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《高中竞赛教程》教案:第02讲 二次函数与二次不等式(教师)


第 2 讲 二次函数与二次不等式
本讲内容包括二次函数与二次方程、二次不等式的关系及高次不等式的解法。 二 次 方 程

ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )

的 解 , 是 相 应 的 二 次 函 数

y ? ax 2 ? bx ? c ( a ? 0 ) 中, 函数值为 0 时 x 的值, 即此二次函数的图象在 x 轴上的截距 (函
数图象与 x 轴的交点的横坐标) 。 二 次 不 等 式

ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )

的 解 , 是 相 应 的 二 次 函 数

y ? ax 2 ? bx ? c ( a ? 0 ) 中, 函数值大于 0 时 x 的值, 即此二次函数的图象在 x 轴上方时 x 的
取值范围;同样的,二次不等式

ax2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 ) 的 解 , 是 相 应 的 二 次 函 数

y ? ax 2 ? bx ? c ( a ? 0 ) 中,函数值小于 0 时 x 的值,即此二次函数的图 象在 x 轴下方时 x
的取值范围。因此,

??0

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的图象 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的解
ax2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 ) 的解

x ? x1 或 x ? x2 x ? x0 且 x ? R

一切实数

x1 ? x ? x2

无解

无解

高次不等式可以先进行因式分解,再运用符号法则将它转化为一次不等式或二次不等式求解。
-1-

A 类例题

a2 例 1 设二次函数 y ? x ? 2ax ? (a ? 0) 的图象的顶点为 A ,与 x 轴的交点为 B , C , 2 当 ?ABC 为等边三角形时,求 a 的值。 分析 欲求 a 的值,需得到一个关于 a 的方程。因为 A 是抛物线 的 顶 点 , 所 以 AB ? AC 。 由 ?ABC 是 等 边 三 角 形 , 得
2

AD ?


3 BC 。只要以 a 表示 AD 和 BC ,则 a 的值可求。 2
由函数

a2 y ? x ? 2ax ? (a ? 0) 2
2

,化简得

a2 y ? ( x ? a) ? 2
2

。 因 而 有

a2 A (?a , ? ) 2

, 又 设

B ( x1 , 0) , C ( x2 , 0) 。则
x 2 ? 2ax ? a2 ? 0 (a ? 0) 2
2 2

a2 ? BC ?| x1 ? x2 |? ( x2 ? x1 ) ? 4 x1 x2 ? 4a ? 4 ? ?? 2 a. 2
由 ?ABC 是等边三角形,得 AD ?

3 BC 2

,即 |

y A |?

3 BC 。 2

所以,

a2 3 ? (? 2 a) ? a ? ? 6 或 a ? 0 . 由 a ? 0 ,得所求 a 的值为 ? 6 . 2 2

例 2 当a (1) x (2) x
2
2

?0

时,解关于 x 的二次不等式

? 4ax ? 5a2 ? 0 ;
? 2(a ? 1) x ? (a 2 ? 3a ? 1) ? 0 ;
2

(3) ax 分析 解。

? (a 2 ? 4) x ? 4a ? 0 。

解二次不等式,首先应判断相应的二次方程是否有实数根,然后再根据根的不同情况求

-2-



(1)因为 又

x 2 ? 4ax ? 5a 2 ? ( x ? 5a)( x ? a) ,

a ? 0 ,得 5a ? ?a 。

所以,原不等式的解为 x ? 5a 或 x ? ?a 。 (2)由 ?

? 4(a ? 1) 2 ? 4(a 2 ? 3a ? 1) ? 20 a ? 0 (? a ? 0) ,

又 二次项系数大于 0,所以,原不等式无解。 (3)因为

4 ax2 ? (a 2 ? 4) x ? 4a ? a ( x ? )( x ? a) , a
及a



4 a2 ? 4 a? ? a a

? 0 ,得 a ? ?2 时, a ?

