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2014高三数学二轮复习专题1 第2讲 不等式 教师版


第二讲

不等式

1. 不等式的基本性质 (1)对称性:a>b?b<a. (2)传递性:a>b,b>c?a>c. (3)加法法则:a>b?a+c>b+c. (4)乘法法则:a>b,c>0?ac>bc. a>b,c<0?ac<bc. (5)同向不等式可加性:a&g

t;b,c>d?a+c>b+d. (6)同向同正可乘性:a>b>0,c>d>0?ac>bd. (7)乘方法则:a>b>0?an>bn(n∈N,n≥1). n n (8)开方法则:a>b>0? a> b(n∈N,n≥2). 2. 一元二次不等式的解法 解一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a≠0)或 ax2+bx+c<0(a≠0),可利用一元二次方程, 一元二次不等式和二次函数间的关系.一元二次不等式的解集如下表所示: 判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax +bx+c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0)的根 不等式 ax2+bx+c>0(a>0) 的解集 不等式 ax2+bx+c<0(a>0) 的解集 有两相异实根 x1,x2(x1<x2) {x|x>x2 或 x<x1} 有两相等实根 b x1=x2=- 2a {x|x∈R b 且 x≠- } 2a ?
2

Δ>0

Δ =0

Δ<0

没有实数根

R

{x|x1< x<x2}

?

a+b 3. 基本不等式: ≥ ab(a>0,b>0) 2 利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”. 4. 二元一次不等式(组)和简单的线性规划 (1)线性规划问题的有关概念:线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等; (2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤:①画出可行域;②根据线性目标函数 的几何意义确定其取得最优解的点;③求出目标函数的最大值或者最小值.

5. 不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题 (1)恒成立问题 若不等式 f(x)>A 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f(x)min>A; 若不等式 f(x)<B 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f(x)max<B. (2)能成立问题 若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f(x)>A 成立,则等价于在区间 D 上 f(x)max>A; 若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f(x)<B 成立,则等价于在区间 D 上 f(x)min<B. (3)恰成立问题 若不等式 f(x)>A 在区间 D 上恰成立,则等价于不等式 f(x)>A 的解集为 D; 若不等式 f(x)<B 在区间 D 上恰成立,则等价于不等式 f(x)<B 的解集为 D.

1? ? 1. (2013· 安徽)已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为?x|x<-1或x>2?,则 f(10x)>0 的解集为
? ?

( A.{x|x<-1 或 x>-lg 2} C.{x|x>-lg 2} 答案 D B.{x|-1<x<-lg 2}

)

D.{x|x<-lg 2} 1 1 解析 由已知条件 0<10x< ,解得 x<lg =-lg 2. 2 2 ( )

2. (2012· 福建)下列不等式一定成立的是 1? 2 A.lg? ?x +4?>lg x(x>0) 1 B.sin x+ ≥2(x≠kπ,k∈Z) sin x C.x2+1≥2|x|(x∈R) 1 D. 2 >1(x∈R) x +1 答案 C 1 1 解析 当 x>0 时,x2+ ≥2· x·=x, 4 2 1 2 ? 所以 lg? ?x +4?≥lg x(x>0),故选项 A 不正确; 当 x≠kπ,k∈Z 时,sin x 的正负不定,故选项 B 不正确; 由基本不等式可知,选项 C 正确; 1 当 x=0 时,有 2 =1,故选项 D 不正确. x +1 x+y-2≥0, ? ? 3. (2013· 浙江)设 z=kx+y,其中实数 x,y 满足?x-2y+4≥0, ? ?2x-y-4≤0. 实数 k=________.

若 z 的最大值为 12,则

答案 2 解析 作出可行域如图阴影部分所示: 1 由图可知当 0≤-k< 时,直线 y=-kx+z 经过点 M(4,4)时 2 1 z 最大,所以 4k+4=12,解得 k=2(舍去);当-k≥ 时,直 2 线 y=-kx+z 经过点(0,2)时 z 最大,此时 z 的最大值为 2, 不合题意;当-k<0 时,直线 y=-kx+z 经过点 M(4,4)时 z 最大,所以 4k+4=12,解得 k=2,符合题意.综上可知,k=2. 4. (2013· 湖南)已知 a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则 a2+4b2+9c2 的最小值为________. 答案 12 解析 方法一 ∵(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx≤3(x2+y2+z2), 1 36 ∴a2+4b2+9c2≥ (a+2b+3c)2= =12. 3 3 ∴a2+4b2+9c2 的最小值为 12. 方法二 ∵a+2b+3c=6, ∴1×a+1×2b+1×3c=6. 由柯西不等式,可得 (a2+4b2+9c2)(12+12+12)≥(a+2b+3c)2, 即 a2+4b2+9c2≥12. 1 1 1 当且仅当 = = , a 2b 3c 2 即 a=2,b=1,c= 时取等号. 3 5. (2013· 四川)已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-4x,那么,不等式 f(x+2)<5 的解集是________. 答案 {x|-7<x<3}

