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江苏省镇江市扬中二中2014-2015学年高二数学上学期段考试卷(9月份)(含解析)


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江苏省镇江市扬中二中 2014-2015 学年高二上学期段考数学试卷(9 月份)
一、填空题(共 14 小题,每小题 3 分,满分 42 分) 1. (3 分)直线 ax﹣2y+2=0 与直线 x+(a﹣3)y+1=0 平行,则实数 a 的值为. 2. (3 分)已知点 P(0,﹣1) ,点 Q 在直线 x﹣y+1=0 上,若直线 PQ 垂直于直线 x+2y﹣5=0, 则点 Q 的坐标是. 3. (3 分)已知点 P(a,b)在圆 C:x +y =r 外,则直线 l:ax+by=r 与圆 C. 4. ( 3 分)如果直线 y=kx+1 与圆 x +y +kx+my﹣4=0 交于 M、N 两点,且 M、N 关于直线 x+y ﹣1=0 对称,则 k﹣m 的值为.
2 2 2 2 2 2

5. (3 分)已知 O 是坐标原点,点 A(﹣1,1) .若点 M(x,y)为平面区域

上的一

个动点,则

的取值范围是.
2 2

6. (3 分)已知动圆 x +y ﹣2mx﹣4my+6m﹣2=0 恒过一个定点,这个定点的坐标是.
2 2

7. (3 分)一直线过点 M(﹣3, ) ,且被圆 x +y =25 所截得的弦长为 8,则此直线方程为.

8. (3 分)若直线 y=x+b 与曲线

恰有一个公共点,则实数 b 的取值范围为.

9. (3 分)若圆(x﹣3) +(y+5) =r 上有且只有两个点到直线 4x﹣3y=2 的距离为 1,则半 径 r 的取值范围是. 10. (3 分)光线沿 则该圆的方程为. (y≥0)被 x 轴反射后,与以 A(2,2)为圆心的圆相切,

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2

2

11. (3 分)直线 l:x+y﹣3=0 上恰有两个点 A、B 到点(2,3)的距离为 2,则线段 AB 的长 为. 12. (3 分)如果圆(x﹣a) +(y﹣a) =4 上总存在两个点到原点的距离为 1,则实数 a 的 取值范围是.
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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 13. (3 分)若直线 2ax﹣by+2=0(a>0,b>0)被圆 x +y +2x﹣4y+1=0 截得的弦长为 4,则 + 的最小值是.
2 2

14. (3 分)已知圆 x +y +x﹣6y+m=0 与直线 x+2y﹣3=0 相交于 P,Q 两点,O 为坐标原点,若 OP⊥OQ,则 m 的值为.

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2

二、解答题(共 6 小题,满分 0 分) 15.已知△ABC 的一条内角平分线 CD 的方程为 2x+y﹣1=0,两个顶点为 A(1,2) ,B(﹣1, ﹣1) ,求第三个顶点 C 的坐标. 16.已知圆 C:x +(y﹣1) =5,直线 L:mx﹣y+1﹣m=0. ①求证:对 m∈R,直线 L 与圆 C 总有两个不同的交点; ②求直线 L 中,截圆所得的弦最长及最短时的直线方程. 17.已知圆 O1: (x﹣3) +(y﹣1) =1,设点 p(x,y)是圆 O1 上的动点. ①求 P 点到直线 l:x+y﹣1=0 距离的最值,并求对应 P 点坐标; ②分别求 ,y﹣x, (x+3) +(y+4) 的最值.
2 2 2 2 2 2

18.如图,矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M(2,0) ,AB 边所在直线的方程为 x﹣3y﹣6=0 点 T(﹣1,1)在 AD 边所在直线上. (Ⅰ)求 AD 边所在直线的方程; (Ⅱ)求矩形 ABCD 外接圆的方程; (Ⅲ)若动圆 P 过点 N(﹣2,0) ,且与矩形 ABCD 的外接圆外切,求动圆 P 的圆心的轨迹方 程.

19.如图,已知⊙O:x +y =1 和定点 A(2,2) ,由⊙O 外一 点 P(a,b)向⊙O 引切线 PQ, Q 为切点,且满足|PQ|=|PA|. (Ⅰ) 求实数 a,b 之间满足的关系式; (Ⅱ) 求线段 PQ 的最小值.