4 4 ;当 ? 2 ? a ? 0 时, a ? . a a


所以,当

a ? ?2

时,原不等式的解为

a?x?

4 a

当? 2 ? 例3

a?0

时,原不等式的解为

4 ?x?a a



解高次不等式
3

( 1) x

? 7x ? 6 ? 0 ;
2

(2) x ( x

? 6 x ? 8)( x 2 ? 4 x ? 3) ? 0 .

分析 高次不等式求解的基本方法是,运用因式分解将高次多项式变形为一次或二次多项式乘 积,再通过积的符号法则求解。 解(1)

y ? x 3 ? 7 x ? 6 ? x( x 2 ? 1) ? 6( x ? 1) ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) ,

得原不等式的解是 x ? ?3 或 1 ? (2) y

x ? 2。

? x ( x 2 ? 6 x ? 8)( x 2 ? 4 x ? 3) ? x ( x ? 2)( x ? 4)( x ? 1)( x ? 3)

得原不等式的解是

? 4 ? x ? ?2 , 0 ? x ? 1 或 x ? 3。

情景再现
1.抛物线

y ? ax2 ? bx ? c 与 x 轴交于 A, B 两点,与 y 轴交于 C 点。若 ?ABC 是直角三
-3-

角形,求 ac 的值。

2.不等式 ( a ? 2) x

2

? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对 x ? R 恒成立,求 a 的取值范围。

3.解关于 x 的不等式 (1) ? 4 ? (2)

x2 ? 5x ? 2 ? 26 ;


x( x ? 1)( x ? 3)( x ? 5) ?0 x2 ? 2x ? 3

B 类例题 例 4 解不等式 ( x 解
2

? 4)( x 2 ? 5 x ? 6)( x 3 ? 1) ? 0 。

( x 2 ? 4)( x 2 ? 5 x ? 6)( x 3 ? 1) ? ( x ? 2)( x ? 1)( x ? 3)( x ? 2) 2 ( x 2 ? x ? 1)

? x2 ? x ? 1 ? 0 ,

?

原不等式等价于 ( x ? 2)( x ? 1)( x ? 3)( x ? 2)

2

? 0.

不等式 ( x ? 2)( x ? 1)( x ? 3) ? 0 的解集为 (??,

? 2) ? (?1, 3) ,又当 x ? 2 时,

( x ? 2) 2 ? 0 ,

?

原不等式的解集为 (??,

? 2) ? (?1, 2) ? (2 , 3) 。

2 例 5 已知不等式 ax

1 ? bx ? c ? 0 的解集是 ( ? , 3 ) ,求不等式 cx2 ? bx ? a ? 0的 2

解集。 分析 求不等式 cx
2

? bx ? a ? 0的解,有两条思考途径。一是直接由条件推出 a, b, c 的关

系;二是寻找不等式 cx 解 1

2

? bx ? a ? 0与 ax2 ? bx ? c ? 0 的联系。
1 1 ? bx ? c ? 0 的解集是 ( ? , 3 ) ,得 a ? 0 且 ? 和 3 是方程 2 2

2 因为不等式 ax

ax2 ? bx ? c ? 0 的两个根。

-4-



? ? ?a ? 0, ?c ? 0 ? ? 1 5 ? b ?b 5 ?? ? ? ? 3 ? , ? ? ? , 2 2 ? a ?c 3 1 3 2 ?c ?a ? ( ? ) ? 3 ? ? , ? ? , ? ? 2 2 3 ?a ?c



b a 5 2 1 cx2 ? bx ? a ? c ( x 2 ? x ? ) ? c( x 2 ? x ? ) ? c( x ? 2)( x ? ) c c 3 3 3
所以,不等式 cx
2

1 ? bx ? a ? 0的解集为 ( ? 2 , ) 。 3 1 1 ? bx ? c ? 0 的解集是 ( ? , 3 ) ,得 a ? 0 且 ? 和 3 是方程 2 2