解析 令 x<0,则-x>0,∵x≥0 时,f(x)=x2-4x,∴f(-x)=(-x)2-4(-x)=x2+4x, ?x2-4x,x≥0, ? 又 f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),∴x<0 时,f(x)=x2+4x,故有 f(x)=? 2 ? ?x +4x,x<0.
? ? ?x≥0, ?x<0, 再求 f(x)<5 的解,由? 2 得 0≤x<5;由? 2 得-5<x<0,即 f(x)<5 ?x -4x<5, ?x +4x<5, ? ?

的解集为(-5,5).由于 f(x)向左平移两个单位即得 f(x+2),故 f(x+2)<5 的解集为{x|- 7<x<3}.

题型一 不等式的解法

例1

x-1 (1)不等式 ≤0 的解集为 2x+1 1 ? A.? ?-2,1? 1 ? B.? ?-2,1? 1 -∞,- ?∪[1,+∞) C.? 2? ? 1? D.? ?-∞,-2?∪[1,+∞)

(

)

(2)(2012· 江苏)已知函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于 x 的不等 式 f(x)<c 的解集为(m,m+6),则实数 c 的值为________. 审题破题 (1)可以将不等式转化为等价的二次不等式求解; (2)已知二次不等式的解集,

可以利用根与系数的关系. 答案 解析 (1)A (2)9
?x-1≤0, ?x-1≥0, ? ? x-1 (1) ≤0 等价于不等式组? ①或? ② 2x+1 ?2x+1>0, ?2x+1<0. ? ? 1 解①得- <x≤1,解②得 x∈?, 2 1 ? ∴原不等式的解集为? ?-2,1?. a a2 x+ ?2+b- . (2)由题意知 f(x)=x2+ax+b=? ? 2? 4 2 a a2 ∵f(x)的值域为[0,+∞),∴b- =0,即 b= . 4 4 a a ?2 ? ?2 ∴f(x)=? ?x+2? .又∵f(x)<c.∴?x+2? <c, a a 即- - c<x<- + c. 2 2 a - - c=m, ① 2 ∴ a - + c=m+6. ② 2

? ? ?

②-①,得 2 c=6,∴c=9. 反思归纳 解不等式的基本思路是将原不等式转化为一次或二次不等式, 然后求解; 和 函数有关的不等式,可利用函数的单调性,含参数的不等式,要进行分类讨论.
2 变式训练 1 (1)已知 p:?x0∈R,mx2 0+1≤0,q:?x∈R,x +mx+1>0.若 p∧q 为真命题,

则实数 m 的取值范围是

(

)

A.(-∞,-2) C.(-2,0) 答案 C

B.[-2,0) D.[0,2]

解析 p∧q 为真命题,等价于 p,q 均为真命题.命题 p 为真时,m<0;命题 q 为真时, Δ=m2-4<0,解得-2<m<2.故 p∧q 为真时,-2<m<0. f?x1?-f?x2? (2)已知 f(x)是定义域为实数集 R 的偶函数,?x1≥0,?x2≥0,若 x1≠x2,则 x1-x2 1 3 ? <0.如果 f? x)>3,那么 x 的取值范围为 ?3?=4,4f( ) 1 ? A.? ?0,2? 1 ? C.? ?2,1?∪(2,+∞) 答案 B 解析 由已知可得当 x≥0 时,f(x)是减函数. 又 f(x)为偶函数, ∴f( 由 f(| 1 ∴- < 3 x)=f(| x|). 3 ?1? x|)> =f?3?,得| 4 1 1 x< ,∴ <x<2. 3 2 1 x|< , 3 ( 1 ? B.? ?2,2? 1? ?1 ? D.? ?0,8?∪?2,2?

