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高中数学选修2-1圆锥曲线与方程单元测试


圆锥曲线
一、选择题 1、抛物线顶点是坐标原点,焦点是椭圆 x 2 ? 4 y 2 ? 1 的一个焦点,则此抛物线的焦点到准 线的距离是( (A) 2 3 ) (B) 3
2

(A)

y=±

2 x 2 3 x 3

(B) y=± 3 x

(C)

/>
y=±

(D) y=± 2 x

7、已知 A、B、C 三点在曲线 y ? (C)
2

x上,其横坐标依次为 ,m,(1 ? m ? 4),当?ABC 的 1 4

3 2

(D)

3 4


面积最大时,m 的值为( (A) 3 (B)



2、直线 y ? kx ? 1(k ? R) 与椭圆 (A)[1,5)∪(5,+∞) (C) ?1,?? ?

x y ? ? 1 恒有公共点,则 m 的取值范围是( 5 m
(B)(0,5) (D) (1,5)

5 2

(C)

9 4

(D)

3 2

8、在椭圆 的点 P 有( (A) 2 个

x2 y2 ? ? 1有一点P, F1, F2 是椭圆的左右焦点, ?F1 PF2 为直角三角形,则这样 45 20
) (B) 4 个 (C)6 个 ( D) 8 个

3、已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F( 7 ,0),直线 y ? x ? 1 与其相交于 M、N 两

2 点,MN 中点的横坐标为 ? ,则此双曲线的方程是( 3
2 2 (A) x ? y ? 1 3 4 2 x y2 (C) ? ?1 5 2



9、已知双曲线

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1和椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? 0, m ? b ? 0) 的离心率互为倒数,那 a2 b m b
) (C)钝角三角形 (D)锐或钝角三角形

(B)

x2 y2 ? ?1 4 3 x2 y2 (D) ? ?1 2 5

么以 a, b, m 为边长的三角形是( (A)锐角三角形

(B)直角三角形

4、 若双曲线 ( ) (A)

x y ? 2 ? 1 的一条准线与抛物线 y2=8x 的准线重合,则双曲线的离心率为 8 b

2

2

x2 ? y 2 ? 1 右支上除顶点外的任意一点, F,F2 为其两焦点,则 10、设点 P 为双曲线 1 4

?F1 PF2的内心M 在(

) (B)直线 x ? 1 上 (D)直线 y ? x 上

2

(B) 2 2

(C) 4

(D) 4 2

(A)直线 x ? 2 上 (C) 直线 y ? 2 x 上 二.填空题

5、过定点 P(0,2)作直线 l,使 l 与曲线 y2=4(x-1)有且仅有 1 个公共点,这样的直线 l 共有 ( ) (A) 1 条 (B) 2 条 (C) 3 条 (D) 4 条

11、已知椭圆 a 2 x 2 ?

a 2 y ? 1的焦距为4,则a的值为 ____________ 2

6. 已知 F1、F2 为双曲线

x2 y2 ? =1(a>0,b>0)的焦点,过 F2 作垂直于 x 轴的直线,它 a2 b2


12、 F 是椭圆 设

x2 y2 ? ? 1 的右焦点, 且椭圆上至少有 21 个不同的点 P(i=1、 3、 , 2、 …) i 7 6

与双曲线的一个交点为 P,且∠PF1F2=30°,则双曲线的渐近线方程为(

P1 F , P2 F , P3 F ,…组成公差为 d 的等差数列,则实数 d 的取值范围是
三、解答题

.

13、已知椭圆 C 的焦点分别为 F1(-2 2 ,0)和 F2(2 2 ,0),长轴长为 6,设直线 y=x+2 交椭 圆 C 于 A、B 两点,求线段 AB 的中点坐标。 14、如图,线段 AB 过 x 轴正半轴上一定点 M(m,0),端点 A、B 到 x 轴的距离之积为 2m, 以 x 轴为对称轴,过 A、O、B 三点作抛物线,求该抛物线的方程。

17、设 x 、y∈R,i、j 为直角坐标平面内 x 、 y 轴正方向上的单位向量,向量 a=xi+(y +2)j,b=xi+(y-2)j ,且| a |+| b |=8. 15、.直线 l : y ? kx ? 1 与双曲线 C: 2 x 2 ? y 2 ? 1 的右支交于不同的两点 A、B。 (Ⅰ)求实数 k 的取值范围; (Ⅱ)是否存在实数 k ,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F?若存在, 求出 k 的值。若不存在,说明理由。 18、在△ ABC 中,A 点的坐标为(0,3),BC 边的长为 2,且 BC 在 x 轴上的区间[-3,3] 16、如图,P 为双曲线 (1)求点 M (x,y)的轨迹 C 的方程; (2)过点(0,3)作直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,设 OP ? OA ? OB ,是否存在这样的直线

l ,使得四边形 OAPB 是矩形?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,试说明理由.

x2 y2 ? ? 1 (a、b 为正常数)上任一点,过 P 点作直线分别与双曲线 a 2 b2


上滑动.? (1)求△ ABC 的外心 P 的轨迹方程;? (2)设直线 l:y=

的两渐近线相交于 A、B 两点.若

(1)求证:A、B 两点的横坐标之积为常数; (2)求△AOB 的面积(其中 O 为原点).

1 | EF | x+b 与 P 的轨迹交于 E、F 点,原点 O 到直线 l 的距离为 d,求 3 d

的最大值,并求此时 b 的值.

因为该二次方程的判别式△>0,所以直线与椭圆有两个不同交点。 设 A(x1,y1),B(x2,y2) 则 x1+x2= -

18 , 5 9 1 , )。 5 5
① ②

故线段 AB 的中点坐标为(-

16. 解 设所求抛物线方程为 y2=2px(p>0)。

若 AB 不垂直于 x 轴,设直线 AB 的方程为:y=k(x-m)(k≠0), 由①,②消去 x,得 y2-

2p y-2pm=0 k



设 A、B 的坐标分别为 A(

a2 b2 ,a),B( ,b)。 2p 2p

参考答案
一、选择题 题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 A 5 C 6 D 7 C 8 D 9 B 10 A

则 a,b 是方程③的两个根。 ∴ab= -2pm, 又|a|· |b|=2m,即 ab=-2m, ∴由-2pm= -2m(m>0)得 p=1, 则所求抛物线方程为 y2=2x。

二、填空题

1? 5 11. 4
三、解答题

12. 4

13. b=1或3

1 1 14. [? , 0] ? (0, ] 10 10

若 AB 垂直于 x 轴,直线 AB 的方程为 x=m,A、B 两点关于 x 轴对称,
2 故 y A =2pm,2m=2pm,

又 m≠0,∴p=1,

15. .解 设椭圆 C 的方程为

x2 y2 + =1, a2 b2

则所求抛物线方程为 y2=2x。 综上,所求抛物线方程为 y2=2x。 17. 解:(Ⅰ)将直线 l 的方程 y ? kx ? 1 代入双曲线 C 的方程 2 x 2 ? y 2 ? 1 后,整理得

由题意知 a=3,c=2 2 ,于是 b=1。 ∴椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1。 9

(k 2 ? 2) x 2 ? 2kx ? 2 ? 0 。…………①

?y ? x ? 2 ? 由 ? x2 2 ? ? y ?1 ?9

得 10x2+36x+27=0

? k2 ? 2 ? 0 ? 2 2 ?? ? (2k ) ? 8( k ? 2) ? 0 ? 2k 依题意,直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同两点,则 ? ? 2 ?0 k ?2 ? ? 2 ?0 ? 2 k ?2 ?
解得 k 的取值范围为 ? 2 ? k ? ? 2 。 (Ⅱ)设 A、B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x 2 , y 2 ) ,则由①得

又因为 P 点在双曲线上.所以

2 2 x0 y0 ? 2 ? 1, a2 b

( x1 ? 2 x2 ) 2 ( x1 ? 2 x2 ) 2 9 ? ? 1 ? x1 x2 ? a 2 为常数. 2 2 9a 9a 8
(2)又∠ AOX ? ? ,则 tan? ?

b , | OA |? x1 , | OB |? x2 a cos? cos?

S?AOB ?

x 1 1 x | OA | ? | OB | ?sin 2? ? ? 1 ? 2 ? sin 2? 2 2 cos ? cos ?
9 2 b 9 a ? ? ab 8 a 8

2k ? ? x1 ? x2 ? 2 ? k 2 ? ? ? x ?x ? 2 ? 1 2 k2 ? 2 ?



? x1 x2 tan ? ?

19. 解:(1)∵a=xi+(y+2)j,b=xi+(y-2)j ,且| a |+| b |=8 ∴点 M(x,y)到两个定点 F1(0,-2),F2(0,2)的距离之和为 8 ∴轨迹 C 为以 F1,F2 为焦点的椭圆,方程为
x2 y2 ? ?1 12 16

假设存在实数 k ,使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点 F(c,0),则由 FA ⊥FB 得

( x1 ? c)( x2 ? c) ? y1 y 2 ? 0 。
既 ( x1 ? c)( x2 ? c) ? (kx1 ? 1)(kx2 ? 1) ? 0 。 整理得 (k 2 ? 1) x1 x2 ? (k ? c)( x1 ? x2 ) ? c 2 ? 1 ? 0 。…… ③ 把②式及 c ?

(2) l 过 y 轴上的点(0,3),若直线 l 是 y 轴,则 A、B 两点是椭圆的顶点 ∴ OP ? OA ? OB ? 0,∴P 与 O 重合,与四边形 OAPB 是矩形矛盾. ∴直线 l 的斜率存在,设 l 方程为 y=kx+3,A(x1,y1),B (x2,y2)

6 代入③式化简得 5k 2 ? 2 6k ? 6 ? 0 。 2

? y ? kx ? 3 ? 由 ? x2 得: (4 ? 3k 2 ) x2 ? 18kx ? 21 ? 0 y2 ? 12 ? 16 ? 1 ?
此时, ? ? (18k ) 2 ? 4(4 ? 3k 2 )( ?21) ? 0 恒成立, 且 x1 ? x2 ? ?

解得 k ? ?

6? 6 6? 6 或k ? ? (?2,? 2 ) (舍去)。 5 5

6? 6 可知 k ? ? 使得以线段 AB 为直径的圆经过双曲线 C 的右焦点。 5
18. 解:(1)设 A( x1 , y1 )、B( x2 , y 2 )、P( x0 , y 0 ).

18k 21 , 1x2 ? ? x 2 4 ? 3k 4 ? 3k 2

∵ OP ? OA ? OB ,∴四边形 OAPB 是平行四边 若存在直线 l ,使得四边形 OAPB 是矩形,则 OA⊥OB,即 OA ? OB ? 0 ∴ OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0

AP x ? 2 x2 y ? 2 y2 b ?b 因为 ? 2 ,所以 1 ? x0 , 1 ? y0 .又 y1 ? x1 , y2 ? x2 . PB 3 3 a a b b 所以 y1 ? 2 y2 ? ( x1 ? 2 x2 ) .从而 y0 ? ( x1 ? 2 x2 ) . a 3a

即 (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 9 ? 0 解得: k ? ?
5 4

?

(1 ? k 2 )(?

21 18k ) ? 3k (? )?9?0 2 4 ? 3k 4 ? 3k 2

| EF | 1 3 5 = 时,( )max= . b 4 3 d | EF | 4 5 所以 的最大值是 ,此时 b= . 3 3 d


∴存在直线 l: y ? ?

5 x ? 3 ,使得四边形 OAPB 是矩形. 4

20. 解:(1)设 B,C 的坐标分别为 B(t,0),C(t-2,0)(-1≤t≤3), 则线段 BC 的中垂线方程为 x=t-1, ①

t 3 3 , ),AB 斜率为 (t≠0), 2 2 ?t 3 t t 所以线段 AB 的中垂线方程为 y- = (x- ) ② 2 3 2
AB 中点( 由①②得:x2=6y-8(-2≤x≤2 且 x≠-1) ③ 当 x=-1 时,t=0 时,三角形外心 P 为(-1, 所以 P 点的轨迹为 x2=6y-8(-2≤x≤2)

3 ),适合③; 2

1 ? ?y ? x ? b (2)由 ? 得 x2-2x-6b+8=0(-2≤x≤2) ④ 3 ?x 2 ? 6 y ? 8 ?
x1x2=8-6b,x1+x2=2
2 所以|EF|= 1 ? ( )

1 3

( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x 1 x 2 =

2 10 3

6b ? 7

2 10 6b ? 7 | EF | | EF | 3 ? 又因为 d= ,所以 3|b| 10 d 10
=

20 9

? 7 6 20 ? = b2 b 9

1 3 9 ? 7( ? ) 2 ? b 7 7

因方程④有两个不相同的实数根,设 f(x)=x2-2x-6b+8

?? ? 0 7 4 3 1 6 ? ? f ( 2) ? 0 ,∴ <b≤ , ≤ < . 3 4 b 7 ? f ( ?2 ) ? 0 6 ?


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