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20.已知圆 M 的方程为 x +(y﹣2) =1,直线 l 的方程为 x﹣2y=0,点 P 在直线 l 上,过 P 点作圆 M 的切线 PA,PB,切点为 A,B. (1)若∠APB=60°,试求点 P 的坐标; (2)若 P 点的坐标为(2,1) ,过 P 作直线与圆 M 交于 C,D 两点,当 时,求直线 CD 的方程; (3)求证:经过 A,P,M 三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.

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江苏省镇江市扬中二中 2014-2015 学年高二上学期段考数学试卷(9 月份) 参考答案与试题解析 一、填空题(共 14 小题,每小题 3 分,满分 42 分) 1. (3 分)直线 ax﹣2y+2=0 与直线 x+(a﹣3)y+1=0 平行,则实数 a 的值为 1. 考点: 专题: 分析: 的值. 解答: ∴ 直线的一般式方程与直线的平行关系. 计算题. 利用两直线平行的条件,一次项系数之比相等,但不等于常数项之比,求得实数 a 解:直线 ax﹣2y+2=0 与直线 x+(a﹣3)y+1=0 平行, ,解得 a=1.

故答案为 1. 点评: 本题考查两直线平行的条件,利用一次项系数之比相等,但不等于常数项之比,求 得实数 a 的值. 2. (3 分)已知点 P(0,﹣1) ,点 Q 在直线 x﹣y+1=0 上,若直线 PQ 垂直于 直线 x+2y﹣5=0, 则点 Q 的坐标是(2,3) . 考点: 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系. 分析: 先设出 Q 点坐标,再根据题目中信息得关系式. 解答: 解:设 Q(x,y) ,由题意,

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解得 ∴Q(2,3) 点评: 两直线垂直且斜率存在,则斜率的乘积为﹣1. 3. (3 分)已知点 P(a,b)在圆 C:x +y =r 外,则直线 l:ax+by=r 与圆 C 相交. 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 2 2 2 2 2 2 2 分析: 由点 P(a,b)在圆 C:x +y =r 外,求得 a +b >r ,求得圆心到直线 l:ax+by=r 的 距离为 d<r,可得直线和圆相交. 2 2 2 2 2 2 解答: 解:∵点 P(a,b)在圆 C:x +y =r 外,∴a +b >r , 故圆心到直线 l:ax+by=r 的距离为 d=
2 2 2 2 2 2



=r,

即圆心到直线 l:ax+by=r 的距离小于半径,故直线和圆相交, 故答案为:相交. 点评: 本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式的应用,属于基础题. 4. (3 分)如果直线 y=kx+1 与圆 x +y +kx+my﹣4=0 交于 M、N 两点,且 M、N 关于直线 x+y ﹣1=0 对称,则 k﹣m 的值为 4. 考点: 直线与圆的位置关系;与直线关于点、直线对称的直线方程. 专题: 计算题. 2 2 分析: 因为直线 y=kx+1 与圆 x +y +kx+my﹣4=0 的两个交点关于直线 x+y﹣1=0 对称, 所以 2 2 直线 y=kx+1 与直线 x+y﹣1=0 垂直,且直线 x+y﹣1=0 过圆 x +y +kx+my﹣4=0 的圆心.这样 直线 y=kx+1 与直线 x+y﹣1=0 垂直, 斜率等于直线 x+y﹣1=0 的负倒数, 直线 x+y﹣1=0 过圆 2 2 x +y +kx+my﹣4=0 的圆心,则圆心坐标满足直线方程,就可求出 k,m 的值,解出 k﹣m. 2 2 解答: 解:∵直线 y=kx+1 与圆 x +y +kx+my﹣4=0 交于 M、N 两点,且 M、N 关于直线 x+y ﹣1=0 对称, 2 2 ∴直线 y=kx+1 与直线 x+y﹣1=0 垂直,且直线 x+y﹣1=0 过圆 x +y +kx+my﹣4=0 的圆心. ∴k=1, 解得,m=﹣3 ∴k﹣m=1﹣(﹣3)=4 故答案为 4 点评: 本题主要考查直线与圆的位置关系的判断,圆上两点一定关于直径所在的直线对 称.
2 2

5. (3 分)已知 O 是坐标原点,点 A(﹣1,1) .若点 M(x,y)为平面区域

上的一

个动点,则

的取值范围是[0,2].
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考点: 简单线性规划;平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 分析: 先画出满足约束条件 的平面区域,求出平面区域的角点后,逐一代入

分析比较后,即可得到

的取值范围.