题型二 线性规划问题 例2 x+y≥2, ? ? (1)已知 O 是坐标原点,点 A(-1,1),若点 M(x,y)为平面区域?x≤1, ? ?y≤2 → → 个动点,则OA· OM的取值范围是 A.[-1,0] C.[0,2] y≥x, ? ? (2)设 m>1,在约束条件?y≤mx, ? ?x+y≤1 值范围为( ) B.[0,1] D.[-1,2] 下,目标函数 z=x+my 的最大值小于 2,则 m 的取 ( 上的一

)

A.(1,1+ 2) B.(1+ 2,+∞) C.(1,3) D.(3,+∞) → → 审题破题 (1)将OA· OM用坐标表示,转化为线性规划问题;(2)找到目标函数取最大值 时经过可行域内的点,求出最大值,解关于 m 的不等式求得 m 的取值范围. 答案 (1)C (2)A

解析

→ → (1)作出可行域,如图所示,由题意OA· OM=-x+y.

设 z=-x+y,作 l0:x-y=0,易知,过点(1,1)时 z 有最小值, zmin=-1+1=0;过点(0,2)时 z 有最大值,zmax=0+2=2, → → ∴OA· OM的取值范围是[0,2]. 1 z 1 (2)变形目标函数为 y=- x+ ,由于 m>1,所以-1<- <0, m m m 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示. 根据目标函数的 1 z 几何意义,只有直线 y=- x+ 在 y 轴上的截距最大时,目标 m m ?y=mx, ? 函数取得最大值.显然在点 A 处取得最大值,由? 得 ? ?x+y=1, 1 m 1 m2 交点 A?1+m,1+m?,所以目标函数的最大值是 + <2,即 m2-2m-1<0, ? ? 1+m 1+m 解得 1- 2<m<1+ 2,故 m 的取值范围是(1,1+ 2). 反思归纳 (1)线性规划问题一般有三种题型:一是求最值;二是求区域面积;三是确

定目标函数中的字母系数的取值范围.(2)解决线性规划问题首先要找到可行域,再注 意目标函数所表示的几何意义,利用数形结合找到目标函数的最优解.(3)对于应用问 题,要准确地设出变量,确定可行域和目标函数. x-y≤10, ? ? 变式训练 2 (1)(2012· 辽宁)设变量 x, y 满足?0≤x+y≤20, ? ?0≤y≤15, A.20 答案 D 解析 不等式组表示的区域如图所示,所以过点 A(5,15)时 2x+3y 的值最大,此时 2x+3y=55. B.35 C.45 则 2x+3y 的最大值为( )

D.55

x+4y≥4 ? ? (2)(2013· 广东)给定区域 D:?x+y≤4 ? ?x≥0

.令点集 T={(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z,(x0,y0)

是 z=x+y 在 D 上取得最大值或最小值的点},则 T 中的点共确定________条不同的直 线. 答案 6 解析 线性区域为图中阴影部分,取得最小值时点为(0,1),最

大值时点为(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0),故共可确定 6 条.

题型三 利用基本不等式求最值 例3 (1)已知 a>0,b>0,函数 f(x)=x2+(ab-a-4b)x+ab 是偶函数,则 f(x)的图象与 y 轴 交点纵坐标的最小值为________. (2)已知正数 x,y 满足 x+2 2xy≤λ(x+y)恒成立,则实数 λ 的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.4 审题破题 (1)由 f(x)为偶函数得出 a,b 的关系式,再利用基本不等式,列出关于 ab 乘 ( )

