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高二数学选修1、3-2-1几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式


3.2.1 几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式 一、选择题 1. 表示( ) A.曲线 y=x2 的斜率 B.曲线 y=x2 在点(1,1)处的斜率 C.曲线 y=-x2 的斜率 D.曲线 y=-x2 在(1,-1)处的斜率 [答案] B [解析] 由导数的意义可知, 表示曲线 y=x2 在点(1,1)处的斜率. 2.若 y=cos,则 y′=( ) A.- B.- C.

0 D. [答案] C [解析] 常数函数的导数为 0. 3.下列命题中正确的是( ) ①若 f′(x)=cosx,则 f(x)=sinx ②若 f′(x)=0,则 f(x)=1 ③若 f(x)=sinx,则 f′(x)=cosx A.① B.② C.③ D.①②③ [答案] C [解析] 当 f(x)=sinx+1 时,f′(x)=cosx, 当 f(x)=2 时,f′(x)=0. 4.若 y=ln x,则其图象在 x=2 处的切线斜率是( ) A.1 B.0 C.2 D. [答案] D [解析] ∵y′=,∴y′|x=2=,故图象在 x=2 处的切线斜率为. 5.已知直线 y=kx 是 y=ln x 的切线,则 k 的值为( ) A. B.- C. D.- [答案] C [解析] y′==k,∴x=,切点坐标为, 又切点在曲线 y=lnx 上,∴ln=1,∴=e,k=. 6.已知函数 f(x)=x,则′=( ) A.0 B. C.1 D.- [答案] A [解析] ∵f=,∴′=0. 7.y=在点 A(1,1)处的切线方程是( ) A.x+y-2=0 B.x-y+2=0 C.x+y+2=0 D.x-y-2=0

[答案] A [解析] ∵y′=-,∴y′|x=1=-1. ∴y-1=-1(x-1),即 x+y-2=0. 8.下列结论中正确的个数为( ) ①y=ln2, 则 y′= ②y=, 则 y′|x=3=- ③y=2x, 则 y′=2xln2 ④y=log2x, 则 y′ = A.0 B.1 C.2 D.3 [答案] D [解析] ①y=ln2 为常数,所以 y′=0,①错. 9.下列结论中不正确的是( ) A.若 y=0,则 y′=0 B.若 y=,则 y′=- C.若 y=-,则 y′=- D.若 y=3x3,则 y′=3x2 [答案] D [解析] y′=(3x3)′=3×3·x3-1=9x2. 10.若 y=sinx,则 y′|x==( ) A. B.- C. D.- [答案] A 二、填空题 11.曲线 y=lnx 与 x 轴交点处的切线方程是__________. [答案] y=x-1 [解析] ∵曲线 y=lnx 与 x 轴的交点为(1,0) ∴y′|x=1=1,切线的斜率为 1, 所求切线方程为:y=x-1. 12. 质点沿直线运动的路程与时间的关系是 s=, 则质点在 t=32 时的速度等于____________. [答案] 13.在曲线 y=上求一点 P,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为 135°,则 P 点坐标为 ________. [答案] (2,1) [解析] 设 P(x0,y0), y′=′=(4x-2)′=-8x-3, ∴tan135°=-1=-8x. ∴x0=2,y0=1. 14.y=10x 在(1,10)处切线的斜率为________. [答案] 10ln10 [解析] y′=10xln10, ∴y′|x=1=10ln10. 三、解答题 15.已知曲线 C:y=x3

(1)求曲线 C 上点(1,1)处的切线方程 (2)在(1)中的切线与曲线 C 是否还有其它公共点? [解析] (1)∵y′=3x2 ∴切线斜率 k=3 ∴切线方程 y-1=3(x-1) 即 3x-y-2=0 (2)由 ∴(x-1)(x2+x-2)=0 ∴x1=1 x2=-2 ∴公共点为(1,1)及(-2,-8) 16.求下列函数的导数 (1)y=lnx (2)y= (3)y= [答案] (1)y′=(lnx)′= (2)y′=(x-4)′=-4·x-4-1=-4·x-5=- 17.已知点 P(-1,1),点 Q(2,4)是曲线 y=x2 上两点,求与直线 PQ 平行的曲线 y=x2 的切线 方程. [解析] ∵y′=(x2)′=2x,设切点为 M(x0,y0) 则 y′|x=x0=2x0, 又∵PQ 的斜率为 k==1,而切线平行于 PQ,∴k=2x0=1,即 x0=.所以切点为 M. ∴所求切线方程为 y-=x-,即 4x-4y-1=0. 18.求过曲线 y=sinx 上的点 P 且与在这点处的切线垂直的直线方程. [解析] ∵y=sinx, ∴y′=(sinx)′=cosx. ∴经过这点的切线的斜率为,从而可知适合题意的直线的斜率为-. ∴由点斜式得适合题意的直线方程为 y-=-(x-), 即 x+y--π =0.


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