当前位置:首页 >> 数学 >>

苏教版高三一轮必修三第2章 2.3.2


2.3.2
[ 学习目标]

方差与标准差

1.会求样本标准差、方差 .2.理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方

法.3.会应用相关知识解决简单的统计实际问题.

[预习导引] 1.一组数据的最大值与最小值的差称为极差. 2.设一组样本数据 x1,x2,?,xn,其平均数为 x ,则称 s2= 1n (xi- x )2 为这个样本的方差,其算术平方根 s= ni? =1 别简称样本方差、样本标准差. 1n ?xi- x ?2为样本的标准差,分 ni? =1

要点一 极差 例 1 2013 年 5 月 31 日,A,B 两地的气温变化如图所示.

(1)这一天 A,B 两地的平均气温分别是多少? (2)A 地这一天气温的极差是多少?B 地呢? (3)A,B 两地气候各有什么特点? 解 (1)从 2013 年 5 月 31 日,A 地的气温变化图可读取数据:

18 ℃,17.5 ℃,17 ℃,16 ℃,16.5 ℃,18 ℃, 19 ℃,20.5 ℃,22 ℃,23 ℃,23.5 ℃,24 ℃, 25 ℃,25.5 ℃,24.5 ℃,23 ℃,22 ℃,20.5 ℃, 20 ℃,19.5 ℃,19.5 ℃,19 ℃,18.5 ℃,18 ℃, 所以 A 地平均气温为 x A=20+ 1 (-2-2.5-3-4-3.5-2-1+0.5+2+3+3.5+4+5+5.5+4.5+3+2+0.5+ 24

1 0-0.5-0.5-1-1.5-2)=20+ ×10=20.4(℃) 24 同理可得 B 地的平均气温为 x B=21.4(℃). (2)A 地这一天的最高气温是 25.5 ℃,最低气温是 16 ℃,极差是 25.5-16=9.5(℃). B 地这一天的最高气温是 24 ℃,最低气温是 18 ℃,极差是 24 ℃-18 ℃=6 ℃. (3)A,B 两地气温的特点:A 地早晨和深夜较凉,而中午比较热,昼夜温差较大;B 地一天 气温相差不大,而且比较平缓. 规律方法 极差是数据的最大值与最小值的差, 它反映了一组数据变化的最大幅度, 它对一 组数据中的极端值非常敏感. 跟踪演练 1 以下四个叙述:①极差与方差都反映了数据的集中程度;②方差是没有单位的 统计量;③标准差比较小时,数据比较分散;④只有两个数据时,极差是标准差的 2 倍.其 中正确的是________. 答案 ①④ 1 解析 只有两个数据时,极差等于|x2-x1|,标准差等于 |x2-x1|.故④正确.由定义可知①正 2 确,②③错误. 要点二 方差与标准差的计算 例 2 已知一个样本为 1,3,2,5,x,它的平均数是 3,则这个样本的标准差是多少? 1+3+2+5+x 解 方法一 ∵ x = =3, 5 ∴x=4. 由方差公式有: 1 s2= [(1-3)2+(3-3)2+(2-3)2+(5-3)2+(4-3)2]=2,∴s= 2. 5 1+3+2+5+x 方法二 ∵ x = =3,∴x=4, 5 由方差公式的变形形式有: 1 s2= (12+32+22+52+42)-32=2,∴s= 2. 5 规律方法 1.标准差公式及变形要记忆牢固,运用熟练.

2.方差、标准差单位不一致,要注意区别. 跟踪演练 2 将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分,去掉 1 个最低分,7 个剩余分数的平均 分为 91,现场做的 9 个分数的茎叶图后来有一个数据模糊,无法辨认,在图中以 x 表示: 8 9 7 4 7 0 1 0 x 9 1

则 7 个剩余分数的方差为________. 答案 36 7

解析 ∵由题意知去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的数据是 87,90,90,91,91,94,90 +x. ∴这组数据的平均数是 87+90+90+91+91+94+90+x =91,∴x=4. 7 1 36 ∴这组数据的方差是 (16+1+1+0+0+9+9)= . 7 7 要点三 方差与标准差的应用 例 3 甲、乙两机床同时加工直径为 100 cm 的零件,为检验质量,各从中抽取 6 件测量, 数据为 甲:99 100 98 100 100 103

乙:99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差; (2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定. 1 解 (1) x 甲= (99+100+98+100+100+103)=100, 6 1 x 乙= (99+100+102+99+100+100)=100. 6 1 7 2 2 2 2 2 2 s2 甲= [(99-100) +(100-100) +(98-100) +(100-100) +(100-100) +(103-100) ]= , 6 3 1 2 2 2 2 2 2 s2 乙= [(99-100) +(100-100) +(102-100) +(99-100) +(100-100) +(100-100) ]=1. 6
2 (2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同,又 s2 甲>s乙,

