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1.1.2集合间的基本关系简案


1.1.2 集合间的基本关系 一、回顾复习 ①集合与元素的概念;②集合中元素的性质;③元素与集合的关系;④常见数集的表示;⑤集合的表 示法。 例 1:①很小的实数可以构成集合;②

3 6 1 1, , , ? , 0.5 这些数组成的集合有 2 4 2
④集合

5 个元素;③集合

{y | y = x

2

? 1} 与集合 {( x, y ) | y = x 2 ? 1} 是同一个集合;

{ x | y = x + 1} 中的元素是全体

实数;⑤{1, 2},{2, 1}为同一集合且 上的点集可表示为

{1, 2} , {(1, 2 )} , {{1, 2}} 是同一集合;⑥直角坐标系中,坐标轴

{( x, y ) | x = 0, y = 0} 。其中表达正确的有
? b ? ,1? ,也可表示为 {a 2 , a + b, 0} ,求 a 2011 + b 2011 。 ? a ?

思 考 一

例 2:含有三个实数的集合可表示为 ? a, 二、新课

实数有相等关系、大小关系,如 5=5,5<7,5>3,等等,类比实数之间的关系,你会想到集合之间 的什么关系? 例 1.下面几个例子,你能发现两个集合间的关系吗? (1)设 A 为这棵苹果树上所有的烂苹果,B 为一颗苹果树上所有的苹果; (2)设 A ={x|x 是正方形} ,B ={x|x 是平行四边形}; (3)设 A 为高一(5)班所有的男生组成的集合,B 为高一(5)班的全体学生组成的集合; (4)设 A={a,b,c},B={a,b,c,d}.

共性:集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 的元素。 1. .子集定义:一般地,对于两个集合 A,B,如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素,我们就说这 子集定义 两个集合有包含关系,称集合 A 为集合 B 的子集,记作 A ?

B(或B ? A) 读作:“A 包含于 B”(或“B 包含
A
B

思 A”) 考 练习:用适当的符号填: Z R ; N N+ 。 二 2.在数学中,经常用平面上的封闭曲线的内部代表集合,这种图称为 Venn 图. 在数学中, 在数学中 经常用平面上的封闭曲线的内部代表集合,
①包含关系 {a} ?

A 与属于关系 a ∈ A 有什么区别吗?②a 与{a}一样吗?有什么区别?

注意: 的区别:前者表示集合与集合之间的关系;后者表示元素与集合之间的关系; 注意:① ? 与 ∈ 的区别:前者表示集合与集合之间的关系;后者表示元素与集合之间的关系; ②一般地,a 表示一个元素,而{a}表示只有一个元素的一个集合 a ={a}是错误的。 一般地, 表示一个元素, 表示只有一个元素的一个集合. 是错误的。 一般地 表示只有一个元素的一个集合 是错误的 3.集合相等与真子集的概念 集合相等与真子集的概念 例 2.下面两个集合,你能发现什么? (1)A={x∣x 是两条边相等的三角形} B={x∣x 是等腰三角形} (2)A={2,4,6} B={6,4,2} 共性:集合 A 中元素与集合 B 的元素是一样的。

如果集合 A 是集合 B 的子集

( A ? B ) ,且集合 B 是集合 A 的子集 ( B ? A) ,此时,集合 A 与集
A = B ? A ? B且B ? A

合 B 中的元素是一样的,因此,集合 A 与集合 B 相等。记作 A=B,

思 考 三

A 是 A 的子集对吗?类比实数中的结论思考一下。 (对于实数 a, a≤a; 有 则对于集合 A, A 有 结论:任何一个集合都是它本身的子集 结论:任何一个集合都是它本身的子集. 如果集合 或者 B A

? A) 。
B

A ? B ,但存在元素 x ∈ B ,且 x ? A ,我们称集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A

由此可见, 的子集, 相等两种情况, 由此可见,集合 A 是集合 B 的子集,包含了 A 是 B 的真子集和 A 与 B 相等两种情况,与实数中的关 系类比是: 思 系类比是:≤。 考 2 方程 x + 1 = 0 的实数根能够组成集合!那你们能找出它的元素吗? 四 的真子集。 的真子集。 4.由集合之间的基本关系,可以得到以下结论. 由集合之间的基本关系,可以得到以下结论 由集合之间的基本关系 (1)任何一个集合是它本身的子集,即 A ?

我们规定:不含有任何元素的集合叫做空集, 空集是任何集合的子集, 我们规定:不含有任何元素的集合叫做空集,记作 ? ,空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合 空集是任何集合的子集

A;

(2)对于集合 A, B, C ,如果 A ? B ,且 B ? C ,那么 A ? C ; (3)对于两个集合 A,B,如果 A ? B 且 B ? A ,那么 A=B; (4)空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。

并指出哪些是它的真子集. (若集合是四元集 {a, b, c, d } 呢) 。 例 3. 1) . ) ( 写出集合 {a, b, c} 的所有子集, (2)尝试推导 n 元集的子集(真子集)个数公式。 (3)已知 {1, 2} ?

A ? {1, 2,3, 4,5} ,求满足条件的集合 A 的个数。 ≠
= {2, ?3} ,已知 A ? B ,求 a 的取值范围。

(1) 例 4. )设集合 A = {x | ax + 1 = 0}, B . ( (2)设集合 A = {x | ) 三、小结

x+9 ≥ 0}, B = { y | y = ax 2 ? 6ax + 3} 若 B ? A ,求 a 的范围。 x?5

1、概念:子集、集合相等、真子集 2、性质: 子集、集合相等、 子集 四、作业: P7 练习做在书上,下面的做在本子上上交。 1、设集合 P (1)若 Q

= {x | x 2 + 4 x ? 5 ≤ 0}, Q = {x | x 2 ? (a + 1) x + a ≤ 0} ,
Q,求实数 a 的取值范围。

? P ,求实数 a 的取值范围; (2)若 P

2、设集合 围。 备用题: 设集合

A = {x | x 2 + 4 x = 0}, B = { x | x 2 + 2(a + 1) x + a 2 ? 1 = 0} ,若 B ? A ,求 a 的范

1 < x ≤ 2} , 2 (1)若 A ? B ,求 a 的范围; (2)若 B ? A ,求 a 的范围; (3)A,B 能否相等,若能求出 a 的值,
A = {x | 0 < ax + 1 ≤ 5}, B = {x | ?

若不能,试说明理由。


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