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广州市2014届高三调研测试数学理科试题参考答案及评分标准


广州市 2014 届高三年级调研测试 数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案及评分标准给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与参考答案 不同,可根据比照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不 得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 D 5 A 6 B 7 C 8 A

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 7 小题,考生作答 6 小题, 每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 题号 答案 9 3 10 4 11 12 13 36 14 1 15

1 3

?? 1,0?

? 3 3? , ?? ? ? 3 3 ?

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解 : ( 1 ) 在 △

ABC





A?


1分 B ? ?.……………………………………………………………… C? 以

c


A?C ? 2

? ?B
2

………………………………………………………………………… 2 o

? sin
…………3 分 所

B 3 ? .…………………………………………………………… 2 3


2

c


B? ?

B …………………………………………………………………………… 5 o 2

第 1 页 共 10 页

1 ? .…………………………………………………………………………… 3
…………7 分 (2)因为 a ? 3 , b ? 2 2 , cos B ? 由 余

1 , 3
弦 定 理

b2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B ,………………………………………………………………9 分


c 2 ? 2c ? 1 ? 0 .……………………………………………………………………………………
11 分 解 得

c ? 1 .……………………………………………………………………………………………12


17. (本小题满分 12 分) 解: (1)由茎叶图可知,甲城市在 2013 年 9 月份随机抽取的 15 天中的空气质量类别为优或 良的天数 为 5 天.…………………………………………………………………………………………………1 分 所以可估计甲城市在 2013 年 9 月份 30 天的空气质量类别为优或良的天数为 10 天.…………2 分 ( 2 ) 的 取 值 为 0 , 1 , X 2,………………………………………………………………………………3 分 因 为
0 2 C5 C10 3 P ? X ? 0? ? ? ,……………………………………………………………………… 5 2 C15 7



P ? X ? 1? ?
…………7 分

1 C1 10 5 C10 ? ,………………………………………………………………… 2 C15 21

P ? X ? 2? ?

2 0 C5 C10 2 ? .………………………………………………………………… 2 C15 21

………9 分 所以 X 的分布列为:
第 2 页 共 10 页

X
P
所 以

0 3 7


1

10 21


2 2 21

……………………10 分 期 望

3 10 2 2 EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? .…………………………………………………12 分 7 21 21 3
18. (本小题满分 14 分) (1)证明 1:因为 AB ? 2BC , ?ABC ? 60 , 在 △
?

ABC



















AC ? 3BC .……………………………………………………2 分
所以 AC ? BC ? AB .
2 2 2

以 AC ? BC .………………………………………………………………………………………3 分 因为 AC ? FB , BF ? BC ? B , BF 、 BC ? 平面 FBC , 所 以 平 AC ? FBC .………………………………………………………………………………4 分
? ? 证明 2:因为 ?ABC ? 60 ,设 ?BAC ? ? 0 ? ? ? 120 ,则 ?ACB ? 120 ? ? .
? ?





?

?





ABC



















BC AB ? .…………………………………………1 分 sin ? sin ?120? ? ? ?
因为 AB ? 2BC ,所以 sin 120 ? ? ? 2sin ? .
?

?

?







t

??

3 a 3

n ,





? ? 30? .…………………………………………………………………2 分
以 AC ? BC .………………………………………………………………………………………3 分 因为 AC ? FB , BF ? BC ? B , BF 、 BC ? 平面 FBC , 所 以 平 AC ? FBC .………………………………………………………………………………4 分 (2)解法 1:由(1)知, AC ? 平面 FBC , FC ? 平面 FBC , 所以 AC ? FC . 因为平面 CDEF 为正方形,所以 CD ? FC .
第 3 页 共 10 页





A ? C? C , D 所 C以 .…………………………………………………… 6分 A B C D 取 AB 的中点 M ,连结 MD , ME ,
因 为 因为 ABCD 是等腰梯形,且 AB ? 2BC , ?DAM ? 60 ,
?

