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11、2.2.1 & 2.2.2 直线与平面、平面与平面平行的判定


2.2

直线、平面平行的判定及其性质

2.2.1 & 2.2.2 直线与平面、平面与平面平行的判定

门扇的竖直两边是平行的, 当门扇绕着一边转动时只要门扇不被关闭, 不论转动到什么位置, 它能活动的竖直一边所在直线都与固定的竖直边所在平面(墙面)存在不变的位置关系. 问题 1:上述问题中存在着不变的位置关系

是指什么? 提示:平行. 问题 2:若判断直线与平面平行,由上述问题你能得出一种方法吗? 提示:可以,只需在面内找一条与面外直线平行的直线即可. 问题 3:若一直线与平面内的直线平行,一定有直线与平面平行吗? 提示:不一定,要强调线在面外.

表示 定理

图形

文字 平面外一条直线与此

符号

直线与平面平 行的判定定理

平面内一直线平行, 则该直线与此平面平 行

a?α ? ? b?α??a∥α a∥b? ?

2011 年 10 月 16 日,在日本举行的世界体操锦标赛上,中国男子体操队在男团夺冠后,队长 陈一冰在吊环比赛中获得冠军,这是他第四次获得世锦赛吊环冠军.吊环项目对运动员双臂力量 要求很高,所有动作均由双臂支撑完成.“水平十字”是吊环的标志性动作,要求运动员在双臂
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支撑下,在空中将身体舒展,所形成的平面与地面平行,且身体躯干与双臂要形成“十字”形, 且需静止两秒以上.在比赛中,裁判只要观察运动员双臂、躯干是否与地面平行,即可判断该动 作是否标准. 问题 1:上述问题中给出了判断两面是平行的一种怎样的方法? 提示:在一个平面内找两条相交线,分别平行于另一个平面即可. 问题 2:若一个平面内有两条甚至无数条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行吗? 提示:不一定,也可能相交.

表示 位置

图形

文字

符号

平面与平 面平行的 判定定理

一个平面内的两 条相交直线与另 一个平面平行, 则 这两个平面平行

? ? a∩b=P ?α∥β ? a∥α ? ? b∥α
a?β b?β

1.直线与平面平行的判定定理在使用时要注意线在面外,这一条件易被忽视. 2.平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的. 3.面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想,即把面面平行转化为线面平行.

[例 1] 下列命题真命题序号为________.③④ ①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行; ②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行; ③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行; ④若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面,则这两个平面平行. [思路点拨] 可由线面、面面平行的定义及判定定理入手分析. [精解详析] ①错,应为一平面内两相交直线与另一平面平行;②当两平面相交时,一面内
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也有无数条直线均与另一平面平行,②也不对;③中任意直线都与另一平面平行,也有两相交直 线与另一平面平行,故③为真;④为两平面平行的判定定理,故④也为真. [答案] ③④ [一点通] 判断或理解两个平面平行或线面平行时,一是注意每个定理成立的条件.如面面 平行中强调在一个面内两相交线,线面平行中强调线在面外.

1.能保证直线 a 与平面 α 平行的条件是( A.b?α,a∥b B.b?α,c∥α,a∥b,a∥c C.b?α,A、B∈a,C、D∈b,且 AC∥BD D.a?α,b?α,a∥b

)

解析:由线面平行的判定定理可知,D 正确. 答案:D 2.已知 m、n 表示两条直线,α、β、γ 表示平面,有下列命题: ①若 α∩γ=m,β∩γ=n 且 m∥n,则 α∥β; ②若 m、n 相交,且都在 α、β 外,m∥α,m∥β,n∥α,n∥β,则 α∥β; ③若 m∥α,m∥β,则 α∥β; ④若 m∥α,n∥β 且 m∥n,则 α∥β. 其中的真命题是________. 解析:借助三棱柱模型,可知①不正确;②符合面面平行的判定定理,③④中 α 与 β 可能相 交. 答案:②

[例 2] 如图,P 是?ABCD 所在平面外一点,E,F 分别为 AB,PD 的中点,求证:AF∥平 面 PEC.

[思路点拨] 要证明线面平行,可先在平面内找到一条直线,证明它与已知直线平行.本题 根据中点首先联想到中位线,即找到 PC 中点 G,可得?AEGF,故问题得证.
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[精解详析] 设 PC 的中点为 G,连接 EG,FG. 1 ∵F 为 PD 的中点,∴GF∥CD 且 GF= CD. 2 ∵AB∥CD,AB=CD,E 为 AB 的中点, ∴GF∥AE,GF=AE, ∴四边形 AEGF 为平行四边形,∴EG∥AF. 又∵AF?平面 PEC,EG?平面 PEC,∴AF∥平面 PEC. [一点通] 利用判定定理证明线面平行,关键是在平面内找一条直线与已知直线平行,由于 两条直线首先要保证共面,因此常常设法过已知直线作一平面与已知平面相交,如果能证明已知 直线和交线平行,就可用线面平行的判定定理推出结论,这个证明线面平行的步骤可概括为过直 线,作平面,得交线,若线线平行,则线面平行.

3.如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E 为 DD1 的中点,求证:BD1∥平面 AEC.

证明: 连接 BD 交 AC 于点 O,连接 EO.∵O 为矩形 ABCD 对角线 点,∴DO=OB.又∵E 为 DD1 的中点,∴BD1∥EO.∵BD1?平面 AEC, 平面 AEC,∴BD1∥平面 AEC. 4. 已知空间四边形 ABCD, P、 Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心. 求 PQ∥平面 ACD. 证明:如图,取 BC 的中点 E, ∵P 是△ABC 的重心,连接 AE, 则 AE 必过点 P, 且 AE∶PE=3∶1, 连接 DE, ∵Q 是△BCD 的重心, 则 DE 必过点 Q,且 DE∶QE=3∶1, ∴ AE DE 3 = = , PE QE 1

的 交 EO ?

证 :

∴PQ∥AD. 又∵PQ?平面 ACD,AD?平面 ACD,
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根据线面平行的判定定理得,PQ∥平面 ACD.

[例 3] (12 分)如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、E、F、 别是 A1B1、B1C1、C1D1、D1A1 的中点. 求证:(1)E、F、B、D 四点共面; (2)平面 MAN∥平面 EFDB.

N 分

[思路点拨] 解答本题第(1)问,只需证 BD∥EF 即可.第(2)问,只需证 MN∥平面 EFDB, AM∥平面 EFDB 即可. [精解详析] (1)连接 B1D1, ∵E、F 分别是边 B1C1、C1D1 的中点, ∴EF∥B1D1 而 BD∥B1D1,∴BD∥EF. ∴E、F、B、D 四点共面. (2)易知 MN∥B1D1,B1D1∥BD,∴MN∥BD 又 MN?平面 EFDB,BD?平面 EFDB. ∴MN∥平面 EFDB 连接 DF,MF.∵M、F 分别是 A1B1,C1D1 的中点, ∴MF∥A1D1,MF=A1D1. ∴MF∥AD,MF=AD. ∴四边形 ADFM 是平行四边形,∴AM∥DF 又 AM?平面 BDFE,DF?平面 BDFE, ∴AM∥平面 BDFE 又∵AM∩MN=M, ∴平面 MAN∥平面 EFDB (12 分) (11 分) (9 分) (7 分) (4 分) (5 分) (2 分)

[一点通] 两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法.解答问题时一定要寻求好 判定定理所需要的条件,特别是相交的条件,即与已知平面平行的两条直线必须相交,才能确定 面面平行.

5.如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M,N,P 分别是 C1C,B1C1,C1D1 的中点,求证: 平面 MNP∥平面 A1BD.

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证明:连接 B1D1.∵P,N 为中点,∴PN∥B1D1.又∵B1D1∥BD, ∥BD.又∵PN 不在平面 A1BD 内,∴PN∥平面 A1BD.同理,连接 B1C, MN∥平面 A1BD.∵PN∩MN=N,∴平面 PMN∥平面 A1BD. 6.如图所示,B 为△ACD 所在平面外一点,且 BA=BC=BD,M、N、 分别为△ABC、△ABD、△BCD 的重心. 求证:平面 MNG∥平面 ACD. 证明:如图连接 BM、BN、BG 并延长交 AC、AD、CD 于 P、F、H. BM BN ∵M、N、G 分别为△ABC、△ABD、△BCD 的重心,则有 = MP NF BG =2,连接 PF、FH、PH,有 MN∥PF.又 PF?平面 ACD,MN?平面 GH ACD, ∴MN∥平面 ACD,同理 MG∥平面 ACD, MG∩MN=M, ∴平面 MNG∥平面 ACD.

∴ PN 可 证

G



1.利用直线与平面平行判定定理来证明线面平行,关键是寻找面内与已知直线平行的直线, 常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等. 2.常见的面面平行的判定方法 (1)利用定义:两个平面没有公共点. (2)归纳为线面平行. ①平面 α 内的所有直线(任一直线)都平行于 β,则 α∥β; ②判定定理:平面 α 内的两条相交直线 a、b 都平行于 β,

? ? a∩b=P ?α∥β,五个条件缺一不可. ? a∥β ? ? b∥β
a?α b?α 应用时的关键是在 α 内找到与 β 平行的相交直线 a、b.
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(3)化归为线线平行:平面 α 内的两条相交直线与平面 β 内的两条相交直线分别平行,则 α∥ β.(证明后可用) (4)利用平行平面的传递性:两个平面同时和第三个平面平行,则这两个平面平行.

1.若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线,则这两个平面的位置关 系是( ) B.一定相交 D.以上判断都不对

A.一定平行 C.平行或相交

解析:可借助于长方体判断两平面对应平行或相交. 答案:C 2.(2012· 河南汤阴一中高一检测)已知两条相交直线 a,b,a∥平面 α,则 b 与 α 的位置关系 是( ) A.b?平面 α C.b∥平面 α B.b∥α 或 b?α D.b 与平面 α 相交,或 b∥平面 α

解析:b 与 α 相交,可确定的一个平面 β,若 β 与 α 平行,则 b∥α;若 β 与 α 不平行,则 b 与 α 相交. 答案:D 3.如图所示,设 E,F,E1,F1 分别是长方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 AB,CD,A1B1,C1D1 的中点,则平面 EFD1A1 与平面 BCF1E1 的位置关系是( )

A.平行 C.异面

B.相交 D.不确定

解析:∵E,F,E1,F1 均为各边中点,易证 EF∥E1F1,A1E∥E1B,从而两平面 EFD1A1 与 BCF1E1 互相平行. 答案:A 4.已知直线 l,m,平面 α,β,下列命题正确的是( A.m∥l,l∥α?m∥α
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)

B.l∥β,m∥β,l?α,m?α?α∥β C.l∥m,l?α,m?β?α∥β D.l∥β,m∥β,l?α,m?α,l∩m=M?α∥β 解析:A 中,m 可能在 α 内,也可能与 α 平行;B 中,α 与 β 可能相交,也可能平行;C 中, α 与 β 可能相交,也可能平行;D 中,l∩m=M,且 l,m 分别与平面 β 平行,依据面面平行的判 定定理可知 α∥β. 答案:D 5.已知 a,b,c 为三条不重合的直线,α,β,γ 为三个不重合的平面,现给出六个命题: ①a∥c,b∥c?a∥b; ②a∥γ,b∥γ?a∥b; ③c∥α,c∥β?α∥β; ④α∥γ,β∥γ?α∥β; ⑤c∥α,a∥c?a∥α. ⑥a∥γ,α∥γ?a∥α. 正确命题是________(填序号). 解析:直线平行或平面平行能传递,故①④正确,②中,可能 a 与 b 异面或相交;③中 α 与 β 可能相交;⑤中可能 a?α;⑥中,可能 a?α,故正确命题是①④. 答案:①④ 6.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别是棱 C1D1、D1D、CD 的中点,N 是 BC 的中点,点 M 在四边形 EFGH 及 部运动,则 M 满足________时,有 MN∥平面 B1BDD1. 解析:取 B1C1 中点 P,易证平面 FHNP∥平面 B1BDD1 故只要 M∈FH,即可保证 MN∥平面 B1BDD1. 答案:M∈FH 7.如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 AB,BC 的中点,G 为 DD1 上一点, 且 D1G∶GD=1∶2,AC∩BD=O,求证:平面 AGO∥平面 D1EF. CC1、 其 内

证明:设 EF∩BD=H,连接 D1H,在△DD1H 中, ∵ DO 2 DG = = , DH 3 DD1

∴GO∥D1H, 又 GO?平面 D1EF,D1H?平面 D1EF,
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∴GO∥平面 D1EF. 在△BAO 中,∵BE=EA,BH=HO,∴EH∥AO, 又 AO?平面 D1EF,EH?平面 D1EF, ∴AO∥平面 D1EF, 又 GO∩AO=O,∴平面 AGO∥平面 D1EF. 8.如图所示,四边形 ABCD、四边形 ADEF 都是正方形,M∈BD,N∈AE,且 BM=AN. 求证:MN∥平面 CDE. 证明:法一:如图所示,作 MK⊥CD 于 K,NH⊥DE 于 H.因为四边形 ABCD 和四边形 ADEF 都是正方形, 所以 BD=AE,又因为 BM=AN,所以 MD=NE,又因为∠MDK=∠NED =45° ,∠MKD=∠NHE=90° ,所以△MDK≌△NEH,所以 MK=NH. 又因为 MK∥AD∥NH,所以四边形 MNHK 是平行四边形,所以 MN∥KH. 又因为 MN?平面 CDE,KH?平面 CDE,所以 MN∥平面 CDE. 法二:如图所示,连接 AM 并延长交 CD 所在直线于 G,连接 GE. AM BM 因为 AB∥CD,所以 = , MG MD 因为四边形 ABCD 和四边形 ADEF 都是正方形, 所以 BD=AE,又 BM=AN, AM AN 所以 = ,所以 MN∥GE, MG NE 又因为 GE?平面 CDE,MN?平面 CDE. 所以 MN∥平面 CDE.

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