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(课件1)1.3空间几何体的表面积与体积


1.3.1 柱体、锥体、 台体的表面积和体积

多面体的展开图和表面积
在初中已经学过正方体和长方体的表面积,你知道正 方体和长方体的展开图的面积与其表面积的关系吗?

几何体表面积

展开图

平面图形面积 平面问题

空间问题

引入新课

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体,它们的展开图是什么?如何计算它们的表面积?

棱柱的展开图
正六棱柱的侧面展开图是什么?如何计算它的表 面积?
a

h

正棱柱的侧面展开图

棱锥的展开图
正五棱锥的侧面展开图是什么?如何计算它的表 面积?

侧面展开

h'

正棱锥的侧面展开图

h'

棱锥的展开图
正四棱台的侧面展开图是什么?如何计算它的表 面积?

侧面展开
h'

h'

正棱台的侧面展开图

棱柱、棱锥、棱台的表面积

h'

h'

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体,它们的侧面展开图还是平面图形,计算它们的表面 积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和.

典型例题
例1 已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面 体S-ABC,求它的表面积 . 分析:四面体的展开图是由四个全等的正三角形 组成,因此只要求…... S 解:先求 ?SBC的面积,过点S作 SD ? BC
a

交BC于点D. A

3 a 因为SB=a, SD ? SB ? sin 60 ? 2
?

B

D

C
S 所以: ?ABC

1 1 3 3 2 ? BC ? SD ? a ? a? a 2 2 2 4

因此,四面体S-ABC 的表面积



圆柱的表面积
r O?

l
O

2?r

圆柱的侧面展开图是矩形

S圆柱表面积 ? 2?r ? 2?rl ? 2?r (r ? l )
2

圆锥的表面积

2?r

l

r

O
2

圆锥的侧面展开图是扇形

S圆锥表面积 ? ?r ? ?rl ? ?r(r ? l )

圆台的表面积
参照圆柱和圆锥的侧面展开图,试想象圆台的侧 面展开图是什么 .

r 'O’
l

2?r '

2?r

r

O
2 2

圆台的侧面展开图是扇环

S圆台表面积 ? ? (r? ? r ? r?l ? rl )

三者之间关系
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关 系?这种关系是巧合还是存在必然联系?

r O?

r 'O’

l
O

l

l

r
r’=r
2

O

r
r’=0
2

O

S柱 ? 2?r (r ? l )

S锥 ? ?r (r ? l )

S台 ? ? (r? ? r ? r?l ? rl )

典型例题
例2 如图,一个圆台形花盆盆口直径20 cm,盆 底直径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5 cm,盆壁长 15cm.那么花盆的表面积约是多少平方厘米( ? 取 3.14,结果精确到1 cm2 )? 20cm 解:由圆台的表面积公式得 花盆的表面积:
2 15 cm ?? 15 ? 2 15 ? 20 ? 1.5 ? S ? ? ?? ? ? ?15 ? ?15? ? ? ? ? 2 2 ? 2 ? ?? 2 ? ? ? ?

15 cm

? 999(cm2 )
cm2 . 答:花盆的表面积约是999

例3

蜜蜂爬行的最短路线问题.
B

易拉罐的 底面直径 为8cm,高 25cm.

A
分析: 可以把圆柱沿开始时蜜蜂所在位置的母线展开, 将问题转化为平面几何的问题.

知识小结
圆柱 S ? 2?r (r ? l )

r ? r?
柱体、锥体、台体的表面积 圆台S ? ? (r?2 ? r 2 ? r?l ? rl )

r? ? 0
展开图
圆锥 S ? ?r (r ? l )

各面面积之和


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