FC ?





所 以 MD

?M A ?

是 等 边 三 角 形 , 且 A. D所 以 △ M A D E F

ME ? BF .…………………………7 分
取 AD 的中点 N ,连结 MN , NE ,则 MN ? AD .………8 分 因为 MN ? 平面 ABCD , ED ? FC ,所以 ED ? MN . 因为 AD ? ED ? D ,所以 MN ? 平面 ADE . ……………9 分 所以 ?MEN 为直线 BF 与平面 ADE 所成角. ……………10 分 因为 NE ? 平面 ADE ,所以 MN ? NE .…………………11 分 因 为 N A M , D

C B

M

?

3 2

N

A

ME ? MD 2 ? DE 2 ? 2 AD ,…………………………………………12 分


Rt



MNE





MN 6 s ?MEN ? i ? n .…………………………………………………… 13 分 ME 4
所以直线 BF 与平面 ADE 所成角的正弦值为

6 .……………………………14 分 4

解法 2:由(1)知, AC ? 平面 FBC , FC ? 平面 FBC , 所以 AC ? FC . 因为平面 CDEF 为正方形,所以 CD ? FC . 因 为 A ? C? C , D 所 C以

FC ?





A

.…………………………………………………… 6分 B C D 所以 CA , CB , CF 两两互相垂直, 建立如图的空间直角坐标系 C ? xyz .………………………7 分 因为 ABCD 是等腰梯形,且 AB ? 2BC , ?ABC ? 60 所以 CB ? CD ? CF . 不妨设 BC ? 1 ,则 B ? 0,1, 0 ? , F ? 0, 0,1? , A
?

E

z

F

?

3, 0, 0 ,
x A

?

D

C B y

? 3 1 ? ? 3 1 ? D? , ? , 0 ,E? ? ? 2 ? 2 , ? 2 ,1 ? ?, 2 ? ? ? ? ?

第 4 页 共 10 页





??? ? BF ? ? 0 ?

?

,

, 1

??? ? ? 3 1 ? DA , ?? ? 2 ,12 , 0 ? ? ? ?



???? DE ? ? 0, 0,1? .………………………………………9 分

??? ? ? 3 y ? x ? ? 0, ?n ? DA ? 0, ? 设平面 ADE 的法向量为 n = ( x, y,z ) ,则有 ? ???? 即? 2 2 ? ?n ? DE ? 0. ? ? z ? 0.


x ?1 , 得

n?

?1 ?,

?3

, 0 是 平



的 一 个 法 向 A D E

量.………………………………………11 分 设直线 BF 与平面 ADE 所成的角为 ? , 则

??? ? ??? ? ? 0, ?1,1?? 1, ? 3, 0 BF ? n 6 sin ? ? cos? BF , n? ? ??? ? ? .…………………………… ? 4 2 ?2 BF ?n
13 分 所

?

?





线

BF







ADE

















6 .………………………………………………14 分 4
19. (本小题满分 14 分) 解 : ( 1 ) 因 为

an?1 ?

3an 2an ? 1







1 1 2 ? ? .…………………………………………………1 分 an ?1 3an 3
所 以

? ? 1 1 ? 1 ? ? ? 1? .…………………………………………………………………………3 an ?1 3 ? an ?
分 因 为

a1 ?

3 5





1 2 ? 1 ? .…………………………………………………………………………4 分 a1 3
所 以 数 列

?1 ? 2 ? ? 1? 是 首 项 为 3 ? an ?
第 5 页 共 10 页

, 公 比 为

1 的 等 比 数 3

列.…………………………………………5 分 (2) 由 (1) 知, 7分 假设存在互不相等的正整数 m , s , t 满足条件, 则 有

1 2 ?1? ?1 ? ? ? ? an 3 ?3?

n ?1

?