积的不等关系,求 ab 乘积的最小值. x+2 2xy (2)求 λ 的最小值,即求 的最大值. x+y 答案 解析 (1)16 (2)B

(1)根据函数 f(x)是偶函数可得 ab-a-4b=0,函数 f(x)的图象与 y 轴交点的纵坐

标为 ab.由 ab-a-4b=0,得 ab=a+4b≥4 ab,解得 ab≥16(当且仅当 a=8,b=2 时 等号成立),即 f(x)的图象与 y 轴交点纵坐标的最小值为 16. (2)∵x>0,y>0, ∴x+2y≥2 2xy(当且仅当 x=2y 时取等号). x+2 2xy 又由 x+2 2xy≤λ(x+y)可得 λ≥ , x+y x+2 2xy x+?x+2y? 而 ≤ =2, x+y x+y ?x+2 2xy? ∴当且仅当 x=2y 时,? ? =2. ? x+y ?max ∴λ 的最小值为 2. 反思归纳 在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足 基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.解题时应根据已知条件适 当进行添(拆)项,创造应用基本不等式的条件. 1 1 变式训练 3 设 a>0,b>0,若 3是 3a 与 3b 的等比中项,则 + 的最小值为 a b 1 A.8 B.4 C.1 D. 4 答案 B 解析 因为 3a· 3b=3,所以 a+b=1. 1 1? 1 1 b a + =(a+b)? ?a+b?=2+a+b a b ba b a 1 ≥2+2 ·=4,当且仅当 = ,即 a=b= 时“=”成立. ab a b 2 ( )

典例

x+y-3≤0, ? ? (2012· 福建)若函数 y=2x 图象上存在点(x,y)满足约束条件?x-2y-3≤0, ? ?x≥m, ( B.1 3 C. 2 D.2

则实数

m 的最大值为 1 A. 2 解析

)

?x+y-3≤0, ? 在同一直角坐标系中作出函数 y=2x 的图象及? 所表示的平面区 ?x-2y-3≤0 ?

域,如图阴影部分所示. 由图可知,当 m≤1 时, 函数 y=2x 的图象上存在点(x,y)满足约束条件, 故 m 的最大值为 1. 答案 B 得分技巧 由运动变化的观点让目标函数所表示的曲线过

可行域上的某点,求线性约束条件中的某一参数值,是逆向思维,用数形结合的思想方 法,即可破解. 阅卷老师提醒 本题要正确理解“存在”这个关键词,只要函数 y=2x 和可行域有公共 点即可.

? 1x ? 2 1. (2013· 湖北)已知全集为 R,集合 A=?x|?2? ≤1?,B={x|x -6x+8≤0},则 A∩?RB 等 ? ?

于 ( A.{x|x≤0} B.{x|2≤x≤4} C.{x|0≤x<2 或 x>4} D.{x|0<x≤2 或 x≥4} 答案 C 解析 A={x|x≥0},B={x|2≤x≤4}, ∴A∩?RB={x|x≥0}∩{x|x>4 或 x<2} ={x|0≤x<2 或 x>4}. )

2. 已知 log 2 (x+y+4)<log 2 (3x+y-2),若 x-y<λ 恒成立,则 λ 的取值范围是 ( A.(-∞,10] C.[10,+∞) 答案 C 解析 x,y 满足条件 ? ?x+y+4>3x+y-2?x<3
? ?3x+y-2>0 ?

1

1

)

B.(-∞,10) D.(10,+∞)

画出可行域如图, 设 z=x-y, 易知 z 的范围是(-∞,10), 故 λ≥10. 3. 若函数 f(x)=x+ A.1+ 2 C.3 答案 C 1 1 解析 ∵x>2,∴f(x)=x+ =x-2+ +2 x-2 x-2 1 ≥2 ?x-2?× +2=4, x-2 1 当且仅当 x-2= ,即 x=3 时,即 a=3,f(x)min=4. x-2 4. (2012· 陕西)小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a<b),其全程的平均时速为 v, 则 A.a<v< ab a+b C. ab<v< 2 答案 A 解析 设甲、乙两地之间的距离为 s. 2s 2sab 2ab 2ab ∵a<b,∴v= = = < = ab. s s ?a+b?s a+b 2 ab + a b ab-a2 a2-a2 2ab 又 v-a= -a= > =0,∴v>a. a+b a+b a+b x 5. 若对任意 x>0, 2 ≤a 恒成立,则 a 的取值范围是________. x +3x+1 1 ? 答案 ? ?5,+∞? x 1 1 1 解析 ∵a≥ 2 = 对任意 x>0 恒成立,设 u=x+ +3,∴只需 a≥ 恒成 1 x u x +3x+1 x+ +3 x 立即可. B.v= ab a+b D.v= 2 ( ) 1 (x>2)在 x=a 处取最小值,则 a 等于 x-2 B.1+ 3 D.4 ( )

∵x>0,∴u≥5(当且仅当 x=1 时取等号). 1 1 1 由 u≥5 知 0< ≤ ,∴a≥ . u 5 5 y+3 6. 如果实数 x,y 满足等式(x-2)2+y2=1,那么 的取值范围是________. x-1 4 ? 答案 ? ?3,+∞? y+3 解析 设 k= ,则 y=kx-(k+3)表示经过点 P(1,-3)的直线,k x-1 y+3 为直线的斜率.所以求 的取值范围就等价于求同时经过点 P(1, x-1