所以乙机床加工零件的质量更稳定. 规律方法 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数, 常用来比较两组数据的 波动大小,我们所研究的仅是这两组数据的个数相等、平均数相等或比较接近时的情况.方 差、标准差越大,数据的离散程度越大;方差、标准差越小,数据的离散程度越小. 跟踪演练 3 抽样统计甲、乙两位射击运动员的 5 次训练成绩(单位:环),结果如下: 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次

甲 乙

87 89

91 90

90 91

89 88

93 92

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________. 答案 2 解析 由表中的数据计算可得 x 甲=90, x 乙=90,且方差 s2 甲= ?87-90?2+?91-90?2+?90-90?2+?89-90?2+?93-90?2 =4. 5 s2 乙= ?89-90?2+?90-90?2+?91-90?2+?88-90?2+?92-90?2 5 =2. 所以乙运动员的成绩较稳定,方差为 2.

1.已知一个样本中的数据为 1,2,3,4,5,则该样本的标准差为________. 答案 2

解析 ∵样本容量 n=5, 1 ∴ x = (1+2+3+4+5)=3, 5 ∴s= = 2. 2 .某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为 10,6,8,5,6 ,则该组数据的方差 s2 = ________. 答案 3.2 解析 5 个数据的平均数 x = 10+6+8+5+6 =7,所以 5 1 [?1-3?2+?2-3?2+?3-3?2+?4-3?2+?5-3?2] 5

1 s2= ×[(10-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(5-7)2+(6-7)2]=3.2. 5 3.某学员在一次射击测试中射靶 10 次,命中环数如下: 7,8,7,9,5,4,9,10,7,4 则:(1)平均命中环数为________; (2)命中环数的标准差为________. 答案 (1)7 (2)2

解析 利用平均值和标准差公式求解. (1) x = (2)s2= 7+8+7+9+5+4+9+10+7+4 =7. 10

1 [(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(5-7)2+(4-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(7-7)2+(4 10

-7)2]=4,∴s=2. 4.已知样本 x1,x2,x3,x4,x5 的方差为 3,则样本 4x1+1,4x2+1,4x3+1,4x4+1,4x5+1 的标 准差是________. 答案 4 3 解析 若数据 x1,x2,x3,x4,x5 的方差为 s2,则样本 ax1+b,ax2+b,ax3+b,ax4+b,ax5 +b 的方差为 a2s2. 由题意知 4x1+1,4x2+1,4x3+1,4x4+1,4x5+1 的方差为 42×3=48. ∴其标准差为 48=4 3. 5. 若 1,2,3, x 的平均数是 5, 而 1,3,3, x, y 的平均数是 6, 则 1,2,3, x, y 的方差是________. 答案 24.56 1+2+3+x 解析 由 5= 得 x=14. 4 同理 y=9. 1 由 s2= (12+22+32+142+92)-5.82=24.56. 5

1.标准差的平方 s2 称为方差,有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度.方差与标 准差的测量效果是一致的,在实际应用中一般多采用标准差. 2.现实中,总体所包含的个体数往往很多,总体的平均数与标准差是未知的,我们通常用 样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差,但要求样本有较好的代表性. 3.在抽样过程中,抽取的样本是具有随机性的,因此样本的数字特征也有随机性.用样本 的数字特征估计总体的数字特征,是一种统计思想,没有唯一答案.

一、基础达标 1.甲、乙两名学生六次数学测验成绩(百分制)如图所示.

①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数; ②甲同学的平均分比乙同学高; ③甲同学的平均分比乙同学低; ④甲同学成绩的极差小于乙同学成绩的极差. 上面说法正确的是________. 答案 ③④ 1 解析 甲的中位数 81,乙的中位数 87.5,故①错;甲的平均分 x = (76+72+80+82+86 6 1 +90)=81,乙的平均分 x ′= (69+78+87+88+92+96)=85,故②错,③对;甲的极差 6 为 90-72=18,乙的极差为 96-69=27,故④对. 2.设样本数据 x1,x2,?,x10 的均值和方差分别为 1 和 4,若 yi=xi+a(a 为非零常数,i =1,2,?,10),则 y1,y2,?,y10 的均值和方差分别为________. 答案 1+a,4 解析 x1+x2+?+x10 =1,yi=xi+a, 10

所以 y1,y2,?,y10 的均值为 1+a,方差不变仍为 4. 3.一组数据中的每一个数据都减去 80,得一组新数据,若求得新数据的平均数是 1.2,方 差是 4.4,则原来数据的平均数和方差分别为________. 答案 81.2,4.4 解析 由于一组数据同加(减)一个数 a,得到的新数据的平均数是原数据平均数加(减)a,而 方差不变. 2 4.一组数据 1,3,x 的方差为 ,则 x=________. 3 答案 2 解析 由 x = 1+3+x 4+x = , 3 3

4+x 2 4+x 2 4+x 2 2 1 且 s2= ×[(1- ) +(3- ) +(x- ) ]= ,得 x2-4x+4=0,∴x=2. 3 3 3 3 3 5.甲、乙两位同学某学科的连续五次考试成绩用茎叶图表示如图所示,则平均分数较高的 是________,成绩较为稳定的是________.