解答: 解:满足约束条件

的平面区域如下图所示:

将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式 当 x=1,y=1 时, 当 x=1,y=2 时, 当 x=0,y=2 时, 故 =﹣1×1+1×1=0 =﹣1×1+1×2=1 =﹣1×0+1×2=2

和取值范围为[0,2]

故答案为:[0,2].

点评: 本题考查的知识点是线性规划的简单应用, 其中画出满足条件的平面区域, 并将三 个角点的坐标分别代入平面向量数量积公式,进而判断出结果是解答本题的关键. 6. (3 分)已知动圆 x +y ﹣2mx﹣4my+6m﹣2=0 恒过一个定点,这个定点的坐标是(1,1) , 或( , ) .
2 2

考点: 圆的一般方程. 专题: 直线与圆. 分析: 由已知得 x +y ﹣2= (2x+4y﹣6)m,从而 解答: 解:x +y ﹣2mx﹣4my+6m﹣2=0,
2 2 2 2

,由此能求出定点的坐标.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴x +y ﹣2=(2x+4y﹣6)m, ∴ ,
2 2

解得 x=1,y=1,或 x= ,y= , ∴定点的坐标是(1,1) ,或( , ) . 故答案为: (1,1) ,或( , ) . 点评: 本题考查动圆经过的定点坐标的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意圆的性 质的合理运用.
2 2

7. (3 分)一直线过点 M(﹣3, ) ,且被圆 x +y =25 所截得的弦长为 8,则此直线方程为 x=﹣3,3x﹣4y+15=0. 考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 直线与圆. 分析: 由题意可得弦心距为 3,再分所求的直线的斜率存在和 不存在两种情况,分别求得 直线的方程. 2 2 解答: 解:圆 x +y =25 的圆心为原点(0,0) ,半径等于 5, 当所求的直线的斜率不存在时,直线的方程为 x=﹣3,弦心距为 3,故弦长为 8,满足条件. 当所求的直线的斜率存在时,设所求的直线的方程为 y﹣ =k(x+3) ,即 2kx﹣2y+6k+3=0.

再根据弦心距 d=

=3=

,求得 k= ,可得此时直线的方程为 3x﹣

4y+15=0, 故答案为:x=﹣3,3x﹣4y+15=0. 点评: 本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,弦长公式的应用,体现 了转化、分类讨论的数学思想,属于基础题.

8. (3 分)若直线 y=x+b 与曲线 1]∪{﹣ }.

恰有一个公共点,则实数 b 的取值范围为(﹣1,

考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 曲线 得当直线 y=x+b 与曲线 表示以原点 O(0,0)为圆心、半径等于 1 的半圆,数形结合求 恰有一个公共点,则实数 b 的取值范围.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解:曲线 即 x +y =1 (x≥0) ,表示以原点 O(0,0)为圆心、半径等
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于 1 的半圆(位于 y 轴及 y 轴右侧的部分) , 如图:当直线经过点 A(0,﹣1)时,求得 b=﹣1; 当直线经过点 C(0,1)时,求得 b=1; 当直线和圆相切时,由圆心到直线的距离等于半径可得 或 b=﹣ , 恰有一个公共点, 则实数 b 的取值范围为 (﹣ =1,求得 b= (舍去) ,

数形结合可得当直线 y=x+b 与曲线 1,1]∪{﹣ }, 故答案为: (﹣1,1]∪{﹣

}.

点评: 本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式的应用,体现了转化、数 形结合的数学思想,属于基础题. 9. (3 分)若圆(x﹣3) +(y+5) =r 上有且只有两个点到直线 4x﹣3y=2 的距离为 1,则半 径 r 的取值范围是(4,6) . 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 先利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,由题意得|5﹣r|<1,解此不 等式求得半径 r 的取值范围. 解答: 解:∵圆心 P(3,﹣5)到直线 4x﹣3y=2 的距离等于 =5,
2 2 2

由|5﹣r|<1,解得:4<r<6, 则半径 r 的范围为(4,6) . 故答案为: (4,6) 点评: 本题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:点到直线的距离公式的应用,以 及绝对值不等式的解法,列出关于 r 的不等式是解本题的关键. 10. (3 分)光线沿 (y≥0)被 x 轴反射后,与以 A(2,2)为圆心的圆相切, 2 2 则该圆的方程为(x﹣2) +(y﹣2) =1.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 考点: 直线与圆的位置关系;与直线关于点、直线对称的直线方程. 专题: 计算题. 分析: 令入射光线的解析式 ,求出 x 的值为﹣2﹣ ,由物理知识可得反 射角等于入射角,可得反射后的光线与入射光线关于直线 x=﹣2﹣ 对称,根据入射光线 的方程,求出反射线的解析式,再由反射后与圆相切,利用点到直线的距离公式求出圆心 A 到反射线的距离,即为圆的半径,由圆心和半径写出圆的标准方程即可. 解答: 解:直线 x+2y+2+ =0 中,令 y=0,解得 x=﹣2﹣ , 则直线 x+2y+2+ =0 关于直线 x=﹣2﹣ 对称的方程为:2(﹣2﹣ )﹣x+2y+2+ =0, 即 x﹣2y+2+ =0, ∵光线发射后与圆相切, ∴圆心 A(2,2)到直线 x﹣2y+2+
2 2

=0 的距离 d=

=1=r,

则圆的方程为(x﹣2) +(y﹣2) =1. 2 2 故答案为: (x﹣2) +(y﹣2) =1 点评: 此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有关于直线对称的直线方程的求法, 直线与坐标轴的交点,点到直线的 距离公式,以及会根据圆心和半径写出圆的标准方程, 属于各学科间知识的综合应用题. 11. (3 分)直线 l:x+y﹣3=0 上恰有两个点 A、B 到点(2,3)的距离为 2,则线段 AB 的长 为2 . 考点: 两点间的距离公式. 专题: 直线与圆. 分析: 首先利用点到直线的距离公式 d= 线段 AB 的长度. 解答: 解:利用点到直线的距离公式 d= 则:点(2,3)到直线 l:x+y﹣3=0 的距离 d= |AB|=2 =2 ,然后根据等腰三角形的性质来确定

故答案为:2 点评: 本题考查的知识点:点到直线间的距离,等腰三角形的性质. 12. (3 分)如果圆(x﹣a) +(y﹣a) =4 上总存在两个点到原点的距离为 1,则实数 a 的 取值范围是(﹣ ,﹣ )∪( , ) .
2 2

考点: 圆方程的综合应用. 专题: 直线与圆. 2 2 2 2 分析: 圆(x﹣a) +(y﹣a) =4 和圆 x +y =1 相交,两圆圆心距大于两圆半径之差、小于 两圆半径之和.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解:由题意可得,圆(x﹣a) +(y﹣a) =4 和圆 x +y =1 相交, 根据两圆圆心距 d= 可得 2﹣1< ∴﹣ |a|<2+1,即: 或 <a< <|a|< , ,﹣ , )∪( ) .
2 2 2 2 2 2 2 2

= ,

|a|,

<a<﹣

故实数 a 的取值范围是 (﹣ 故答案为: (﹣ ,﹣



) ,

)∪(

点评: 体现了转化的数学思想,将问题转化为:圆(x﹣a) +(y﹣a) =4 和圆 x +y =1 相 交,体 现了转化的数学思想,属于中档题. 13. (3 分)若直线 2ax﹣by+2=0(a>0,b>0)被圆 x +y +2x﹣4y+1=0 截得的弦长为 4,则 + 的最小值是 4.
2 2