2 3n , 所以 . …………………………………… a ? n 3n 3n ? 2

? ? m ? t ? 2 s, …………………………………………………………………… 9 ? 2 a ? 1 ? a ? 1 a ? 1 . ? ? ? ?? ? ? m t ? s
分 由 an ? 得

3n 2 与 ? as ? 1? ? ? am ? 1?? at ? 1? , n 3 ?2
2

? 3s ? ? 3m ? ? 3t ? ? 1 ? ? 1 ? 1? . ……………………………………………………10 ? s ? ? m ?? t ? 3 ? 2 ? ? 3 ? 2 ?? 3 ? 2 ?
分 即 ……………………………………………………………11 3m?t ? 2 ? 3m ? 2 ? 3t ? 32s ? 4 ? 3s . 分 因 为

m? ? 2

t



s





3m ? 3t ? 2 ? 3s .……………………………………………………………12 分
因为 3 ? 3 ? 2 3
m t m ?t

? 2 ? 3s ,当且仅当 m ? t 时等号成立,
相 , t 等 矛

这 与 , , 互 不 t m s 盾.……………………………………………………………………13 分 所 以 不 存 在 互 不 相 等 的 正 整 数 m , s 件.……………………………………………14 分 20. (本小题满分 14 分) 解: (1)因为 f ? x ? ? 所

满 足 条

1 3 x ? ax , g ? x ? ? bx 2 ? 2b ? 1 , 3


f ? ? x? ? 2 x? a



g ? ? x ? ? 2bx .…………………………………………………………………1 分
因为曲线 y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 在它们的交点 ?1, c ? 处有相同切线, 所以 f ?1? ? g ?1? ,且 f ??1? ? g ??1? 。

第 6 页 共 10 页



1 ? a ? 2b , ………………………………………………………………2 分
解 得

1 ? a ? b ? 2b ? 1 3

,



a?


1 1 , b ? .……………………………………………………………………………………3 3 3

(2)当 a ? 1 ? 2b 时, h ? x ? ? 所

1 3 1? a 2 x ? x ? ax ? a ? a ? 0 ? , 3 2


h? ? x ? ? x 2 ? ?1 ? a ? x ? a ? ? x ? 1?? x ? a ? .………………………………………………… 4
分 令 h? ? x ? ? 0 ,解得 x1 ? ?1, x 2 ? a ? 0 . 当 x 变化时, h ?? x ?, h? x ? 的变化情况如下表:

x
h ?? x ? h? x ?

?? ?,?1?
?


?1
0 极大值

?? 1, a ?
?


a
0 极小值

?a,?? ?
?


所 以 函 数 h ? x ? 的 单 调 递 增 区 间 为 ?? ?,?1?, ?a,?? ? , 单 调 递 减 区 间 为

?? 1, a ? .………………5 分
故 h ? x? 在 区 间

?? 2,?1?

内 单 调 递 增 , 在 区 间

?? 1,0?

内 单 调 递

减.………………………………6 分 从 而 函 数 h ? x? 在 区 间

?? 2,0?

内 恰 有 两 个 零 点 , 当 且 仅 当

?h ? ?2 ? ? 0, ? ?h ? ?1? ? 0, ………………………7 分 ? ?h ? 0 ? ? 0.
? 8 ?? 3 ? 2 ?1 ? a ? ? 2a ? a ? 0, ? 1 ? 1 1? a ? a ? a ? 0, 即 ?? ? 解得 0 ? a ? . 2 3 ? 3 ??a ? 0. ? ?
所 以 实 数

a













第 7 页 共 10 页

? 1? ? 0, ? .……………………………………………………………………8 分 ? 3?
(3)当 a ? 1 , b ? 0 时, h ? x ? ?

1 3 x ? x ?1. 3

所以函数 h ? x ? 的单调递增区间为 ?? ?,?1?, ?1,?? ? ,单调递减区间为 ?? 1,1? . 由 于

h ? ?2 ?

5 ? 3

,?

h ?1? ? ?

