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数学经典易错题会诊与高考试题预测8


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经典易错题会诊与 2012 届高考试题 预测(八)
考点 8 直线与圆 命题角度 1 直线的方程 命题角度 2 两直线的位置关系 命题角度 3 简单线性规划 命题角度 4 圆的方程 命题角度 5 直线与圆 探究开放题预测 预测角度 1 直线的方程 预测角度 2 两直线的位置关系 预测

角度 3 线性规划 预测角度 4 直线与圆 预测角度 5 有关圆的综合问题

经典易错题会诊 命题角度 1 直线的方程 1.(典型例题)已知点 A ( 3,1), B(0,0)C( 3,0),设 ? BAC的平分线AE与BC相交于E, 那么有BC ? ?CE ,其中?等于
A.2 B. 1 2 C. ? 3 D. ? 1 3
| AC | | AB | ? | CE | | EB | ? 1 , 故 | BC |? 3 | CE |,? ? ? 3. 2

(

)

[考场错解] ∵ | AC |? 1, | AB |? 2,由内角平分线定理得 :

[专家把脉]主要是没有考虑到 BC与CE的向,? BC与CE的方向相反, ?应为负值. [对症下药] ?| BC |? 3 | CE |,而BC与CE的方向相反, 故? ? ?3. 2.(典型例题)点(1,-1)到直线 x-y+1=0 的距离是 (
A. C. 1 2 2 2 B. D. 3 2 3 2 2

)

[考场错解]直接运用点到直线的距离公式.

1

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| 1 ? 1 ? (?1) ? 1 ? 1 | 1 ?1
2 2

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?

2 .故选C 2

[专家把脉]在运用点到直线的距离公式时,没有理解直线 Ax+By+C=0 中,B 的取值,B 应取 -1,而不是取 1. [对症下药]
| 1 ? 1 ? (?1) ? (?1) ? 1 | 1 ?1
2 2

?

3 2 故选D. 2

2. (典型例题)若直线 2x-y+c=0 按向量 a=(1,-1)平移后与圆 x +y =5 相切, 则 c 的值为( ) A.8 或-2 B.6 或-4 C.4 或-6 D.2 或-8 [考场错解]C.直线 2x-y+c=0 按向量 a=(1,-1)平移后的直线方程为:2(x+1)-(y+1)+c=0 即: 2x-y+1+c=0,此直线与圆相切,故圆心到直线的距离等于半径,即
| 2 ? 0 ? (?1) ? 0 ? 1 ? c | 2 ?1
2 2

2

2

?

| 1? c | 5

? 5. ? c ? 4 或-6, 故选 C.

[专家把脉]坐标平移公式运用错误,应用 x-h,y-k 分别来替换原来的 x,y. [对症下药]A 直线 2x-y+c=0 按向量 a=(1,-1)平移后的直线为 2x-y-3+c=0,此直线与圆相切 有:
| 0 ? 2 ? 0 ? (?1) ? (?3) | 5 ? c ? 8 或者说 c=-2,故选 A.

4.(典型例题)设直线 ax+by+c=0 的倾斜角为 a,且 sina+cosa=0,则 a、b 满足 A.A+b=1 B.a-b=1 C.a+b=0 D.a-b=0 [考场错解]C. ? sin a ? cosa ? 0 ? tan a ? ?1, 又 tan a ? k ? [专家把脉]直线 Ax+By+c=0 的斜率 k= ? , 而不是 . [对症下药]D ? sin a ? cosa ? 0 ? tan a ? ?1又tnaa ? k ? ? ? 1? a ? b ? 0.
a b A B A B 9 ? ?1. ? a ? b ? 0 故选C. b

(

)

专家会诊 1. 已知直线的方程,求直线的斜率与倾斜角的范围,反之求直线方程,注意倾斜角的范围 及斜率不存在时的情况。 2. 会用直线的五种形式求直线方程,不可忽视每种形式的限制条件。 考场思维训练 1 已知 A(3,0),B(-1,-6),延长 BA 到 P,使 答案:( 2 直线 ? ?
13 ,2) 3
| AP | | AB | ? 1 , 则点 3

P 的坐标是_________.

解析:由已知 P 分 AB 的比为- ,由定比分点坐标公式可得.

1 4

? x ? ?2 ? 2t ? ? y ? 3 ? 2t

(t为参数)上到点A(?2,3)的距离等于 2的一个点坐标是

(

)

2

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A(-2,3) B(-4,5) D(-3,4) C(-2- 2 ,3 ? 2 )

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答案: D 解析:略.
3设l1的倾斜角为? ,? ? (0, ),l1绕l1上一点P沿逆时针方向旋转?角得直线l2 , l2的纵截距为 ? 2, l2绕P逆时针方向旋转 ? ?角得直线l3 : 2 2 则l1的方程为 __________ .

?

?

答案:16.2x-y+8=0 解析:由已知可设 l2 的方程为:y=tan2α ?x-2,l1 与 l3 垂直,l1, 的斜率为 k1=2,∴tan2α =
4 4 ?? , 即 l2 的方程为 y=- x-2, 解方程组得 P 点坐标(-3, 3 3 1 ? tan ?
2

2 tan?

2).由点斜式得 l1,的方程为 y=2(x+3)+2. 命题角度 2 两直线的位置关系 1.(典型例题)已知过点 A(-2,m)和 B(M,4)的直线与直线 2x+y-1=0 平行,则 m 的值为 ( ) A.0 B.-8 C.2 D.10 [考场错解]A 两直线平行故斜率相等可得: [专家把脉] k ? ? 而不是 . [对症下药]B 利用两直线平行斜率相等可得:
m?4 ? ?2 ? m ? ?8故选B. ?2?m A B A B m?4 ? 2 ∴m=0.故选 A. ?2?m

2.在坐标平面内,与点 A(1,2)距离为 1,且与点 B(3,1)距离为 2 的直线共有 A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 [考场错解]D 由题意知所求直线必不与任何坐标轴平行,可设直线 y=kx+b 即,kx-y+b=0,
d1 ? | k ?2?b| k ?1
2

?1

d2 ?

| 3k ? 1 ? b | k2 ?1

? 2.

1 5? 5 5? 5 解得k1 ? ? , 此时b ? 或b ? . 2 2 2 3 5 或k2 ? , 此时b ? 0或b ? , 故符合题意的直线有4条, 故选D. 4 2

[专家把脉]当 k1 ? ? 时此时 kAB=- , 不符合题意。 [对症下药]B 法一:由题意知所求直线必不与任何坐标轴平行可设直线 y=kx+b,即 kx-y+b=0
?2 k2 ?1 1 1 解得 : k ? ? 与k AB ? ? 平行不合题意舍去 2 2 3 5 或k ? 时b ? 0, b ? ? 符合题意有两条直线 4 2 d1 k ?1
2

1 2

1 2

| k ?2?b|

?1

d2

| 3k ? 1 ? b |

法二:以 A 为圆心,1 为半径画圆,以 B 为圆心 2 为半径作圆,∵圆心距|AB|= 5 ? 1 ? 2. ∴

3

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⊙A′与⊙B 必相交,则⊙A 与⊙B 的分切线有两条,即到点 A 距离为 1 到点 B 距离为 2 的直线有 2 条. 3.(典型例题)如下图,定圆半径为 a,圆心为(b,c)则直线 ax+by+c=0 与直 线 x-y+1=0 的交点在 A.第一象限 C.第三象限 ( )

B.第二象限 D.第四象限

[考场错解]B 由图知 b>a>c>0.取 b=3,a=2,c=1.解方程组
?2x ? 3 y ? 1 ? 0 4 得x ? ? ? x ? y ? 1 ? 0 5 ? 1 y ? 故交点在第二象限选B. 5

[专家把脉]由图看出的是长度大小关系,在比较时坐标值与长度值相混淆。 [对症下药]C 由图形如此图圆心在第二象限且 a、b、c 满足球队 0<c<a<-b,取 c=1,a=2,b=-3 解方程组 ?
?2 x ? 3 y ? 1 ? 0 得 x=-2,y=-1,故选 C. ?x ? y ? 1 ? 0

此题也可以讨论 ax+by+c=0 在 y 轴截距及斜率与直线 x-y+1=0 进行比较去解决。 2 2 . 4.(典型例题)由动点 P 向圆 x +y =1 引两条切线 PA、PB,切点分别为 A、B,<APB=60 ,则动 点 P 的轨迹方程为_____. [考场错解]设 A(x1,y2),B(x2,y2), ∴PA 的直线方程为 x1x+y1y=1.PB 的直线方程为 x2x+y2y=1. . 。 又∵<APB=60 即两直线之间夹角为 60 ,从而求出 x1、y1、x2、y2 的关系. 联立两方程解得 2 2 x +y =3. [专家把脉]引方法过于繁琐复杂,使运算很易出错,应考虑此特殊性。 . [对症下药]如图∵<APB=60 ,OP 平分<APB . ∴<APO=30 ,在 Rt△AOP 中,|OA|=1 为定值∴|OP|=2 2 2 2 2 故 P 轨迹为以 O 为圆心,以 2 为半径的圆 x +y =4 故正确答案:x +y =4 5.(典型例题)曲线 C:
?x ? cos? (?为参数)的普通方程是 ______,如果曲线C与直线x ? y ? a ? 0有公共点, 那么实a的取值范围是 ___ . ? ? y ? ?1 ? sin ?