考点: 基本不等式;直线与圆相交的性质. 专题: 计算题. 分析: 先求出圆心和半径, 由弦长公式求得圆心到直线 2ax﹣by+2=0 的距离 d=0, 直线 2ax ﹣by+2=0 经过圆心,可得 a+b=1,代入式子再利用基本不等式可求式子的最小值. 2 2 2 2 解答: 解:圆 x +y +2x﹣4y+1=0 即 (x+1) +(y﹣2) =4,圆心为(﹣1,2) ,半径为 2, 设圆心到直线 2ax﹣by+2=0 的距离等于 d,则由弦长公式得 2 直线 2ax﹣by+2=0 经过圆心,∴﹣2a﹣2b+2=0,a+b=1, 则 + = + =2+ + ≥2+2 =4,当且仅当 a=b 时等号成立, =4,d=0,即

故式子的最小值为 4,故答案为 4. 点评: 本题考查直线和圆的位置关系,弦长公式以及基本不等式的应用. 14. (3 分)已知圆 x +y +x﹣6y+m=0 与直线 x+2y﹣3=0 相交于 P,Q 两点,O 为坐标原点,若 OP⊥OQ,则 m 的值为 3. 考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 直线与圆. 分析: 将直线和圆进行联立,利用根与系数之间的关系建立条件方程,利用韦达定理、两 个向量垂直的性质,即可求出 m 的值. 解答: 解:由题意设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,则由方程组 y 得 5x +10x+4m﹣27=0, 于是根据韦达定理得,x1+x2=﹣2,x1?x2= .
2 2 2

求得消

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∴y1?y2=

?

= [9﹣3(x1+x2)+x1?x2]= [9+6+

]=



再根据 OP⊥OQ,可得

?

=x1?x2+y1?y2=

+

=0,求得 m=3,

故答案为:3. 点评: 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用, 两个向量垂直的性质, 两个向量的数量 积公式,考查学生的计算能力,属于基础题. 二、解答题(共 6 小题,满分 0 分) 15.已知△ABC 的一条内角平分线 CD 的方程为 2x+y﹣1=0,两个顶点为 A(1,2) ,B(﹣1, ﹣1) ,求第三个顶点 C 的坐标. 考点: 两直线的夹角与到角问题;直线的一般式方程. 专题: 直线与圆. 分析: 先求出点 A 关于于直线 2x+y﹣1=0 的对称点 P 的坐标,再根据点 P 在直线 BC 上, 利用两点式求得 BC 的方程,再把 BC 的方程和 CD 的方程联立方程组,求得第三个顶点 C 的 坐标 解答: 解:由题意可知:A(1,2)关于直线 2x+y﹣1=0 的对称点在直线 BC 上,设对称点 为 P(a,b) ,

则由

,解得:

,所以 lBC:即 3x﹣4y﹣1=0.

再由

得 C 点的坐标为(



点评: 本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法, 利用了垂直、 和中点在 对称轴上这两个条件.还考查了用两点式求直线的方程,求两条直线的交点,属于基础题. 16.已知圆 C:x +(y﹣1) =5,直线 L:mx﹣y+1﹣m=0. ①求证:对 m∈R,直线 L 与圆 C 总有两个不同的交点; ②求直线 L 中,截圆所得的弦最长及最短时的直线方程. 考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 综合题;直线与圆. 分析: ①将直线 l 的方程变形提出 m,根据直线方程的斜截式,求出直线恒过点(1,1) , 即可证明结论; ②直线 l 截圆所得的弦最长时,一定过圆心;当弦长最短时,AC 和直线 L 垂直,即可求得 L 的直线方程. 解答: ①证明:∵直线 L:mx﹣y+1﹣m=0 即为 y=m(x﹣1)+1, ∴直线 l 恒过(1,1) , 2 2 ∵1 +(1﹣1) =1<5, 2 2 ∴A(1,1)在圆 C:x +(y﹣1) =5 的内部,
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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴对 m∈R,直线 L 与圆 C 总有两个不同的交点; ②解:被圆截得的弦最长的直线一定过圆心,方程为 y=1, 它的圆心为 C(0,1) ,由弦长最短,可得 AC 和直线 L 垂直, 故直线 l 的方程为 x=1. 点评: 判断直线与圆的位置关系,一般利用圆心与直线的距离与半径的大小关系加以判 断,有时也可转化为直线恒过的点来判断. 17.已知圆 O1: (x﹣3) +(y﹣1) =1,设点 p(x,y)是圆 O1 上的动点. ①求 P 点到直线 l:x+y﹣1=0 距离的最值,并求对应 P 点坐标; ②分别求 ,y﹣x, (x+3) +(y+4) 的最值.
2 2 2 2