-3)和圆上的点的直线中斜率的最大、最小值.从图中可知:当过 P 的直线与圆相切时 斜率取最大、最小值,此时对应的直线斜率分别为 kPB 和 kPA,其中 kPB 不存在,由圆心 |2k-?k+3?| y+3 4 C(2,0)到直线 y=kx-(k+3)的距离 =r=1,解得 k= ,所以 的取值范围 2 3 x-1 k +1 4 ? 是? ?3,+∞?.

专题限时规范训练
一、选择题 1. 设 0<a<b,则下列不等式中正确的是 a+b a+b A.a<b< ab< B.a< ab< <b 2 2 a+b a+b C.a< ab<b< D. ab<a< <b 2 2 答案 B 解析 ∵0<a<b,∴ ab> a· a=a, b+b a+b ab< b· b=b,b= > , 2 2 a+b a+b 又 ab< ,所以 a< ab< <b,故选 B. 2 2 1 2. 已知 a>0,b>0,且 2a+b=4,则 的最小值为 ab 1 1 A. B.4 C. D.2 4 2 答案 C 解析 由 2a+b=4,得 2 2ab≤4,即 ab≤2, 1 1 又 a>0,b>0,所以 ≥ , ab 2 1 1 当且仅当 2a=b,即 b=2,a=1 时, 取得最小值 . ab 2 故选 C. 3 . 在 R 上定义运算 a*b = a(1 - b) ,则满足 (x - 2)*(x + 2)>0 的实数 x 的取值范围为 ( )

(

)

(

) B.(-2,1) D.(-1,2)

A.(0,2) C.(-∞,-2)∪(1,+∞) 答案 D 解析

根据定义:(x-2)*(x+2)=(x-2)[1-(x+2)]=-(x-2)(x+1)>0,即(x-2)(x+1

)<0.解得-1<x<2,所以所求实数 x 的取值范围为(-1,2). x≥0, ? ? 4. 若不等式组?x+3y≥4, ? ?3x+y≤4 则 k 的值是 7 A. 3 答案 A 解析 不等式组表示的平面区域如图所示. 4? 4 由于直线 y=kx+ 过定点? ?0,3?.因此只有直线过 AB 中点 3 4 时,直线 y=kx+ 能平分平面区域. 3 1 5? 因为 A(1,1),B(0,4),所以 AB 中点 D? ?2,2?. 1 5? 4 5 k 4 当 y=kx+ 过点? ?2,2?时,2=2+3, 3 7 所以 k= . 3 2y 8x 5. 已知 x>0,y>0,若 + >m2+2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 x y A.m≥4 或 m≤-2 C.-2<m<4 答案 D 2y 8x 解析 因为 x>0,y>0,所以 + ≥2 16=8. x y 要使原不等式恒成立,只需 m2+2m<8,解得-4<m<2. x ? ?2 ?x≥0? 6. 已知函数 f(x)=? , 则 f[f(x)]≥1 的充要条件是 ? ?x2 ?x<0? A.x∈(-∞,- 2] B.x∈[4 2,+∞) C.x∈(-∞,-1]∪[4 2,+∞) D.x∈(-∞,- 2]∪[4,+∞) 答案 D x 解析 当 x≥0 时,f[f(x)]= ≥1,所以 x≥4; 4 B.m≥2 或 m≤-4 D.-4<m<2 3 B. 7 4 所表示的平面区域被直线 y=kx+ 分为面积相等的两部分, 3 ( 4 C. 3 3 D. 4 )

(

)

(

)

x2 当 x<0 时, f[f(x)]= ≥1, 所以 x2≥2, x≥ 2(舍)或 x≤- 2.所以 x∈(-∞, - 2]∪[4, 2 +∞).故选 D. 1 1 - 7. 已知 m=a+ (a>2),n=x 2(x≥ ),则 m 与 n 之间的大小关系为 2 a-2 A.m<n C.m≥n 答案 C 1 1 解析 m=a+ =(a-2)+ +2≥4(a>2), a-2 a-2 1 1 当且仅当 a=3 时,等号成立.由 x≥ 得 x2≥ , 2 4 1 -2 ∴n=x = 2≤4 即 n∈(0,4],∴m≥n. x 3x-y-6≤0, ? ? 8. 设 x,y 满足约束条件?x-y+2≥0, ? ?x≥0,y≥0, 3 2 12,则 + 的最小值为 a b 25 A. 6 11 C. 3 答案 A 解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分, 当直线 ax+ by=z(a>0, b>0)过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点 (4,6)时,目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值 12,即 4a 2 3 2 3 2a+3b 13 b +6b=12, 即 2a+3b=6, 所以 + =( + )· = +( + a b a b 6 6 a a 13 25 )≥ +2= ,故选 A. b 6 6 二、填空题 9. 若正实数 x,y 满足 2x+y+6=xy,则 xy 的最小值是________. 答案 18 解析 ∵x>0,y>0,2x+y+6=xy, ∴2 2 xy+6≤xy, 即 xy-2 2 xy-6≥0, 解得 xy≥18. 10.(2013· 陕西)若点(x,y)位于曲线 y=|x-1|与 y=2 所围成的封闭区域,则 2x-y 的最小值 为________. 答案 -4 解析 如图,曲线 y=|x-1|与 y=2 所围成的封闭区域如图中阴影 若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为 B.m>n D.m≤n

(

)

( 8 B. 3 D.4

)

部分,令 z=2x-y,则 y=2x-z,作直线 y=2x,在封闭区域内平行移动直线 y=2x, 当经过点(-1,2)时,z 取得最小值,此时 z=2×(-1)-2=-4. 11.若关于 x 的不等式(2x-1)2<ax2 的解集中整数恰好有 3 个,则实数 a 的取值范围是 __________. 25 49? 答案 ? ? 9 ,16? 因为不等式等价于(-a+4)x2-4x+1<0,其中(-a+4)x2-4x+1=0 中的 Δ= 1 1 1 1 1 4a>0,且有 4-a>0,故 0<a<4,不等式的解集为 <x< , < < ,则一 4 2+ a 2- a 2+ a 2 25 49? 1 , 定有{1,2,3}为所求的整数解集.所以 3< ≤4,解得 a 的范围为? 9 16?. ? 2- a 解析 12.当 x∈(1,2)时,不等式 x2+mx+4<0 恒成立,则 m 的取值范围是__________. 答案 x2+4 4 x+ ?在 x∈(1,2)上 解析 当 x∈(1,2)时,不等式 x2+mx+4<0 恒成立?m<- =-? ? x? x 4 4 ? ? ? 恒成立,设 φ(x)=-? ?x+x?,φ(x)=-?x+x?∈(-5,-4),故 m≤-5. 三、解答题 13.已知函数 f(x)= 2x . x +6
2

(-∞,-5]

(1)若 f(x)>k 的解集为{x|x<-3,或 x>-2},求 k 的值; (2)对任意 x>0,f(x)≤t 恒成立,求 t 的取值范围. 解 (1)f(x)>k?kx2-2x+6k<0.

由已知{x|x<-3,或 x>-2}是其解集,得 kx2-2x+6k=0 的两根是-3,-2. 2 2 由根与系数的关系可知(-2)+(-3)= ,即 k=- . k 5 2x 2 2 6 (2)∵x>0,f(x)= 2 = ≤ = . 6 2 6 6 x +6 x+ x 6 由已知 f(x)≤t 对任意 x>0 恒成立,故 t≥ . 6 6 即 t 的取值范围为? ,+∞?. 6 ? ? 14.(2012· 江苏)如图,建立平面直角坐标系 xOy,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单 1 位长度为 1 千米, 某炮位于坐标原点. 已知炮弹发射后的轨迹在方程 y=kx- (1+k2)x2 20 (k>0)表示的曲线上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.

(1)求炮的最大射程. (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由.



1 (1)令 y=0,得 kx- (1+k2)x2=0, 20

由实际意义和题设条件知 x>0,k>0, 20k 20 20 故 x= = ≤ =10,当且仅当 k=1 时取等号. 1 2 1+k2 k+ k 所以炮的最大射程为 10 千米. (2)因为 a>0,所以炮弹可击中目标?存在 k>0, 1 使 3.2=ka- (1+k2)a2 成立 20 ?关于 k 的方程 a2k2-20ak+a2+64=0 有正根 ?判别式 Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0?a≤6. 所以当 a 不超过 6 千米时,可击中目标.


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