答案 甲 甲 解析 计算得甲、乙平均分分别为 70,68; 方差分别为 2,7.2.

6.有一笔统计资料,共有 11 个数据如下(不完全以大小排列):2,4,4,5,5,6,7,8,9,11,x,已知 这组数据的平均数为 6,则这组数据的方差为________. 答案 6 1 1 解析 ∵ x = (2+4+4+5+5+6+7+8+9+11+x)= (61+x)=6,∴x=5. 11 11 方差为 42+22+22+12+12+02+12+22+32+52+12 66 s2= = =6. 11 11 7.随机抽取某中学甲、乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的 茎叶图如图.

(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差. 解 (1)乙班的平均身高较高.(可由茎叶图判断或计算得出) (2)因为甲班的平均身高为 x = 1 10 1 10 2 ∑ x = 170(cm) ,所以甲班的样本方差 s = ∑ (x - x )2 10i=1 i 10i=1 i

1 = (2×122+2×92+2×22+12+72+82+02)=57.2. 10 二、能力提升 8.甲、乙两人在相同的条件下练习射击,每人打 5 发子弹,命中的环数如下: 甲:6,8,9,9,8; 乙:10,7,7,7,9. 则两人的射击成绩较稳定的是________. 答案 甲
2 2 2 解析 解得 x 甲= x 乙=8,s甲 =1.2,s2 乙=1.6,s甲<s乙,∴甲稳定.

9.若 40 个数据的平方和是 56,平均数是 ________. 答案 0.9 3 10 10

2 ,则这组数据的方差是________,标准差是 2

解析 设这 40 个数据为 xi(i=1,2,?,40),平均数为 x . 1 则 s2= ×[(x1- x )2+(x2- x )2+?+(x40- x )2] 40

1 2 = [x2 +x2+?+x2 40+40 x -2 x (x1+x2+?+x40)] 40 1 2 = 1? 2 2? ? 2?2 40?56+40×? 2 ? -2× 2 ×40× 2 ?

1 1 56-40× ? = ×? 2? 40 ? =0.9. ∴s= 0.9= 9 3 10 = . 10 10

10.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取 5 个班级,把每个班级参 加该小组的人数作为样本数据,已知样本平均数为 7,样本方差为 4,且样本数据互不相同, 则样本数据中的最大值为________. 答案 10 解析 设样本数据为 x1,x2,x3,x4,x5,平均数=(x1+x2+x3+x4+x5)÷ 5=7;方差 s2=[(x1 -7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)2]÷ 5=4. 从而有 x1+x2+x3+x4+x5=35,① (x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)2=20.② 若样本数据中的最大值为 11,不妨设 x5=11,则②式变为(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4 -7)2=4,由于样本数据互不相同,这是不可能成立的;若样本数据为 4,6,7,8,10,代入验证 知①②式均成立,此时样本数据中的最大值为 10. 11.从收集到的资料已知测得光速的值(单位:km/s)有下列八个: 299 792.3,299 792.5,299 793.1,299 794.2, 299 792.6,299 793.0,299 795.1,299 789.8. 求其平均数及标准差. 解 将上述各数减去 299 790 之后所得数分别为 2.3,2.5,3.1,4.2,2.6,3.0,5.1,-0.2. 由“若将各数据同加一个常数 a,则平均数也加同一个常数 a,而方差不变”的性质, 1 ∴ x =299 790+ (2.3+2.5+3.1+4.2+2.6+3.0+5.1-0.2) 8 =299 790+2.825 =299 792.825. 1 s2= [2.32+2.52+3.12+4.22+2.62+3.02+5.12+(-0.2)2]-(2.825)2 8 80.6 = -(2.825)2 8 ≈2.094. ∴s≈1.447.