考点: 圆方程的综合应用. 专题: 综合题;直线与圆. 分 析 : ①求出圆心到直线 l: x+y﹣1=0 距离, 即可求 P 点到直线 l: x+y﹣1=0 距离的最值, 从而求对应 P 点坐标; ②利用 =t,y﹣x=k,与圆方程联立,可得最值,求出(﹣3,﹣4)与(3,1)的距离为 = ,即可求出(x+3) +(y+4) 的最值. 2 2 解答: 解:①圆 O1: (x﹣3) +(y﹣1) =1 的圆心为(3,1) ,半径为 1, 圆心到直线 l:x+y﹣1=0 距离为 , ,最小值为 ,
2 2 2

∴P 点到直线 l:x+y﹣1=0 距离的最大值为

过(3,1)与直线 l:x+y﹣1=0 垂直的直线方程为 x﹣y﹣2=0,与圆 O1: (x﹣3) +(y﹣1) 2 =1 联立, 可得对应的 P 点坐标分别为 ②设 =t,则 y=tx,代入圆 O1: (x﹣3) +(y﹣1) =1, 可得(x﹣3) +(tx﹣1) =1, 2 2 ∴(1+t )x ﹣(6+2t)x+9=0, 2 2 ∴△=(6+2t) ﹣36(1+t )=0, ∴t=0 或 t= , ∴ 的最大值为 , 最小值为 0; 设 y﹣x=k,则代入圆 O1: (x﹣3) +(y﹣1) =1, 2 2 可得(x﹣3) +(x+k﹣1) =1, 2 2 2 ∴2x ﹣(8﹣2k)x +k ﹣2k+9=0, 2 2 ∴△=(8﹣2k) ﹣8(k ﹣2k+9)≥0, ∴﹣2﹣ ≤k≤﹣2+ , ∴y﹣x 的最大值为﹣2+ ,y﹣x 最小值为﹣2﹣ ; (﹣3,﹣4)与(3, 1)的距离为 = ,
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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴(x+3) +(y+4) 的最大值为( +1) =62+2 ; (x+3) +(y+4) 的最小值为( 2 ﹣1) =62﹣2 . 点评: 本题考查圆方程的综合应用, 考查直线与圆的位置关系, 考查学生分析解决问题的 能力,属于难题. 18.如图,矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M(2,0) ,AB 边所在直线的方程为 x﹣3y﹣6=0 点 T(﹣1,1)在 AD 边所在直线上. (Ⅰ)求 AD 边所在直线的方程; ( Ⅱ)求矩形 ABCD 外接圆的方程; (Ⅲ)若动圆 P 过点 N(﹣2,0) ,且与矩形 A BCD 的外接圆外切,求动圆 P 的圆心的轨迹方 程.
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考点: 直线的一般式方程;圆的标准方程;轨迹方程. 专题: 压轴题. 分析: (I)先由 AD 与 AB 垂直,求得 AD 的斜率,再由点斜式求得其直线方程; (II)先求得其圆心和半径,再由圆的标准方程求解; (III)由圆心距等于两半径之和,抽象出双曲线的定义从而求得轨迹方程. 解答: 解: (I)因为 AB 边所在直线的方程为 x﹣3y﹣6=0,且 AD 与 AB 垂直,所以直线 AD 的斜率为﹣3 又因为点 T(﹣1,1)在直线 AD 上, 所以 A D 边所在直线的方程为 y﹣1=﹣3(x+1) . 3x+y+2=0.

(II)由

解得点 A 的坐标为(0,﹣2) ,

因为矩形 ABCD 两条对角线的交点为 M(2,0) . 所以 M 为矩形 ABCD 外接圆的圆心. 又
2


2

从而矩形 ABCD 外接圆的方程为(x﹣2) +y =8. (III)因为动圆 P 过点 N,所以|PN|是该圆的半径,又因为动圆 P 与圆 M 外切, 所以|PM|=|P N|+2 , 即|PM|﹣|PN|=2 . 故点 P 的轨迹是以 M,N 为焦点,实轴长为 2 的双曲线的左支.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 因为实半轴长 a= 所以虚半轴长 b= ,半焦距 c=2. .