解 2

2 因为不等式 ax

ax2 ? bx ? c ? 0 的两个根。
于方程 cx 可化为 ay 由?
2

2

因为 a ? 0 , 得 x ? 0。 设y ? ? bx ? a ? 0 中,

1 2 , 方程 cx ? bx ? a ? 0 x

? by ? c ? 0 。

1 1 2 得 ? 2 和 是方程 cx ? bx ? a ? 0 和 3 是方程 ax2 ? bx ? c ? 0 的两个根, 2 3
? 0 ,得 c ? 0 。

的两个根。又方程的两根异号及 a 所以,不等式 cx
2

1 ? bx ? a ? 0的解集为 ( ? 2 , ) 。 3
2

例 6 解关于 x 的不等式: ( m ? 3) x 分析 解

? 2mx ? m ? 2 ? 0 (m ? R) 。

由于题中 x 的二次项系数含有参数,应先确定不等式类别,再求解。 (1)当 m

? ?3时,原不等式为 ? 6 x ? 5 ? 0 ,解为 x ? ?

5 ; 6

(2)当 m

? ?3 时, ? ? 4m 2 ? 4(m ? 3)( m ? 2) ? ?4(m ? 6)
-5-

?m ? 3 ? 0 , 10 m ? 6 时,由 ? ??0, ?

得原不等式的解为一切实数;

20 m ? 6 时,原不等式为 9x2 ? 12x ? 4 ? 0 ,解为 x ?

2 的所有实数; 3

30 ? 3 ? m ? 6 时, m ? 3 ? 0 , ? ? 0 ,得原不等式的解为

x?

?m? 6?m ?m? 6?m 或x? m?3 m?3

;

4 0 m ? ?3 时, m ? 3 ? 0 , ? ? 0 ,得原不等式的解为

?m? 6?m ?m? 6?m ?x? m?3 m?3
所以,原不等式 当



m ? ?3 时,解为

?m? 6?m ?m? 6?m ?x? ; m?3 m?3



m ? ?3时,解为 x ? ?

5 ; 6
?m? 6?m ?m? 6?m 或x? ; m?3 m?3

当?3 ?

m ? 6 时,解为 x ?



m ? 6 时,解为 x ?

2 的所有实数; 3



m ? 6 时,解为一切实数。

情景再现
4.解不等式 ( x 5.不等式 x
2

2

? 9)( x 2 ? 3x ? 18)( x 3 ? 8) ? 0



? px ? q ? 0 的解集是{x | x ? ?3 或 x ? 2},求实数 p , q 的值。 f ( x) ? 3x 2 ? 6 x ? 1 与 g ( x) ? 2x ? 4 ,试确定 x 的取值范围,使函数
-6-

6 .已知函数

f ( x) 的图象在函数 g ( x) 的图象的下方。

C 类例题 例 7 设二次函数 且 f ( x) 的图象在 y 轴上的截距为 1, f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) ,

在 x 轴上截得的线段长为 2 分析

2 ,求 f ( x) 的解析式。
f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) ”,表明此二次函数图象的对称轴为
? 1 ; “在 x 轴上截得的线段长为 2 2 ”,表明

本题给出了三个条件,“

x ? ?2 ; “ 在 y 轴 上 的 截 距 为

1” , 表 明 c

| x1 ? x2 |? 2 2 。由此得如下解法。
解 1 由

f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) ,得函数 f ( x) 的图象的对称轴为 x ? ?2 。故可设

f ( x) ? a( x ? 2) 2 ? m 。
由 a ( x ? 2) 得
2

? m ? 0 ? ax 2 ? 4ax ? 4a ? m ? 0 ,又 | x1 ? x2 |? 2 2 ,

( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 8 ? 42 ?

4(4a ? m) a
(2)

(1)



f ( x) 在 y 轴上的截距为 1,得 f (0) ? 1 ? 4a ? m ? 1
a? 1 , m ? ?1 。 2


解(1) 、 (2) ,得

所以,

f ( x) ?