[考场错解]曲线 C 的普通方程可化为:x +(y+1) =1,与直线 x+y+a=0 有公共点,故联立得
? 2 2 ? x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 消去 x.2y +2(a+1)y+a =0,有公共点故 ? ? x ? y ? a ? 0 ?
? ? 0 ? 2 ? 1 ? a ? 2 ? 1.

2

2

[专家把脉]忽略了直线与圆相切时的情况。 [对症下药] x2 ? ( y ? 1)2 ? 1; 2 ? 1 ? a ? 2 ? 1

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式可得 2 ? 1 ? a ? 2 ? 1.

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由公式 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1消去参数?得 : x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1, 是以(0,1)为圆心,1为半径的圆,由题意得 : 圆心(0,?1)到直线x ? y ? a ? 0的距离d

专家会诊 1. 两直线平行与垂直的充要条件在解题中的应用。 2. 夹角与距离公式是求距离或角、斜率的最值问题的工具.一定要注意公式的运用及条件. 3. 关于直线对称问题,即点关于直线对称,或直线关于直线对称.是命题热点。 考场思维训练 1 直线 l1:x+3y-7=0 、l2:kx-y-2=0 与 x 轴、y 轴的正半轴所围成的四边形有外接圆,则 k 的值等于 ( ) A.-3 B.3 C.-6 D.6 答案: B 解析:略. 2 已知点 M 是点 P(4,5)关于直线 y=3x-3 的对称点, 则过点 M 且平行于直线 y=3x+3 的直线方 程是_____. 答案: y=3x+1 解析:略. 2 2 2 2 3 若曲线 x +y +a x+(1-a )y-4=0 关于直线 y-x=0 对称的图形仍是其本身,则实数 a= ( )
A.. ? 1 2 B. ? 2 2

1 2 C. 或 ? 2 2

1 2 D. ? 或 2 2

答案: B 解析:略. 4 求直线 l2:7x-y+4=0 到 l1:x+y-2=0 的角平分线的方程。 答案:解:法一:设 l2 到 l1 角平分线 J 的斜率为 k, ∵k1=-1,k2=7 ∴
1 k ?7 ?1 ? k ? ,解之得 k=-3 或 k= ,由图形可知 3 1 ? 7k 1? k

k<0, ∴k=-3, 又由 ? 即 6x+2y-3=0

?x ? 2 y ? 2 ? 0 9 1 9? 1? 解得 l1, 与 l2 的交点 Q ? 由点斜式得 y- =-3 ? ?? , ? , ?x? ? 4 4? ? 4 4? ? ?7 x ? y ? 4 ? 0
k1 ? k2 4 ? = 1 ? k1k2 3

法二:设 l2 到 l1 的角为θ ,则 tgθ =
? 2 二倍角公式可知 ? 1 ? tg 2 2
2tg

,所以角θ 为锐角,而α 1=α 2=

? ,由 2

tgθ = ∴tg ∴tg

4 3

? ? 1 =-2 或 tg = 2 2 2



? 为锐角, 2

? 1 k ?7 = = ,∴k=-3 等同解法一. 2 2 1 ? 7k

命题角度 3 简童单线性规划

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1.(典型例题)已知点 P(x,y)在不等式组

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? x ? 2 ? 0, ? 表示的平面区域内 , 则z ? x ? y的取值范围是 ? y ? 1 ? 0, ? x ? 2 y ? 2 ? 0. ?

(

)

A.[-2,-1] B.[-2,1] C.[-1,2] D.[1,2] [考场错解]由约束条件画出可行域, 再平移 y=x.过(0,1)时截距最大为 1, 过(2,0)时截距最 小为-2,∴取值范围为[-2,1]选 B. [专家把脉] z=x-y 可化为 y=x-z,此时 y=x-z 的截距为-z.故错选。 [对症下药]平移 y=x 得最大截距为 1,最小截距为-2,∴-2≤-z≤1∴1-≤z≤2. 2.(典型例题)设集合 A={(x,y)|x,y,1-x-y 是三角形的三边长},则 A 所表示的平面区域(不 含边界的阴影部分)是 ( )

?x ? 0 ? ?y ? 0 [考场错解]由题意可得 ? ?1 ? x ? y ? 0 ? ?1 ? x ? y ? x ? y

?x ? y ? 1 ? x?0 ? ? ? ?y ? 0 故选 D. ? ?x ? y ? 1 . ? 2 ?

[专家把脉]三角形两边之和大于第三边没有写完全, ?

?1 ? x ? y ? x ? y, 1 ?0? x? . 2 ?1 ? x ? y ? y ? x.

1 0? y? . 2

?x ? 0 ? ?y ? 0 [对症下药]由题意可列 ? ?1 ? x ? y ? x ? y ? ?1 ? x ? y ? y ? x ?1 ? x ? y ? 0 ? ?1 ? x ? y ? x ? y ?

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1 ? ?0 ? x ? 2 ? ?0 ? y ? 1 ? ?? 2 故选 A. ?x ? y ? 1 ? 0 ? 1 ? x? y ? ? 2 ?

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3.(典型例题)在坐标平面上,不等式组 ?
A. 2 B. 3 2 C. 3 2 2 D.2

? y ? x ? 1, 所表示的平面区域的面积为 ? y ? ?3 | x | ?1.

(

)

[考场错解]依条作出当 x≥0 时即 ?

?y ? x ?1 所表示的区域,其面积为 1,故当 x≤0 时,同 ? y ? ?3x ? 1

理其面积为 1,故总面积为 2,故选 D. [专家把脉]y=-3|x|+1 是关于 y 轴对称,但 y=x-1 并不关于 y 轴对称,故当 x≤0 时的面积 与 x≥0 时的面积不相等。 [对症下药]先作出 y=-3|x|+1 的图像(依此函数为偶函数作),再作出 y=x-1 的图像,再标出其围成的区域,如图所示:其阴影部分为所求且为 ,故选 B .
?x ? y ? 2 ? 0 y 4.(典型例题)设实数 x,y 满足 ? ? x ? 2 y ? 4 ? 0, 则 的最大值是______. x ?2 y ? 3 ? 0 ?
3 2

[考场错解]依题意作出可行域如图所示:
y 3 y 3 实指可行域内的点与原点相连的斜率, 求其最大值, 即离原点最远的点故CO连线斜率最大koc ? , 故 的最大值为 . x 7 x 7

[专家把脉]连线斜率的最大与最小并不取决于此点与原点的远近。 [对症下药]连接 OA,则 kOA 最大, kOA ? , 故 的最大值为 . 专家会诊 1. 对线性目标函数 z=Ax+By 中的 B 的符号一定要注意,当 B>0 时,z 最大,当 B<0 时,当直 线过可行域且 y 轴上截距最大时,z 值最小。 2. 由于最优解是通过图形来规定的,故作图要准确,尤其整点问题。 考场思维训练 1 在直角坐标面上有两个区域 M 和 N.M 是由 y≥0,y≤x 和 y≤2-x 三个不等式来确定的.N 是 由不等式 t≤x≤t+1 来确定的,t 的取值范围是 0≤t≤1,设 M 和 N 的公共面积是函数 f(t), 则 f(t)为 ( )
A. ? t 2 ? t ? 1 C.1 ? t 2 2 1 2 B. ? 2t 2 ? 2t 1 D. (t ? 2)2 2
3 2 y x 3 2