5 3







h ? ?2 ? ? h ?1? .……………………………………………9 分
① 当 , 即 t ?3 ?1 时,………………………………………………………………………10 分

t ? ?2

1 3 ? ?h ? x ?? ? min ? h ? t ? ? 3 t ? t ? 1 .……………………………………………………………
………11 分 ②当 ?2 ? t ? 1 时,

5 ? ?h ? x ?? ? min ? h ?1? ? ? 3 .…………………………………………………………………
…………12 分 ③当 t ? 1 时, h ? x ? 在区间 ?t , t ? 3? 上单调递增,

1 3 ? ?h ? x ?? ? min ? h ? t ? ? 3 t ? t ? 1 .……………………………………………………………
………13 分 综上可知,函数 h ? x ? 在区间 ?t , t ? 3? 上的最小值为

? ?h ? x ?? ? min

?1 3 t ? t ? 1, ? ?3 ? ? ?? 5 , ? ? 3

t ? ? ??, ?2 ? ? ?1, ?? ? , t ? ? ?2,1? .
……………………………………

………14 分 21. (本小题满分 14 分) 解: (1)因为双曲线方程为 所 以 双

x2 y2 ? ? 1, a2 b2
线 的 渐 近 线 方 程 为



y??

b x .……………………………………………………………1 分 a b ? ? 因为两渐近线的夹角为 60 且 ? 1 ,所以 ?POF ? 30 . a

第 8 页 共 10 页



3 b . ……………………………………………………………………………2 分 ? tan 30? ? 3 a
所以 a ?

3b .
2 2 2

l1

y

P A

因为 c ? 2 ,所以 a ? b ? 2 , 所以 a ? 3 , b ? 1. 所 以 椭 圆 l2

O l 程 B

F

x

C







x2 ? y 2 ? 1.…………………………………………………………………4 分 3
( 2 ) 因 为 l ? l1 , 所 以 直 线 l 与 的 方 程 为 y ?

a ( x ? c) , 其 中 b

c ? a 2 ? b 2 .………………………5 分
因为直线 l 2 的方程为 y ? 联 立 直 线

b x, a

l



l2













? a 2 ab ? P ? , ? .………………………………………………………6 分 ? c c ?


| FA | ?? | AP |





??? ? ??? ? FA ? ? AP .………………………………………………………………………7 分
因为点 F ? c, 0 ? ,设点 A ? x0 , y0 ? , 则有 ? x0 ? c, y0 ? ? ? ?

? a2 ? ab ? x0 , ? y0 ? . c ? c ?




c2 ? ?a2 x0 ? c ?1 ? ? ?



y0 ?

? ab .………………………………………………………………8 分 c ?1 ? ? ?
x2 y 2 ? ? 1上, a 2 b2

因为点 A ? x0 , y0 ? 在椭圆

第 9 页 共 10 页

?c 所以
?

? ? ab ? ? 2 2 a 2c 2 ?1 ? ? ? b2c 2 ?1 ? ? ?
2 2

? ?a2 ?

2

? 1.

2 2 即 c ? ?a

?

2

? ? 2 a 4 ? ?1 ? ? ? a 2 c 2 .
2















a4



(e2 ? ? )2 ? ? 2 ? e2 (1 ? ? )2 , e ? (0,1). ……………………………………10 分
所 以

?2 ?


e2 ? e4 2 ? ? ? ? ? 2 ? e2 ? ? ? 3 ……………………………………………………… 11 2 2?e 2 ? e2 ? ?

? ?2
……12 分 所 以 当

2 ?2 ? e ?? 2 ? e
2

2

? 3 ? 3? 2 2 ?

?

2 ? 1 .………………………………

?

2

2 ? e2 ?

2 2 ? e2

, 即 e?

2? 2

时 , ?

取 得 最 大 值

2 ? 1 .…………………………13 分


| FA | | AP |











2 ? 1 .………………………………………………………………………14 分

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