从而动圆 P 的圆心的轨迹方程为



点评: 本题主要考查直线方程的求法,平面图形外接圆的求法和轨迹方程的求法. 19.如图,已知⊙O:x +y =1 和定点 A(2,2) ,由⊙O 外一点 P(a,b)向⊙O 引切线 PQ,Q 为切点,且满足|PQ|=|PA|. (Ⅰ) 求实数 a,b 之间满足的关系式; (Ⅱ) 求线段 PQ 的最小值.
2 2

考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 综合题;直线与圆. 2 2 2 2 2 2 分析: (I)连结 OP,根据圆的切线的性质得|PQ| +|QO| =|OP| ,即 a +b ﹣1=(a﹣2) + 2 (b﹣1) ,化简得实数 a,b 间满足的等量关系; (II)当 PO⊥l 时,PO 的长度最小,从而可得线段 PQ 长的最小值. 2 2 2 解答: 解: (Ⅰ)连接 OP,∵PQ =PO ﹣1=PA ,…(2 分) 2 2 2 2 ∴a +b ﹣1=(a﹣2) +(b﹣2) ,即 4a+4b﹣9=0.…(6 分) (Ⅱ)设 l:4x+4y﹣9=0, ∵PQ =PO ﹣1,∴ ∴当 PO⊥l 时,PO 的长度最小,即(OP)min= ∴ .…(11 分) = ,
2 2

点评: 本题给出单位圆和其外部一个定点 A,求切线 PQ 满足|PQ|=|PA|时,实数 a,b 间 满足的等量关系, 并求线段长的最小值. 着重考查了直线与圆的位置关系、 圆的方程等知识, 属于中档题. 20.已知圆 M 的方程为 x +(y﹣2) =1,直线 l 的方程为 x﹣2y=0,点 P 在直线 l 上,过 P 点作圆 M 的切线 PA,PB,切点为 A,B.
2 2

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (1)若∠APB=60°,试求点 P 的坐标; (2)若 P 点的坐标为(2,1) ,过 P 作直线与圆 M 交于 C,D 两点,当 的方程; (3)求证:经过 A,P,M 三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.

时,求直线 CD

考点: 圆方程的综合应用. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)设 P(2m,m) ,代入圆方程,解得 m,进而可知点 P 的坐标. (2)设直线 CD 的方程为:y﹣1=k(x﹣2) ,由圆心 M 到直线 CD 的距离求得 k,则直线方程 可得. (3)设 P(2m,m) ,MP 的中点 ,因为 PA 是圆 M 的切线,进而可知经过 A,P,

M 三点的圆是以 Q 为圆心,以 MQ 为半径的圆,进而得到该圆的方程,根据其方程是关于 m 的恒等式,进而可求得 x 和 y,得到经过 A,P,M 三 点的圆必过定点的坐标. 2 2 解答: 解: (1)设 P(2m,m) ,由题可知 MP=2,所以(2m) +(m﹣2) =4, 解之得: , .

故所求点 P 的坐标为 P(0,0)或

(2)设直线 CD 的方程为:y﹣1=k(x﹣2) ,易知 k 存在, 由题知圆心 M 到直线 CD 的距离为 ,所以 ,

解得,k=﹣1 或

,故所求直线 CD 的方程为:x+y﹣3=0 或 x+7y﹣9=0. ,

(3)设 P(2m,m) ,MP 的中点

因为 PA 是圆 M 的切线,所以经过 A,P,M 三点的圆是以 Q 为圆心,以 MQ 为半径的圆, 故其方程为: 化简得:x +y ﹣2y﹣m(2x+y﹣2)=0,此式是关于 m 的恒等式, 2 2 故 x +y ﹣2y=0 且(2x+y﹣2)=0,
2 2

解得



所以经过 A,P,M 三点的圆必过定点(0,2)或( , ) . 点评: 本题主要考查了圆方程的综合运用.解题的关 键是对圆性质的熟练掌握.

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