三、探究与创新 12.某盐场有甲、乙两套设备包装食盐,在自动包装传送带上,每隔 3 分钟抽一包称其重量 是否合格,分别记录数据如下: 甲套设备:504,510,505,490,485,485,515,510,496,500; 乙套设备:496,502,501,499,505,498,499,498,497,505. 试确定这是何种抽样方法?比较甲、 乙两套设备的平均值与方差, 说明哪套包装设备误差较 小? 解 (1)根据三种抽样方法的定义,可知这种抽样方法是系统抽样. (2)甲套设备的平均值、方差分别为 x 1= 1 (504+510+505+490+485+485+515+510+496+500)=500, 10

1 s2 [(504-500)2+(510-500)2+…+(500-500)2]=103.2. 1= 10 乙套设备的平均值、方差分别为 x 2= 1 (496+502+501+499+505+498+499+498+497+505)=500, 10

1 s2 [(496-500)2+(502-500)2+…+(505-500)2]=9. 2= 10
2 可见, x 2= x 1,s2 1>s2,所以乙套设备较甲套设备更稳定,误差较小.

13.师大附中三年级一班 40 人随机平均分成两组,两组学生一次考试的成绩情况如下表: 统计量 组别 第一组 第二组 求全班学生的平均成绩和标准差. 解 设第一组 20 名学生的成绩为 xi(i=1,2,?,20), 第二组 20 名学生的成绩为 yi(i=1,2,?,20), 1 依题意有: x = (x1+x2+?+x20)=90, 20 1 y = (y1+y2+?+y20)=80, 20 故全班平均成绩为 1 (x +x +?+x20+y1+y2+?+y20) 40 1 2 1 = (90×20+80×20)=85; 40 又设第一组学生成绩的标准差为 s1,第二组学生成绩的 平均成绩 90 80 标准差 6 4

1 2 2 标准差为 s2,则 s2 (x +x +?+x2 1= 20-20 x 2), 20 1 2 1 2 2 s2 (y +y +?+y2 2= 20-20 y 2) 20 1 2 (此处, x =90, y =80),又设全班 40 名学生的标准差为 s,平均成绩为 z ( z =85),故 有 1 2 2 2 s2= (x2 +x2+?+x2 20+y1+y2+?+y20-40 z 2) 40 1 2 1 2 2 = (20s2 1+20 x +20s2+20 y 2-40 z 2) 40 1 = (62+42+902+802-2×852)=51. 2 即 s= 51. 所以全班同学的平均成绩为 85 分,标准差为 51.


相关文章:
苏教版高三一轮必修三第2章 2.1.3
苏教版高三一轮必修三第2章 2.1.3_政史地_高中教育_教育专区。2.1.3 [...称为分层抽样. 2.分层抽样的步骤 (1)将总体按一定标准分层; (2)计算各层的...
苏教版高三一轮必修三第2章 2.2.1~2.2.2
苏教版高三一轮必修三第2章 2.2.1~2.2.2_数学_高中教育_教育专区。2. ...[157.5,161.5) 频数 1 3 6 频率 0.025 0.075 0.15 [161.5,165.5...
苏教版高三一轮必修三第2章 2.1.2
苏教版高三一轮必修三第2章 2.1.2_数学_高中教育_教育专区。2.1.2 [学习...2.同学们经常玩“剪子、包袱、锤”的游戏,若从 3 位同学中选出 1 位同学...
苏教版高三一轮必修三第2章 2.1.1
苏教版高三一轮必修三第2章 2.1.1_数学_高中教育_教育专区。2. 1 2.1....抽样. 2.抽签法和随机数表法都是简单随机抽样. 3.抽签法的操作步骤: (1)...
苏教版高三一轮必修三第2章 2.4
苏教版高三一轮必修三第2章 2.4_数学_高中教育_教育专区。2. 4 [学习目标]...则必须对两个变量进行相关性判断. 跟踪演练 3 2014 年元旦前夕, 某市统计局...
苏教版高三一轮必修三第2章 章末检测
苏教版高三一轮必修三第2章 章末检测_数学_高中教育_教育专区。章末检测一、...(3)正确. 2.一防疫站对学生进行身体健康调查.红星中学共有学生 1 600 名,...
苏教版高三一轮必修三第2章 章末复习提升
苏教版高三一轮必修三第2章 章末复习提升_政史地_高中教育_教育专区。1.关于...?+2×19+4×29 b= 42+22+22+42 260 ==6.5,a= y -b x =3.2. ...
苏教版高三一轮必修三第3章 3.1.1~3.1.2
苏教版高三一轮必修三第33.1.1~3.1.2_数学_高中教育_教育专区。3. 1 ...故 ④是不可能事件. 要点二 频率与概率的关系及求法 例 2 某射手在同一...
苏教版高三一轮必修三第1章 1.2.3
苏教版高三一轮必修三第1章 1.2.3_政史地_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 苏教版高三一轮必修三第1章 1.2.3_政史地_高中教育...
苏教版高三一轮必修三第1章 1.3.1~1.3.2
苏教版高三一轮必修三第1章 1.3.1~1.3.2_数学_高中教育_教育专区。1. ...若输入 2,1,则输出的结果为___. 答案 5 解析 若输入 2,1,即 a←2,b←...
更多相关标签: