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2015-2016学年辽宁省实验中学分校高一下学期期末考试数学试题


辽宁省实验中学分校 2015—2016 学年度下学期期末测试 数学学科 高一年级
第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,每题四个选项中只有一项是符合题目要求的) 1.若样本数据 x1 , x2 , ??? , x10 的标准差为 8 ,则数据 2 x1 ? 1 , 2 x2 ? 1 ,

??? , 2 x10 ? 1 的标准差为( (A) 8 (B) 15 (C) 16 ) (D) 32 )

2.某程序框图如图所示,若输出的 S=57,则判断框内为(

(A) k>4? (B) k>5? (C) k>6? (D) k>7? 3.设 a, b, c, d ? R 且 a ? b, c ? d ,则下列结论中正确的是( (A ) a ? c ? b ? d (C) ac ? bd (B) a ? c ? b ? d (D) )

a b ? d c
2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9 )

4.某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 y(单位:千元)的数据如下表: 年份 年份代号 t 人均纯收入 y

^ 若 y 关于 t 的线性回归方程为y=0.5t+a,则据此该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入约为( (A)6.6 千元 (B)6.5 千元 (C)6.7 千元 (D)6.8 千元

?x ?1 ? 0 y ? 5.若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 则 的最大值为( ?x ? y ? 4 ? 0 x ?
页 1第



(A) 1 6.已知 tan ?? ? ? ? ? 2 ,则 (A) 3

(B) 2

(C) 3 )

2 (D) 3

sin ? ? cos ? 的值为( sin ? ? cos ?
(C) ? 3

(B) 2

(D)

1 3

7.不等式

x?5 ≥ 2 的解集是( ( x ? 1) 2
? ? 1? 2?
(B) ? ? , 3?



(A) ? ?3, ?

? 1 ? ? 2 ?

(C) ? , 1? ? ?1, 3?

?1 ? ?2 ?

(D) ? ? , 1? ? ?1, 3?

? 1 ? ? 2 ?

8.某公司的班车在 7:30,8:00,8:30 发车,小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站 的时刻是随机的,则他等车时间不超过 10 分钟的概率是( 1 (A) 3 1 (B) 2 2 (C) 3 ) 3 (D) 4

9.已知函数 f ? x ? ? ? sin ?? x ? ? ? ( ? , ? , ? 均为正的常数)的最小正周期为 ? ,当 x ? 数 f ? x ? 取得最小值,则下列结论正确的是( (A) f ? ) (B) f ?0 ? < f ?

2? 时,函 3

?? ? ?? ? ? < f ? ? < f ?0 ? ?2? ?6? ?? ? ?? ? ? < f ?0 ? < f ? ? ?6? ?2?

?? ? ?? ? ? < f? ? ?2? ?6?

(C) f ?

(D) f ?

?? ? ?? ? ? < f ?0 ? < f ? ? ?2? ?6?

10. 从区间 ? 0,1? 随机抽取 2n 个数 x1 , x2 , …,xn , y1 , y2 , …, y n , 构成 n 个数对 ? x1 , y1 ? ,? x2 , y2 ? , …, 其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个, 则用随机模拟的方法得到的圆周率 ? 的近似值为 ( ? xn , yn ? , )

4m 2m (D) n n ??? ? ? ??? ? ? ? ? ???? ? ? 11. ?ABC 中, AB 边的高为 CD ,若 CB ? a , CA ? b , a ? b ? 0 , | a |? 1 , | b |? 2 ,则 AD ? (
(A) (B) (C) (A ) a ? b

4n m

2n m



1? 1? 3 3

(B)

2? 2? a? b 3 3

(C)

12.将函数 f ( x) ? sin 2 x 的图像向右平移 ? (0 ? ? ?

?

3? 3? a? b 5 5

(D)

4? 4? a? b 5 5

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 2 的 x1 , x2 ,有 x1 ? x2 min ?
(A )

?
3

2

) 个单位后得到函数 g ( x) 的图像,若对满足


,则 ? ? ( (D)

5? 12

(B)

?
3

(C)

?
4

?
6

第Ⅱ卷(非选择题
页 2第

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。将答案填入答题纸相应位置) 13.设 x ? R ,向量 a ? ( x,1), b ? (1, ?2), 且 a ? b ,则 x ? 14. △ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,若 c ? 15.已知函数 f(x)=3sin(? x则 f(x) 的取值范围是
2 2 16.设 x, y 为实数,若 4 x ? y ? xy ? 5 则 2 x ? y 的最大值是

?

?

?

?

.

2,b ? 6,B ? 120? ,则 a 等于

?
6

)(? >0) 和 g(x)=2 cos (2x+? )+1 的图象的对称轴完全相同。若 x ? [0,

?
2

],

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 已知两向量 a , b 的夹角为 1200 , a ? 1, b ? 3 , (Ⅰ)求 5a ? b 的值 (Ⅱ)求向量 5a ? b 与a 夹角的余弦值。 18.(本小题满分12分) 沈阳统计局就某地居民的月收入调查了 10000 人,并根据所得数据画了样本的频率 分布直方图(每个分组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示收入在 [1000 , 1500 ) ).
频率/组距 0.0005 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 月收入(元) 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

? ?

?

?

(Ⅰ)求居民月收入在 [3000 , 3500 ) 的频率; (Ⅱ)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数; (III)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系,必须按月收入再从这 10000 人中分层抽样方法抽 出 100 人作进一步分析,则月收入在 [2500 , 3000 ) 的这段应抽多少人?

19.(本小题满分 12 分)已知 cos? x ?


? ?

??

2 ? ? ?? , x?? , ?? 4 ? 10 ?2 4
3第

? ?. ?

(Ⅰ)求 sin x 的值; (Ⅱ)求 sin ? 2 x ?

? ?

??

? 的值. 6?

20、(本小题满分 12 分) 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为 1,2,3,4. (Ⅰ)从袋中随机抽取两个球,求取出的球的编号之积不大于 4 的概率; (Ⅱ)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球 的编号为 n,求 n ? m ? 2 的概率. 21.(本小题满分 12 分)

△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 2 cos C (a cos B +b cos A) ? c.
(Ⅰ)求角 C 的值; (Ⅱ)若 c ?

3 ,求 △ABC 的周长的取值范围.

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 4 cos x sin ? x ?

? ?

??

? ?1, 6?

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调递增区间 (Ⅱ)若 sin x ? af ? x ?
2

? ?

??

? ? ?? 4 ? ? 1 ? 6 cos x 对任意 x ? ? ? , ? 恒成立,求实数 a 的取值范围。 6? ? 4 4?



4第

辽宁省实验中学分校 2015—2016 学年度下学期期末测试
数学试题参考答案及评分标准

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. C 2.A 3. A 4.D 5.C 6. A 7. D 8. B 9. D 10. C 11. D 12. D

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 2 14.

3 2 15. [- ,3] 16. 2 2 2

三、解答题 17.解:((1)依题意,得 5a ? b ? 5a ? b = 25 ? 12 ? 10 ? 1? 3 ? ? ?

? ?2

?

? ?

?

2

?2 ? ? ?2 ? 25a ? 10a ? b ? b ……………………2 分

? 1? 2 ? ? 3 ? 49 , ? 2?

…………………………………………….4 分

? ? 5a ? b ? 7
2

……………………………………………..5 分
2 ?

(Ⅱ)依题意,得 (5a ? b ) ? a ? 5a ? a ? b ? 5 ? 1 ? 1 ? 3 ? cos120 ?

13 2

……………………………………………..7分

13 (5a ? b ) ? a 13 ? 2 ? …………………………………………..10分 cos ? 5a ? b , a ?? 5a ? b ? a 7 ? 1 14
18. 解:(Ⅰ)月收入在 [3000 , 3500 ) 的频率为

0.0003 ? (3500 ? 3000) ? 0.15 . …………………………………………….4分
(Ⅱ)? 0.0002 ? (1500 ? 1000) ? 0.1 , 0.0004 ? (2000 ? 1500) ? 0.2 ,

0.0005 ? (2500 ? 2000) ? 0.25 , 0.1 ? 0.2 ? 0.25 ? 0.55 ? 0.5
所以,样本数据的中位数

…….6 分

2000 ?

0.5 ? (0.1 ? 0.2) ? 2000 ? 400 ? 2400 (元); 0.0005

…………………………8 分

(3)居民月收入在 [2500 , 3000 ) 的频率为 0.0005 ? (3000 ? 2500) ? 0.25 ,…….10 分 所以 10000 人中月收入在 [2500 , 3000 ) 的人数为 0.25 ? 10000 ? 2500 (人), 再从 10000 人用分层抽样方法抽出 100 人,则月收入在 [2500 , 3000 ) 的这段应抽取
页 5第

100 ?

2500 ? 25 人. 10000

…………………………12 分

19.解:(Ⅰ)因为 x ? ?

? ?? ? ? ? ? 3? ? , ? ,所以 x ? ? ? , ? ,于是 4 ?4 2? ?2 4 ?

……………………2 分

?? ?? 7 2 ? ? sin ? x ? ? ? 1 ? cos 2 ? x ? ? ? 4? 4 ? 10 ? ?