1 2 x ? 2x ? 1 2

解2 设

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c

由 即b

f ( x) 在 y 轴上的截距为 1,得 c ? 1 ;由 f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) ,得 ?

b ? ?2 , 2a

? 4a 。故 f ( x) ? ax2 ? 4ax ? 1。[来源:www.shulihua.net]


ax2 ? 4ax ? 1 ? 0



| x1 ? x2 |? 2 2 ,得
-7-

( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 8 ? 42 ?
所以,

4 1 ?a? a 2



f ( x) ?

1 2 x ? 2x ? 1 2



解 3 由函数

f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) 及在 x 轴上截得的线段长为 2 2 ,可得
两 根 为

f ( x) ? 0



x1 ? ?2 ? 2 , x2 ? ?2 ? 2









f ( x) ? a( x ? 2 ? 2 )( x ? 2 ? 2 ) 。


f ( x) 在 y 轴上的截距为 1,得
1 。 2

f (0) ? 1 ? a(2 ? 2 )( 2 ? 2 ) ? 1 ? a ?
所以,

f ( x) ?

1 2 x ? 2x ? 1 2



例 8 已知 实数

f ( x) ? ( x ? 1) ? x ? 1 ,若关于 x 的方程 f ( x) ? x ? m 有三个不同的实数解,求
函 数 解 析 式

m 的取值范围。
f ( x) ? ( x ? 1) ? x ? 1
可 化 为

分 析

2 ? ? x ? 1, x ? 1。它的图象是由两段抛物线弧组成,因此方程 f ( x) ? ? 2 ? ?1 ? x , x ? 1

f ( x) ? x ? m 的三个不同的实数解表现为直线 y ? x ? m 与其中
一段抛物线弧有两个交点,与另一段抛物线弧仅有一个交点。观察它们 的图象易知,当 x 解 (1) x

? 1时,方程有一解;当 x ? 1时,方程有两解。
时,由 x
2

?1

? 1 ? x ? m ,得 x2 ? x ? 1 ? m ? 0 。由两根之和为 1,得此
。原方程有一个大于 1 的解,即此方程有一 有一个大于 1 的解;

方程大于 1 的解至多一个。 设x

? 1 ? t ,原方程 可化为 t 2 ? t ? 1 ? m ? 0

个正解。由 ? 1 ? m ?

0 ,得 m ? ?1时,方程 f ( x) ? x ? m
-8-

( 2) x 设x

?1

时,由1 ? x

2

? x ? m ,得 x2 ? x ? 1 ? m ? 0 。
。原方程有两个小于 1 的解,即此方程有

? 1 ? t ,原 方程可化为 t 2 ? 3t ? 1 ? m ? 0

两个负解。 由?

?? ? 9 ? 4 ? 4m ? 5 ? 4m ? 0 5 ,得 ? 1 ? m ? 时,方程 f ( x) ? x ? m 4 ?1 ? m ? 0

有两个

小于 1 的解; 综合(1) , (2) ,当 ? 1 ?

m?

5 时,关于 x 的方程 f ( x) ? x ? m 有三个不同的实数解。 4
f ( x) ? ax 2 ? bx ? c , g ( x) ? ax ? b ,

例 9 已知 a, b, c 是实数,函数 当 ?1 ?

x ? 1 时, f ( x) ? 1 。

(1)证明: | c |? 1; (2)证明:当 ? 1 ? (3)设 分析 即用

x ? 1 时, | g ( x) |? 2 ;

a ? 0 ,当 ? 1 ? x ? 1 时, g ( x) 的最大值为 2,求 f ( x) 。
f ( x) ? 1 , x ? [?1, 1] 确定系数 a, b, c 的取值范围,