2

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1 2

答案: A 解析:画出 M 和 N 的所表示的区域,可得面积等于-t2+t+ ,所以选 A 2 设实数 x,y 满足不等式组
?1 ? x ? y ? 4 , 则函数f ( x, y) ? y ? ax(a ? 2)的最大值 最小值分别为 ? ? y ? 2 ?| 2x ? 3 | ( )

A.7+3a,1-3a B.7+3a,-1-2a C.-1-2a,1-3a D.以上都不对 答案: A 解析:画出不等式组所表示的平面区域,由线性规划的知识知选 A 3 某运输公司有 10 辆载重量为 6 吨的 A 型卡车与载重量为 8 吨的 B 型卡车, 有 11 名驾驶员。 在建筑某段高速公路中, 该公司承包了每天至少搬运 480 吨沥青的任务。 已知每辆卡车每天 往返的次数为 A 型卡车 8 次,B 型卡车 7 次;每辆卡车每天的成本费 A 型车 350 元,B 型车 400 元。问每天派出 A 型车与 B 型车各多少辆,公司所花的成本费最低,最低为多少? 答案:解:设每天派出 A 型车与 B 型车各 x、y 辆,并设公司每天的成本为 z 元.由题意, 得
? x ? 10, ? y ? 5, ? ? ? x ? y ? 11, ?48 x ? 56 y ? 60, ? ? x, y ? N , ?

且 z=350x+400y.
? x ? 10, ? y ? 5, ? ? x ? ? y ? 11, ?6 x ? 7 y ? 55, ? ? ? x, y ? N ,

作出可行域,作直线 l0:350x+400y=0, 即 7x+8y=0. 作出一组平行直线:7x+8y=t 中(t 为参数)经过可行域内的点和原点距离最近的直线, 此直线经过 6x +7y=60 和 y=5 的交点 A( 所以可行域内的点 A(
25 ,5),由于点 A 的坐标不都是整数,而 x,y∈N, 6

25 ,5)不是最优解. 6

为求出最优解,必须进行定量分析. 因为,7?
25 +8?5≈69.2,所以经过可行域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点) 6

且与原点最小的直线是 7X+8y=10, 在可行域内满足该方程的整数解只有 x=10, y=0, 所以(10, 0)是最优解,即当 l 通过 B 点时,z=350?10+400?O=3500 元为最小. 答:每天派出 A 型车 10 辆不派 B 型车,公司所化的成本费最低为 3500 元 命题角度 4 圆的方程 2 2 1(典型例题)从原点向圆 x +y -12y+27=0 作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 ( )

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A.? B.2? C.4? D.6?

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[考场错解]由半径为 3,圆心与原点距离为 6,可知两切线间的夹角为 60 ,故所相应的圆心 角为 120,故所求劣弧为圆弧长的 为2? ? 3 ? ? 4? .故选C . [专家把脉]没有理解清楚优弧,劣弧的概念,劣弧应为相对较短的一段弧。 [对症下药]所求劣弧是整个圆弧的 故所求弧长为2? ? 3 ? ? 2? . 2.(典型例题) △ABC 的外接圆的圆心为 O, 两条边上的高的交点为 H. OH ? m(OA ? OB ? OC), 则 实数 m=______. [考场错解]选取特殊三角形,取△ABC 为等边三角形,则 | OH |? 0,| OA ? OB ? OC |? 0, 故 m 可取 任意实数。 [专家把脉]情况太特殊,若所取三角形为等腰三角形(非等边三角形)此时
| OH |? 0,| OA ? OB ? OC |? 0 此时与 m 为任意实数相矛盾。
1 3 1 3 2 3 2 3

[对症下 药]
m ? 1.由向量的加减法的几何意义又可求, 或利用直角三角形ABC, ? A ? 90..OH ? OA,OB ? ?OC.故OH ? OA ? OB ? OC,? m ? 1.

3.(典型例题)圆心在直线 2x-y-7=0 上的圆 C 与 y 轴交于两点 A(0,-4),B(0,-2),则圆 C 的 方程为_____. [考场错解]设圆的方程为
2 2 2 2 2 x0 2 y0

( x ? x0 ) ? ( y ? y0 ) ? r .令y ? 0, x ? 2 x0 ? x ?

?

??4 ? 2 ? 2 x0 ? ? 2 2 ? r ? 0,?4 ? 2分别为方程的两根, 故?(?4) ? (?2) ? x0 ? y0 ? r2 ?2 x ? y ? 7 ? 0. 0 ? ? 0
2
2 2

解得 x0=-3,y0=-13,r= 168 .故所求圆的方程为(x+3) +(y+13) =168. [专家把脉]应是令 x=0,而不是令 y=0,故后面的结果均错。 [对症下药] 故解 ? 法一: ∵AB 的中垂线, y ? ?3 必过圆心

? y ? ?3 ? 0 得圆心坐标为 0?( 2,?3),| O ' A |? ?2 x ? y ? 7

5 . ? 所求圆的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 5.

法二:设圆 C 的方程: ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? r 2
? 圆心在直线 2 x ? y ? 7 ? 0 上
? 2 x0 ? y0 ? 7 ? 0



又 ? 圆过 A (0, -4) B (0, -2)

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2 ? x0 ? (?4 ? y0 )2 ? r 2 2 x0 ? (?2 ? y0 )2 ? r 2

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② ③

2 由①②③解得 ? ? y0 ? ?3 ? 圆的方程 ( x ? 2) ? ( y ?

? x0 ? 2

? r? 5 ?

3) 2

专家会诊 1.求圆的方程应注意根据所给的条件,恰当选择方方程的形式,用待定系数法求解. 2 讨论点、直线、圆与圆的位置关系时,一般可从代数特征(方程组解的个数)或几何特征 去考虑,其中几何特征数更为简捷实用。 考场思维训练 1 过 点 A ( 1 , -2 ) , B ( -1 , 1 ) ,且圆心在直线 x? y?2 ? 0 上的圆的方程是 ( ) A. ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 B. ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 C. ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 D. ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 4 答案: A ∵只有 A 中的圆心(3,-1)在直线 x+y-2=0 上, ∴选 A. 2 方程 x ? 1 lg( x2 ? y 2 ? 1) ? 0 所以表示的曲线图形是 答案: D 解析:方程的解为 x=1 或 x +y =2,且 x +y >1,当 x=1,y≠0. 3.已知两点 A(-1,0) ,B(0,2) ,若点 P 是圆(x-1)2+ y2=1 上 的 动 点 , 则 △ ABP 面 积 的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 为 ( )
1 (4 ? 2 1 B . (4 ? 2 1 C . (3 ? 2 1 D . (2 ? 2 A. . 1 5 ), ( 5 ? 1) 2 1 5 ), (4 ? 5 ) 2 1 5 ), (3 ? 5 ) 2 1 5 ), ( 5 ? 2 ) 2
2 2 2 2

答案: B 解析:过圆心 C 作 CM⊥AB 于 M,设 CM 交圆于 P、Q 两点,从图可以看出,△ABP

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1 2 1 (4- 5 ),所 2

和△ABQ 分别为最大和最小值,可以求得最大值和最小值分别为 (4+ 5 ), 以选 B

4 如图 8 – 5,已知点 A、B 的坐标分别是(-3,0) , (3,0) ,点 C 为线段 AB 上任一点,P、 Q 分别以 AC 和 BC 为直径的两圆 O1、O 2 的外公切线的切点,求线段 PQ 的 中点的轨迹方程. 答案:解:作 MC⊥AB 交 PQ 于点 M,则 MC 是两圆的公切线, ∴|MC|=|MQ|,|MC|=|MP|,即 M 为 PQ 的中点.设 M(x,y),则点 C、O1、O2 的坐标分别是(x, 0)、(
?3 ? x 3? x , 0)、( ,0).连 O1M,O2M,由平几知识得:∠O1MO2=90°, 2 2
2 2 2

∴有|O1M| +|O2M| =|O1O2| ,即: (x=(
?3 ? x 2 2 3? x 2 2 ) +y +(x) +y 2 2 ?3 ? x 3 ? x 2 2 2 ) ,化简得 x +4y =9. 2 2

又∵点 C(x,0)在线段 AB 上,且 AC、BC 是圆的直径, ∴ -3<x<3. 故所求的轨迹方程为 x2+4y2=9(-3<x<3). 命题角度 5 直线与圆 1. (典型例题)已知直线 L 过点(-2,0,当直线 L) 与 圆 ( )
A .( ? 2 2 ,2 2 ) C .( ? 2 2 , ) 4 4 B .( ? 2 , 2 ) D.( ? 1 1 , ) 8 8
x2 ? y 2 ? 2 x

有 两 个 交 点 时 , 其 斜 率

k

取 值 范 围 是

[ 考场错解 ] 时 .
3k 1? k2

设此直线为 y ? k ( x ? 2) . 圆心到直线的距离刚好好等于半径(即相切)
1 . 8

? 1 ? k2 ?

?k2 ?

1 , 故选 D . 8

[专家把脉]

计算出 k 2 , 见答案中有此结果, 便盲目选出答案 .并没有开方算出 k ? ?

2 . 4

[ 对 症 下 药 ]
? ? 0 可得 k 2 ?

可 设 直 线 方 程 为 y ? k ( x ? 2) 代 入 圆 的 方 程 中 , 用

1 2 2 故? ?k? .选 C. 8 4 4

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2. (典型例题) “ a=b” j 是“直线 y ?
? ( y ? b)2 ? 2相切的

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x ? 2 与圆 ( x ? a)2

(

)

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 [考场错解] 当 a ? b 时圆心坐标为 ( a, ? a ) , 圆心到直线的距离为
| a?a?2| 2 ? 2 与半
( a ,? b )

径杨等,故 a ? b 是直线和圆相切的充分人条件,同理不直线与圆相切时,圆心
y ? x ? 2 的距离为



(a ? b ? 2) 2

? 2 ?a ?b.故

a ?b

是直线与圆相切的充分必要条件. 在运用点到直线的距离公式时, y ? x ? 2 应先变为 x ? y ? 2 ? 0 再计算. 这刊

[专家把脉]

里 y 的系数应为- 1 而不是未变形前的 1. [对症下药] 当 a ? b ,时圆心 ( a , ? a ) 到直线 x ? y ? 2 =0 的距离为
|a?a?2| 2

不一定刚好等

于 2 , 故不是充分条件 , 当直线与圆相切时 , ( a ,? b ) 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离应等于半径 , 即
| a?a?2| 2 ? 2 , 解得 a ? b ? 0 或a ? b ? ?4 故也不是必要,综合得 a ? b 是直线与圆相切的既不充

分也不必要条件.
1.

(典型例题) 圆心为( 1 ,2 ) 且与直线 5x ?12x ?

7=0 相切的圆的方程为__________. [考场错解]
5 ? 12
( y ? 2)2 ? 2.
2 2

圆心到直线的距离等于半径即
? r ? 2. ? 圆的方程为 ( x ? 1) 2 ?

| 1? 5 ? 2 ? (?12) ? 7 |

[专家把脉]

在算出 r 后,往 ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? r 2

中代入时、忘记后面是 r2. [对症下药] 由圆心到直线的距离等于半径得 r = 2.

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?圆的方程为( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4.

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4.

(典型例题) 设 P < 0 是一常数,过点`Q(2P,0)的直线与抛物线 y 2 ? 2 px 交于相导两点 A、B

以线段 AB 为直径作圆 H(H 为圆心).试证抛物线顶点在圆 H 的圆周上;并求圆 H 的面积最小时 直线 AB 的方程. [考场错解] 设 AB 直线方程为 y ? k ( x ? 2 p ).

A( x1, y1 ).B ( x2 , y2 )


? x1 ? x2 ?

y ? kx ? 2 px, y 2 ? 2 px

? k 2 x2 ? 4 p2k 2 ? 2 px ? 0.

4 pk 2 ? 2 p k2

, x1 ? x2 ? 4 p2

① 式中联立消去 x得ky2 ? 2 py ? 4 p 2k ? 0.
y1 ? y2 ? 2p , y1 ? y2 ? ?4 p 2 . k

由 kOB ? kOA ?

y1 y2 y1 ? y2 ? ? ? ?1. x1 x2 x1 ? x2

? OB ? OA ? O在圆H上 . r ? OH ? 2p ( 1 x1 ? x2 y ? y2 2 ?( 1 ) ? 2 2

5 25 ? )2 ? 1 ? . 2 4 k 1 ? 当 2 ? 0 时, r 取最小值 k 又 ?? 0故不存在最小值
2

[专家把脉] ∵

1 k
2

? 0 时,,虽然不成立,而

1 ? 0 时说 k2

明 k 不存在,即直线 AB ? x轴 . [对症下药] 法一;由题意,

直线 AB 不能是水平线,故可设 直线方程为: ky ? x ? ?2 p. 又设 A
( x A , yB ), B( xB , yB ), 则其坐标

满足
? ky ? x ? 2 p ? 2 ? y ? 2 px

消去 x 得

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y 2 ? 2 pky ? 4 p 2 ? 0. ,由此得

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? y A ? y B ? 2 pk ? 2 . ? y A y B ? ?4 P

? x A ? xB ? 4 p ? k ( y A ? yB ) ? (4 ? 2k 2 ) p ? , ( y A yB ) 2 ? x x ? ? 4P2 A B ? 2 ( 2 P) ?

因此 OA ? OB ? xAxB ? y A yB ? 0,即OA ? OB故O必 在圆 H 的圆周上. 又题意圆心 H ( xH , y H )
x ? xB ? x ? A ( 2 ? k 2 ) p. ? ? H 2 故? y ? y B ? A? y B ? kp. ? 2 ?
2 2 由前已证,OH 应是圆 H 的半径,且|OH|= xH ? yH

是 AB 中心点,

? k 4 ? 5k 2 ? 4 p . 从而当 k=0 时,圆 H 的半径最小,亦使

圆 H 和面积最小,此时,直线 AB 的方程为: x ? 2 p. 法二:由题意,直线 AB 不能是水平线,故可设直线方程 为: ky ? x ? 2 p又设A( x A , y A ), B( xB , yB ), 则其坐标满足
? ?ky ? x ? 2 p, ? y 2 ? 2 pky ? 4 p 2 ? 0. 分别消去x, y, 得? 2 ? 2 2 2 ? ? y ? 2 px ? x ? 2 p(k ? 2) x ? 4 p ? 0.



得 A、B 所在圆的方程 x2 ? y 2 ? 2 p(k 2 ? 2) x ? 2 pky ? 0. 明 显的,O, (0,0)满足上面方程 A、B、O 三点均在上面方 程所表示的圆上,又知 A、B 中点 H 的坐标为 (
x A ? xB , 2

y A ? yB ) ? ((2 ? k 2 ) p, kp), 故 | 0H | (2 ? k 2 )2 p 2 ? k 2 p 2 . 2

而前面圆的方程可以可表示为 [ x ? (2 ? k 2 ) p]2 ? ( y ? pk )2 ?
(2 ? k 2 )2 p 2 ? k 2 p 2 , 故|OH|为上面圆的半径 R,从而以

AB

为直径直圆必过点 O(0,0).又 R 2 ?| OH |2 ? (k 4 ? 5k 2 ?

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4) p2 , 故当k ? 0 时.R2 J 最小.从而圆的面积最小,此时直

线 ABR 的方程为: x ? 2 p 法三:,同解法得 O 必在圆周上,又直径|AB
2 2 |= ( xA ? xB )2 ? ( yA ? yB )2 ? x2 A ? xB ? yB ?
2 x2 A ? xB ? 2 px A ? 2 pxB ? 2 x A xB ? 4 p ? x A xB ? 4 p .

上式当 x A ? xB 时,等号成立,直径|AB|最小,从而圆 面积最小,此时直线 AB 的方程为 x ? 2 p.

专家会诊 1.直线与圆、圆与圆的位置关系判断时利用几何法(即圆心到直线,圆心与圆心之间的 距离,结合直角三角形求解.) 2.有关过圆外或圆上一点的切线问题,要熟悉切线方程的形式. 考场思维训练 1 已知直线 ax+by+c=0(abc≠0)与圆 x2+y2=1 相切,则三条边分别为,|a|、|b|、|c|的三角 形是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不存在 答案: B 解析:
|c| a ? b2
2

?1.

