 R ( R 为 ?ABC 外接圆半径) sin A sin B sin C

十一、余弦定理
a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc ? cos A
b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? cos B

c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab ? cosC

十二、三角形的面积公式
S ?ABC ? 1 ? 底?高 2

S ?ABC ?

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ca sin B (两边一夹角) 2 2 2

S ?ABC ?
S ?ABC ?

abc ( R 为 ?ABC 外接圆半径) 4R
a?b?c ? r ( r 为 ?ABC 内切圆半径) 2 a?b?c ) 2

S?ABC ? p( p ? a)( p ? b)( p ? c) …海仑公式(其中 p ?
y

sin ? ? cos ?

y

sin ? ? cos ? ? 0 sin ? ? cos ? ? 0

sin ? ? cos ?

o
x? y ?0

x
sin ? ? cos ? A(?2,2)

sin ? ? cos ? ? 0

o
A(?2,2)
x? y ? 0

x

十三诱导公式
公式一: 设 α 为任意角, 终边相同的角的同一三角函 数的值相等 k 是整数 sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα sec(2kπ+α)=secα csc(2kπ+α)=cscα sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα sec(π+α)=-secα csc(π+α)=-cscα sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα sec(-α)=secα csc(-α)=-cscα sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα sec(π-α)=-secα csc(π-α)=cscα sin(α-π)=-sinα cos(α-π)=-cosα tan(α-π)=tanα cot(α-π)=cotα sec(α-π)=-secα csc(α-π)=-cscα sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα sec(2π-α)=secα csc(2π-α)=-cscα

公式二: 设 α 为任意角, π+α 的三角函数值与 α 的三 角函数值之间的关系

公式三: 任意角 α 与 -α 的三角函数值之间的关系

公式四: 利用公式二和公式三可以得到 π-α 与 α 的三 角函数值之间的关系

公式五: 利用公式四和三角函数的奇偶性可以得到 α-π 与 α 的三角函数值之间的关系

公式六: 利用公式一和公式三可以得到 2π-α 与 α 的 三角函数值之间的关系

公式七: π/2±α 及 3π/2±α 与 α 的三角函数值之间的关 系

sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sec(π/2+α)=-cscα csc(π/2+α)=secα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sec(π/2-α)=cscα csc(π/2-α)=secα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sec(3π/2+α)=cscα csc(3π/2+α)=-secα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα sec(3π/2-α)=-cscα csc(3π/2-α)=-secα


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