证明(1) 、 (2)的关键在于通过

(3) 需要通过条件“当 ? 1 ? x ? 1 时,g ( x ) 的 f ( x) 在区间 [?1, 1] 上的值表示系数 a, b, c ;

最大值为 2”,确定系数 a, b, c 的值。由于题设条件中多为不等关系,因而需要注意“夹逼思想”的应 用。 证明 (1) | c |?|

f (0) |? 1;

(2)若 a 当 ?1 ? 由

? 0,

x ? 1 时, 则 ? a ? b ? g (?1) ? g ( x) ? g (1) ? a ? b 。

f (?1) ? a ? b ? c ? a ? b ? f (?1) ? c ?| ?a ? b |?| f (?1) ? c |?| f (?1) | ? | c |? 2 ; f (1) ? a ? b ? c ? a ? b ? f (1) ? c
-9-

?| a ? b |?| f (1) ? c |?| f (1) | ? | c |? 2 。
及 若a

? a ? b ? g ( x) ? a ? b ,得 | g ( x) |? 2 ;
? 0,
x ? 1 时, 则 a ? b ? g (1) ? g ( x) ? g (?1) ? ?a ? b 。

当 ?1 ? 同理可得 |

g ( x) |? 2 。

所以,当 ? 1 ? 解 (3)由 a 由

x ? 1 时, | g ( x) |? 2 ;
在 [?1, 1] 上, g ( x ) |最大值 ?

? 0,

g (1) ? a ? b ? 2 。
。 [ 来

f (1) ? a ? b ? c ? 2 ? c ? 1 ? c ? ?1 ? c ? ?1 (?| c |? 1)

源:www.shulihua.net] 由

f (0) ? c ? ?1 ? f ( x) ,得 x ? 0 时,二次函数 f ( x) 取最小值,即 x ? 0 是二次函数

f ( x) 的图象的对称轴。因而, b ? 0 , a ? 2 。
所以,

f ( x) ? 2 x 2 ? 1



情景再现
7. 已知抛物线 y 为 (

? ax 2 (a ? 0) 与直线 y ? bx ? c (b ? 0) 有两个公共点,它们的横坐标分别

x1 , x2 , 又 直 线 y ? bx ? c 与 x 轴 的 交 点 坐 标 为 ( x3 , 0) 。 则 x1 , x2 , x3 满 足 的 关 系 式 是


A C

x1 ? x2 ? x3 x3 ? x1 ? x2 x1 x2

B

1 1 1 ? ? x1 x2 x3

D x1 x2 ? x2 x3 ? x3 x1

8.已知抛物线 y

5 13 ? f ( x) 的顶点是 (? , ? ) ,且方程 f ( x) ? x 的两个根之差为 2,求 2 4
- 10 -

f ( x) 的解析式。

9.已知二次函数

f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的 图 象 与 轴 有 两 个 不 同 的 交 点 , 若
时,

f (c) ? 0, 0 ? x ? c
(1) 试比较

f ( x) ? 0 。

1 与 c 的大小; a
? ?1 ;
时,求证:

(2) 证明: ? 2 ? b (3) 当 c

?1, t ? 0

a b c ? ? ? 0。 t ? 2 t ?1 t

习题 2 1.若不等式 0 ?