2 若 a2+b2-2c2=0,则直线 ax+by+c=0 被 x2+y2=1 所截得的弦长为 A.
1 2

(

)

B.1

C.

2 2

D. 2

答案: D 解析:设圆心到直线的距离为 d,弦长为 l, 则 d2=
c2 a ?b
2 2

?

1 ,l=2 R2 ? d 2 ? 2 . 2

3 如图,已知点 F(0,1),直线 L:y=-2,及圆 C:x2+(y-3)2=1. (1)若动点 M 到点 F 的距离比它到直线 L 的距离小 1,求动点 M 的轨迹 E 的方程; 答案:解①x =4y
2

②x1x2=-4 ③P(±2,1)Smin= 7

(2)过点 F 的直线 g 交轨迹 E 于 C(x1,y1)、H(x2,y2) 两点,求证:xlx2 为定值; (3)过轨迹 E 上一点 P 作圆 C 的切线,切点为 A、B,要使四边形 PACB 的面积 S 最小,求 点 P 的坐标及 S 的最小值. 4 如图 8-9,已知圆 C:(x+4)2+y2=4.圆 D 的圆心 D 在 y 轴上且与圆 C 外切.圆 D 与 y 轴交

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于 A、B 两点,点 P 为(-3,0). (1)若点 D 坐标为(0,3),求∠APB 的正切值; 答案:∵|CD|= | CO |2 ? | OD |2 =5,(O 为原点)且

圆 D 与圆 C 外切, ∴圆 D 半径 r=5-2=3, 此时,A、B 坐标分别为(0,0)、(0,6), ∴PA 在 x 轴上,且 BP 的斜率 k=2, ∴tan∠APB=2. (2)当点 D 在 y 轴上运动时,求∠APB 的最大值; 2 2 答 案 : 设 D 的 坐 标 为 (0 , a) , 圆 D 的 半 径 为 r , 则 (r+2) =16+a . ① 设 PA、PB 的斜率为 k1、k2,又 A、B 的坐标分别为(0,a-r)、(0,a+r).则 k1=
a?r 3 , k2 ? a?r , 3

a?r a?r ? 6r 3 ∴tan∠APB= 3 ? a ? r a ? r a2 ? r 2 ? 9 1? ? 3 3



由①解出 a 代人②,得 tan∠APB= ∞]. ∴tan∠APB∈( ,
3 12 ) 2 5 12 . 5

2

6r 3 9 ? ? , 而 8r-6 为单调增函数,r∈[2,+ 34r ? 3 2 8r ? 6

∠APB 的最大值为 arttan

(3)在 x 轴上是否存在定点 Q,当圆 D 在 y 轴上运动时,∠AQB 是定值?如果存在,求出点 Q 坐标;如果不存在,说明理由. 答案:假设存在 Q 点,设 Q(b,0),QA、QB 的斜率分别为 k1、k2,则中 k1=
a?r a?r , k2 ? , ?b ?b

a?r a?r ? k2 ? k1 ? 1br 2 2 ? b ?| |?| ? b tan ∠ AQB= | 将 a =(r+2) -16 代 人 上 式 , 得 2 2 2 a?r a?r 1 ? k2 k1 b ? a ? r 1? ? ?b ?b

tan ∠

AQB= |

?2br b 2 ? 12 ? 4r

|?|

?2b b 2 ? 12 ?4 r

欲使∠AQB 大小与 r 无关,则应有 b =12,即 b=±2 3 ,

2

此时 tan∠AQB= 3 ,∠AQB=60°,

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∴存在 Q 点,当圆 D 变动时,∠AQB 为定值 60°,这 Q 点坐标为(±2 3 ,0) 探究开放题预测 预测角度 1 直线的方程 1.求与直线 3x+4y+12=0 平行,且与坐标轴构成的三角形面积是 24 的直线乙的方程. [解题思路] 满足两个条件才能确定一条直线.一般地,求直线方程有两个解法,即用其 中一个条件列出含待定系数的方程,再用另一个条件求出此参数. [解答] 解法一:先用“平行”这个条件设出乙的方程为 3x+4y+m=0①再用“面积”条件 去求 m,∵直线 l 交 x 轴于 A(m m 1 m m ,0),交了轴于 B(0,- )由 ? ? ? ? =24,得 m= 2 3 4 3 4

±24,代入①得所求直线的方程为:3x+4y±24=0 解法二: 先用面积这个条件列出 l 的方程, 设 l 在 x 轴上截距离 a, 在 y 轴上截距 b, 则有 , |ab|=24,因为乙的倾角为钝角,所以 a、b 同号,|ab|=ab,l 的截距式为 ? 48x+a y-48a=0②又该直线与 3x+4y+2=0 平行, ∴
2

1 2

x a

y ? 1 ,即 48

48 a 2 ? 48a ? ? , 3 4 2

∴a=±18 代入②得所求直线 l 的方程为 3x+4y±24=O 2.设正方形 ABCD(A、B、C、D 顺时针排列)的外接圆方程为 x2+y2-6x+a=0(a<9),C、D 点所 在直线 l 的斜率为 . (1)求外接圆圆心 M 点的坐标及正方形对角线 AC、BD 的斜率; (2)如果在 x 轴上方的 A、B 两点在一条以原点为顶点,以 x 轴为对称轴的抛物线上,求此 抛物线的方程及直线 l 的方程; (3)如果 ABCD 的外接圆半径为 2 ,在 x 轴上方的 A、B 两点在一条以 x 轴为对称轴的抛 物线上,求此抛物线的方程及直线 l 的方程. [解题思路] (1)利用斜率公式求倾斜角.(2)(3)运用轨迹法. [解答] (1)由(x-3)2+y2=9-a(a<9)可知圆心 M 的坐标为(3,0),依题意:∠ABM=∠BAM= kAB=
1 3 1 3

? , 4

1 3 =1,解得:k =- 1 ,k =2. ∴MA、MB 的斜率 A 满足: AC AB 1 2 1? k 3 k?

(2)设 MB、MA 的倾斜角分别为θ l、θ 2,则 tanθ 1=2, tanθ 2=- ,可以推出:cosθ 1=
2 2 5 5 ,cosθ 2=5 ,sinθ 2= ,sinθ 1= 5 5 5

1 2

5 . 5

再设|MA|=|MB|=r,则 A(3-

2 5 5 2 5r , r ),B(3+ r, 5r ) 5 5 5 5

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设抛物线方程为 y2=2px(p>0),由于 A、B 两点在抛物线上,
? 5 2 2 r ) ? 2 p (3 ? 5 r ), ?( 1 ? 5 5 ? 解出:r= 5 ,p= ∴? . 2 2 5 ? 2 ( 5 r ) ? 2 p (3 ? r) ? 5 ? 5

得抛物线方程为 y2=x. 由此可知 A 点坐标为(1,1),且 A 点关于 M(3,0)的对称点 C 的坐标是(5,-1),∴直线 l 的方程为 y-(-1)= (x-5),,即 x-3y-8=0. (3)将圆方程(x-3)2+y2=(2 5 )2 分别与 AC、BD 的直线方程: y= (x-2),y=2(x-3)联立,可解得 A(-1,2), B(5,4). 设抛物线方程为了 y2=a(x-m)(*)将 A(-1,2)、B (5,4)的坐标代入(*),得
?4 ? a(?1 ? m) ? ?16 ? a(5 ? m)
1 2

1 3

解得:a=2,m=-3, ∴抛物线的方程为 y2=2(x+3). A(-1,2),点关于 M(3,0)的观点为 C(7,-2), 故直线 l 的方程为 y-(-2)= (x-7),即 x-3y- 13=0.
1 3

预测角度 2 两直线的位置关系 1.若直线 mx+y+2=0 与线段 AB 有交点,其中 A(-2,3),B(3,2),求实数 m 的取值范围. [解题思路] 运用数形结合的思想来解,直线 mx+y+ 2=0 的斜率-m 应为倾角的正切,而 当倾角在(0°,90°)或 (90°,180°)内,角的正切函数都是单调递增的,因此当直线在∠ ACB 内部变化时,众应大于或等于 kBC,或者 k 小于或等于 kAC,当 A、B 两点的 坐标变化时,求出 m 的范围. [解答] 直线 m+y+2=0 过一定点 C(0,-2),直线 mx+y+2=0 实际上表示的是 过定点(0,-2)的直线系,因为直线与线段 AB 有交点,则直线只能落在∠ABC 的内部,设 BC、CA 这两条直线的斜率分别为 k1、k2,则由斜率的定义可知,直线 mx+y+2=0 的斜率 A 应满足 k≥k1,或 k≤k2,∵A(-2,3) B(3,2)
4 3 5 k2 ? ? 2 4 5 4 5 ? ?m ? 或 ? m ? ? 即m ? ? 或m ? 3 2 3 2 ? k1 ?

2.如图 8-11,已知:射线 OA 为 y=kx(k>0,x>0),射线 OB 为了 y=-kx(x>0),动点 P(x,y)在 ∠AOx 的内部,PM⊥OA 于 M,PN⊥kOB 于 N,四边形 ONPM 的面积恰为 k.

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(1)当 k 为定值时,动点 P 的纵坐标 y 是横坐标 x 的函数,求这个函数 y=f(x)的解析式; (2)根据 A 的取值范围,确定 y=f(x)的定义域. [解题思路] (1)设点的坐标而不求,直接转化. (2)垂足 N 必须在射线 OB 上,所以必须满足条件: y<
x2 ? k 2 ? 1 ? 1 x ,解不等式即可. k
1 x ,将它代入函数解析式,得 k

[解答] (1)设 M(a,ka),N(b,-kb),(a>0,b>0).则|OM|=a 1 ? k 2 ,|ON|=b 1 ? k 2 . 由动点 P 在∠AOx 的内部,得 0<y<kx.
?| PM |? | PN |? | kx ? y |
2

1? k | kx ? y | 1? k2

?

kx ? y

?

1? k2 kx ? y 1? k2

,

∴S 四边形 ONPM=S△ONP+S△OPM= (|0M|?|PM|+ |ON|?|PN|) = [a(kx-y)+b(kx+y)]= ∴k(a+b)x-(a-b)y=2k 又由 kPM=1 2 1 [k(a+b)x- (a-b)y]=k 2

1 2



1 y ? ka 1 y ? kb ? ,kPN= ? , k x?a k x?b

分别解得 a=

x ? ky 1? k2

,b ?

x ? ky 1? k2

,代入①式消 a、b,并化简得 x2-y2=k2+1.

∵y>0,∴y= x2 ? k 2 ? 1 (2)由 0<y<kx,得 0< x2 ? k 2 ? 1 <kx
2 2 ? ?x ? k ? 1 ? 0 ?? 2 2 2 2 ? ?x ? k ? 1 ? k x

? ?x ? k 2 ? 1 ?? 2 2 2 ? ?(1 ? k ) x ? k ? 1

(*)

当 k=1 时,不等式②为 0<2 恒成立,∴(*) ? x> 2 . 当 0<k<1 时,由不等式②得 x2< 当 k>1 时,由不等式②得 x2> ∴(*) ? x> k 2 ? 1 但垂足 N 必须在射线 OB 上,否则 O、N、P、M 四点不能组成四边形,所以还必须满足
k2 ?1 1? k2
2

,x<
k2 ?1 1? k2

1? k4 1? k2

,? (*) ?

k2 ?1 ? x ?

1? k4 1? k2

.

k2 ?1 1? k

,且

?0

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条件:y<

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1 1 x,将它代入函数解析式,得 x2 ? k 2 ? 1 < x k k
k k4 ?1 k2 ?1

解得 k 2 ? 1 ? x ?

(k >1),或 x∈A(0<k≤1).

综上:当 k=1 时,定义域为{x|x> 2 } ; 当 0<k<1 时,定义域为{x| k 2 ? 1 <x< 当 k>1 时,定义域为{x| k 2 ? 1 <x< 预测角度 3 线性规划 1.已知 x、y 满足约束条件
? x ? 1, ? ? x ? 3 y ? ?4, ?3x ? 5 y ? 30. ?
1? k4 1? k2

};

1? k4 1? k2

}.

求目标函数 z=2x-y 的最大值和最小值. [解题思路] 由 x、y 满足的约束条件作出可行域,利用平移法求最值. [解答] 根据 x、y 满足的约束条件作出可行域,即如图所示的阴影部分(包 括边界). 作直线 l0:2x-y=0,再作一组平行于 l0 的直线 l:2x-y= t,t∈R 可知,当 l 在 l0 的右下方时,直线 l 上的点(x,y)满足 2x-y>0,即 t>0,而且直线 l 往右平 移时,t 随之增大.当直线 l 平移至 ll 的位置时,直线经过可行域上的点 B,此时所对应的 t 最大;当 l 在 l0 的左上方时,直线 l 上的点(x,y)满足 2x-y<0,即 t<0,而且直线 l 往左平移 时,t 随之减小.当直线 l 平移至 l2 的位置时,直线经过可行域上的点 C,此时所对应的 t 最小. 由? 由?
?x ? 3 y ? 4 ? 0, 解得点 B 的坐标为(5,3); ?3x ? 5 y ? 30 ? 0, ?x ? 1, 27 解得点 C 的坐标为(1, ). 5 ?3x ? 5 y ? 30 ? 0,

所以,z 最大值=2?5-3=7;z 最小值=2 2.已知三种食物 P、Q、R 的维生素含量与成本如下表所示. 维生素 A(单位/kg) 维生素 B(单位/kg) 成本(元/kg) 食物 P 400 800 6 食物 Q 600 200 5 食物 R 400 400 4

现在将 xkg 的食物 P 和 ykg 的食物 Q 及 zkg 的食物 R 混合, 制成 100kg 的混合物. 如果 这 100kg 的混合物中至少含维生素 A44000 单位与维生素 B48000 单位,那么 x、y、z 为何 值时,混合物的成本最小? [解题思路] 由 x+y+z=100, 得 z=100-x-y, 所以上述问题可以看作只含 x、 y 两个变量. 设 混合物的成本为 k 元,那么 k=6x+5y+4(100-x-y)=2x+y+400.于是问题就归结为求∵在已知条 件下的线性规划问题.

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? x ? 0, ? ? y ? 0, ? ? x ? y ? 100, ? ?400 x ? 600 y ? 400(100 ? x ? y ) ? 44000, ?800 x ? 200 y ? 400(100 ? x ? y ) ? 48000. ? ? ? x ? y ? 100,

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[解答] 已知条件可归结为下列不等式组:

? y ? 20, ① 即? ?2 x ? y ? 40.

在平面直角坐标系中,画出不等式组①所表示的平面区域,这个区域是直线 x+y=100, y=20,2x-y=40 围成的一个三角形区域 EFG(包括边界),即可行域,如图所示 的阴影部分. 设混合物的成本为 k 元,那么 k=6x+5y+4(100- x-y)=2x+y+400. 作直线 l0:2x+y=0,把直线 l0 向右上方平移至 l1 位置时,直线经过可行 域上的点 E,且与原点的距离最小,此时 2x+y 的值最小,从而 A 的值最小. 由?
?2 x ? y ? 40, ? y ? 20, ? x ? 30, 即点 E 的坐标是(30,20). ? y ? 20,

得?

所以,k 最小值=2?30+20+400=480(元),此时 z= 100-30-20=50. 答:取 x=30,y=20,z=50 时,混合物的成本最小,最小值是 480 元. 预测角度 4 直线与圆 1. 已知点 T 是半圆 O 的直径 AB 上一点, AB=2、 OT=t (0<t<1), 以 AB 为直腰作直角梯形 AA'B'B, 使 AA'垂直且等于 AT,使 BB'垂直且等于 BT,A'B'交半圆于 P、Q 两点,建立如图所示的直角 坐标系. (1)写出直线 A'B'的方程; (2)计算出点 P、Q 的坐标; (3)证明:由点 P 发出的光线,经 AB 反射后,反射光线通过点 Q. [解题思路] (1)由两点式可求;(2)联立方程即可求出点 P、Q 的坐标; (3)要证由点 P 发出的光线经点 T 反射,反射光线通过点 Q,即只要证直线 PT 的斜率和直线 QT 的斜率互为相反数. [解答] (1)显然 A'(1,1-t),B'(-1,l+t),于是直线 A'B,的方程为了 y=tx+1; (2)由方程组 ?
? ? x 2 ? y 2 ? 1, ? ? y ? ?tx ? 1,

解出 P(0,1)、 Q(
1? t2

2t 1? t
2

,

o ? t2 1? t2

);

(3) k PT ?

?0 2 1? 0 1 1? t2 1 ? ? , kQT ? 1 ? t ? ? . 2 2 t 0?t t t t ( 1 ? t ) ?t 1? t2

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由直线 PT 的斜率和直线 QT 的斜率互为相反数知,由点 P 发出的光线经点 T 反射,反射 光线通过点 Q. 2.已知⊙M:x2+(y-2)2=1,Q 是 x 轴上的动点,QA、QB 分别切 OM 于 A、B 两点, (1)如果|AB|=
4 2 ,求直线 MQ 的方程; 3

(2)求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程. [解题思路] (1)由射影定理知:|MB|2=|MP|? |MQ|,得|MQ|=3,在 Rt△MOQ,求出 OQ.再求直线 MQ 的方程;利用点 M、P、Q 在一直线上,斜率相等求动弦 AB 的中点 P 的 轨迹方程. [解答] (1)由|AB|=
| AB | 2 2 2 2 1 4 2 ) ? 12 ? ( ) ? ,由射影定理,得 ,可得|MP|= | MA |2 ?( 2 3 3 3

|MB|2=|MP|?|MQ|,得,|MQ|=3, 在 RtAMOQ 中, |OQ|= | MQ |2 ? | MO |2 ? 32 ? 22 ? 5 , 故 a= 5 或 a=- 5 所以直线 MQ 方程是 2x+ 5 y-2 5 =0 或 2x- 5 y+2 5 =0; (2)连接 MB、MQ,设 P(x,y)、p(a,0),由点 M、P、Q 在一直线上,得
2 y?2 ,(*)由射影定理得 ? ?a x

|MB|2=|MP|?|MQ|, 即
7 4

x2 ( y ? 2)2 ? a2 ? 4 ? 1 ,( 答 案 : ) 把 (*) 及 ( 答 案 : ) 消 去 a , 并 注 意 到 y<2 , 可 得
1 ( y ? 2). 16

x2+ ( y ? )2 ?

预测角度 5 有关圆的综台问题 1.设 P 是圆 M:(x-5)2+(y-5)2=1 上的动点,它关于 A(9,0)的对称点为 Q,把 P 绕原点依逆 时针方向旋转 90°到点 S,求|SQ|的最值. [解题思路] 运用复数的几何意义求出 SQ 的轨迹方程,再求|SQ|的最值. [解答] 设 P(x,y),则 Q(18-x,-y),记 P 点对应的复数为 x+yi,则 S 点对应的复数为: (x+yi)?i=-y+xi,即 S(-y,x)
?| SQ |? (18 ? x ? y )2 ? (? y ? x) 2 ? 182 ? x 2 ? y 2 ? 36 x ? 36 y ? 2 xy ? x 2 ? y 2 ? 2 xy ? 2 ? x 2 ? y 2 ? 18 x ? 18 y ? 81 ? 81 ? 2 ? ( x ? 9)2 ? ( x ? 9) 2

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其 中 ( x ? 9)2 ? ( x ? 9)2 可 以 看 作 是 点 P 到 定 点 B(9 , -9) 的 距 离 , 其 最 大 值 为 |MB|+r=2 53 +1 最小值为|MB|-r=2 53 -1,则 |SQ|的最大值为 2 106 ? 2 ,|SQ|的最小值为 2 106 ? 2 2. 已知圆(x+4)2+y2=25 的圆心为 M1, 圆(x-4)2+y2=1 的圆心为 M2, 一动圆与这两个圆都外切. (1)求动圆圆心 P 的轨迹方程; (2)若过点 M2 的直线与(1)中所求轨迹有两个交点 A、O,求|AMl|?|BM1|的取值范围. [ 解题思路 ] (1) 利用定义法求轨迹; (2) 设过 M2 的直线斜率为 k ,联立方程,求 |AM1|?|BM1|的取值范围转化为求参数 k 的范围. [解答] (1)∵|PM1|-5=|PM2|-1,∴|PM1|- |PM2|=4 ∴动圆圆心户的轨迹是以 M1、M2 为焦点的双曲线的右支.c=4,a=2,b2=12,故所求轨 迹方程为
x2 y 2 ? ?1 4 12

(x≥2).
? 时,设其斜率为 k,直线方程为了 y=k(x-4),与双曲线 2

(2)当过 M2 的直线倾斜角不等于

3x2-y2-12=0 联立,消去 y 化简得(3-k2)x2+8k2x-16k2-12=0,又设 A (x1,y1)、B(x2,y2),x1>0, x2>0
? 8k 2 ?0 ? x1 ? x2 ? 2 k ?3 ? ? 16k 2 ? 12 由? 解得 k2>3. ?0 ? x1x2 ? 2 k ? 3 ? ?? ? 64k ? 16(3 ? k 2 )(4k 2 ? 3) ? 0 ? ? ?

由双曲线左准线方程 x=-1 且 e=2,有 |AMl|?|BM1|=e|x1+1|?e|x2+1| =4[x1x2+(x1+x2)+1]=4 ( ∵k2-3>0,∴|AM1|?|BM1|>100 又当直线倾斜角等于
? 2
16k 2 ? 12 k ?3
2

?

8k 2 k2 ? 3

? 1) ? 100 ?

336 k2 ? 3

时 , A(4 , y1) 、 B(4 , y2) , |AM1|= |BM1|=e(4+1)=10 ,

|AM1|?|BM1|=100 故 |AM1|?|BM1|≥100. 考点高分解题综合训练 说明:1~4 解析:略
x1 ? ?x2 ? ?x ? 1 ? ? ? 方程 ? (λ ∈R 且λ ≠1)表示的曲线是 ? y ? y1 ? ?y2 ? 1? ? ?

1

(

)

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A.以点 M1(x1,y1)、M2(x2,y2)为端点的线段 B.过点 M1(x1,y1)、M2(x2,y2)的直线 C.过点 Ml(x1,y1)、M2(x2,y2)两点的直线,去掉点 M1 的部分 D.过点 M1(x1,y1)、M2(x2,y2)两点的直线去掉 M2 的部分 答案: D 2 直线 l 经过 A(2,1)、B(1,m2)(m∈R)两点,那么直线 l 的倾斜角的取值范围是 A.[0,π ] C.[0, 答案: B 3 (
? ] 4

(

)

B.[0, D.[0,

? ? ]∪( ,π ) 4 2

? 3 ]∪[ π ,π ] 4 4

曲线 y=1+ 4 ? x2 , x ∈ [-2,2] 与直线 y=k(x-2)+4 有两个交点时,实数 k 的取值范围是 ) ( )

答案: D 4 若 x、y 满足 x2+y2-2x+4y=0,则 x-2y 的最大值是
A. 3 2 B.8 D. 2 5

C .10

答案: C 5 使可行域为 ? ?3 y ? x ( ) B. |a|≤|b| D. |a|≥|b|
a ,要使目标函数 z=ax+by b

?y ? x

?x ? y ? 4 ?

的目标函数 z=ax+by(ab≠0),在 x=2,y=2 取得最大值的充要条件是

A. |a|≤b C. |a|≥b

答案: A 解析:画出可行区域,直线 l:ax+by=0 的斜率为在 x=2,y=2 时,取得最大值,必须且只需|所以必须且只需|a |≤1 且 b>0. b

a |≤1,且直线 l 向上平移时,纵截距变大, b

6 已知向量 a=(2cosα ,2sina),b=(3cosβ ,3sinβ ),a 与 b 的夹角为 60°,则直线 xcosα -ysinα + =0 与圆(x-cosβ )2+(y+sinβ )2= 的位置关系是 A.相切 B.相交 C.相离 D.随α ,β 的值而定 答案: C 解析:略
1 2 1 2

(

)

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7 为 当 x,y 满足约束条件 ? ?y ? x ( ) A.-9 B.9 C.-12 D.12
?x ? 0 ?2 x ? y ? k ? 0 ?

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(k 为常数)时,能使 z=x+3y 的最大值为 12 的 k 的值

答案: A 解析:画出线性约束条件所表示的平面区域, ,由图可知,目标函数 y=- ? 的 图像过直线 y=x 与 2x+y+k=0 的交点时,z 最大,解得交点为(k k ,- ),得 z=12,所以选 A. 3 3

x 3

z 3

说明:8~11 解析:略 8 已知点 M(-3,0)、N(3,0)、O(1,0),⊙C 与直线 MN 切于点 B,过 M、N 与⊙C 相切的 两直线相交于点 P, 则 P 点的轨迹方程为 ( ) A.x2B.x2C.x2+ D.x2+
y2 =1 8 y2 =1(x>1) 8 y2 =1 8 y2 =1 10

答案: B 9 有下列 4 个命题: ①两直线垂直的充要条件是 k1k2=-1; ②点 M(x0,y0)在直线 Ax+By+C=0 外时,过点 M(x0,y0)与直线 Ax+By+C=0(AB≠0)平行的 直线方程为 A(x-x0)+B(y-y0)=0; ③直线 l1:y=2x-1 到 l2:y= x+5 的角是
1 3

? ; 4
| C1 ? C2 | A2 ? B2

④两平行直线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 间的距离是 d= (

其中正确的命题有

) A.①② B.③④ C.②④ D.以上答案均对 答案: C 10 圆 x2+y2-4x+2y+c=0 与 y 轴交于 A、B 两点,圆心为 P,若∠APB=120°,则实数 c 等于 ____________ 答案:-11 11 直线 ?
x a y =1 与圆 x2+y2=r2(r>0)相切的充要条件是_________ b

答案:|ab|=r a 2 ? b2

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12 已知动圆户与定圆 C:(x+2)2+y2=1 相外切,又与定直线 L:x=1 相切,那么动圆圆心户的 轨迹方程是________ 2 答案: y =-8x 解析:设圆心的坐标为(x,y), 由已知有 1-x= ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 ,整理后可得. 13 已知△ABC 的顶点 A(3,-1),AB 边上的中线所在直线的方程为 6x+l0y-59=0,∠B 的平分 线所在直线的方程为:x-4y+10=0,求边 BC 所在直线的方程. 答案:解:设 B(a,b),B 在直线 BT 上,∴a-4b+10=0① 又 AB 中点 M(
3 ? a b ?1 )在直线 CM 上,∴点 M 的坐标满足方程 6x+10y-59=0 , 2 2
3? a b ?1 +10? -59=0② 2 2

∴6?

解①、②组成的方程组可得 a=10,b=5 ∴B(10,5), 又由角平分线的定义可知, 直线 BC 到 BT 的角等于直线 BT 到直线 BA 的角, 又 kAB= , kBT= ∴
kBT ? kBC k ?k ? BA BT 1 ? kBT kBC 1 ? kBA ? kBT
6 7 1 4

∴kBC=- , ∴BC 所在直线的方程为 y-5=- (x-10)即 2x+9y-65=0

2 9

2 9

14 某人有楼房一幢,室内面积共 180m2,拟分隔成两类房间作为旅游客房.大房间每间面 积为 18m2,可住游客 5 名,每名游客每天住宿费为 40 元;小房间每间面积为 15m2, 可住游客 3 名,每名游客每天住宿费为 50 元.装修大房间每间需 1000 元,装修小房间 每间需 600 元.如果他只能筹款 8000 元用于装修,且游客能住满客房,他应隔出大房 间和小房间各多少间,能获得最大收益? 答案:解:设隔出大房间 x 间,小房间 y 间时收益为 z 元,则 x、y 满足
?18 x ? 15 y ? 180, ? ?1000 x ? 600 y ? 8000, ? x, y ? N , ?

且 z=200x+150y.
?6 x ? 5 y ? 60, ? ?5 x ? 3 y ? 40, ? x, y ? N , ?

作出可行域及直线 l:200x+150y=0,即 4x+3y =0.(如图 4)把直线 l0 向上平移至 l1 的 位置时,直线经过可行域上的点 B,且与原点距离最大.此时,z=200x+150y 取最大值.但 解 6x+5y=60 与 5x+3y=40 联立的方程组得到 B( x、y∈N,所以可行域内的点 B 不是最优解. 为求出最优解,同样必须进行定量分析.
20 60 , ).由于点 B 的坐标不是整数,而 7 7

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因为 4?

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20 60 260 +3? = ≈37.1,但该方程的非负整数解(1,11)、(4,7)、(7,3)均不在可 7 7 7

行域内,所以应取 4x+3y=36.同样可以验证,在可行域内满足上述方程的整点为(0,12) 和(3,8).此时 z 取最大值 1800 元. 15 设有半径为 3km 的圆形村落,A、B 两人同时从村落中心出发,B 向北直行,A 先向东 直行, 出村后不久, 改变前进方向, 沿着与村落周界相切的直线前进, 后来恰与。 相遇. 设 A、B 两人速度一定,其速度比为 3:1,问两人在何处相遇? 答案:解:如图建立平面直角坐标系,由题意可设 A、B 两人速度分别为 3v 千米/小时,v 千米/小时,再设出发 x0 小时,在点 P 改变 方向,又经过 y0 小时,在点 Q 处与 B 相遇. 则 P、Q 两点坐标为(3vx0,0),(0,vx0+vy0). 2 2 2 2 2 2 由|OP| +|OQ| =|PQ| 知,(3vx0) +(vx0+vy0) =(3vy0) , 即(x0+y0)(5x0-4y0)=0. ∵x0+y0>0,∴5x0=4y0 ① 将①代人 kPQ=x0 ? y0 3x0

得 kPQ=-

3 4

又已知 PQ 与圆 O 相切,直线 PQ 在 y 轴上的截距就是两个相遇的位置. 设直线 y=- x+b 与圆 O:x +y =9 相切, 则有
| 4b | 3 ?4
2 2

3 4

2

2

=3,∴b=

15 . 4

答:A、B 相遇点在离村中心正北 3

3 千米处. 4

16 设数列{an}的前 n 项和 Sn=na+n(n-1)b,(n=1,2,?),a、b 是常数且 b≠0. (1)证明:{an}是等差数列. 答案:证明:由条件,得 al=S1=a,当 n≥2 时, 有 an=Sn-Sn-1=[na++n(n-1)b]-[(n-1)a+(n- 1)(n-2)b]=a+2(n-1)b. 因此,当 n≥2 时,有 an-an-1=[a+2(n-1)b]-[a+2(n-2)b]=2b. 所以{an}是以 a 为首项,2b 为公差的等差数列. (2)证明:以(an, 的方程.
Sn ? 1 S ?1 na ? n( n ? 1)b ? 1) ? ( 1 ? 1) ?a ( n ? 1)b 1 n 1 a ? ? ? 答案:证明:∵b≠0,对于 n≥2,有 an ? a1 a ? 2(n ? 1)b ? a 2( n ? 1)b 2 (
Sn -1)为坐标的点 Pn(n=1,2,?)都落在同一条直线上,并写出此直线 n

∴所有的点 Pn(an,

Sn 1 ? 1 )(n=1,2,?)都落在通过 P1 (a,a-1)且以 为斜率的直线上.此直 n 2

线方程为了 y-(a-1)=

1 (x-a),即 x-2y+a-2=0. 2

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1 2

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(3)设 a=1,b= ,C 是以(r,r)为圆心,r 为半径的圆(r>0),求使得点 P1、P2、P3 都落在 圆 C 外时,r 的取值范围. 答案:解:当 a=1,b= 时,Pn 的坐标为(n, 使 P1(1,0)、P2(2,
1 2
n?2 ), n

1 )、P3(3,1)都落在圆 c 外的条件是 2

?(r ? 1)2 ? r 2 ? r 2 ? 1 2 ? 2 2 ?(r ? 1) ? (r ? ) ? r 2 ? ?(r ? 3)2 ? (r ? 1)2 ? r 2 ? ?( r ? 1) 2 ? 0 ? 17 ? 即?r 2 ? 5r ?0 ① 4 ? ② ?r 2 ? 8r ? 10 ? 0 ? ③

由不等式①,得 r≠1 由不等式②,得 r< - 2 或 r> + 2 由不等式③,得 r<4- 6 ,或 r>4+ 6 再注意到 r>0,1< - - 2 <4- 6 = + 2 <4+ 6 故使 P1、P2、P3 都落在圆 C 外时,r 的取值范围是(0,1)∪ (1, - 2 )∪(4+ 6 ,+∞).
5 2 5 2 5 2 5 2 5 2

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