…………………………………………….4 分

?? ?? ?? ?? ? ?? ? ? ? sin x ? sin ? ?? x ? 4 ? ? 4 ? ? ? sin ? x ? 4 ? cos 4 ? cos? x ? 4 ? sin 4 ? ? ? ? ? ?? ? ? 7 2 2 2 2 4 ? ? ? ? 10 2 10 2 5
? ? 3? , ?2 4

………….6 分

(Ⅱ)因为 x ? ?

3 ?4? ? 2 ? ,故 cos x ? ? 1 ? sin x ? ? 1 ? ? ? ? ? 5 ?5? ?
24 7 , cos 2 x ? 2 cos 2 x ? 1 ? ? 25 25

2

………….7 分

sin 2 x ? 2 sin x cos x ? ?

……………………10 分

? ? 7 ? 24 3 ?? ? sin ? 2 x ? ? ? sin 2 x cos ? cos 2 x sin ? 6 6 50 6? ?

……………………12 分

20. 解:(Ⅰ)从袋中随机取两球,其一切可能的结果组成的基本事件有 1 和 2,1 和 3, 1 和 4,2 和 3,2 和 4,3 和 4,共 6 个 ……………………2 分

从袋中取出的球的编号之积不大于 4 的共有 1 和 2,1 和 3,1 和 4,有 3 个 …………………………………………….4 分 因此,所求事件的概率 P ?

3 1 ? 6 2

…………………………………………….6 分

(Ⅱ)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编 号为 n,其一切可能的结果 ?m, n ? 有:

?1,1? ,?1,2? ,?1,3? ,?1,4? ,?2,1? ,?2,2? ,?2,3? ,?2,4? ,?3,1? ,?3,2? ,?3,3? ,?3,4? ,?4,1? ,?4,2? , ?4,3? , ?4,4? ,共 16 个…………………………………………….8 分
满足条件 n ? m ? 2 的事件为

?1,3? , ?1,4? , ?2,4? , ?3,1? , ?4,1? , ?4,2? ,共有 6 个………………………….10 分
因此,所求事件的概率 P ? 1 ? 21.解 (Ⅰ) 2cos C ? a cos B ? b cos A ? ? c
页 6第

6 5 ? 16 8

…………………………………….12 分

由正弦定理得: 2cos C ? sin A ? cos B ? sin B ? cos A ? ? sin C

……………………2 分

2cos C ? sin ? A ? B ? ? sin C
∵ A ? B ? C ? π , A 、B 、C ? ? 0 ,π ? ∴ sin ? A ? B ? ? sin C ? 0 ∴ 2cos C ? 1 , cos C ? ∵ C ? ? 0 ,π ? ∴C ?

1 2

……………………4 分

π 3

……………………6 分

(Ⅱ)由余弦定理得: c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab ? cos C

3 ? a 2 ? b 2 ? ab ? (a ? b) 2 ? 3ab

…………………………………………….8 分

? ( a ? b) 2 ? 3

?a ? b ?2
4

?

?a ? b ?2
4
…………………………………………….10 分

则a ?b ? 2 3, 又a ?b ? c ?

3 , 3 ? a ?b ? 2 3,2 3 ? a ?b ? c ? 3 3

周长的取值范围为 (2 3 ,3 3

?
?
6 ) ?1

…………………………………….12 分

f ( x) ? 4 cos x sin( x ?
22.解:(Ⅰ)因为

? 4 cos x(

3 1 sin x ? cos x) ? 1 2 2
……………………2 分

? 3 sin 2 x ? 2 cos 2 x ? 1

? 3 sin 2 x ? cos 2 x
? 2 sin( 2 x ?
? ?

?
6

)

……………………4 分

?

? k? , k ? Z 3 6 ? ? 所以 f ( x) 的单调增区间为 ? ? ? k? , ? k? ?, k ? Z 3 6
页 7第

?

2

? 2k? ? 2 x ? ? k? ? x ?

?
6

?

?
2

? 2k?

?

……………………6 分

(Ⅱ)由题意 x ? ? ?

? ? ?? , ?, ? 4 4?

?? ?? ? ? f ? x ? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 2 cos 2 x ? 0 6? 2? ? ?
4 2

原不等式等价于 a ? 2 cos 2 x ? 6 cos x ? sin x ? 1 , 即a ?

6 cos 4 x ? sin 2 x ? 1 恒成立 2 cos 2 x
6 cos 4 x ? sin 2 x ? 1 (2 cos 2 x ? 1)(3 cos 2 x ? 2) ? 2 cos 2 x 2(2 cos 2 x ? 1)
1 (cos 2 x ? ) 2

………8 分

令 g ?x ? ?

?

3 cos 2 x ? 1 2

……………………10 分

5 ? ? ?? x ? ? ? , ? , x ? 0, cos x ? 1 时, g ( x) 的最大值为 2 ? 4 4?
因此, a ?

5 2

…………………………………………….12 分



8第



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