x2 ? px ? 5 ? 1 恰好有一个实数值为解,则 p 的取值是(



A p ? ?4
2. x
5

B p ? ?2 5

C p ? ?2 5 或 p ? 2 5

D p的值不存在

? x4 ? x ?1 ? 0 .
2

3.求关于 x 的不等式 42x 4.设 y1

? ax ? a2 的解。

? x 4 ? 2 x 3 ? 3x 2 ? 3x ? 5 , y2 ? 5 x 3 ? 2 x 2 ? 4 x ? 15 ,若 x 取任意实数,试

比较 y1 与 y2 的大小。 5 .已知关于 a 的不等式 m ( )
2

? (4 ? a2 )m ? 4a2 ? 0 ( | a |? 1 ) 恒成立。则实数 m 的取值范围是
C m? 4或m?0 D m ? 1或 m ? 0

A 0?m?4

B 1? m ? 4
2

6.已知关 于 x 的二次方程 x 且m

? 2(m ? 1) x ? m 2 ? 0 有两个整数根,

2

? 72m ? 720 ? 0 ,求整数 m 的值及相应的根
? 2(3k ? 1) x ? 9k ? 1 ? 0 的两个根都是整数。
- 11 -

2 7.求出所有实数 k 的值,使二次方程 kx

8.若对于 0 ? x ? 1 ,不等式 x 9.已知二次函数 且a ?b?c

2

? ax ? 3 ? a ? 0

恒成立,求实数 a 的取值范围。

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c 和一次函数 y ? ?bx ,其中 a, b, c 均为实数, a ? b ? c

?0

(1)证明 两函数的图像交于 A, B 两个不同的交点; (2)求线段 AB 在 x 轴上的射影 A1 B1 的长的取值范围。 10.证明不存在满足下列两个条件的二次多项式 (1)当 | x |? 1时, |

f ( x) :

f ( x) |? 1 ;

(2) |

f (2) | ? 8 。

答 案 情景再现 1. 由 ?ABC 是直角三角形,得

?AOC ∽ ?COB ,
因此

AO CO ? OC OB

? ?

AO ? OB ? OC 2 ? x1 x2 ? c 2 ? ? c ? c2 a ? ac ? ?1 .


2.原不等式可化为 当a

(2 ? a) x 2 ? 2(2 ? a) x ? 4 ? 0

? 2 时,原不等式为 4 ? 0 ,恒成立;

当a

?2 ? a ? 0 , ? ?2 ? a ? 2 ; ? 2 时, ? 2 ? ? 4 ( 2 ? a ) ? 16 ( 2 ? a ) ? 0 , ?
a ? 2 时,原不等式恒成立。

综上,当 ? 2 ?

- 12 -

2 ? ? x ? 5 x ? 2 ? ?4 , 3. (1)不等式 ? 4 ? x ? 5x ? 2 ? 26 等价于 ? 2 ? ? x ? 5 x ? 2 ? 26 .
2

解得原不等式的解是 ? 3 ? (2)因为不等式 x 不等式

x ? 2或3 ? x ? 8 。

2

? 2 x ? 3 ? 0 恒成立,所以
等价于 x( x ? 1)( x ? 3)( x ? 5)

x( x ? 1)( x ? 3)( x ? 5) ?0 x2 ? 2x ? 3

? 0。

解得原不等式的解是 x ? ?3 , 4. 原不等式可化为 因为 不等式 当x 解得

0 ? x ? 1或 x ? 5 。

( x ? 3) 2 ( x ? 3)( x ? 6)( x ? 2)( x 2 ? 2 x ? 4) ? 0 ,
恒成立,又 ( x ? 3)

x2 ? 2x ? 4 ? 0

2

? 0 ,得

? 3 时,原不等式等价于不等式 ( x ? 3)( x ? 6)( x ? 2) ? 0 , ? 6 ? x ? ?3 或 x ? 2( x ? 3) ;经检验,当 x ? 3 时,原不等式不成立。

所以,原不等式的解为 5 . 由 题 意 ,

? 6 ? x ? ?3 , 2 ? x ? 3或 x ? 3 。


?3

2

是 二 次 方 程

x 2 ? px ? q ? 0

的 两 个 根 , 所 以 ,

p ? ?(?3 ? 2) ? 1 , q ? ?3 ? 2 ? ?6 。
6. 由题意,

f ( x) ? g ( x) ? 0 。
5 3




(3x 2 ? 6 x ? 1) ? (2 x ? 4) ? 3x 2 ? 8 x ? 5 ? 0 ,得1 ? x ?

所以,当1 ?

x?

5 时,函数 f ( x) 的图象在函数 g ( x) 的图象的下方。 3

7. 由

b ? x ? x ? , 1 2 ? ? y ? ax ? a 2 ? ax ? bx ? c ? 0 ? ? ? y ? bx ? c ? ? x x ??c. 1 2 ? a ?
2
- 13 -



? y ? bx ? c c ? x3 ? ? . ? b ?y ? 0

消去 a

, b , c , 得 ( x1 ? x2 ) x3 ? x1 x2 ?

1 1 1 ? ? 。所以,应选 B 。 x1 x2 x3

8. 设

5 13 f ( x) ? a( x ? ) 2 ? ,则 2 4 f ( x) ? x ? ax2 ? (5a ? 1) x ? 25a ? 13 ?0 4

由 | x1 所以,

? x2 | ? 2 ? (5a ? 1) 2 ? a(25 a ? 13) ? 4 ? a ? 1。 f ( x) ? x 2 ? 5 x ? 3。
又方程 f ( x) ? 0 的两根之积为 f ( x) ? 0 的根,

9.

由题意, c 是方程

c , 所以方程 f ( x) ? 0 a

的另一个根为

1 1 ,且 f ( ) ? 0 。 a a
1 1 1 1 ? c ,则 f ( ) ? 0 ,次与 f ( ) ? 0 矛盾。所以, ? c ;[来 a a a a
, 又

(1) 若

0?

源:www.shulihua.net] (2) 由

f (c) ? 0 ? ac ? b ? 1 ? 0 ? b ? ?1 ? ac

0 ? ac ? 1

, 得

? 2 ? b ? ?1 ;
(3) 欲证不等式等价于

? (t ) ? (a ? b ? c) t 2 ? (a ? 2b ? 3c) t ? 2c ? 0 。
由0

? 1 ? c ,得 f (1) ? 0 ? a ? b ? c ? 0 。 ? ?1 ,得

由(2) ? 2 ? b

a ? 2b ? 3c ? (a ? b ? c) ? (b ? 2c) ? 0 。
因此,抛物线 ? (t ) 的开口向上,且对称轴位于
- 14 -

y 轴左方。当 t ? 0

时, ? (t ) 的值随着 t 的

值增加而增加。所以,当 t

? 0时

? (t ) ? ? (0) ? 2c ? 0 ,即原命题得证。
习题 2 1. 不等式 0 ?

x2 ? px ? 5 ? 1 有唯一实数解,要求开口向上的抛物线 y ? x ? px ? 5 的最

2

小值为 1。[来源:www.shulihua.net]

p 2 p2 p2 ? 1 ? p ? ?4 。所以,应选 A 。 由 x ? px ? 5 ? ( x ? ) ? 5 ? ,得 5 ? 2 4 4
2
2. 因为

x5 ? x 4 ? x ? 1 ? ( x ? 1)( x 4 ? 1) ? ( x ? 1) 2 ( x ? 1)( x 2 ? 1) ,
? ?1且 x ? 1 。

所以,原不等式的解为 x 3.

42x2 ? ax ? a2 可化为 (6x ? a)(7 x ? a) ? 0 ,
当a 当a 当a

? 0 时,不等式的解为 ? ? 0 时,不等式无解; ? 0 时,不等式的解为

a a ?x? ; 6 7

a a ?x?? 。 7 6

4.

y1 ? y2 ? x 4 ? 3x 3 ? 5 x 2 ? x ? 10 ? ( x ? 2)( x ? 1)( x 2 ? 2 x ? 5)
因为 当 当x

x 2 ? 2 x ? 5 ? 0 恒成立,所以,
?1 ? x ? 2
时, 时, 时,

y1 ? y2

; ; 。

? ?1 或 x ? 2 ?2

y1 ? y2 y1 ? y2

当 x ? ?1或 x 5. 原不等式可化为 或m 6.

(m ? 4)( m ? a 2 ) ? 0 。因为 0 ? | a | ? 1 ,不等式的解为 m ? | a |

? 4 。欲要原不等式恒成立,实数 m 的取值范围是 m ? 0 或 m ? 4 。所以,应选 C 。
2

解不等式 m

? 72m ? 720 ? 0 ,得12 ? m ? 60 。
- 15 -

又x

2

? 2(m ? 1) x ? m 2 ? 0 ,得 ? ? 4(m ? 1) 2 ? 4m 2 ? 4(2m ? 1) 。

由此方程有整数根, 得 ? 为完全平方数。所以, m 程为 x 当m 7. 由

? 24 或 m ? 40 。当 m ? 24 时,原方

2

? 50x ? 242 ? 0 ,解得 x1 ? 32或 x2 ? 18;

? 40 时,原方程为 x 2 ? 82x ? 402 ? 0 ,解得 x1 ? 50或 x2 ? 32 。

kx2 ? 2(3k ? 1) x ? 9k ? 1 ? 0 ,得

6k ? 2 ? x ? x ? 1 2 ? ? k ? ? x x ? 9k ? 1 1 2 ? k ?
化简得 由?

? 2 x1 x2 ? x1 ? x2 ? 12

(2x1 ? 1)(2x2 ? 1) ? 25 ,

?2 x1 ? 1 ? ? 1 , ? 5 . ? x1 ? 0 , 1 , 3 , ? 2 . ? ? ?2 x2 ? 1 ? ? 25 , ? 5. ? x2 ? ? 12, 13 , 3 , ? 2 .

经检验 , 所求 k 的值为

1 1 1 , ? , . 9 4 5


8.

a 2 a2 f ( x) ? x ? ax ? 3 ? a ? ( x ? ) ? 3 ? a ? 2 4
2
当?

a ?0 2

即a

?0

时,

f min ( x) ? f (0) ? 3 ? a ? 0 ? a ? 3 , ?0 ? a ? 3 ;
当0 ?

?

a ?1 2

即? 2 ?

a?0

时,

a a2 f min ( x) ? f (? ) ? 3 ? a ? ?0 ? ?6? a ? 2, 2 4 ?? 2 ? a ? 0 ;
- 16 -

当?

a ?1 2

即a

? ?2

时, f min ( x)

? f (1) ? 4 ? 0 , ? a ? ?2 .

综上,所求 a 的取值范围是 a 9. (1)由 ax 因为

? 3。

2

? bx ? c ? ?bx ? ax 2 ? 2bx ? c ? 0

? ? 4b 2 ? 4ac ? 4(a ? c) 2 ? 0 ( ? a ? c) ,所以两函数的图像交于两个不

同的交点; (2) |

A1B1 |2 ? | x1 ? x2 |2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2



b 2 c 4(a ? c) 2 c 2 ?4( ) ?4 ? ? 4 ( 1 ? ) . a a a a2 ?a ? 0 , c ? 0 , ?a ? b ? c ? ? ? ? c 1 ?2? ?? . ?a ? b ? c ? 0 ? a 2 ?
f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,

所以,线段 AB 在 x 轴上的射影 A1 B1 的长的取值范围是 (3 , 6) 。 10. (反证法)反设存在满足条件的二次多项式 则c

? f (0) ; b ?

f (1) ? f (?1) f (1) ? f (?1) ; a? ? f (0) . 2 2

由题意, |

f (0) |? 1 ; | f (1) |? 1 ; | f (?1) |? 1 ,所以

| f (2) | ? | 4a ? 2b ? c | ? | 3 f (1) ? f (?1) ? 3 f (0) | ? 3 | f (1) | ? | f (?1) | ?3 | f (0) |? 7.
此与 |

f (2) |? 8

矛盾。所以满足条件的二次多项 式不存在。

(由证明过程,得原题中条件(2)可强化为 |

f (2) |? 7 )

- 17 -


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